Introduction à la programmation en variables entières Cours 3

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1 Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 F. Clautiaux Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 272

2 Sommaire Notion d heuristique Les algorithmes gloutons Métaheuristiques

3 Définitions Un algorithme exact est une méthode qui trouve la solution optimale pour un problème donné. Une heuristique est un algorithme qui trouve une bonne solution à un problème donné. algorithmes gloutons (ou constructives) : construisent une solution sans jamais revenir sur ses précédentes décisions. amélioration itérative : améliore, par itérations successives, une solution donnée. heuristiques basés sur la programation linéaire : heuristiques d arrondi. algorithmes d approximation : algorithme approchés pour lesquelles on peut garantir un écart maximal entre la solution trouvée et la solution optimale

4 Utilité des heuristiques Quand un problème d optimisation est si difficile qu on renonce à le résoudre de manière exacte, on se contente d une bonne solution ou d une solution approchée. Il est aussi intéressant d obtenir une borne primale dans une méthode de résolution exacte. Pour un problème théoriquement facile (pour lequel il existe un algorithme polynomial) mais pour lequel on a besoin d une solution en un temps très limité (problème en temps réel).

5 Sommaire Notion d heuristique Les algorithmes gloutons Métaheuristiques

6 Principe des algorithmes gloutons Faire toujours le choix qui est le plus intéressant localement On ne revient jamais sur des choix précédents Certains algorithmes gloutons sont exacts (plus courts chemins,...), d autres ne permettent d obtenir que des heuristiques.

7 Exemple : rendre la monnaie Etant donné une somme S, et d un ensemble de valeurs de pièces V = {v 1,...,v n }, trouver le nombre minimum de pièces nécessaires pour obtenir la valeur S. min n i=1 y i n v i y i = S i=1 y i N

8 Exemple : rendre la monnaie Algorithme glouton classique de résolution : rendre toujours la plus grande pièce inférieure ou égale à la somme restant à rendre. Exemple 1 : Rendre 37 euros avec les pièces {10,5,2,1}. On rend Reste 7. Puis on rend 1 5. Reste 2 Puis on rend 1 2. Reste 0. On a rendu 5 pièces (impossible de faire mieux). Exemple 2 : Rendre 37 euros avec les pièces {30,18,1}. On rend Reste 7. Puis on rend 7 1. Reste 0. On a rendu 8 pièces (non optimal).

9 Algorithme glouton Dans un algorithme glouton, la donnée est la plupart du temps un ensemble fini d éléments S. Une solution au problème est : un sous-ensemble de S une suite d éléments de S une permutation des éléments de S un multi-ensemble de S une partition de S On associe à chaque solution une valeur que l on cherche à maximiser/minimiser (fonction objectif).

10 Algorithme glouton On utilise un critère local pour construire notre solution pas à pas. A chaque étape, on dispose d une solution partielle (sous-ensemble, sous-suite, etc.) Pour passer à l étape suivante, on va sélectionner parmi les choix possibles celui qui est le plus avantageux localement On s arrête lorsqu on a une solution complète qui n est pas améliorable par un ajout.

11 Problème du sac-à-dos Soit I = {1,...,n} un ensemble d objets ayant chacun une utilité u i et un poids w i. Le problème du sac-à-dos consiste à choisir un sous-ensemble d objets à mettre dans un sac-à-dos de manière à maximiser l utilité du sac-à-dos tout en respectant son poids maximum donné par W. Modélisation : x i = 1 si on prend l objet i I, 0 sinon. max s.c. i u ix i i w ix i W x i {0,1} i.

12 Problème de sac à dos Dans le cadre des algorithmes gloutons, on cherche un sous-ensemble de l ensemble d articles I Fonction objectif : somme des utilités des articles sélectionnés Construction itérative : ajout d un article Solution complète : ici toute solution est complète! Arrêt : quand on ne peut plus ajouter d article à cause du poids Question centrale : dans quel ordre ajouter les articles?

13 Problème de sac à dos Quel ordre choisir? Ordre croissant/décroissant de taille? Ordre croissant/décroissant de profit? Ordre croissant/décroissant du ratio profit/taille

14 Problème du sac-à-dos Heuristique gloutonne classique : Classer les éléments par ordre décroissant de profit par unité de poids (u i /w i ) : u 1 u 2 u n. w 1 w 2 w n Pour k allant de 1 à n faire : Si (w k W) alors x k = 1 et W = W w k sinon x k = 0. Données : n = 5, W = 6 i u i w i u i /w i Solution heuristique : (1,1,0,0,1) BI = 65

15 Problème de sac à dos Cas défavorable W = 10 i u i w i Souvent une bonne méthode est de tester plusieurs ordres et de garder le meilleur.

