Outils multidimensionnels de déformation

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1 Outils multidimensionnels de déformation Arnaud Bletterer UFR de Mathématique-Informatique Université de Strasbourg Sous la direction de : Mme. Dominique Bechmann, Professeure des Universités, ICube Mme. Isabelle Charpentier, Chargée de Recherche CNRS, ICube M. Pierre Kraemer, Maître de Conférences des Universités, ICube Rapporté par : M. Basile Sauvage, Maître de Conférences des Universités, ICube Mémoire soumis pour le diplôme de : Master mention Informatique, Spécialité Informatique et Sciences de l Image Juin 2014

2 Remerciements Je voudrais remercier toutes les personnes qui ont participé à la réalisation de ce travail, de près ou de loin : Mme. Dominique Bechmann : Qui a proposé et dirigé ce stage et qui a bien voulu m apporter son expérience sur le domaine des déformations. Mme. Isabelle Charpentier : Qui a su amener un aspect plus mathématique aux réflexions que j ai pu avoir par rapport au travail effectué. M. Pierre Kraemer : Qui a toujours pris le temps d expliquer les différents concepts jusqu à ce que je les ai compris et pour son travail sur l outil SCHNApps qui a permis de faciliter considérablement la partie implémentation du travail réalisé. M. Basile Sauvage : Qui a bien voulu être le rapporteur de ce mémoire et qui a pu m apporter des éléments importants dans la bonne rédaction de celui-ci. M. Sylvain Thery : Pour les nombreuses réponses qu il a su m apporter à propos du fonctionnement de la librairie CGoGN. L équipe IGG : Pour la constante bonne humeur, la facilité que ses membres ont à intégrer tous les stagiaires et les nombreuses parties de Tarot. Mes collègues de la salle stagiaire : Avec qui il a toujours été agréable de partager des points de vue, que ce soit au niveau professionnel ou pour des aspects plus divers. En particulier je tiens à remercier François, pour sa compagnie (très) matinale, ainsi que pour les échanges d idées que nous avons eu par rapport au sujet de l autre.

3 Table des matières Table des matières Table des figures ii iv 1 Introduction 1 2 Outils multidimensionnels Déformation à base de volumes Déformation à base de surfaces Déformation à base de courbes Déformation à base de points Déformation à base de cage Introduction Mean Value Coordinates Coordonnées barycentriques Coordonnées barycentriques généralisées Calcul des coordonnées Mélange d outils Etat de l art Méthode proposée Modification de la zone d influence des déformations Atténuation de la déformation Hiérarchie de la déformation Combinaison des déformations ii

4 5 Perspectives Modification de la nature de la cage de contrôle Mélange d outils existants Bilan Contribution Discussions Ouvertures Références 43 iii

5 Table des figures 1.1 Explication déformation multi-outil Volume de Bézier parallélépipédique Volume de Bézier tétraédrique Noyau d un polygone Texte avant déformation Déformation d un texte (MVC) Déformation d un texte (HC) Déformation d un texte (GC) Configuration pour calcul MVC Cas particulier MVC Problème de continuité déformation naïve Atténuation : Exemple Atténuation : Exemple Fonction d atténuation d inf (p) Fonction de lissage f h (x) Fonction d atténuation γ(p) Composition de la double-cage Lien double-cage MVC Association des cages de contrôle et d influence Variation de l atténuation de la déformation Exemple de déformation double-cage Mélange de double-cages iv

6 4.13 Exemple de déformation double-cages Cages d influence à partir d un point Cages d influence à partir d une courbe v

7 Chapitre 1 Introduction La modélisation géométrique a permis, dans un premier temps, de représenter des objets virtuels. Des modèles de représentation de nature différente peuvent être utilisés, comme les surfaces paramétriques ou les maillages. Pour notre part, nous nous sommes intéressés aux maillages, qui représentent une discrétisation de l espace sous forme de cellules (sommets, arêtes, faces, volumes). Une méthode de déformation naïve consiste à déplacer des sommets d un maillage. Mais d autres types de déformations, plus élaborés, se sont instaurés. Ils sont pour la plupart propres à une représentation spécifique d un maillage, mais certains, comme la déformation spatiale, font abstraction de ces représentations. Nous nous sommes intéressés à ce type de déformation. La déformation spatiale consiste à déformer un objet en modifiant son espace ambiant au travers de la modification d un outil. Cet outil est un ensemble de points de contrôle (sommets) et les modifications qu on peut lui appliquer sont réalisées au travers de la modification de la position de de ces points de contrôle. Cet outil a des caractéristiques spécifiques, comme sa dimension (point, courbe, surface, volume), la zone de l espace qu il déforme (locale ou globale) et sa résolution (nombre de points de contrôle). On note Barr [1984] et Sederberg and Parry [1986] comme étant les premiers à avoir introduit ce type de déformation. L avantage de ce procédé, par rapport aux méthodes existantes, a été de pouvoir réaliser des déformations indépendamment du modèle utilisé pour représenter l objet à déformer. 1

