Prépa CPGE 2 Le 20/12/2018. Concours blanc 1

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1 Prép CPGE Le //8 Cocours blc Durée : 4 heures Ps de docume, ps de clculrce Eercce : O d qu ue mrce A crrée d ordre es ue mrce lpoee s l ese u eer urel o ul el que : A e A où représee l mrce crrée o ulle d ordre So A ue mrce crrée d ordre, o d que le couple, es ue décomposo de Duford de A lorsque : es dgolsble es ue mrce lpoee e A ) O pose : A, e Vérfer que, es ue décomposo de Duford de A Ds l sue de l eercce, o pose : A ; ; ) ) Déermer les vleurs propres de A b) L mrce A es-elle dgolsble? ) O cosdère les mrces coloes X ; X e X ) Clculer les produs X, X e X ; D b) jusfer que l mrce es dgolsble e déermer ue mrce P versble elle que P P D c) Clculer P 4) ) Eblr que es u mrce lpoee b) Vérfer que, es ue décomposo de Duford de l mrce A c) E uls l formule du bôme de ewo que l o jusfer, doer l epresso de A e foco des pussces de, de e de d) Eblr que pour ou eer urel, e) Proposer ue décomposo de Duford de A

2 Eercce : O cosdère l pplco : ; Pre I : Éude de l foco ) Morer que es de clsse C sur, e e O dme : < e < ;, e e 5 ) Euder le ses de vro de e clculer 4) Déermer l lme de ; e clculer, pour ou ;, e E dédure le ses de vro de e morer que ;, e ) Déermer l lme de lorsque ed vers pr vleurs srceme posves 5) O dme : 5 6, e morer : lorsque ed vers e l lme de lorsque ed vers Morer : O oe C l courbe représeve de ;, e 6) Morer que C dme u uque po d fleo, déermer les coordoées de celu-c e ue équo de l gee e ce po 7) Dresser le bleu de vro de, vec les lmes e e e, s que l vleur e Trcer l llure de C e fre pprîre l gee u po d fleo O précser l ure de l brche fe u vosge de e l ure de l brche fe u vosge de Eercce : O pose ue sue de réels srceme posfs, décrosse e de lme ulle Pour ou eer urel, o pose :, v e u ) ) Morer que l sue u s es décrosse e que l sue v b) Morer que, pour ou de, v u E dédure que l sue même lme s coverge vers s c) E dédure que l sue s ) Morer que l sére de erme géérl es covergee u ) Morer que l sére de erme géérl es covergee O oe 4) ) Eblr, pour ou réel posf e pour ou de b) E dédure que pour ou de * : c) E dédure l vleur de l somme es crosse *, l églé l d dme ue lme s, e que l sue v s somme (e ps l clculer c) dme l

3 Eercce 4 : Soe e b deu eers vec e b O cosdère ue ure coe boules ores e b boules blches, oues dscerbles U joueur A effecue des rges successfs d ue boule ss remse ds l ure jusqu à ober ue boule blche Il lsse lors l plce u joueur qu effecue des rges successfs d ue boule vec remse ds l ure jusqu à ober ue boule blche O oe X l vrble léore réelle égle u ombre de boules ores rées pr A v de rer ue boule blche e o ppelle Y l vrble léore réelle égle u ombre de boules ores rées pr v de rer ue boule blche (s l e rese plus de boule ore, o doc Y = ) Pr eemple, s = e b = 7 e que les rges successfs o doé ue boule : «ore, blche, ore, ore, ore, ore, blche» lors : - A effecué deu rges, l reré ue boule ore pus ue boule blche de l ure : - L ure coe me 8 boules do deu ores e s blches ; - effecué esue cq rges ds cee ure, l poché 4 boules ores qu l reposé ds l ure près chque rge ps l poché e boule blche - X vu e Y vu 4 I Eude d u cs prculer b = = Pour ce cs prculer, o pourr s der d u rbre podéré O suppose doc c que l ure coe leme boules blches e boules ores ) Doer les probblés des évéemes : [X = ], [X = ] e [X = ] ) E dédure l espérce e l vrce de X ) Morer que l probblé de l évéeme [Y = ] es doée pr : PY 4) Pour ou eer urel o ul, déermer les probblés suves : P X Y ; P X Y P X Y e 5) E dédure l lo de Y Uqueme à l de de l epresso de P Y e foco de, vérfer que : 6) Morer que Y dme ue espérce e l clculer II Reour u cs géérl ) Pour ou,,,, clculer l probblé P X pus vérfer que : PX ) Ulser l queso qu précède pour jusfer que : b b b b Pr coséque, o ve de démorer l formule suve : (S) : ) Soe, e Comprer e P Y b b b b,, pus jusfer que : 4) A l de des quesos précédees, morer que l espérce de l vrble X es doée pr : E X E dédure l espérce E(X) de X b b

