gaussien pour l analyse de sensibilité d une sortie spatiale d un code de calcul
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- Emma Renaud
- il y a 8 ans
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1 Utlsaton du métamodèle processus gaussen pour l analyse de sensblté d une sorte spatale d un code de calcul Applcaton à un code de transport hydrogéologque ologque Amandne Marrel Thèse effectuée au LMTE du CEA Cadarache* Drectrce de thèse : B. Laurent Laboratore de Modélsaton des Transferts dans l Envronnement Dept. de Géne Mathematque, INSA de Toulouse 1
2 Introducton : modélsaton du transfert de polluants De la caractérsaton à la modélsaton numérque Identfcaton des phénomènes Transport généralsé Chme transport Equatons de transport (équatons( Darcy, Rchards ) Identfcaton des paramètres géologques et physques (caractérstques du mleu) et chmques (caractérstques du mleu et du polluant) Caractérsaton rsaton : n stu, en labo ou bblo Incerttude sur les paramètres : lo a pror (jugement d expert), lo emprque (mesures expérmentales) Modélsaton numérque : mplémentaton du scénaro de transport Code de calcul de transport hydrogéologque ologque : Marthe, Porflow, Hytec 2
3 Introducton : propagaton des ncerttudes Paramètres et varables d entrée Ex : porosté, perméablté, coeffcent de dffuson Code de calcul Ex : Marthe, Porflow, Sorte ou varable d ntérêt Ex : concentraton en polluant Propagaton des ncerttudes : Incerttudes lors de la caractérsaton Caractérsaton partelle Paramètres fxés a pror Incerttudes sur les entrées es Incerttudes sur la sorte Incerttude sur la prse de décson d fnale 3
4 Introducton : propagaton des ncerttudes Geston des ncerttudes : Comment propager les ncerttudes sur la sorte du code? Quelles sont les ncerttudes les plus préjudcables? Quelles sont les varables les plus nfluentes? Incerttude au fnal sur la sorte? Estmaton de la marge de confance sur la prse de décson? Problème Code complexe & coûteux Grand nombre de varables d entrée Grand nombre de smulatons nécessares pour les études de sensblté et de propagaton d ncerttude Explotaton drecte du code dffcle Utlsaton d un d métamodèle pour approxmer le code 4
5 Introducton : un outl statstque multfonctonnel Varables et paramètres d entrée Ex : porosté, perméablté, Kd 1,, d Phénomène Ex : Transport en ZNS Code de calcul Ex : Marthe, Porflow Métamodèle : Ex :Processus gaussens Expérence «observée» Expérence «smulée» Expérence «prédte» Explotaton du métamodèle Analyse de sensblté Dstrbuton des entrées Propagaton d ncerttudes Y Métamodèle SR = f SR ( ) Dstrbuton de la sorte Calbraton Détermnaton des paramètres Adéquaton expérences smulées et observées es 5
6 Introducton : un outl statstque multfonctonnel Le métamodèle Foncton statstque représentatve du code de calcul Construt à partr de n smulatons du code Temps d évaluaton très fable par rapport à celu du code Contrôle de la qualté d approxmaton (ajustement au code) Outl multfonctonnel : analyse de sensblté, propagaton d ncerttudes, calbraton Constructon en grande dmenson Ex : Polynômes, splnes, réseaux de neurones, Chox : Métamodèle Processus Gaussens (PG) 6
7 Introducton : mse en œuvre du métamodèle PG Problématques Constructon en grande dmenson grand nombre d entrées pour un fable nombre de smulatons Développement d un algorthme couplant estmaton et sélecton Analyse de sensblté et propagaton d ncerttudes Comparason de 2 approches : prédcteur seul et modèle stochastque Extenson à des sortes spatales Sorte foncton de l espace dans les problèmes envronnementaux Métamodèle et analyse de sensblté fonctonnels 7