8 En pratique, la déformation d un objet se décompose en 3 étapes successives : 1. Construction de l outil permettant la déformation 2. Association des points de l espace (composant l objet) à l outil (temps d association) 3. Déformation de l objet par invariance de l association (temps de déformation) Les deux premières étapes sont réalisées une seule fois. La dernière étape est réalisée à chaque manipulation de l outil de déformation. Ce travail s inscrit dans une démarche de création d un nouvel outil de déformation. Actuellement, pour déformer un objet, les infographistes utilisent un seul outil à la fois. Mais les différentes déformations ne peuvent pas toutes être réalisées à l aide des mêmes outils. Cette contrainte les force à recréer un nouvel outil lorsque la déformation qu ils souhaitent appliquer n est plus facilement réalisable avec l outil qu ils utilisaient actuellement. Cette étape est une tâche qui peut s avérer longue et pénible, d autant plus que le temps d association de l objet à l outil peut être assez important. On souhaiterait donc éviter de devoir reproduire cette opération. L idée est alors d avoir un multi-outil composé de plusieurs sousoutils communiquant ensemble et déformant chacun diverses zones de l objet. A terme, il serait agréable de pouvoir générer automatiquement un multi-outil en fonction des caractéristiques d un objet à déformer, afin de simplifier au maximum le travail des artistes. Dans la suite de ce travail, nous appelons outil multidimensionnel, un multi-outil composé de plusieurs sous-outils de dimensions différentes. Considérons que notre objet est un alligator (Figure 1.1), on souhaite ouvrir la bouche de l alligator, élargir son ventre et bouger sa queue, mais ces déformations sont difficilement réalisables avec un seul et même outil. Pour y parvenir, une bonne solution est de créer un outil multidimensionnel composé d axes pour la bouche, d une cage pour le ventre et de points pour la queue. Comment mélanger les effets de ces outils de façon à ce que la déformation engendrée soit visuellement lisse? 2

9 Figure 1.1 A gauche l alligator au temps d association et à droite après modification de la position de certains points de contrôle. Afin de guider nos choix quant à la sélection des outils à combiner au travers d un multi-outil, nous avons réalisé un état de l art des outils existants en se basant en partie sur le travail de Gain and Bechmann [2008]. Cette partie doit permettre de faire ressortir un outil pour chacune des dimensions (en fonction de leurs caractéristiques). Des travaux ont déjà été réalisés sur la partie création d un multi-outil par Jacobson et al. [2011] et García et al. [2013]. Les premiers ont mis en place un outil multidimensionnel se basant sur une méthode d optimisation globale, tandis que les autres se sont concentrés sur le mélange d outils de déformation de dimension 2. Notre travail se situe dans le prolongement de García et al. [2013]. L objectif de ce stage est de fournir une méthode originale de mélange de différents outils associés à un même objet. Les points clés sont la minimisation des temps de calcul (tant au niveau du temps d association que du temps de déformation) ainsi que l élaboration de formules mathématiques simples et claires. Ces critères ont guidé nos choix lors des différentes étapes de ce travail. 3

10 Chapitre 2 Outils multidimensionnels Ce chapitre propose un état de l art sur les différents outils de déformation spatiale d après le travail de Gain and Bechmann [2008]. Les outils présentés sont utilisables aussi bien dans R 2 que dans R 3, mais dans ce chapitre nous considèrerons des déformations affectant l espace R 3 La déformation spatiale est une technique de déformation permettant de modifier la position des sommets d un objet virtuel au travers de la modification de son espace ambiant. Cette déformation est appliquée au travers de la manipulation d un outil. Un utilisateur va interagir avec un outil (en modifiant la position de ses sommets), et cet outil va modifier la position des points de l espace. Dans la suite du rapport, nous appelons objet un objet virtuel auquel nous appliquons une déformation, et point de l espace un sommet du objet à déformer. Ces outils ont différentes caractéristiques, comme par exemple leur dimension (point, courbe, surface, volume), la zone de l espace qu ils déforment (locale ou globale) ou encore leur résolution (nombre de points de contrôle qui les composent). On dit qu une déformation est globale lorsque le déplacement d un sommet de l outil influe sur l ensemble des points de l espace. En pratique, la déformation d un objet se décompose en 3 étapes : 1. Construction de l outil permettant la déformation 2. Association des points de l espace à l outil (temps d association) 3. Déformation de l objet par invariance de l association (temps de déformation) 4

11 Les explications ci-dessous se concentrent sur la partie association des points de l espace à l outil. 2.1 Déformation à base de volumes Les déformations à base de volumes sont définies à partir d une grille 3D de points de contrôle. Ces points peuvent être considérées comme des poignées que l on peut déplacer et qui vont modifier la position des points de l espace. Déformation de forme libre de Bézier : Sederberg and Parry [1986] ont eu l idée de lier la déformation d un volume paramétrique à l espace contenu à l intérieur de ce volume. Mathématiquement, il s agit d une extension directe des courbes de Bézier au cas 3D. Ils ont utilisé les polynômes de Bernstein pour définir le volume. Ce modèle, attribuant une forme parallépipédique au volume (Figure 2.1), permet d obtenir une paramétrisation des coordonnées des points de l espace presque automatiquement. Cette technique déforme l espace de façon globale. Les volumes paramétriques souffrent des mêmes problèmes que leurs homologues de dimensions inférieures (surface et courbes paramétriques), à savoir le manque de contrôle local. Figure 2.1 Vue en coupe d un volume de Bézier parallélépipédique. Déformation de forme libre avec contrôle local : Pour corriger le problème de contrôle local, une solution naïve consiste à rajouter des points de contrôle afin de réduire l impact de chacun d entre eux sur l espace à déformer. Mais cette technique augmente la résolution du volume paramétrique 5

12 et ainsi sa complexité en temps de calcul. Une autre solution est d utiliser des fonctions définies par morceaux. Griessmair and Purgathofer [1989] et Comninos [1989] ont choisi de travailler avec des B-splines car elles sont définies naturellement par morceaux. Ce choix rend la déformation locale. Déformation de forme libre avec outil non parallélépipédique : Les déformations de forme libre ont une grosse limitation, celle de la forme de l outil. En effet, comme les volumes de déformations sont uniquement composés de cubes alignés sur les axes du repère de l espace, la forme globale correspond à un pavé. Par conséquent, il n est pas possible d obtenir un outil qui épouse la forme de l objet à déformer. Coquillart [1990] a donc proposé une version étendue des déformations de forme libre, en permettant la modification de la position des points de contrôle avant l étape d association. Le calcul des coordonnées des points de l espace par rapport à l outil n est donc plus trivial, il devient beaucoup plus coûteux. Bechmann et al. [1997] ont proposé de considérer des volumes de Bézier tétraédriques (Figure 2.2) tandis que MacCracken and Joy [1996] se sont plutôt intéressés aux volumes de subdivision de topologie quelconque. Figure 2.2 Vue en coupe d un volume de Bézier tétraédrique. 6