4 Prép CPGE Correco du cocours blc du //8 Durée : 4 heures Ps de docume, ps de clculrce Eercce : ecrcome So A ue mrce crrée d ordre, o d que le couple, es ue décomposo de Duford de A lorsque : es dgolsble es ue mrce lpoee e A ) O pose : A, e Vérfer que, es ue décomposo de Duford de A Démosro : es ue mrce dgole doc elle es dgolsble doc es lpoee d ordre es l mrce deé doc elle commue vec oue mrce doc Pour fr, A Doc, es ue décomposo de Duford de A Ds l sue de l eercce, o pose : A ; ; ) ) Déermer les vleurs propres de A Démosro : es vleur propre de A A I es ps versble ; D L L A I L L L L L L 5 L L 5 Les vleurs propres de A so e A I es ps versble ss b) L mrce A es-elle dgolsble? Démosro : Déermos les veceurs ssocés à ces vleurs propres : ou ss ou ou X y E Ker A I A IX y L L z z y z y z z X Alors e pos u ce veceur propre ssocé à es ue bse de E Vec Dm E =

5 X y E Ker A I A IX y L L z z L y z y z z X Alors e pos u E Vec Dm E = A es ue mrce de lle = Or Dm E + Dm E = doc A es ps dgolsble ) O cosdère les mrces coloes X ) Clculer les produs X, X e X Démosro : X X X X X ; ce veceur propre ssocé à es ue bse de e X ; X X b) jusfer que l mrce es dgolsble e déermer ue mrce P versble elle que P P D Démosro : Selo l queso précédee, X es u veceur propre de ssocé à l vleur propre pus X es u veceur propre de ssocé à l vleur propre e pour fr X es u veceur propre de ssocé à l vleur propre Vérfos que X ;X ;X forme ue bse de So, b, c / X bx cx c Doc X ;X ;X c c c b b b e es ue fmlle lbre de veceurs de doc c es ue bse de cosuée de veceurs propres Alors es dgolsble e semblble à ue mrce dgole do les coeffces dgou so les vleurs propres de Posos P C es l mrce de l bse de veceurs propres précédee doc elle es versble e c) Clculer P Démosro : Ulsos l méhode de Guss-Jord P P D où D L L L L L L Alors P

6 4) ) Eblr que es u mrce lpoee Démosro : e Doc es lpoee d ordre b) Vérfer que, es ue décomposo de Duford de l mrce A Démosro : es dgolsble, es ue mrce lpoee e A doc Doc, es ue décomposo de Duford de l mrce A c) E uls l formule du bôme de ewo que l o jusfer, doer l epresso de A e foco des pussces de, de e de Démosro : Comme, es ue décomposo de Duford de l mrce A lors A e les mrces e commue doc l formule du bôme de ewo s pplque, A Comme es lpoee d ordre,, d où :, A S =, A I e I doc d) Eblr que pour ou eer urel, Démosro : pr récurrece Posos P() :, A Ilso : S = Hérédé : Supposos l relo P() vre pour u rg quelcoque ((HR) : vre HR Doc P() mplque P( + ) Cocluso :, es vre e) Proposer ue décomposo de Duford de A Démosro :, A Pour c es-à-dre pour, Doc, A cr e commue De plus es dgolsble vu qu l ese P versble e D dgole elle que es lpoe d ordre cr es lpoee d ordre : e De plus e commue cr e commue es ue décomposo de Duford de A Alors,, S =,, es ue décomposo de Duford de A ) e moros lors que P( + ) es P P D (Récurrece) S =, (I, ) es ue décomposo de Duford de I (I dgolsble, I e commue, es lpoee, I I e I I ) es ue décomposo de Duford de A E cocluso,,,

