Métaheuristique. Jérémy CHANUT Charles BALLARINI

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1 Métaheuristique Jérémy CHANUT Charles BALLARINI 15 octobre 2012

2 CHAPITRE 1 INTRODUCTION Ce projet consiste en la résolution du problème des composants électroniques par deux méthodes : Recuit simulé Algorithme génétique Chacune de ces techniques sont implementées à l aide du langage C++ qui nous a semblé approprié à la tâche. Notre analyse de ces techniques consistera en un rappel de l algorithme principal, ces paramètre ainsi que ces résultats (qui seront illustrés à l aide de graphiques). Le but étant de mettre en évidence l influence des paramètres sur les résultats et les performances. 1

3 CHAPITRE 2 RECUIT SIMULÉ 2.1 Principe Le recuit simulé est une métaheuristique probabiliste permettant d approximer l optimum global d une fonction objectif. Le recuit simulé trouve son origine dans la technique du recuit, beaucoup utilisé dans le domaine de la métallurgie. Il s agit d augmenter la température du métal puis de lui appliquer un refroidissement contrôlé par apport externe de chaleur. De cette manière il est possible de réduire au maximum les contraintes (par exemple thermiques) afin d obtenir la meilleure stabilité pour le métal. À partir d une solution donnée pour le problème considéré, le recuit simulé va créer une autre solution. Celle-ci sera acceptée en fonction de son écart avec la solution d origine et de la température actuelle du système. De cette manière il est toujours possible d accepter une solution pourtant moins optimale que la précédente, ce qui permet de ne pas être coincé dans un minimum local. Néanmoins, plus la température diminue, plus la probabilité d accepter une solution moins performante est faible. On convergera donc vers le minimum global. 2.2 Algorithme La première étape est de récupérer une solution au problème posé. Cette solution n est pas optimale, elle peut par exemple être générée aléatoirement. Par la suite, pour chaque itération de l algorithme, on va générer une nouvelle solution proche de l originale. La façon de décider si on accepte ou non cette nouvelle solution est stochastique. Cette étape est répétée jusqu à ce que le système soit figé sur une même solution. 2

4 2.3. PARAMÉTRES CHAPITRE 2. RECUIT SIMULÉ La probabilité d accepter une nouvelle solution est représentée de la manière suivante : exp ( E T ) Où T représente la température du système et E la différence entre la solution originale et celle générée. La température initiale du système est très élevée, mais ca décroître au fur et à mesure du déroulement de l algorithme. Par conséquent il sera fréquent de dégrader la solution au début du programme, mais au fil des itérations, les dégradations seront de moins en moins accpetées, et on tendra donc de plus en plus vers la solution optimale. Algorithm 1 Pseudocode du Recuit Simulé s s 0 e E(s) T T 0 i 0 while (maxiterations > i) ET (e > em ax) do voisin prendrev oisin(s) ev oisin E(voisin) if probabilité(e, ev oisin, T ) > rand(0 1) then s voisin e ev oisin end if i i + 1 T reduiret emperature(t ) end while 2.3 Paramétres Pour le problème des composants électroniques, il est possible de régler plusieurs paramètres afin de maximiser les chances d obtention du bon rśultat. La valeur τ permettant de fixer la température initiale. Pour trouver la température initialie, nous effectuons 100 perturbations sur la solution initiale puis calculons la moyenne E des résultats obtenus. La température initiale est alors calculée grâce à la formule suivante : T 0 = exp ( E ) τ Le taux de décroissance de la température C. À chaque diminution de la température, on la multiplie par C : T = CT La valeur N indiquant l état d équilibre. Cette valeur, multipliée par 100, nous informe du nombre d essais ainsi que le nombre d acceptions maximum tolérés entre deux changements de température. NbMaxEssais = 100 N 3

5 2.4. RÉSULTATS CHAPITRE 2. RECUIT SIMULÉ NbMaxAcceptations = 12 N À noter que si aucun changement n est accepté pendant 3 itérations successives, l algorithme s arrête. 2.4 Résultats Influence de N Ce paramètre influe énormement sur les performances de l algorithme. En effet, si cleui-ci est trop élevé, alors le temps d éxecution de l algorithme sera très grand. De plus, nous resterons souvent à la même température et lorsque celle-ci est élevée, on acceptera beaucoup de modifications de la solutions. Mais lorsqu elle est faible, il n y aura que quelques acceptations pour de très nombreux essais, ce n est donc pas rentable. En revanche une valeur trop faible entrainera une diminution trop rapide de la température et donc on ne trouvera pas le minimum global. FIGURE 2.1 N=10 FIGURE 2.2 N=600 Dans ces exemples on voit bien qu avec N = 10 on ne parvient pas à atteindre le minimum global. En revanche avec N = 600 on le trouve, mais au bout de presque 40 secondes, ce qui n est pas acceptable. Dans notre cas, une bonne valeur de N semble être de Influence de τ La valeur affectée à ce paramétre dépend de la confiance que nous avons dans notre solution initiale. Dans notre cas cette solution initiale est générée aléatoirement, et donc 4