16 Localisation de dépôts Soit N = {1,...,n} un ensemble de sites potentiels où construire des dépôts pour un coût f j, j N. Soit I = {1,...,m} un ensemble de clients à réapprovisionner par ces dépôts pour un coût d i,j, i I, j N. Le problème de localisation de dépôts consiste à définir quels dépôts construire et à affecter chaque client à un de ces dépôts tout en minimisant le coût total. Modélisation : y j = 1 si on construit j N, 0 sinon. min j N f jy j + i I j J d i,jx i,j s.c. j N x i,j = 1 i I x i,j y j i I,j N x i,j 0 i I,j N y j {0,1} j N. x i,j = 1 si i I affecté à j N, 0 sinon.

17 Localisation de dépôts Heuristique gloutonne : On note : S = ensemble des dépôts choisis, c(s) = j S f j + i I min j S(d i,j ). S = Tant S est non réalisable ou que le coût diminue, ajouter à S le site j qui minimise l augmentation du coût de la solution. S est réalisable si S 1.

18 Voyageur de commerce Heuristiques gloutonnes : Tant qu on n a pas un cicuit Hamiltonien, ajouter l arc de coût minimum qui ne créer ni sous-tour, ni sommets de degré 3. Partir d un sommet et tant qu on n a pas visité tout les sommets, aller vers le plus proche voisin non visité. Partir du sous-tour formé par les sommets 1 et 2 et ajouter successivement tous les sommets dans le circuit à la position qui minimise l augmentation du coût du circuit.... Exemple : 5 villes D =

19 Heuristiques gloutonnes Le principal inconvénient des heuristiques gloutonnes est qu elles sont souvent myopes : les décisions sont prises sans prendre en compte les décisions qui seront prises plus tard. Il ne reste souvent que des mauvais choix à la fin. Ce n est pas toujours le cas. Parfois, on peut montrer qu un algorithme glouton donne la solution optimale au problème. C est notamment le cas pour le problème de l arbre couvrant de poids minimum.

20 Arbre couvrant de poids minimum Soit G = (V,E) un graphe et c ij un coût sur les arêtes {i,j} du graphe. Le problème consiste à trouver un arbre couvrant de G qui minimise le poids total. Algorithme de Kruskal (glouton) Trier les arêtes dans l ordre croissant de leur coût. Considérer les arêtes dans cet ordre et les ajouter à l arbre en construction si elles ne créent pas de cycle. Arrêter quand tous les nœuds sont connectés. Algorithme de Prim (glouton) Initialiser l arbre en construction en choisissant un nœud. Ajouter itérativement à l arbre en construction l arête de coût minimum incidente à l arbre. Arrêter quand tous les nœuds sont connectés.

21 Exemple de glouton optimal : rendre la monnaie Pour rendre la monnaie, on peut montrer que l algorithme glouton est optimal pour toute valeur à rendre lorsqu on a les pièces {20,10,5,2,1}. Preuve : Soit n vi le nombre pièces de valeur v i. Dans une solution optimale, on a n 10 1, n 5 1, n 2 2, n 1 1

22 Exemple de glouton optimal : rendre la monnaie Pour rendre la monnaie, on peut montrer que l algorithme glouton est optimal pour toute valeur à rendre lorsqu on a les pièces {20,10,5,2,1}. Preuve : Soit n vi le nombre pièces de valeur v i. Dans une solution optimale, on a n 10 1, n 5 1, n 2 2, n 1 1 Supposons S > 20. Si on ne veut pas utiliser de pièce de valeur 20, on a au mieux = 20 : impossible. Si S = 20, la solution est de rendre une pièce de 20.

23 Exemple de glouton optimal : rendre la monnaie Pour rendre la monnaie, on peut montrer que l algorithme glouton est optimal pour toute valeur à rendre lorsqu on a les pièces {20,10,5,2,1}. Preuve : Soit n vi le nombre pièces de valeur v i. Dans une solution optimale, on a n 10 1, n 5 1, n 2 2, n 1 1 Supposons S > 20. Si on ne veut pas utiliser de pièce de valeur 20, on a au mieux = 20 : impossible. Si S = 20, la solution est de rendre une pièce de 20. Supposons 10 S < 20. Si S = 10, la solution optimale est de ne prendre que la pièce de 10. Sans 10, on a au maximum donc impossible.