13 2.2 Déformation à base de surfaces La difficulté des déformations à base de surfaces réside dans la manière d attacher les points de l espace à une surface. Carreau paramétrique : Jieqing et al. [1996] ont été les premiers à proposer une solution, celle d utiliser un carreau B-spline sur lequel sont projetés les points de l espace, le long de la normale au plan du carreau, dans l espace paramétrique du carreau. Ainsi pour déformer l espace, l utilisateur déplace les différents points de contrôle. Les points de l espace sont repositionnés grâce à leurs coordonnées paramétriques (précédemment calculées) et "reprojetées" le long de la normale au carreau déformé. De même que pour les volumes paramétriques, cette technique déforme l espace de façon globale. Surface étoilée : Un polyèdre de forme étoilée est un polyèdre contenant, en son intérieur, une région qu on appelle le noyau. On définit le noyau d un polyèdre comme étant la région depuis laquelle un rayon émis dans n importe quelle direction n intersecte le bord du polyèdre qu une seule fois (Figure 2.3, représenté en 2D). Cette propriété est utile dans le domaine de la déformation car elle permet d obtenir une unique paramétrisation en coordonnées polaires des points de l espace, comme proposé par Jin and Li [2000]. Cette technique déforme aussi l espace de façon globale. Figure 2.3 En rouge le noyau d un polygone de forme étoilée représenté par son bord, en noir (en 2D). Les points de contrôle sont représentés par les disques noirs. 7

14 Maillage triangulaire : Une autre idée est d utiliser un maillage triangulaire simple pour appliquer des déformations aux points de l espace. Kobayashi and Ootsubo [2003] ont été les premiers à utiliser ce genre d outil. Ils proposent que les triangles du maillage contribuent à déformer une zone sphérique autour de chacun d entre eux. Les triangles définissent des coordonnées paramétriques pour les points de l espace se trouvant dans leur zone d influence, en fonction de leur distance à chacun des triangles. La position des points de l espace se trouvant à l intersection de plusieurs zones d influence résultent d une moyenne pondérée des coordonnées calculées par rapport à chaque triangle. L avantage de cette technique est de permettre une configuration assez générale des triangles (non nécessairement connexes), à partir du moment où ceux-ci ne sont pas dégénérés (les triangles doivent être composés de 3 sommets linéairement indépendants). La déformation engendrée par le déplacement d un sommet d un triangle est locale et définie par la zone d influence de ce triangle. Cage : La cage est l outil surfacique le plus utilisé ces dernières années en terme de déformation spatiale. Son utilisation s est développée suite aux travaux de Ju et al. [2005] et de Floater et al. [2005] qui ont utilisé les Mean Value Coordinates présentées par Floater [2003] et Floater et al. [2005]. Un maillage surfacique triangulaire quelconque est créé, et définit une position paramétrique des points de l espace par rapport aux positions des points de contrôle de la cage. Cette méthode est détaillée dans le prochain chapitre. 2.3 Déformation à base de courbes Déformation de De Casteljau généralisée : Chang and Rockwood [1994] ont introduit une méthode de déformation à base de courbe qui peut-être vue comme une déformation de forme libre de Bézier limitée. L idée est d associer les points de l espace autour de la courbe aux points de contrôle de la courbe. Cette méthode est confrontée au même problème que la déformation de forme libre de Bézier, où la courbe doit être une ligne droite au moment de l association du modèle à l outil. 8

15 Déformation axiale : Lazarus et al. [1994] ont proposé une méthode permettant d associer des points de l espace à une courbe (échantillonnée par des points de contrôle) qui peut avoir une forme quelconque. Les points de l espace sont déformés en fonction de leur écart à la courbe. Plus un point est éloigné moins il sera déformé par la modification de la position des sommets de contrôle de la courbe. Pour connaître la distance d un point à la courbe, les auteurs définissent des paramètres scalaires r min et r max, propres à chaque sommet de contrôle. Ils établissent que la déformation doit s effectuer en fonction de la distance d d un point à un sommet de la courbe. La déformation peut-être totale (d < r min ), atténuée (r min < d < r max ) ou inexistante (d > r max ). Déformation de "cables" : La méthode présentée par Singh and Fiume [1998] s inspire de la déformation axiale. Elle permet de combiner les effets de différents outils de déformations à base de courbe. 2.4 Déformation à base de points Déformation radiale simple : Dans cette méthode, les déformations sont déterminées par un certain nombre de contraintes, chacune définie par un rayon r i (permettant de faire varier la zone d influence) centré sur un point de contrainte C i associé à un déplacement C i. On définit une paramétrisation des points de l espace uniquement par la distance de chacun aux points de contraintes. De ce fait, les déformations s opèrent de façon uniforme dans toutes les directions. Borrel and Rappoport [1994] ont développé Scodef (Simple Constrained Deformations). La déformation appliquée par le déplacement d un point de contrainte est limitée à la zone sphérique autour de ce point. Il est important de noter que ce modèle est juste une restriction des possibilités de déformation proposées par la technique DOGME (ci-dessous), en considérant le cas le plus simple avec des zones d influence sphériques autour des contraintes. DOGME : Borrel and Bechmann [1991] ont introduit une méthode basée sur les contraintes appelée DOGME (Deformation Of Geometric Model Editor) afin de remplacer l interface non-intuitive des grilles utilisées dans 9