6 2.4. RÉSULTATS CHAPITRE 2. RECUIT SIMULÉ nous pouvons nous permettre de prendre une grande valeur pou τ car cela va grandement la modifier, et c est ce que nous recherchons car nous voulons l améliorer. En revanche si nous étions dans un cas où la solution initiale avait été mise au point par un expert par exemple, il serait bon de prendre une valeur plutôt faible pour τ, de manière à ne pas détruire cette solution et conserver son efficacité. FIGURE 2.3 τ = 0.99 FIGURE 2.4 τ = 0.3 Dans le cas de τ = 0.99, on voit que la solution subit de très nombreuse modifications mais fini par atteindre le minimum global. En revanche pour le cas τ = 0.3, la solution se dégrade beaucoup trop vite et on ne parvient pas à atteindre le minimum global, on reste coincé dans un minimum local. À noter qu il est possible de contrebalancer l effet d un τ trop faible par un valeur C élevée Influence de C Ce paramètre est extrêment important car il représente la vitesse à laquelle va décroître la température, et par conséquent le nombre d itérations de l algorithme. Si la valeur est trop faible, alors la température diminuera trop rapidement et on ne parviendra pas à atteindre le minimum local. En revanche si celle-ci est très élevée, le minimum local sera atteint, mais avec un temps d éxecution élevé. En règle générale, pour notre problème, une bonne valeur semble être C =

7 2.4. RÉSULTATS CHAPITRE 2. RECUIT SIMULÉ FIGURE 2.7 C = 0.3 FIGURE 2.8 C = 0.3 FIGURE 2.5 C = 0.99 FIGURE 2.6 C = 0.99 Avec un paramètre C = 0.99, on voit que de nombreuses itérations sont acceptées, cela est du à la décroissance faible de la temérature. En revanche avec C = 0.3, la décroissance de la température est bien trop rapide, très peu d itérations sont acceptées, et on reste donc coincé dans un minimum local. 6

8 2.5. CONCLUSION CHAPITRE 2. RECUIT SIMULÉ 2.5 Conclusion Nous avons donc pu constater que l algorithme du recuit simulé est plutôt efficace, mais on ne peut s empêcher de penser que cela est dû à la simplicité du problème étudié. En effet, cet algorithme impose un réglage des paramètres précis et cela peu devenir relativement contraignant avec des problèmes plus complexes. 7

9 CHAPITRE 3 ALGORITHME GÉNÉTIQUE 3.1 Principe Les algorithmes génétiques appartiennent à la famille des algorithmes évolutionnistes. Leurs buts est d obtenir une solution approchée à un problème d optimisation, lorsqu il n existe pas de méthode exacte (ou que la solution est inconnue) pour le résoudre en un temps raisonnable. Les algorithmes génétiques utilisent la notion de sélection naturelle et l appliquent à une population de solutions potentielles au problème donné. La solution est approchée par «bonds» successifs, comme dans une procédure de séparation et évaluation, à ceci près que ce sont des formules qui sont recherchées et non plus directement des valeurs. (Wikipédia) 3.2 Modélisation Nous avons choisi de modéliser le problème sous la forme suivante : La solution obtenue doit se présenter sous la forme d un tableau de 25 cases dont chacune est rempli par un entier unique. La fonction objectif est la minimisation de la somme des longueurs de Manhattan * 5 pour les éléments censé être reliés. Les éléments sont reliés entre eux selon la règle : n est relié à n 1, n + 1, n 5 et n + 5. (Attention toutefois à ne pas déborder du tableau et à ne pas compter doublement les liaisons ex : 0-1 et 1-0). Par exemple une solution possible est :