24 Exemple de glouton optimal : rendre la monnaie Pour rendre la monnaie, on peut montrer que l algorithme glouton est optimal pour toute valeur à rendre lorsqu on a les pièces {20,10,5,2,1}. Preuve : Soit n vi le nombre pièces de valeur v i. Dans une solution optimale, on a n 10 1, n 5 1, n 2 2, n 1 1 Supposons S > 20. Si on ne veut pas utiliser de pièce de valeur 20, on a au mieux = 20 : impossible. Si S = 20, la solution est de rendre une pièce de 20. Supposons 10 S < 20. Si S = 10, la solution optimale est de ne prendre que la pièce de 10. Sans 10, on a au maximum donc impossible. (idem pour 5, 2, et 1)

25 Raisonnement courant pour les preuves d algorithmes gloutons 1) montrer que la meilleure décision locale est celle de l algorithme glouton 2) montrer que le problème général se ramène à trouver la meilleure solution qui soit compatible avec le choix glouton

26 Exemple de preuve : le problème de stable max dans un graphe d intervalles On cherche à trouver dans un graphe d intervalles le plus grand ensemble indépendant (stable). Le problème est dur dans le cas général, mais on peut le résoudre avec un glouton pour les intervalles. Toujours choisir l intervalle compatible avec nos choix précédents qui finit le plus tôt.

27 Preuve de l algorithme glouton La solution donnée par le glouton est valide par construction. On définit la proximité D(s,s ) entre deux solutions s et s comme étant le plus petit indice i t.q. le choix numéro i est différent dans s et s. Soit g la solution donnée par le glouton, et o la solution optimale qui maximise D(g,o) (de plus grande proximité avec g).

28 Preuve de l algorithme glouton Supposons que g n est pas optimale. Notons i l indice du premier choix différent dans g et o. Trois possibilités : 1. g i n est pas défini (pas de choix numéro i) : impossible car par construction, tant qu il est possible de sélectionner un intervalle, on le fait. 2. o i n est pas défini : impossible car o aurait une plus petite valeur que g (et donc elle ne serait pas optimale) 3. o i et g i sont définies mais o i g i

29 Preuve de l algorithme glouton Supposons que g n est pas optimale. Notons i l indice du premier choix différent dans g et o. Le cas où o i et g i sont définies mais o i g i

30 Preuve de l algorithme glouton Supposons que g n est pas optimale. Notons i l indice du premier choix différent dans g et o. Le cas où o i et g i sont définies mais o i g i De part le choix glouton, on sait que o i correspond à un intervalle qui finit au même moment ou après g i (sinon il aurait été choisi par le glouton).

31 Preuve de l algorithme glouton Supposons que g n est pas optimale. Notons i l indice du premier choix différent dans g et o. Le cas où o i et g i sont définies mais o i g i De part le choix glouton, on sait que o i correspond à un intervalle qui finit au même moment ou après g i (sinon il aurait été choisi par le glouton). Cela signifie qu il est possible de remplacer o i par g i dans o pour obtenir une solution o qui est toujours optimale mais plus proche de g.

32 Preuve de l algorithme glouton Supposons que g n est pas optimale. Notons i l indice du premier choix différent dans g et o. Le cas où o i et g i sont définies mais o i g i De part le choix glouton, on sait que o i correspond à un intervalle qui finit au même moment ou après g i (sinon il aurait été choisi par le glouton). Cela signifie qu il est possible de remplacer o i par g i dans o pour obtenir une solution o qui est toujours optimale mais plus proche de g. Ceci contredit l hypothèse de départ (o la solution optimale la plus proche de g).

33 Sommaire Notion d heuristique Les algorithmes gloutons Métaheuristiques

34 Amélioration itérative Lorsqu on a trouvé une solution, on peut chercher à l améliorer. On cherche à modifier localement la solution. Il faut trouver une modification élémentaire qui permette d améliorer la solution sans avoir à tout recalculer. Une fois que la solution est améliorée, pourquoi ne pas relancer la méthode tant qu on améliore?