8 Introducton : mse en œuvre du métamodèle PG Problématques Constructon en grande dmenson grand nombre d entrées pour un fable nombre de smulatons Développement d un algorthme couplant estmaton et sélecton Analyse de sensblté et propagaton d ncerttudes Comparason de 2 approches : prédcteur seul et modèle stochastque Extenson à des sortes spatales Sorte foncton de l espace dans les problèmes envronnementaux Métamodèle et analyse de sensblté fonctonnels 8
9 Introducton : mse en œuvre du métamodèle PG Problématques Constructon en grande dmenson grand nombre d entrées pour un fable nombre de smulatons Développement d un algorthme couplant estmaton et sélecton Analyse de sensblté et propagaton d ncerttudes Comparason de 2 approches : prédcteur seul et modèle stochastque Extenson à des sortes spatales Sorte foncton de l espace dans les problèmes envronnementaux Métamodèle et analyse de sensblté fonctonnels 9
10 PLAN Présentaton du cas réel r du ste de Kurchatov 1. Pr Modélsaton géologque Modélsaton par un code de transport hydrogéologque 2. Métamodèle PG Défnton Algorthme de constructon en grande dmenson Applcaton au cas du ste de Kurchatov 3. Analyse de sensblté avec métamodèle PG Double approche Smulaton des los des ndces Applcaton au cas du ste de Kurchatov 4. Extenson aux sortes spatales Chox du métamodèle fonctonnel Applcaton au cas du ste de Kurchatov 10
11 PLAN Présentaton du cas réel r du ste de Kurchatov 1. Pr Modélsaton géologque Modélsaton par un code de transport hydrogéologque 2. Métamodèle PG Défnton Algorthme de constructon en grande dmenson Applcaton au cas du ste de Kurchatov 3. Analyse de sensblté avec métamodèle PG : Double approche Smulaton des los des ndces Applcaton au cas du ste de Kurchatov 4. Extenson aux sortes spatales Chox du métamodèle fonctonnel Applcaton au cas du ste de Kurchatov 11
12 Présentaton du cas réel du ste de Kurchatov STDR de Kurchatov (banleue de Moscou): Stockage de déchets radoactfs soldes de 1943 à 1974 Reconnassance du ste vers 1990 : réseau de 20 pézomètres Contamnaton nappe supéreure 90 Sr Objectf : Estmer l mpact l de la contamnaton sur l envronnementl Modélsaton : Développement d un scénaro de transport généralsé de 90 Sr sur le ste entre 2002 et 2010, avec le logcel MARTHE Identfcaton des paramètres de transport de ce modèle cf. Volkova et al., Stochastc Envronmental Research and Rsk Assesment,
13 Présentaton du cas réel du ste de Kurchatov Modélsaton géologqueg Identfcaton de 20 paramètres : Perméablt ablté,, porosté,, coeffcent Kd, ntensté d nfltraton & Incerttudes assocées zones d absence de la couche 2 (zones numérotées de 1 à 4) présence de la couche 2 localsaton d nfltratons modérées au nveau de canalsatons p4a localsaton d nfltratons fortes au nveau de canalsatons pézomètres 13
14 Présentaton du cas réel du ste de Kurchatov Jeu de données MARTHE : 20 paramètres d entrd entrée e : perméablté, dspersvtés, Kd, porosté, ntenstés d nfltraton, Sorte : spatale dscréts tsée e (64x64 = 4096 stes) Carte de concentraton calculée par le logcel MARTHE en fn d année 2010 Etape 1 : 20 pézomètres = 20 sortes scalares Etape 2 : sorte spatale = sorte fonctonnelle 300 smulatons LHS 14
15 PLAN 1. Présentaton du cas réel du ste de Kurchatov Modélsaton géologque Modélsaton par un code de transport hydrogéologque 2. Métamodèle PG Défnton Algorthme de constructon en grande dmenson Applcaton au cas du ste de Kurchatov 3. Analyse de sensblté avec métamodèle PG : Double approche Smulaton des los des ndces Applcaton au cas du ste de Kurchatov 4. Extenson aux sortes fonctonnelles Chox du métamodèle fonctonnel Applcaton au cas du ste de Kurchatov 15