10 3.2. MODÉLISATION CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE Le résultat de la fonction objectif pour cette solution est 200. Remarque : Distance(0 1) = 5 Distance(0 5) = 5 Distance(1 2) = 5 Distance(1 6) = 5... On va commencer par définir quelques termes avant de parler de l implémentation de la méthode. Individu : Tableau a 2 dimension remplit d entier de 0 à 24 unique (et d un entier représentant son score). Score : Résultat de la fonction objectif pour un individu. Gene : un des 25 entier caractérisant un individu Cross-over : Croisement des caractéristiques de 2 individus afin d en générer un 3ème. Mutation : Modifications aléatoires d un gène d un individu. Une mutation possible de l individu ci-dessus pourrait être : L implémentation de l algorithme génétique que nous avons réalisé contient 3 paramètres que nous ferons varier pour régler l efficacité de l algorithme : GA_POP_SIZE : Nombre d individus à chaque génération. GA_MUTATION_RATE : Chance de mutation d un gène lors de la création des individus d une nouvelle génération. (en pour 1000) GA_ELITE : Pourcentage de la population d individus considérer comme les meilleurs et qui ont des chances d être utilisés lors de la création de la génération suivante. 9

11 3.3. MÉTHODE CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE 3.3 Méthode Initialisation La première étape d un algorithme génétique est de constituer une population avec des caractéristiques aléatoires. Pour cela nous avons mis en place une function d initialisation de la population. 1 i n i t _ p o p u l a t i o n ( population ) ; Cette fonction a pour objectif de placer aléatoirement des entiers dans un tableau. 1 f o r ( i n t i = 0 ; i < GA_POP_SIZE ; i ++) { // Autant de f o i s que l on veut d individu g a _ s t r u c t c i t i z e n ; // Creer un nouvel individu 3 // Autant de f o i s qu i l y a de gene 5 f o r ( i n t j = 0 ; j < GA_SIZE\_GENE GA_SIZE_GENE ; j ++) { 7 // Choisir un emplacement aleatoirement pair <int, int > coord = choose_coord (&( c i t i z e n. gene ) ) ; 9 // Mettre dans c e t emplacement l e n t i e r courant c i t i z e n. gene [ coord. f i r s t ] [ coord. second ] = j ; 11 } // Ajouter ce nouvel individu a l a population 13 population. push_back ( c i t i z e n ) ; } Nous obtenons donc à la fin de cette fonction une population d individu aux caractéristiques aléatoires Évaluation Afin de savoir quel sont les individus les plus aptes à répondre à notre problème nous allons les soumettre à une évaluation. Celle-ci est basée sur la fonction objectif citée précédemment. Le cout des liaisons est définit par la distance de Manhattan entre ses deux extrémités. La fonction ci-dessous est écrite afin de ne pas «déborder du tableau» et de ne pas dédoubler le nombre de liaisons. // Pour tout l e s individus 2 f o r ( unsigned i n t p = 0 ; p < population. s i z e ( ) ; p++) { // On i n i t i a l i s e l e score a 0 4 score = 0 ; // Pour tout l e s genes 6 f o r ( i n t n = 0 ; n < GA_SIZE_GENE GA_SIZE_GENE ; n++) { // On cherche sa p o s i t i o n 8 Coord coord = find (& population [ p ]. gene, n ) ; 10

12 3.3. MÉTHODE CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE // On c a l c u l l a d i s t a n c e de Manhtan entre n e t n + 1 s i i l e x i s t e 10 i f ( n % GA_SIZE_GENE! = GA_SIZE_GENE 1) { 12 Coord coord2 = find (& population [ p ]. gene, n + 1) ; score += distm ( coord, coord2 ) ; 14 } // On c a l c u l l a d i s t a n c e de Manhtan entre n e t n + 5 s i i l e x i s t e 16 i f ( n < (GA_SIZE_GENE (GA_SIZE_GENE 1) ) ) { 18 Coord coord2 = find (& population [ p ]. gene, n + GA_SIZE_GENE) ; score += distm ( coord, coord2 ) ; 20 } } 22 // On sauvegarde son score population [ p ]. score = score 5 ; Sélection Afin de choisir les meilleurs individus, ceux qui répondent le plus à notre problème, nous allons les trier par ordre décroissant en fonction de leur score. Cette fonction est simple et ne sera pas détaillée Reproduction La reproduction est un des moments clés de l algorithme génétique. Il s agit de choisir aléatoirement deux individus et de prendre 50% des gènes de chacun afin de produire un nouvel individu. Plusieurs choix pour sélectionner les individus s offrent à nous : Sélection par rang. Cette technique de sélection choisit toujours les individus possédant les meilleurs scores d adaptation, le hasard n entre donc pas dans ce mode de sélection. En fait, si n individus constituent la population, la sélection appliquée consiste à conserver les k meilleurs individus (au sens de la fitness) suivant une probabilité qui dépend du rang (et pas de la fitness). Probabilité de sélection proportionnelle à l adaptation (appelé aussi roulette ou roue de la fortune). Pour chaque individu, la probabilité d être sélectionné est proportionnelle à son adaptation au problème. Afin de sélectionner un individu, on utilise le principe de la roue de la fortune biaisée. Cette roue est une roue de la fortune classique sur laquelle chaque individu est représenté par une portion proportionnelle à son adaptation. On effectue ensuite un tirage au sort homogène sur cette roue. Sélection par tournoi. Cette technique utilise la sélection proportionnelle sur des paires d individus, puis choisit parmi ces paires l individu qui a le meilleur score d adaptation. Sélection uniforme. La sélection se fait aléatoirement, uniformément et sans intervention de la valeur d adaptation. Chaque individu a donc une probabilité 1/P 11