7 Eercce : eml 4 O cosdère l pplco : ; Pre I : Éude de l foco ) Morer que es de clsse C sur ;, e e 5 Démosro : es C sur Pr produ,, e e O dme : < e < ; e clculer, pour ou ;, e ; vers e e es C sur doc pr composo e es C sur ; e pr somme, Alors e prculer, e e es C sur ; Avec l formule e u u ue, pour ou ; Esue, pour ou ;, Pour ou ;,, e e es C sur, e morer : e es C sur ; ; e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ) Euder le ses de vro de e clculer E dédure le ses de vro de Démosro : Pour ou ;, e morer que 5 e ; e ; e ;, e doc Pour ou ;, Alors es srceme crosse sur ; Esue, e e e e Alors, ;, e ;, d où sur ;, es décrosse e sur ;, es crosse Alors dme u mmum e e ce mmum vu e e e Alors ;, e ) Déermer l lme de lorsque ed vers pr vleurs srceme posves Démosro : e e e e O lm e Comme lm e X e lm doc X X lm lm e e 4) Déermer l lme de Démosro : e Comme e e e lm Alors pr produ, lorsque ed vers e l lme de lorsque ed vers lm lm X e lm e lm e doc lm e O uss lm doc X

8 5) O dme : 5 6 Morer : ;, e Démosro : Posos l foco g défe ;, pr g e Cee foco es dérvble sur ;,g e selo l queso ) Alors g es ue foco crosse sur ; doc ;,g g Or g e Comme < e < lors 6 < e < 9 d où 9 e 6 De plus 5 6 doc 5 9 e g g Alors ;,g ;, e ;, e O oe C l courbe représeve de ; e 6) Morer que C dme u uque po d fleo, déermer les coordoées de celu-c e ue équo de l gee e ce po Démosro : Comme es de clsse C sur ; e que s ule e chge de sge e ue uque vleur = lors s courbe C dme u uque po d fleo de coordoées Or y ; ; e doc l équo es : y e e E ce po l équo de l gee es doée pr 7) Dresser le bleu de vro de, vec les lmes e e e, s que l vleur e Trcer l llure de C e fre pprîre l gee u po d fleo O précser l ure de l brche fe u vosge de e l ure de l brche fe u vosge de Démosro : ;, e ; doc es srceme crosse sur + + ep()-*ep(/) lm doc u vosge de, l droe d équo = es sympoe vercle - lm e lm doc u vosge de, l courbe C dme ue brche prbolque de dreco l e des ordoées

9 Eercce : escp 5 O pose ue sue de réels srceme posfs, décrosse e de lme ulle Pour ou eer urel, o pose :, v e u ) ) Morer que l sue Démosro : So Doc u u s es décrosse e que l sue v es crosse, u u cr So es décrosse, v v cr décrosse Doc v es crosse b) Morer que, pour ou de, v u E dédure que l sue même lme s Démosro : So u, u v cr Doc pour ou de, v u De plus lm u v lm cr Alors vec ces deu quesos, les sues commue c) E dédure que l sue Démosro : L sue l même lme s doc s u s ue sue de lme ulle u e v coverge vers s des ermes prs de coverge vers s s ) Morer que l sére de erme géérl es covergee es décrosse es dme ue lme s, e que l sue v es à ermes srceme posfs so djcees, doc elles coverge e leur lme s es e l sue v des ermes mprs de s dme l coverge vers Démosro : L sue des sommes prelles s coverge vers s doc pr défo l sére coverge vers s ) Morer que l sére de erme géérl es covergee O oe s somme (e ps l clculer c) Démosro : Posos,, ; lm lm ;, es lors ue sue de réels srceme posfs, décrosse e de lme ulle Selo l queso ), coverge doc coverge 4) ) Eblr, pour ou réel posf e pour ou de *, l églé Démosro : Ulsos l formule de l somme des ermes cosécufs d ue sue géomérque de rso (- ),

10 b) E dédure que pour ou de * : l d Démosro : Iégros ces focos, qu so coues sur [ ; ] :, d d lors pr léré de l égrle : d d d D où l d doc e clcul c) E dédure l vleur de l somme Démosro : Il fu déermer, l d lm d L lerce des ermes suggère de procéder pr ecdreme ;, d d d E clcul, Comme ;, Pr coséque, d c es-à-dre Or Alors lm doc pr ecdreme, lors ;, d où d d d Alors lm l O peu coclure que l d d lm d De ce f, lm l lm d

11 Eercce 4 : ecrcome I Eude d u cs prculer b = = Il y 4 boules ds l ure O suppose doc c que l ure coe leme boules blches e boules ores ) Doer les probblés des évéemes : [X = ], [X = ] e [X = ] Démosro : O pose : «le joueur A poche ue boule ore u -ème rge» e blche u -ème rge» «le joueur A poche ue boule Le joueur A rélse [X = ] qud l re ue boule blche u premer rge lors PX P 4 Le joueur A rélse [X = ] qud l re ue boule ore u er rge pus ue boule blche u e rge lors PX P P Le joueur A rélse [X = ] qud l re ue boule ore u er e u e rge pus ue boule blche u e rge lors PX P P P 6 ) E dédure l espérce e l vrce de X Démosro : O doc le bleu de lo de l vrble X : P([X = ]) 6 4 EX PX 6 Pour clculer l vrce, ulsos l formule VX E X E X EX PX 4 6 e E X V X 9 9 doc