16 Métamodèle PG : défnton Defnton : Processus Gaussen défn sur Y(x,ω) = F(x) + Z(x,ω) Regresson d R Parte stochastque Ω Z processus stochastque avec : E Ω [Z(x)] = 0 Cov Ω (Z(x), Z(u)) = σ²r( R(x, u) oùσ² est la varance et R la foncton de corrélaton Z~N(0, σ²r) Chox paramétrques : f : polynôme de degré 1 R : processus statonnare avec covarance exponentelle généralsée + effet de pépte R(x, u) F(x) = β + = 1 d = R 1 = 1 p ( x - u) = exp θ x u + ε ² x= u 0 d β x 16
17 Métamodèle PG : défnton Lo jonte et lo condtonnelle : Métamodèle PG : Y(x,ω) = F(x) + Z(x,ω) Base d apprentssage (BA) de n smulatons : ( BA,Y BA ) (1) ( n) = x,..., x, F = F( ), R = R Lo jonte : Métamodèle PG condtonnel : E Ω Cov Y [ ] ( ( ) BA BA BA x, x k ( ) ( k ) BA, Y ( x, ω), ~ BA Y BA PG [ ] 1 Y ( x, ω) = βf( x) + r( x R [ Y βf ] BA BA ), Y BA BA avec BA r( x) = BA (1) ( [ R( x, x),..., R( x x) ] n ), ( (, ), (, ) ) ² ( (, ) ( ) ( )) t 1 Y u ω Y v ω = σ R u v r u R r Ω + v, Y, Y BA BA ~ N ( βfba, σ ² RBA) BA Notaton du Predcteur : ˆ( BA BA [ ] Y ( x, ω) Y x) = EΩ BA, Y BA 17
18 Métamodèle PG : Exemple Exemple de constructon d un d métamodèle PG Foncton théorque : Base d apprentssage : LHS de 8 ponts 8 Y ( 4π ) sn( 8π ) = cos Y
19 Métamodèle PG : algorthme de constructon Méthodologe de constructon du métamodèle PG Estmaton des paramètres par maxmum de vrasemblance Algorthme séquentel : ( β,θ,p,σ,ε ) Algorthme stochastque suv d une étape de descente (Hookes & Jeeves, DACE matlab) Inserton progressve des varables d entrée (Welch et al.) Double sélecton des varables d entrée - Mnmsaton du crtère AICC régresson ( ˆ m1 + m AICC = 2 ln L β,θˆ, p,σ ˆ ˆ ) + 2 N N m m 2 - Maxmsaton du Q 2 calculé par valdaton crosée covarance Valdaton fnale du modèle par Q 2 Q 2 ( Y, Yˆ ) Cf. Marrel et al., Computatonal Statstcs and Data Analyss, N = 1 = 1 N ( Y Yˆ ) ( Y Y ) = 1 m1 : nbre de varables dans la régresson m2 : nbre de varables dans la 2 covarance 2 19
20 Métamodèle PG : algorthme de constructon Procédure de modélsaton par les processus gaussens Etape 1 : Tr des varables d entrée Etape 2 : Boucle sur les varables dans la foncton de covarance Etape 2.1 : Boucle sur les varables dans la régresson Estmaton des paramètres β, θ, σ Calcul du crtère AICC Etape 2.1 : Sélecton du modèle de régresson optmal AICC mnmal Etape 2.2 : Calcul du Q 2 par valdaton crosée sur la BA Etape 3 : Sélecton du modèle de covarance optmal Q 2 maxmal Etape 4 : Valdaton fnale du modèle sur la BT (calcul du Q 2 ) 20
21 Métamodèle PG : algorthme de constructon Etape 5 : Smplfcaton et optmsaton du modèle Tracé du Q 2 (base de test ou valdaton crosée) en foncton du nombre de paramètres d entrée dans la covarance Tr des varables par saut de Q 2 décrossant Nouvel ordre pour les varables d entrée dans la foncton de covarance [,, ] [,,,,, ] * * * * * * * x K x x x x x K x9 Procédure d estmaton des paramètres relancée avec le nouvel ordre Estmaton optmsée des paramètres de corrélaton lés aux varables les plus nfluentes 21
22 Métamodèle PG : Applcaton au ste de Kurchatov Comparason avec le logcel GEM-SA (O Hagan) Foncton g-sobol g à d entrées es : d g ( 1,..., d ) = avec ~ U [ 0;1] pour = = 1 Base d apprentssage d : LHS à N = 10*d smulatons, 50 répéttons. r d Q Intérêt de l algorthme l d autant plus sgnfcatf que la dmenson augmente d : Dmenson des entrées es 22
23 Métamodèle PG : Applcaton au ste de Kurchatov Comparason de 3 métamodèles pour les 20 pézomètres: Régresson lnéare Boostng d arbres de régressonr Métamodèle PG Melleures performances obtenues avec le métamodèle PG Q 2 23
