REDUCTION Des endomorphismes et des matrices carrées

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1 RDUCTION Des edomorphismes et des matrices carrées A. Vecteurs, valeurs propres et sous espaces propres d u edomorphisme Soit f u edomorphisme d u espace vectoriel ) Défiitios des vecteurs et valeurs propres d u edomorphisme O dit qu u vecteur u de est u vecteur propre de f si : a) u est o ul b) il existe u réel tel que f u u Ce réel, écessairemet uique, est appelé valeur propre de f associée au vecteur propre u Remarque : O dit aussi que u est u vecteur propre associé à la valeur propre. L esemble des valeurs propres de f est appelé spectre de f et est oté Sp f ) Caractérisatio Les propriétés suivates sot équivaletes : a) est valeur propre de f. b) Ker f Id 0. c) f Id est o ijectif. Remarque importate : 0 ue valeur propre de f si et seulemet si Ker f 0Id Ker f 0 (0 est valeur propre de f) ( f o ijectif) Cas où l espace vectoriel est de dimesio fiie Le théorème deviet : Les propriétés suivates sot équivaletes : a) est valeur propre de f. b) Ker f Id 0. c) f Id est o bijectif. Remarque importate : 0 ue valeur propre de f si et seulemet si Ker f 0Id Ker f 0 (0 est valeur propre de f) ( f o bijectif)

2 3) Sous espace propre d u edomorphisme Pour tout réel, o ote Ker( f Id ) u / f u u L esemble est doc u sous espace vectoriel de O a : ue valeur propre de f si et seulemet si 0 O appelle sous espace propre associé à la valeur propre le sous espace vectoriel oté de défii par : Ker f Id L esemble est costitué des vecteurs u de tels que f u vecteur ul 0 et l esemble des vecteurs propres associés à Remarque : 0 Ker f, et (0 est valeur propre de f si et seulemet si 0 u, c est à dire par le Ker f ) 0 4) Familles libres se sous espaces propres a) Théorème Ue cocatéatio de familles libres de sous espaces propres de f edomorphisme de associés à des valeurs propres distictes à forme ue famille libre de b) Coséquece Ue famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distictes à est ue famille libre c) Remarques das le cas où est u espace vectoriel de dimesio Le ombre de valeurs propres distictes d u edomorphisme d u espace vectoriel de dimesio est iférieur ou égal à Pour toute valeur propre de f L est ue valeur propre de f L o a : dim si et seulemet si dim 5) Polyôme aulateur d u edomorphisme Soit f u edomorphisme d u espace vectoriel a) Rappel S il existe m réels a0, a,..., am avec am 0 (où m ) tel que m m a0id a f... amf 0(edomorphisme ul), o dit que P a 0 a X... am X est u polyôme aulateur de f b) Théorème Si P est u polyôme aulateur de f alors toute valeur propre de f est racie de ce polyôme ATTNTION : Toute racie d u polyôme aulateur de f est pas écessairemet valeur propre de f

3 B. Vecteurs, valeurs propres et sous espaces propres d ue matrice carrée Soit A ue matrice carrée d ordre ) Défiitios des vecteurs et valeurs propres d ue matrice carrée U vecteur coloe X M, est u vecteur propre de la matrice carrée A M si : a) X est ue matrice coloe o ulle b) il existe u réel tel que AX X Ce réel, écessairemet uique, est appelé valeur propre de A associée au vecteur propre X Remarque : O dit aussi que la matrice coloe X est u vecteur propre associé à la valeur propre. L esemble des valeurs propres de A est appelé spectre de A et est oté Sp A ) Caractérisatio Les propriétés suivates sot équivaletes : a) est valeur propre de A. M o ulle telle que AX X. b) il existe ue matrice coloe X de, c) la matrice A I est o iversible. d) le système AI X 0 est pas de Cramer. Remarque importate : 0 ue valeur propre de A si et seulemet si A 0I o iversible (0 est valeur propre de A ) ( A o iversible) Cas des matrices triagulaires : Les valeurs propres d ue matrice triagulaire sot ses termes diagoaux. 3) Sous espace propre d ue matrice carrée d ordre Soit A ue matrice carrée d ordre. Pour tout réel, o ote X M, / AX X L esemble est doc u sous espace vectoriel de M, O a : est ue valeur propre de A si et seulemet si 0M, 3