13 3.3. MÉTHODE CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE d être sélectionné, où P est le nombre total d individus dans la population. (Wikipédia) Nous avons choisi une sélection uniforme sur les k meilleurs individus. Le choix des «parents» est réalisé à l aide de la variable GA_ELITE qui représente les individus sélectionnables. Seul les GA_POP_SIZE * GA_ELITE / 100 premiers individus de la population sont sélectionnables avec une probabilité uniforme d être sélectionnés. 1 // S e l e c t i o n a l e a t o i r e de 2 individus parmis l e s GA_POPSIZE GA_ELITE / 100 premier de l a population // Avec i 1 e t i 2 deux i n d i c e sur l e tableau contenant l a population 3 i 1 = rand ( ) % (GA_POPSIZE GA_ELITE / 100) ; i 2 = rand ( ) % (GA_POPSIZE GA_ELITE / 100) ; Vient ensuite le mélange des gènes des 2 individus selectionnés. Cette tâche consiste à créer un individu possédant 50% des gènes de chacun de ses parents. Pour ce faire nous sélectionnons un gène au hasard (tirage d un nombre entre 0 et 24) puis nous récupérons sa position chez un des deux parents et l insérons au même endroit chez le nouvel individu. Puis nous réitérons le processus autant de fois qu il y a de gène (25 fois) en alternant le parent chez qui nous effectuons la recherche de l emplacement du gène. Si nous nous retrouvons dans l impossibilité de placer le gène au même endroit que pour le parent concerné nous tentons de le mettre au même endroit que pour l autre parent, si nous ne pouvons toujours pas alors la position du gène se retrouve aléatoire. Au cours du processus pour chaque gène il y a une petite probabilité pour que ce gène soit placé aléatoirement ce que nous appellerons alors une mutation. void merge ( const v e c t 2 i n t dad, const v e c t 2 i n t mom, v e c t 2 i n t c h i l d ) 2 { // I n i t i a l i s a t i o n du nouvel individu 4 c h i l d = i n i t _ g e n e ( ) ; // Creation d un vecteur pour sauvegarder l e s c o n f l i t 6 vector <int > c o n f l i t = vector <int > ( ) ; 10 8 // Creation d une v a r i a b l e temporaire pour sauvegarder l e parent courant const v e c t 2 i n t tmp = dad ; // Autant de f o i s qu i l y a de gene 12 f o r ( i n t i = 0 ; i < GA_SIZE_GENE GA_SIZE_GENE ; i ++) { 14 // Choisir un genealeatoirement (0 24) do { 16 pos = choose_gene ( ) ; } 18 while (! genes [ pos ] ) ; 20 // E f f e c t u e selon une p r o b a b l i l i t e une mutation i f ( rand ( ) % 1000 < GA_MUTATIONRATE) 22 mutate ( child, pos ) ; //Sinon essayer de p l a c e r l e gene au meme endroit que l e parent courant 12

14 3.4. RÉSULTATS CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE 24 e l s e { 26 Coord coord = find ( tmp, pos ) ; // S i i l y a c o n f l i t a j o u t e r ce gene a l a l i s t e des c o n f l i t s 28 i f ( child >at ( coord. f i r s t ) [ coord. second ] >= 0) { 30 c o n f l i t. push_back ( pos ) ; } 32 // Sinon a j o u t e r l e gene e t changer de parent courant e l s e 34 { child >at ( coord. f i r s t ) [ coord. second ] = pos ; 36 tmp = ( tmp == dad )? mom : dad ; } 38 } } 40 // I l ne r e s t e plus qu a r e g l e r l e s probleme de c o n f l i t en placant l e s genes r e s t a n t aleatoirement } Mutation La Mutation est simple à réaliser mais compliqué à paramétrer. Nous avons vu cidessous que la mutation avait lieu au cours de la reproduction. Pour chaque gène nous avons une probabilité de faire muter un gène. Dans notre cas il s agit de le placer aléatoirement dans le génome. Cette probabilité est dans notre méthode fixe et correspond à la constante GA_MUTATION_RATE. Mais il existe des implémentations de l algorithme génétique ou la probabilité d une mutation varie. Il y a au moins deux critères possibles pour la faire varier, selon le nombre d itération, soit selon la distance avec la solution optimale. 3.4 Résultats Les résultats si dessous tenteront d approximer les meilleurs paramètres pour notre implémentation de l algorithme génétique selon les 3 constantes : GA_POP_SIZE GA_MUTATION_RATE GA_ELITE Pour chaque graphique ci-après l axe des X représente les itérations et l axe des Y représente le score du meilleur individu de sa génération. Remarque : Tous les graphiques ont été générés plusieurs fois afin d en vérifier la représentativité. 13