24 Métamodèle PG : concluson et perspectves Développement d un algorthme de constructon Procédure estmaton/sélecton en grande dmenson : - estmaton séquentelle des paramètres du PG - Double sélecton des varables d entrée Effcacté de l algorthme l et prédctvt dctvté du PG évaluées sur des exemples analytques et sur un cas réelr Perspectves Autres crtères possbles : LASSO au leu d AICC Etude non exhaustve des fonctons de covarances foncton présentant un melleur rapport souplesse/nombre de paramètres? 24
25 PLAN 1. Présentaton du cas réel du ste de Kurchatov Modélsaton géologque Modélsaton par un code de transport hydrogéologque 2. Métamodèle PG Défnton Algorthme de constructon en grande dmenson Applcaton au cas du ste de Kurchatov 3. Analyse de sensblté avec métamodèle PG Double approche Smulaton des los des ndces Applcaton au cas du ste de Kurchatov 4. Extenson aux sortes spatales Chox du métamodèle fonctonnel Applcaton au cas du ste de Kurchatov 25
26 Analyse de sensblté avec métamodèle PG Analyse de sensblté globale basée sur la décomposton de la varance : pods total de la varance d une d entrée dans la varance de la sorte relaton entrées/sorte n lnéare, n monotone : calcul des ndces de Sobol Défntons pour une foncton détermnsted Effet prncpaux : a d ( ) = g( x1, K, x 1,, x+ 1, K, xd ) dx j = E 1 K j= 1, j Indces de Sobol : S = Notaton : Var [ E ( g ( 1, K, d ) / )] Var ( g ),,,, = = [ ] 1, K K g ( 1, K, d d [ g(,, ) / ] Var Var [ a( ) ( g ) d )] 26
27 Analyse de sensblté avec PG : 2 approches PG condtonnel à la BA : Y( x, ω) ~, Calcul des ndces de Sobol : A partr du prédcteur seul ˆ [ Y (, ω) ] Y ( ) = EΩ LS, Y LS [ ] LS Y LS a ( = ˆ ) E Y ( ) / Var ˆ [ E ( Y ( ) / )] S = ˆ Var ( Y ) a( ) : foncton détermnste d de S : ndces détermnsted PG A partr du modèle global ˆ [ ] Y ( x, ω) Y ( x) = EΩ LS, Y LS ( Y ( u, ω), Y ( v, ω ) Cov Ω ), Y, Y a(, ω) = E V ( ω) = Var ~ S LS Y (, ω) LS, Y LS a(,ω)) : Processus Gaussen de V : varable aléatore atore LS [ ] Y(, ω) /, Y [ ( )] E Y(, ω) / LS LS LS LS, Y V = µ = E Var Y (, ω) Ω LS, Y LS LS E LS Ω ~ ( S 27 )
28 Analyse de sensblté avec PG : 2 approches Calcul des ndces de Sobol : ˆ A partr du prédcteur (Chen et al., 2005) [ ] Y (, ω) Y ( ) = EΩ LS, Y LS A partr du modèle global (Oakley & O Hagan, 2004) Y (, ω) LS, Y LS S Var = [ ( ( ) )] E E Y (, ω) / Var Implémentaton mentaton : Ω ( E LS Calculs analytques, Y LS LS, Y Intégrales numérques Ω Y LS ) µ = E Ω ( [ ( )] Var E Y (, ω) / ) E Ω Var LS, Y LS Y (, ω) LS, Y LS Hypothèses : entrées ndépendantes & covarance produt de covarance monodm S : o(dn²) ntégrales smples µ : o(dn²) ntégrales smples et d² doubles 28
29 Analyse de sensblté avec PG : 2 approches Foncton g-sobol g à 5 entrées es : g ( ,..., 5 ) = avec ~ U [ 0;1] pour = = S 1 S 1 Pour chaque approche : Moyenne emprque en trats plens Quantles 0.05 et 0.95 en pontllés Marrel et al., A paraître dans Relablty Engneerng and System Safety,
30 Analyse de sensblté avec PG : smulaton des los des ndces Foncton g-sobol g à 5 entrées es : g ( 1,..., 5 ) = 5 = a + a avec a = [0,1,4.5,9,99] et ~ U [ 0;1] Base d apprentssage de n = 50 smulatons, S 1 théo = 0.72 et S 4 théo = Développement d un d algorthme de smulaton de la lo de S Dstrbuton of S 1 Dstrbuton of S S S 4 Constructon d ntervalles de confance 30
31 Analyse de sensblté avec PG : Applcaton au ste de Kurchatov Analyse de sensblté pour un pézom zomètre Ex : Indces de Sobol au nveau du pézomètre p104 (Q2 = 93%) (en %) Perméablté couche1 Estmaton des ndces + constructon des ntervalles de prédcton S (PG prédcteur) 8 ~ ~ µ = E Ω [ S ] ] (PG global) 8 σ =Std Ω [ S IC- 90% ( S ~ ) (PG global) (PG global) 2 [ 5 ; 11 ] Kd couche [ 56 ; 83 ] Infltraton forte [ 10 ; 17 ] Cohérence des résultats des 2 approches Fable chevauchement des IC avec approche modèle global nformaton sup. sur l ordre d nfluence des varables 31