16 les déformations à base de volumes par une manipulation directe des points de l espace. L idée est de permettre à un utilisateur de déplacer un point de l espace et de déformer son voisinage géométrique en conséquence de façon lisse. On peut comparer cette déformation au fait de pincer un modèle pour étirer la zone avoisinant la partie pincée. Pour "replacer" le voisinage d un point de l espace, la méthode se base sur le déplacement de points qu on appelle "contraintes". Des contraintes, dont la portée est définie par une zone d influence, sont associées à chaque point de l espace et permettent d approcher au mieux la nouvelle position des points. Si un point de l espace est sous l influence de plusieurs contraintes, alors sa nouvelle position correspond à une pondération de celles-ci. De même que pour la déformation radiale simple, la déformation est locale, car chaque contrainte agit dans sa zone d influence. 10

17 Chapitre 3 Déformation à base de cage Notre travail s est porté particulièrement sur le mélange de différents outils à base de surfaces. La technique retenue pour cette dimension est celle des déformations à base de cage. Ce choix a été motivé par l efficacité de cette méthode et de son utilisation dans le travail de García et al. [2013] (un travail similaire à celui que nous souhaitions réaliser). Ces déformations peuvent se faire dans R 2 (l outil est un polygone) et dans R 3 (l outil est une surface). Pour simplifier la compréhension de la méthode ainsi que les différents schémas, nous nous limitons aux déformations dans R Introduction L outil permettant de réaliser les déformations est un polygone. Ce polygone peut-être de nature quelconque, sans auto-intersection et non dégénéré : il doit avoir au moins 3 sommets. Dans la suite, nous appelons ce polygone cage. L idée est de paramétrer les points de l espace contenus à l intérieur d une cage en fonction de la position des sommets de cette cage. Cette méthode permet de déformer un objet uniquement en manipulant les sommets de la cage, peu importe la complexité de cet objet. Cette déformation est dite globale, car un sommet de la cage a une influence sur tous les points de l espace contenus à l intérieur de la cage. Les méthodes présentées ci-dessous permettent de réaliser les étapes d association d un objet à un outil et de déformation d un objet. Afin de les illuster, nous 11

18 allons déformer un même objet (Figure 3.1) en utilisant les différentes méthodes existantes. Figure 3.1 Texte avant déformation. La cage est représentée par son bord, en orange. (Image de Lipman et al. [2008]) Les premiers travaux dans ce domaine ont été réalisés simultanément par Ju et al. [2005] Floater et al. [2005], en utilisant la technique des Mean Value Coordinates (MVC) développée par Floater [2003] (Figure 3.2). Il s agit d utiliser des coordonnées barycentriques généralisées pour réaliser des déformations. Les coordonnées barycentriques généralisées correspondent à la généralisation du calcul de coordonnées barycentriques, en ne considérant plus des coordonnées calculées par rapport à un simplexe (triangle dans R 2 ), mais à une cellule (polygone dans R 2 ). Néanmoins cette méthode comporte un important défaut : les coordonnées calculées peuvent être négatives (dans le cas d une cage concave par exemple), ce qui peut aboutir à des résultats contre-intuitifs. Figure 3.2 Déformation d un texte en utilisant la méthode des MVC. (Image de Lipman et al. [2008]) 12

19 Joshi et al. [2007] déclarnt que l importance de ce problème devait amener à ne pas utiliser les MVC pour l animation de personnages. A la place, ils proposent une approche différente, qui ne produit pas de coordonnées négatives : les Harmonic Coordinates (Figure 3.3). Cette méthode permet d obtenir des déformations plus localisées, au prix d une complexité en temps de calcul au temps d association beaucoup plus importante et d une discrétisation de l espace assez fine. Figure 3.3 Déformation d un texte en utilisant la méthode des HC. (Image de Lipman et al. [2008]) Dans la même optique, Lipman et al. [2007] proposent une amélioration des MVC qui les rend positives : les Positive Mean Value Coordinates. L idée est de se baser sur un test de visibilité lors du calcul des coordonnées. Si un point de l espace ne se trouve pas dans la partie de la cage visible depuis un sommet donné, alors la coordonnée pour ce point vaut 0. Ils obtiennent des résultats similaires à Joshi et al. [2007] pour une complexité en temps de calcul proche de celle des MVC. Lipman et al. [2008] ont constaté que les détails de la surface n étaient pas préservés, en particulier lors de déformations importantes. Ce qui les a amené à développer une approche considérant plus de données lors de l association du modèle à la cage : les Green Coordinates (GC) (Figure 3.4). Au lieu d utiliser uniquement la position des sommets de la cage, les Green Coordinates prennent aussi en compte les normales aux faces de la cage. 13

20 Figure 3.4 Déformation d un texte en utilisant la méthode des GC. (Image de Lipman et al. [2008]) 3.2 Mean Value Coordinates Dans le cadre de notre travail, nous avons choisi de travailler avec une seule méthode de calcul des coordonnées. Le choix que nous avons fait s est porté sur les MVC. C est actuellement la méthode de calcul des coordonnées qui a la plus faible complexité en temps de calcul. De plus, ayant déjà travaillé sur cette méthode, nous avions déjà effectué une première implémentation de la méthode. La réutiliser nous permet de plus concentrer notre travail sur la partie mélange de coordonnées. Néanmoins, la méthode apportée par notre travail ne se limite pas aux coordonnées MVC, mais peut être généralisée à d autres méthodes de calcul de coordonnées Coordonnées barycentriques Möbius [1827] a été le premier à exprimer une relation entre un triangle et un point contenu à l intérieur de celui-ci : les coordonnées barycentriques. Soit V = {v 1, v 2, v 3 } un triangle quelconque, ses sommets constituent ce qu on appelle un repère barycentrique. Soit p un point de l espace. On dit que p est un barycentre de V si et seulement si : 14