35 Méthode de descente Similaire à la méthode de descente classique en continu. Ici on n a pas de gradient! La direction de descente est déterminée par énumération des solutions voisines Notion de voisin Le voisinage N(x) d une solution x est l ensemble de ses voisins

36 Méthode de descente Similaire à la méthode de descente classique en continu. Ici on n a pas de gradient! La direction de descente est déterminée par énumération des solutions voisines Notion de voisin Le voisinage N(x) d une solution x est l ensemble de ses voisins Exemple Solution x

37 Méthode de descente Algorithme général Soit x une solution initiale faire x x pour chaque voisin x de x si f(x ) > f(x ) alors x x fin pour x x tant que la solution courante a été améliorée

38 Exemples de voisinage Codage 0/1 : bit-flip Pour une permutation échange insertion Voisinages courants ajout d un élément suppression d un élément remplacement

39 Limite de la méthode de descente

40 Notion de connexité Connexité : un voisinage est dit connexe si on peut atteindre toute solution a partir de n importe qu elle autre solution en passant de voisin en voisin. La notion de connexité provient de la théorie des graphes. Les solutions sont les sommets du graphe et les arêtes représentent la relation est voisin de. Avec un voisinage non connexe, certaines solutions sont inatteignables

41 Codage direct vs. codage indirect Il existe plusieurs manières de coder une solution dans une méthode de descente. Codage direct : on travaille directement sur la structure de la solution. Codage indirect : on travaille sur une représentation différente que l on décode avec l algorithme adéquat

42 Exemples de codage Problème de bin-packing : on cherche à affecter des articles à des bins. Codage direct : pour chaque article, un numéro de bin item bin Codage indirect : un ordre de passage sur les articles. Décodage : un algorithme glouton qui place chaque article dans le premier bin qui peut l accueillir ordre

43 Notion de métaheuristique Pour résoudre des problèmes particuliers, de nombreux chercheurs ont proposé des méthodes permettant de trouver des optima locaux rapidement, et de parcourir plusieurs optima locaux. Ces méthodes peuvent être réutilisées pour d autres problèmes (en changeant la manière de représenter la solution, son évaluation et la fonction de voisinage) Les méta-heuristiques sont des guides pour fabriquer de nouvelles heuristiques d exploration.

44 Principal rôle des métaheuristiques Comment exploiter au maximum les solutions proches? (trouver le meilleur optimum local). On parle d intensification, ou d exploitation. Comment sortir d un optimum local pour bien couvrir l espace de recherche? On parle de diversification ou d exploration.

45 Stratégies d exploitation Comment explorer un voisinage donné? s arrêter dès qu on trouve un voisin améliorant s arrêter quand on a vu tous les voisins s arrêter au bout d un certain nombre d itérations dans quel ordre considérer les voisins? (aléatoire, selon un ordre donnée, etc.) Comment exploiter au maximum un sous-ensemble intéressant des solutions admissibles? autoriser d aller vers des solutions de même coût? élargir le voisinage modifier le voisinage lorsqu on atteint un optimum pour le voisinage courant

46 Stratégies d exploration Comment sortir d un optimum local? retirer une solution au hasard quand on arrive sur un optimum local (iterated local search) autoriser à aller vers des solutions non-améliorantes, et interdire de revenir en arrière (tabu search) changer de voisinage et/ou perturber la solution quand on arrive sur un optimum local (variable-neighborhood search)

47 Solution initiale La solution initiale est en général obtenue à l aide d une heuristique. Comment faire lorsque les heuristiques n ont pas pu trouver de solution réalisable? Problème car en général, on passe de solution réalisable en solution réalisable. Solution pratiquée : relâcher des contraintes, trouver une solution au problème relâché, et pénaliser la violation des contraintes dans la fonction objectif.

48 Algorithmes évolutionnaires Une autre manière d améliorer des solutions et de les recombiner. On peut s inspirer de la théorie de l évolution de Darwin Peut fonctionner quand le problème se prête bien à la recombinaison de solutions partielles. En général, les algorithmes efficaces effectuent des recherches locales à partir des solutions recombinées.

49 Méta-heuristiques avec ensembles de solutions De nombreux travaux ont cherché à combiner des solutions ou des algorithmes de recherche (via le parallélisme notamment). Beaucoup s inspirent de la nature : fourmis, abeilles, termites, singe, chauves-souris, bancs de poissons, rat-taupe nu,... Pour résoudre des problèmes dans un contexte industriel, attention aux méthodes trop complexes impossibles à régler correctement.

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