15 3.4. RÉSULTATS CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE Variation de GA_POP_SIZE Nous avons effectué des tests pour des valeurs fixes de GA_MUTATION_RATE et GA_ELITE et en faisant varier la valeur de GA_POP_SIZE. Les résultats sont retranscrits dans le graphique suivant : A la lecture du graphique on constate que trop peu de population entraine une certaine consanguinité qui nuit aux résultats en effet les 2 premières courbes avec respectivement 100 et 600 de population se figent dans un minimum local alors que les courbes avec 1600 et 3100 de population atteignent l optimum. On remarquera néanmoins qu avec l implémentation réalisée trop de population entraine également l échec de l algorithme, mais nous supposons que ceci est dû à d autres critères que le nombre de la population Variation de GA_MUTATION_RATE Dans cette partie nous allons nous intéresser à la conséquence d une modification de la probabilité de mutation des gènes. 14

16 3.4. RÉSULTATS CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE Afin de minimiser les erreurs d appréciation due à l aléatoire chaque test a été réalisé plusieurs fois. Nous pouvons voir sur les 3 graphiques suivants l évolution du score du meilleur individu au cours des itérations. Premier graphique - Mutations fréquentes Le taux de mutation est ici de 100 pour 1000 (soit 10%) et correspond à un taux de mutation important. Nous constatons que les courbes n atteignent jamais la solution optimale (200) même si elle donne un meilleur résultat que l aléatoire (environ 800). Le choix de prendre une forte probabilité de mutation entraine un fort risque de ne jamais trouver la solution optimale mais d osciller sur des solutions plus ou moins mauvaises. 15

17 3.4. RÉSULTATS CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE Deuxième graphique Mutations peu fréquentes Ici le taux de mutation est très faible (5/1000). On constate une convergence rapide (environ 60 itérations) vers la solution optimale pour 4 courbes sur 5. L échec est dû au risque de tomber dans des minima locaux si on réduit trop le taux de mutation. Il y a de forts risques pour que les gènes se retrouvent dans des configurations bonnes mais non optimales et que l algorithme ne puisse plus sortir de ces minima locaux. 16

18 3.4. RÉSULTATS CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE Troisième Graphique Un bon taux de mutation Grâce à un choix du taux de mutation judicieux nous obtenons une convergence vers la solution optimale à 100% (ou presque). Ceci est dû au fait que les mutations ne sont pas assez importantes pour rendrent les individus trop aléatoires tout en évitant de les faire devenir trop «consanguins» et ainsi ne pas tomber dans des minima locaux Variation de GA_ELITE Ci dessous un graphique où les courbes représentent l algorithme avec des valeurs différentes de GA_ELITE. 17

19 3.5. CONCLUSION - FIABILITÉ CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE Nous remarquons que le choix de représentants d une population, c.-à-d. des individus pouvant se reproduire influx grandement sur les résultats. En effet, plus nous sélectionnerons des individus correspondant à nos critères, plus nos chance de converger vers la solution optimale augmente. Attention toutefois à ne pas sélectionner trop peu d individu au risque de créer des individus «consanguins», et à tomber dans des minima locaux. 3.5 Conclusion - Fiabilité La fiabilité de l algorithme génétique n est pas absolue mais en choisissant bien les paramètres nous pouvons espérer obtenir régulièrement la solution optimale ou du moins une solution convenable. Mais attention, le problème traiter ici était simple et les solutions optimale évidente. Mais dans un problème plus complexe ou la solution optimale n est pas connue le choix des paramètres de l algorithme est bien plus difficile. Il existe des solutions pour trouver ces paramètres mais ces techniques sont souvent longues et parfois 18

20 3.5. CONCLUSION - FIABILITÉ CHAPITRE 3. ALGORITHME GÉNÉTIQUE difficile à mettre en place. On notera que les paramètres ont ici été trouvé grâce à une technique simple de «Grid» c.-à-d. ou nous testons exhaustivement plusieurs valeurs pour chaque paramètre en rapport à tous les autres. 19

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