21 p = w 1v 1 + w 2 v 2 + w 3 v 3 w 1 + w 2 + w 3, (3.1) où w i correspond à la coordonnée du point p associée au sommet v i, pour i {1, 2, 3}. On peut réécrire cette formule en normalisant les w i : λ i = et donc 3 i=1 λ i = 1. L équation 3.1 devient : w i w 1 + w 2 + w 3, i {1, 2, 3}, (3.2) p = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3. (3.3) La coordonnée w i s obtient en calculant le rapport entre les aires (signées) des triangles pv 1 v 2, pv 2 v 3, pv 3 v 1 et l aire totale du triangle v 1 v 2 v 3 : w 1 = A(pv 2v 3 ) A(v1v2v3), w 2 = A(pv 3v 1 ) A(v1v2v3), w 3 = A(pv 1v 2 ) A(v1v2v3) (3.4) Coordonnées barycentriques généralisées Contrairement aux coordonnées barycentriques, les coordonnées barycentriques généralisées ne sont pas uniques. Plusieurs méthodes ont été mises en place, et nous nous sommes intéressés particulièrement au travail de Floater [2003] Calcul des coordonnées Soit V = {v 1, v 2,..., v n } un polygone sans auto-intersection et non- dégénéré, ses sommets constituent un repère barycentrique. Soit p un point de l espace. Le but de Floater [2003] a été d étudier les coordonnées λ i telles que : p = n λ i v i, i N, i {1,..., n} (3.5) i=1 où λ i est la coordonnée du point p associée au sommet v i et qui vérifie : λ i = w i n j=1 w, et j n λ i = 1. (3.6) i=1 15

22 Sa motivation a été de reproduire le comportement de fonctions harmoniques. Une fonction u définie dans un plan Ω R 2 est dite harmonique si elle est C 2 et qu elle satisfait l équation de Laplace : 2 u x + 2 u = 0. (3.7) 2 y2 Les fonctions harmoniques n ayant pas de forme analytique, une manière de connaître leur valeur en un point précis est de les évaluer sur tout le domaine. Ces traitements nécessitent beaucoup de calculs, c est pour cela que Floater [2003] a décidé de les approximer au travers de fonctions linéaires définies par morceaux sur une triangulation donnée. La coordonnnée w i associée au point p est calculée en utilisant la position du point p, du sommet v i et des deux sommets adjacents à v i : v i 1 et v i+1 (Figure 3.5). v i+1 p α i 1 α i v i 1 v i Figure 3.5 Configuration pour le calcul de la coordonnée w i du point p par rapport au sommet v i La méthode détermine la coordonnée w i de la manière suivante : w i = tan(α i 1/2) + tan(α i /2). (3.8) v i p 16

23 L ensemble des coordonnées {λ 0, λ 1,..., λ n } obtenues est appellé les coordonnées MVC du point p. Ces formules sont correctes dans le cas où le point p est strictement inclus dans la cage. Des problèmes se posent lorsqu un point de l espace se trouve le long d une arête de la cage. On peut détecter cette situation en regardant la valeur des angles α i 1 et α i. Par exemple, quand le point p se situe sur l arête E = [v i, v i+1 ], l angle α i vaut π (Figure 3.6). Or : lim tan(x x π 2 ) = + v i+1 p α i 1 α i = π v i 1 v i Figure 3.6 Configuration dans laquelle les formules de calcul de coordonnées ne sont plus correctes. Cela pose un problème par rapport au calcul donné par l équation 3.8. Les coordonnées barycentriques généralisées établissent que les coordonnées calculées varient de façon linéaire le long des arêtes de la cage et qu elles respectent la propriété de Lagrange aux sommets de la cage : si p = v i alors λ i = 1 et λ j = 0 j i En utilisant ces propriétés, un calcul de coordonnées spécifique est défini par Hormann and Floater [2006] pour les points se trouvant le long d une arête. Pour calculer la coordonnée w j du point p par rapport au sommet v j, p se trouvant le long de l arête E = [v i, v i+1 ], nous distinguons deux cas : 17

24 Soit v j n est pas incident à E (v j v i et v j v i+1 ) ; dans ce cas λ j = 0 Soit v j est incident à E (v j = v i ou v j = v i+1 ) ; dans ce cas λ j est calculé comme étant le coefficient associé au sommet v j lors du calcul du barycentre du segment E, en considérant p comme étant le barycentre. 18

25 Chapitre 4 Mélange d outils Nous avons vu que les outils de déformation avaient différentes caractéristiques. Celles-ci influent sur l aspect de la déformation engendrée par le déplacement de points de contrôle et sur la facilité de déformation de l objet. Par exemple, une modification grossière de l apparence globale de l objet est plus facile à réaliser avec un outil de déformation globale ayant une faible résolution. A l inverse, la modification d un ensemble de points précis de l objet nécessite l utilisation d un outil de déformation locale et une résolution élevée. Il est naturel de se demander comment définir et combiner les différents outils associés à un même objet, de façon à ce que la déformation résultante soit visuellement lisse. L ensemble du travail a été réalisé dans R 2. Ce choix a été fait pour simplifier le travail effectué lors de la recherche d une nouvelle méthode de déformation. 4.1 Etat de l art Jacobson et al. [2011] sont les premiers à proposer une méthode permettant de mélanger des outils de déformation de différentes dimensions. C est sur cet article que nous avons commencé à travailler car les résultats semblent proches de ce que nous souhaitons obtenir. Une lecture approfondie de l article nous fait comprendre que la méthode n est pas celle que nous souhaitons. Néanmoins, si l article semble s appuyer sur des outils ayant des dimensions différentes en fonction des zones à déformer, la gestion interne repose uniquement sur des déformations à base de 19