32 Analyse de sensblté avec PG : Applcaton au ste de Kurchatov Localsaton du pézom zomètre p104 32
33 PLAN 1. Présentaton du cas réel r du ste de Kurchatov Modélsaton géologque Modélsaton par un code de transport hydrogéologque 2. Métamodèle PG Défnton Algorthme de constructon en grande dmenson Applcaton au cas du ste de Kurchatov 3. Analyse de sensblté avec métamodèle PG Double approche Smulaton des los des ndces Applcaton au cas du ste de Kurchatov 4. Extenson aux sortes spatales Chox du métamodèle fonctonnel Applcaton au cas du ste de Kurchatov 33
34 Extenson aux sortes spatales = [,, ] Y ( u, ), u D 1 K d code Sorte spatale Ex : Concentraton en polluant sur un ste, ANALYSE DE SENSIBILITE D UNE D SORTIE SPATIALE 34
35 Extenson aux sortes spatales : chox du métamodèle Comment modélser une sorte spatale? Utlsaton de la dscrétsaton complète de la foncton Constructon d un métamodèle pus AS en chaque pont de dscrétsaton Possble mas peut être très coûteux en foncton du métamodèle Synthèse de l nformaton ou solement de l nfo prncpale Remplacer la foncton par quelques paramètres d ntd ntérêt (valeur fnale, max, ) Explotaton rédute, fortement lée à la problématque de départ Krgeage / Cokrgeage (Santner et al., 2003, Fang et al., 2006) Tratement smultané d une grande quantté de données Décomposton spectrale de la covarance (Karhunen-Loeve) Décomposton dans une base fonctonnelle (Fourer, ondelettes, ) 35
36 Extenson aux sortes spatales : chox du métamodèle Métamodèle fonctonnel retenu : Y k (, u) Etape 1 : Décomposton D spatale dans une base fonctonnelle Prncpaux coeffcents de la décompostond = µ ( u) + k α ( ) φ ( u) avec α ( ) = ( Y (, u) µ ( u) ) φ ( u) j j j j= 1 D j du Etape 2 : Modélsaton des prncpaux coeffcents en foncton de : Métamodèle PG Prédcton : Analyse de sensblté,, propagaton d ncerttude, d 36
37 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Quelques exemples de cartes obtenues en sorte Concentraton en 90 Sr prédte en
38 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Moyenne et varance emprques des 300 cartes 38
39 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Etape 1 : Décomposton D spatale des 300 cartes Centrage des cartes (moyenne emprque) Décomposton sur une base d ondelette (Daubeches) Tr des coeffcents par valeur moyenne en norme L 2 Etape 2 : Modélsaton des coeffcents en foncton de Modélsaton des 100 premers coeff par métamodèle PG (contrôle de la prédctvt dctvté par Q 2 ) Modélsaton des coeffcents 101 à 1000 par régresson r lnéare smple (avec sélecton s par AIC) Etape 3 : Prédcton pour un nouveau jeu d entrd entrée x* x* => predcton des coeffcents => reconsttuton de la carte Analyse de sensblté : Obtenton de cartes spatales d ndces d de Sobol 39
40 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Etape 1 : Décomposton D spatale des 300 cartes Centrage des cartes (moyenne emprque) Décomposton sur une base d ondelette (Daubeches) Tr des coeffcents par valeur moyenne en norme L 2 Etape 2 : Modélsaton des coeffcents en foncton de Modélsaton des 100 premers coeff par métamodèle PG (contrôle de la prédctvt dctvté par Q 2 ) Modélsaton des coeffcents 101 à 1000 par régresson r lnéare smple (avec sélecton s par AIC) Etape 3 : Prédcton pour un nouveau jeu d entrd entrée x* x* => predcton des coeffcents => reconsttuton de la carte Analyse de sensblté : Obtenton de cartes spatales d ndces d de Sobol 40