12 ) Morer que l probblé de l évéeme [Y = ] es doée pr : PY Démosro : Le joueur rélse [Y = ] qud l re ue boule blche u premer rge ms cel déped des rges du joueur A : So A poche ue blche u premer rge ([X = ]) e poche ue blche à so premer rge ou be le joueur A poche ue ore pus ue blche ([X = ]) e poche ue blche à so premer rge ou be le joueur A poche ores pus ue blche ([X = ]) e le joueur poche ue blche Les évèemes so bsés sur X forme u sysème comple d évèemes doc o ulse l formule des probblés oles : PY PX P Y P X X P X Y PX P X Y 6 PY 6 4) Pour ou eer urel o ul, déermer les probblés suves : P X Y ; P X Y P X Y e Démosro : So X Y es rélsé s le joueur A poche ue blche u er rge e le joueur poche blche v de pocher ue blche sch que les + rges de so dépeds cr effecués vec remse Alors P Y clcule e uls ue lo géomérque de prmère p, PX Y P X P X Y 6 X se De même pour X Y suf que le joueur A poche ue ore pus ue blche v de doer l m à e pr l sue, l lo géomérque es de prmère p cr l e rese plus que boules do ue ore, PX Y P X P X Y 6 Pour X Y, le joueur A poche ores pus ue blche Il rese e plus de ore doc, P X Y 5) E dédure l lo de Y Uqueme à l de de l epresso de P Y e foco de, vérfer que : Démosro : Il fu déller les cs : S = : PY S, selo l formule des probblés oles,, PY P X Y P X Y P X Y 6 6, P Y 6 Clculos l somme prelle :, P Y P Y PY lm PY lm E uls le f que e doc 9 6 lm lm P Y

13 6) Morer que Y dme ue espérce e l clculer Démosro : E Y P Y pour u que cee sére coverge prelles des séres géomérques dérvées Précsos : So, P Y P Y O reco les sommes, P Y 6 6 Comme doc pr somme EY PY coverge e Y dme ue espérce Avec l formule, e lors ces sére coverge obeos : EY P Y , ous 4 Remrque : c les ermes so posfs doc l covergece smple suff ms ormleme pour l espérce d ue vrble dscrèe fe l fu que l sére so bsolume covergee II Reour u cs géérl ) Pour ou,,,, clculer l probblé P X pus vérfer que : PX Démosro : Me l ure coe boules ores e b boules blches doc + b boules b b b b So ; Le joueur A rélse [X = ] qud l re ue boule ore dur rges pus ue boule blche u + e rge X Ped les premers rges, l y ue boule ore de mos à chque rge Av le rge de l blche, l rese boules ores b PX P P P P b b b b Or b! b b! b b!! b! b!! b b!! b! b b!! ore ore b b b b b!! b b b b b!! b b b b b b b ous rerouvos le même clcul doc PX b b b b ore

14 ) Ulser l queso qu précède pour jusfer que : b b b b Démosro : X es ue vrble dscrèe qu pred ses vleurs ds l ervlle d eers ; doc P X b b b Comme b b e déped ps de, o peu le sorr de l somme : b lors b b b b b b b b Rédeos e pos p = S =, p = e s =, p = p b b p b b Ce qu s écr vec l vrble de ouveu : b b b b Pr coséque, o ve de démorer l formule suve : (S) :,, ) Soe, e Comprer Démosro :!!!!!! e e pus jusfer que :!!!!!! doc Rédeos e pos = p + S =, p = e s =, p p = Doc l lere peu repredre so rôle p 4) A l de des quesos précédees, morer que l espérce de l vrble X es doée pr : E X E dédure l espérce E(X) de X Démosro : S X pred ses vleurs ere e lors X uss Pr défo de l espérce, b b b b E X P X P X P X b b b Ulsos l formule ) précédee vec = b b b b b b b b E X b b b b b b b b b b b b b b b ulsé l formule (S) Alors E X près vor b! b b!! b b!! b b! b!! b b!! b b b E X E X E X E X b b b Pr léré de l espérce,