26 points. Des contraintes supplémentaires sont imposées lors du calcul des coordonnées en fonction de la topologie existante entre les points de contrôle. Par exemple pour des sommets reliés par une arête, les auteurs proposent que les coordonnées évoluent de façon linéaire le long de cette arête. De plus, pour évaluer l influence d un point de contrôle sur l espace, la technique proposée se base sur une méthode de diffusion (nécessitant donc une discrétisation de l espace). Or un des critères essentiels de notre travail est la minimisation des temps de calcul, c est pourquoi nous avons décidé de pas continuer à étudier cette technique et à nous intéresser à un autre travail du domaine. García et al. [2013] quant à eux, proposent une méthode permettant le mélange d outils de même dimension, en s intéressant particulièrement aux cas des déformations à base de cage. L idée est de réaliser un pavage de l objet à l aide de cages collées ensemble le long de leurs arêtes et de considérer la position d un point de l espace non seulement par rapport à sa cage propre (qui le contient) mais aussi par rapport aux cages adjacentes à celle- ci. Cette technique permet de localiser la déformation engendrée par un sommet d une cage sur la zone couverte par sa cage propre et l ensemble des cages incidentes à celle-ci. Les auteurs proposent une fonction de déformation qui résulte d un mélange entre une déformation classique T ci (p), et une déformation dite "de jointure" J ci (p) : S ci (p) = b ci (p)t ci (p) + (1 b ci (p))j ci (p) (4.1) Ces deux déformations sont interpolées linéairement en fonction de la distance b ci (p) du point p aux arêtes de sa cage propre c i qui sont partagées par d autres cages. Cette méthode impose de placer des cages sur l ensemble de l objet, sans présumer de la déformation qui est à appliquer. Les cages créées doivent être collées le long de leurs arêtes pour que la méthode fonctionne. Pour obtenir la déformation de jointure J ci (p), les auteurs proposent de considérer des cages résultant de l union de plusieurs cages. Ainsi un point qui se est proche d une arête commune à deux cages se situe à l intérieur de l union de ces deux cages. Ce choix impose de calculer des coordonnées pour chaque cage jointure considérée, ce qui augmente le temps de calcul nécessaire à l association des points de l espace à l outil. Un point est donc déformé en partie par sa cage 20

27 propre et en partie par ses cages de jointure. Cette interprétation amène à des cas spécifiques que les auteurs sont obligés de traiter au travers de fonctions supplémentaires, ce qui alourdit les calculs et l expression mathématique globale. De plus, les distances au bord sont basées sur des calcul de coordonnées harmoniques dont le calcul nécessite une discrétisation de l espace. Cette spécificité est incompatible avec notre priorité de minimisation du temps de calcul. Comme les solutions existantes ne correspondent pas exactement à ce que nous souhaitons, nous décidons de travailler sur une autre approche afin d apporter une contribution originale au niveau des mélanges d outils de déformations. 4.2 Méthode proposée Nous nous sommes concentrés sur des déformations à base de cage. Certaines idées de García et al. [2013] nous ont semblé intéressantes, et nous avons décidé de nous en inspirer. Notre contribution est double : 1. Modifier la zone d influence des déformations à base de cages 2. Combiner les effets des déformations appliquées par les différentes cages Modification de la zone d influence des déformations Afin d apporter plus d explications quant à l origine de nos contributions, nous illustrons les problèmes qui peuvent se produire lorsqu un objet est inclus partiellement dans une cage. En calculant uniquement des coordonnées pour les points de l espace à l intérieur de la cage et en ne tenant pas compte des points à l extérieur de celle-ci, la déformation se traduit par une brusque transition entre l intérieur et l extérieur de la cage (Figure 4.1). Visuellement la déformation n est pas lisse. En considérant des coordonnées pour les points de l espace à la fois à l intérieur et à l extérieur de la cage le problème vient de la dérivabilité de la fonction résultant de la déformation. Plus précisément, pour les MVC et GC la fonction de déformation est définie dans R 2 et est C sauf au niveau des sommets de la cage où elle n est que C 0 (d après Langer and Seidel [2008]). La déformation 21

28 Figure 4.1 Visualisation des problèmes de continuité lorsque seuls les points à l intérieur de la cage sont déformés. Le bord de la cage est représenté en orange, l objet est représenté par une grille régulière en noir. Le sommet en rouge représente le sommet déplacé. A gauche l objet avant déformation, à droite le même objet après déformation. engendrée n est pas visuellement lisse autour des sommets de la cage. Quant aux HC, elles ne sont définies qu à l intérieur de la cage où elles sont C. Il n y a donc aucun moyen de déformer l extérieur de la cage de cette manière. Notre objectif est d obtenir une fonction de déformation, définie par une cage, qui soit au moins C 1 partout (visuellement lisse) et dont la zone d influence soit limitée. Plutôt que de mettre en place une nouvelle méthode de calcul de coordonnées ayant les propriétés que nous souhaitons, ce qui au demeurant serait un sujet de recherche en soi, nous nous intéressons à la réutilisation des méthodes de calcul existantes. Comme précisé dans le chapitre précédent, nous nous intéressons à une méthode de calcul de coordonnées en particulier, les MVC de Floater [2003]. Ces coordonnées pouvant être négatives (dans le cas de cages concaves), nous concentrons notre travail sur des cages de forme convexe. 22

29 Atténuation de la déformation Pour corriger le problème de continuité au bord de la cage, nous atténuons progressivement la déformation appliquée, en fonction de la distance d un point de l espace au bord de la cage d influence. Dans la suite, nous appelons cage d influence la cage réalisant une déformation sur une partie d un objet. Pour atténuer la déformation nous avons choisi de réaliser une transformation continue : T d (p) = γ(p)t (p) + (1 γ(p))p (4.2) où T (p) correspond à la position que le point p aurait après une déformation classique, p la position initiale du point et T d (p) la position finale du point. Distance au bord de la cage d influence : Nous avons choisi d interpréter la fonction γ comme représentant la distance du point p au bord de la cage d influence. Nous utilisons les coordonnées que nous avons déjà calculé pour chacun des points de l espace par rapport aux sommets de la cage d influence. Ce choix a l avantage de ne pas nécessiter de calculs supplémentaires. Nous introduisons une distance au bord d inf (p) qui est égale au produit des poids associés à chacune des arêtes e de la cage d influence c inf : d inf (p) = (1 λ j (p)) (4.3) e c inf v j e Ce calcul s inspire de la notion de "boundary weight function" de García et al. [2013], utilisée pour évaluer la distance d un point à chacune des arêtes d une cage. De base, les valeurs de d inf (p) sont comprises dans l intervalle [0, ( 2 n )n ] où n représente le nombre de sommets de la cage d influence. Pour utiliser cette fonction comme interpolant dans l équation 4.2, il faut normaliser l ensemble de ses valeurs pour qu elles soient comprises dans l intervalle [0, 1]. Pour cela on divise l ensemble des valeurs de d inf (p) par ( 2 n )n. Illustrons cette fonction par quelques exemples afin de mieux comprendre son utilité : Exemple 1 : Soit p le centre de gravité de la cage d influence (Figure 4.2). 23