41 Extenson fonctonnelle : applcaton au ste de Kurchatov Moyenne du crtère re MSE pour dfférentes sélecton s de coeffcents 41
42 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Etape 1 : Décomposton D spatale des 300 cartes Centrage des cartes (moyenne emprque) Décomposton sur une base d ondelette (Daubeches) Tr des coeffcents par valeur moyenne en norme L 2 Etape 2 : Modélsaton des coeffcents en foncton de Modélsaton des 100 premers coeff par métamodèle PG (contrôle de la prédctvt dctvté par Q 2 ) Modélsaton des coeffcents 101 à 1000 par régresson r lnéare smple (avec sélecton s par AIC) Etape 3 : Prédcton pour un nouveau jeu d entrd entrée x* x* => predcton des coeffcents => reconsttuton de la carte Analyse de sensblté : Obtenton de cartes spatales d ndces d de Sobol 42
43 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Hstogramme des Q 2 obtenus pour la modélsaton des 100 premers coeffcents d ondelette Comportement fortement non-ln lnéare des coeff : Nécessté d utlser un modèle pg 43
44 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Moyenne du crtère re MSE pour dfférentes stratéges de modélsaton des coeffcents 44
45 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Prédctvté du métamodèle fonctonnel (pg pour les 100 premers coeff + reg. Ln. pour les 101 à 1000.) Carte du Q 2 obtenu par le métamodèle fonctonnel (leave-one-out sur les 300 cartes) Q 2 45
46 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Cartes d ndces de Sobol du 1 er ordre pour 6 entrées Perméablté couche 1 Perméablté couche 2 Perméablté couche 3 Kd couche 1 Kd couche 2 Infltraton forte ( rouge) 46
47 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Cartes d ndces de Sobol pour les entrées kd1, kd2 et 3 Kd couche 1 Kd couche 2 Infltraton forte (canalsatons rouges) 47
48 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Cartes d ndces de Sobol pour les entrées kd1, kd2 et 3 Kd couche 1 Kd couche 2 Infltraton forte (canalsatons rouges) 48
49 Extenson spatale : applcaton au ste de Kurchatov Interprétaton Influence prédomnante de 3 varables : coeffcents de partage des deux premères couches (kd couche 1 et kd couche 2) et ntensté des fortes nfltratons Stratége de re-caractérsaton Influence légère des perméabltés des couches 2 et 3 Absence d nfluence des autres varables Influence du kd de la couche 2 : répartton de la couche 2 - Cohérence avec la modélsaton géologque - Importance suggérée de la répartton de la couche 2 (smulatons géostat. de la forme de la 2 ème couche) Sensblté essentellement du 1 er ordre, peu d nteractons 49
50 Concluson et perspectves Proposton d un d métamodèle fonctonnel Décomposton spatale + modélsaton PG des coeffcents Obtenton de cartes d ndces de sensblté Interprétaton globale et locale Stratége de re-caractérsaton, ade à la décson Perspectves Extenson de l explotaton l du métamodèle fonctonnel : Intervalle de prédcton, bandes de confance pour la carte Sorte spato-temporelle ou 3D Méthodologe applcable à d autres problématques spatales Ex : rejet de polluants atmosphérques, séquestraton s géologque g du CO2 Prse en compte de paramètres d entrée foncton de l espace : cartes aléatores en entrée => Smulaton géostatstque 50
51 Gude méthodologque Reconnassance du ste pollué & Dégagement d une d problématque Modélsaton géologque, g dentfcaton des phénom nomènes nes et des paramètres Caractérsaton rsaton : paramètres + ncerttudes Modélsaton mathématque matque et numérque Planfcaton d expérence Code de calcul Métamodèle processus gaussen Analyse de sensblté Propagaton d ncerttuded Calbraton Prse de décson d fnale 51
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