Le problème du flot maximal avec contraintes sur le nombre de chemins

Transcription

1 Le problème du flot maximal avec contraintes sur le nombre de chemins Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey LIMOS, UMR CNRS Université Blaise Pascal Clermont-Ferrand - France FRANCORO IV Août 2004

2 Introduction Nouvelles technologies : réseaux optiques, protocole MPLS,... MPLS-TE : Traffic Engineering (QoS, gestion) Contraintes sur le nombre de chemins Problème canonique : le flot maximal Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

3 Plan Présentation du problème Définitions et notations Complexité Etat de l art Cas particuliers Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Algorithme d approximation Métaheuristique Méthodes approchées Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

4 Définitions et notations Complexité Etat de l art Cas particuliers Définitions et notations Graphe G = (V, E) avec capacité u e sur les arcs Flot k-séparable Une seule commodité (s, t) V V Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

5 Définitions et notations Complexité Etat de l art Cas particuliers Complexité du problème Réduction au SAT (Baier, Köhler et Skutella) truechain s x1 x2 t falsechain u1 v1 u2 v2 u3 v3 un vn C1 C2 C3 Cn Contrainte sur nombre de chemins problèmes NP-complets Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

6 Définitions et notations Complexité Etat de l art Cas particuliers Etat de l art Edge Disjoint Path Problem (Survivability) : Menger (1982) Unsplittable Flow Problem : Kleinberg (1996), Atamtürk (2000) K-Splittable Flow Problem : Baier, Köhler et Skutella (2002) Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

7 Définitions et notations Complexité Etat de l art Cas particuliers Cas particuliers Flot uniforme : quantité identique de flot routé par chaque chemin Problème polynômial : Baier, Köhler et Skutella (2002) Généralisation du théorème de flot maximal/coupe minimale Graphe uniforme : capacité identique sur chaque arc Théorème de Menger (1982) Chemins disjoints Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

8 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : les variables Arc de retour e = (t, s) avec une capacité infinie, E = E {e} Pour chaque chemin k {1,..., K} : variables de flot : x k e 0 e E variables de support de flot : y k e {0, 1} e E Fonction objectif : max K k=1 x k e Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

9 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : les contraintes sur le flot Contrainte de conservation de flot : Ax k = 0 k {1,.., K} K Contrainte de capacité : xe k u e k=1 e E Contrainte de support de flot : x k e u e y k e e E k {1,..., K} Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

10 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : les contraintes sur le support de flot Contrainte de conservation de flot : Ay k = 0 k {1,.., K} Contrainte d intégrité : y k e {0, 1} e E k {1,.., K} Contrainte sur l arc de retour : y k e = 1 k {1,.., K} Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

11 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : contre-exemples (1/2) 1,1 1,1 1,1 S 1,1 1,1 1,1 T 0,1 0,1 0,1 2,1 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

12 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : contre-exemples (2/2) 1,1 1,1 1,1 S 2,2 1,1 1,1 1,1 2,2 T 0,1 0,1 0,1 2,1 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

13 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : contrainte supplémentaire Contrainte sur les cocyles : ye k 1 v V k {1,.., K} e ω (v) S T Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

14 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-sommets : max s.c. K k=1 x k e Ax k = 0 k {1,.., K} (1.a) Ay k = 0 k {1,.., K} (1.b) K xe k u e e E (1.c) k=1 xe k u e ye k 0 e E k {1,.., K} (1.d) ye k 1 v V k {1,.., K} (1.e) e ω (v) xe k 0 e E k {1,.., K} (1.f ) ye k {0, 1} e E k {1,.., K} (1.g) ye k = 1 k {1,.., K} (1.h) Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

15 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-chemins : les variables Soit P l ensemble des chemins élémentaires de s à t Pour chaque chemin p P : variable de flot : x p 0 variable de décision : yp {0, 1} Fonction objectif : max p Px p Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

16 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-chemins : les contraintes Contrainte de capacité : p Pδ p e x p u e e E Contrainte de couplage : x p c p y p p P Contrainte de nombre de chemins : p Py p K Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

17 Modèle arcs-sommets Modèle arcs-chemins Modèle arcs-chemins : max p Px p s.c. δe p x p u e e E (2.a) p P x p c p y p 0 p P (2.b) y p K (2.c) p P x p 0 p P (2.d) y p {0, 1} p P (2.e) Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