30 Figure 4.2 En orange la cage d influence et en vert le point de l espace p considéré. p est le centre de gravité de la cage d influence, toutes ses coordonnées λ i sont donc égales. Par définition, les coordonnées λ i qui lui sont attribuées sont toutes égales : λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 1. Sa distance au bord de la cage d influence vaut donc : 4 d inf (p) = (1 (λ 1 + λ 2 )) (1 (λ 2 + λ 3 )) (1 (λ 3 + λ 4 )) (1 (λ 4 + λ 1 )) (2/4) 4, en remplaçant par les valeurs numériques, on obtient : d inf (p) = 1. Donc pour un point p situé au centre de gravité de la cage d influence, sa distance au bord d inf (p) vaut 1, cela signifie qu il n y a pas de point plus éloigné du bord (par définition de la fonction), ce qui est cohérent avec la construction du point p. 24

31 Exemple 2 : Soit q un point de l espace se situant sur le bord de la cage d influence, sur l arête formée par les sommets v 4 et v 1 (Figure 4.3). Figure 4.3 En orange la cage d influence et en vert le point de l espace q considéré. q se situe sur le bord de la cage d influence, entre les sommets v 4 et v 1. Par définition, comme les coordonnées évoluent de façon linéaire le long des arêtes de la cage les sommets v 2 et v 3 n ont aucune influence sur la position de p. Autrement dit : λ 2 = λ 3 = 0 et λ 1 + λ 4 = 1 (car i λ i = 1). On en déduit : d inf (p) = (1 (λ 1 + λ 2 )) (1 (λ 2 + λ 3 )) (1 (λ 3 + λ 4 )) (1 (λ 4 + λ 1 )) (2/4) 4, comme λ 1 + λ 4 = 1, on obtient : d inf (p) = 0. La distance au bord d un point p situé sur une arête de la cage d influence vaut 0, cela signifie que p est sur le bord de la cage (par définition de la fonction), ce qui est cohérent avec la construction du point p. 25

32 La fonction d inf (p) n est pas dérivable aux extrémités de la cage d influence (Figure 4.4). La fonction γ(p) ne peut donc pas être directement égale à d inf (p). Atténuation Extrémités de la cage d'influence Position Figure 4.4 Vue en coupe (au centre de gravité de la cage d influence) de la fonction d atténuation d inf (p). On remarque que la fonction n est pas dérivable au niveau des extrémités de la cage d influence. Lissage de la fonction d atténuation d inf (p) : L idée vient du travail de García et al. [2013], proposant une fonction lissant les valeurs de distance d un point à une arête de la cage. Considérons une fonction f h (x), paramétrée par h ]0, 1], permettant de lisser la fonction de distance d inf (p). Cette fonction doit satisfaire f h (0) = f h (0) = f h (1) = 0, f h(x) = 1 pour x h et f h (x) 0, afin d obtenir une notion de continuité au niveau du raccord entre les points de l espace affectés par la déformation et ceux qui ne le sont pas. Cette fonction va directement normaliser les valeurs pour qu elles soient comprises dans l intervalle [0, 1], il n est donc plus nécessaire de diviser les valeurs par ( 2 n )n. Les auteurs proposaient plusieurs fonctions avec des comportements similaires et après les avoir testées, nous avons choisi d en garder une en particulier sur un critère de minimisation de temps de calcul : f h (x) = 1 2 sin(π(x h 1 2 )) (4.4) La valeur de h modifie la pente de la fonction d atténuation (Figure 4.5). En 26

33 d autres termes, la valeur de h permet de contrôler la zone de l espace à partir de laquelle la déformation est atténuée Figure 4.5 Visualisation de la fonction de lissage f h (x) en fonction de différentes valeurs de h. h = 1, h = 0.6, h = 0.2 pour les figures de gauche, au centre et à droite respectivement. Nous pouvons maintenant écrire γ(p) comme étant le résultat du lissage de la fonction 4.3 : γ(p) = f h (d inf (p)), (4.5) Nous remarquons qu il n y a pas de problème de continuité au niveau du bord de la cage d influence pour la fonction γ(p) (Figure 4.6). La déformation T d (p) permet une transition lisse entre l intérieur de la cage d influence et son extérieur. Cette transition lisse s est créée au détriment de l interaction utilisateur lors de la manipulation. Intuitivement, un infographiste souhaite que l influence de la déformation engendrée par la modification de la position sommet de d une cage diminue en fonction de l éloignement d un point de l espace au sommet modifié. Sauf qu avec la fonction d atténuation mise en place, l effet inverse se produit, car la déformation est entièrement atténuée au bord de la cage, et en particulier au sommet de celle-ci. Pour corriger ce problème nous introduisons une deuxième cage, la cage de contrôle. Cette cage a pour but de fournir un contrôle plus intuitif sur la déformation. La modification de la position de ses sommets modifie la position des sommets de la cage d influence, qui eux-même modifient la position des points de l espace. La cage de contrôle est homothétique à la cage d influence et est strictement contenue dans cette dernière (Figure 4.7). Pour simplifier les écritures dans 27