4 O appelle sous espace propre associé à la valeur propre le sous espace vectoriel oté M défii par: X M, / AX X de, L esemble est costitué des vecteurs X de M, tels que AX X le vecteur ul 0M et l esemble des vecteurs propres associés à,, c est à dire par 4) Familles libres de sous espaces propres a) Théorème Ue cocatéatio de familles libres de sous espaces propres de A matrice carrée d ordre associés à des valeurs propres distictes à forme ue famille libre de M, b) Coséquece Ue famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distictes à est ue famille libre c) Remarques Le ombre de valeurs propres distictes d ue matrice carrée d ordre est iférieur ou égal à Pour toute valeur propre de A M, o a : dim est ue valeur propre de A M si et seulemet si dim 5) Polyôme aulateur d ue matrice carrée Soit A ue matrice carrée d ordre. a) Rappel S il existe m réels a0, a,..., am avec am 0 (où m ) tel que m m a0i a A... ama 0(edomorphisme ul), o dit que P a 0 a X... am X est u polyôme aulateur de A b) Théorème Si P est u polyôme aulateur de la matrice A, alors toute valeur propre de la matrice A est racie de ce polyôme ATTNTION : Toute racie d u polyôme aulateur de A est pas écessairemet valeur propre de A 4

5 C. Valeurs propres d ue matrice carrée d u edomorphisme relativemet à ue base Soiet B ue base de espace vectoriel de dimesio fiie relativemet à la base B (A est ue matrice carrée d ordre ) et A la matrice de f ) Théorème : U réel est valeur propre de l edomorphisme f si et seulemet si est valeur propre de la matrice A Coséquece : Deux matrices carrées semblables ot les mêmes valeurs propres ) Théorème : U vecteur u est vecteur propre de l edomorphisme f associé à la valeur propre si et seulemet si X M, le vecteur coloe des coordoées du vecteur u das la base B est u vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre D. Diagoalisatio d u edomorphisme f u edomorphisme d u espace vectoriel de dimesio fiie. ) Défiitio f est diagoalisable s il existe ue base de formée de vecteurs propres de f. ) Théorèmes. f est diagoalisable si et seulemet s il existe ue base de telle que la matrice de f das cette base soit diagoale. f est diagoalisable si et seulemet si la somme des dimesios de ses sous espaces propres est égale à. 3) Coditio suffisate de diagoalisatio Si f admet valeurs propres distictes alors f est diagoalisable. ATTNTION : La réciproque est fausse (si u edomorphisme f d u espace vectoriel de dimesio fiie est diagoalisable, f a pas écessairemet valeurs distictes). Par exemple Id est diagoalisable et a qu ue seule valeur propre 5

6 . Diagoalisatio d ue matrice carrée Soit A ue matrice carrée d ordre ) Défiitio A est diagoalisable s il existe ue base de M, formée de vecteurs propres de A ) Théorème La matrice A M est diagoalisable si et seulemet si la somme des dimesios de ses sous espaces propres est égale à. 3) Coditio suffisate de diagoalisatio ATTNTION : La réciproque est fausse Si A admet valeurs propres distictes alors A est diagoalisable. 4) Théorème : Ue matrice carrée est diagoalisable si et seulemet si elle est semblable à ue matrice diagoale. C est à dire AM est diagoalisable si et seulemet si Soit C U,..., U Pour touti,..., iversible, D PM M diagoale telles que D P AP. ue base de M, formée de vecteurs propres de A, Ui est u vecteur propre de A associé à la valeur propre i ATTNTION : les i e sot pas écessairemet disticts. Soit B la base caoique de M,..., Nous avos D P AP ou A PDP, Avec AU... AU U... U U U D T P Remarque : Si A est diagoalisable alors A PDP et, pour tout etier aturel, o a A PD P Doc si A est diagoalisable alors, pour tout etier aturel, o a A est diagoalisable Deux matrices carrées semblables ot les mêmes valeurs propres. De plus si l ue est diagoalisable, il e est de même pour l autre 6

7 5) Théorème Soit u espace vectoriel de dimesio fiie. Soit B e e,..., ue base de et A la matrice d u edomorphisme f de das cette base. f est diagoalisable s il existe ue base de formée de vecteurs propres de f. Notos C u,..., u ue telle base avec, pour tout i,...,, ui vecteur propre de f associé à la valeur propre i ATTNTION : les i e sot pas écessairemet disticts. AM est diagoalisable si et seulemet si f est u edomorphisme diagoalisable de Soit D la matrice de f das la base C ; ous avos la relatio D P AP ou A PDP Avec f u... f u u... u u e u e D T P OU u i e Soit la matrice uicoloe Ui est vecteur propre de Aassocié à la valeur propre e C ' U,..., U ue base de M, formée de vecteurs propres de la matrice A Soit B' la base caoique de M Nous avos,..., D P AP ou A PDP, Avec AU... AU U... U U U D T P 7

8 6) Cas des matrices symétriques. Rappels : A a M M Si i ij j t matrice Aa jm O sait que ji i, M, t, M Toute matrice symétrique réelle est diagoalisable t t t A B A B A B t A A A Ue matrice AM est dite symétrique si t A A alors la trasposée de la matrice A est la 8