34 Atténuation Extrémités de la cage d'influence Position Figure 4.6 Vue en coupe (au centre de gravité de la cage d influence) de la fonction d atténuation γ(p). On remarque que la fonction est maintenant dérivable au niveau des extrémités de la cage d influence. la suite du travail, nous nous référons à l outil composé d une cage de contrôle et d une cage d influence comme l outil double-cage. Cage de contrôle Cage d'influence Figure 4.7 Composition de la double-cage. En bleu la cage de contrôle, en orange la cage d influence Hiérarchie de la déformation Il faut maintenant établir un lien entre les deux cages, afin que la modification de la position des sommets de la cage de contrôle modifie la position des sommets de la cage d influence. 28

35 Une première idée est d utiliser des coordonnées barycentriques généralisées pour évaluer la position de chacun des sommets de la cage d influence comme une combinaison linéaire pondérée des positions des sommets de la cage de contrôle. Cette technique pose le problème de la localité de la déformation : la modification de la position d un sommet de la cage de contrôle modifie la position de tous les sommets de la cage d influence (Figure 4.8). Nous voulons que les points les plus éloignés du sommet modifié soient le moins affectés par la déformation engendrée. La modification de la position d un sommet de la cage de contrôle doit donc modifier le moins de sommets de la cage d influence. Figure 4.8 Lien entre les cages de contrôle et d influence utilisant les coordonnées MVC. Les pointillés noirs représentent le lien entre un sommet de la cage de contrôle et les sommets de la cage d influence. On peut remarquer que la position de tous les sommets de la cage d influence est modifiée à la modification de la position du sommet en rouge. A la place, nous proposons que chaque sommet de la cage d influence soit lié à un seul sommet de la cage de contrôle. Etant donné que l on construit la cage de contrôle comme une version mise à l échelle de la cage d influence, nous lions les sommets de la cage d influence à leur homologues "mis à l échelle" de la cage de contrôle. Ainsi, quand la position d un sommet de la cage de contrôle est modifiée, la position d un seul sommet de la cage d influence est modifiée (Figure 4.9). On définit le lien par un vecteur v représentant la différence de position entre un sommet de la cage d influence v inf par rapport au sommet de la cage de contrôle v ctrl auquel il est associé : 29

36 v = vinf v ctrl Figure 4.9 Modification de la position du sommet de la cage d influence v inf associé au sommet de la cage de contrôle déplacé v ctrl. A gauche les cages avant déformation, à droite les cages après déformation. En bleu la cage de contrôle, en orange la cage d influence et en noir le vecteur v. Calcul du paramètre h : Comme expliqué précédemment, la valeur de h permet de contrôler la zone de l espace à partir de laquelle la déformation est atténuée. Or nous souhaitons que la déformation ne soit pas atténuée pour l ensemble des points de l espace à l intérieur de la cage de contrôle. Pour cela nous définissons h comme étant la plus courte distance d un point contenu dans la cage de contrôle au bord de la cage d influence. Il se trouve que c est exactement la distance du sommet de la cage de contrôle le plus proche de la cage d influence (par construction). Il nous suffit donc d évaluer la valeur de distance en chacun des sommets de la cage de contrôle par rapport au bord de la cage d influence et de les comparer afin de trouver la distance minimale : h = min v ctrl d inf (v ctrl ), (4.6) où v ctrl correspond à un sommet de la cage de contrôle. L espace est à présent découpé en 3 sous-ensembles : l intérieur de la cage de contrôle, où la déformation n est pas atténuée, l ensemble résultant de la différence entre la cage d influence et la cage de contrôle, où la déformation est progressivement atténuée en fonction de la 30

37 distance au bord de la cage d influence, l extérieur de la cage d influence, où la déformation n est pas appliquée. Plus la valeur de h est grande, plus la différence de taille entre la cage de contrôle et la cage d influence est importante(figure 4.10). Figure 4.10 Variation de l atténuation de la déformation. La couleur varie du rouge (atténuation nulle) au bleu (atténuation totale). De gauche à droite nous obtenons différentes variations pour différentes valeurs de h. Ci-dessous l algorithme représentant l étape de déformation de l objet avec atténuation de l influence de la déformation ainsi qu un exemple de différence entre une déformation sans atténuation et une déformation avec atténuation (Figure 4.11). Entrées : pos, pos init : tableau de tableau de réels pour chaque point de l espace p faire pos[p] [0,0]; pour chaque sommet v de la cage d influence c faire fin pos[p] pos[p] + λ v (p) * pos[v] * γ(p); pos[p] pos[p] + λ v (p) * pos init [v] * (1-γ(p)); fin Algorithme 1 : Déformation avec zone d influence modifiée 31

38 Figure 4.11 Exemple de déformation avec une double-cage (en bleu la cage de contrôle, en orange la cage d influence). En haut l objet et la double-cage au temps d association, en bas à gauche sans atténuation, en bas à droite avec atténuation. On peut remarquer que la déformation n est pas visuellement lisse au bord de la cage d influence lors de la déformation sans atténuation Combinaison des déformations Maintenant que nous avons établi un outil de déformation local, nous voulons combiner plusieurs double-cages sur un même objet (Figure 4.12). L objectif de cette partie consiste à trouver une formule de mélange permettant la modification de la position d un point de l espace sous l influence de plusieurs double-cages. De manière à ce que la déformation résultant du mélange soit visuellement lisse. Combiner les déformations revient à établir une combinaison linéaire pondérée de l influence de chaque double-cage. Pour établir la valeur du coefficient associé à chaque cage, il faut trouver un critère permettant de classer les cages selon l importance de la déformation à appliquer. Le critère que nous décidons d envisager est celui de distance. En effet, intuitivement, plus un point de l espace est 32