18 Algorithme d approximation Métaheuristique Algorithme d approximation Flot uniforme : Baier, Köhler et Skutella (2002) A chaque itération i : Flot uniforme maximal i-séparable : i chemins routant fi Graphe résiduel G i : capacité résiduelle u e = ue q i e +1 Calcul du chemin de capacité maximale fi+1 flot uniforme maximal (i + 1)-séparable Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

19 Algorithme d approximation Métaheuristique Algorithme d approximation : exemple 1/3 3 s 4 u v 4 t 4 3 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

20 Algorithme d approximation Métaheuristique Algorithme d approximation : exemple 2/ s 2 u 2 v 2 t 3 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

21 Algorithme d approximation Métaheuristique Algorithme d approximation : exemple 3/3 3 s 3 u 0 v 3 t 3 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

22 Algorithme d approximation Métaheuristique Algorithme d approximation : coefficient d approximation k 1 2k 1 ρ 1 2 k k s k u k v k t k k 1 k 1 1 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

23 Algorithme d approximation Métaheuristique Algorithme d approximation : extensions Flot maximal sur un ensemble de chemins donné P 1 Nouvel ensemble de chemins P 2 sur le graphe résiduel Flot maximal k-séparable sur l union P 1 P 2 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

24 Algorithme d approximation Métaheuristique : Branch & Bound Branch & Bound : Land et Doig (1960) Utilisation du modèle arcs-sommets Borne supérieure : relaxation linéaire Stratégies de branchement : première variable fractionnaire goulot d étranglement... Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

25 Algorithme d approximation Métaheuristique : autres branchements Branchement de type Ryan et Foster (1981) : soit J E tel que e Jy k e 1 et J J ( ) branchement : ye k = 0 vs. ye k = 0 e J e J\J branchement sur le cocycle sortant du premier nœud de divergence (Barnhart, Hane et Vance 1998) goulot d étranglement Explicit-Constraint Branching : Appleget (1997) soit J k i E, ajout de la contrainte e J k i y k e = z k i avec z k i N branchement en priorité sur les z k i puis de type Ryan et Foster Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

26 Algorithme d approximation Métaheuristique Métaheuristique Schéma de type GRASP : Feo (1989), Feo et Resende (1995) Présence de deux mécanismes exploration globale : générateur de solutions initiales exploration locale : stratégie d amélioration locale Alternance des deux stratégies selon le contexte Structure décisionnelle hiérarchique (global/local) Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

27 Algorithme d approximation Métaheuristique Recherche Locale Utilisation de plusieurs générateurs de voisinage voisinage 1 : ajout d un chemin voisinage 2 : suppression d un chemin voisinage 3 : transfert de flot entre deux chemins Stockage des meilleurs voisins dans une liste de capacité fixée Sélection aléatoire (avec critère d aspiration) Critères d arrêt : nombre d itérations, stagnation Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

28 Algorithme d approximation Métaheuristique Générateur de solutions Fréquence d utilisation pour chaque chemin (RL) Calcul d un cumul d utilisation pour chaque arc Capacité fictive inversement proportionnelle au cumul Pour i = 1... K calculer le chemin de capacité fictive maximale router au maximum sur les capacités réelles mettre à jour les capacités fictives Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

29 Algorithme d approximation Métaheuristique Améliorations Path relinking utilisation d un pool de solutions élites à la fin de chaque RL prendre la solution record, s 1 prendre une solution élite, s 2 évaluer les solutions sur un chemin de s 1 vers s 2 mettre à jour le pool Postoptimisation à la fin de GRASP, P P sous-ensemble des chemins générés application du modèle arc-chemin sur P P génération de colonnes heuristique permet de mesurer la qualité de la recherche Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

30 Méthodes approchées Instances : 5-20 nœuds densité de 4-5 génération aléatoire du graphe s et t choisies aléatoirement Processeur pentium 2.6GHz, linux 2.6, 2Go RAM Compilateur gcc 3.3, ILOG CPLEX 8.0 Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

31 Méthodes approchées Graphe k z BB BB + VO RF RF + VO CPLEX Stratégies de branchement : temps CPU (s) Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

32 Méthodes approchées Méthodes approchées Graphe k z BKS+ GRASP Méthodes approchées : solutions obtenues Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32

33 Méthodes approchées Conclusions et perspectives Modèles exacts limités malgré les améliorations Vers un schéma de Branch and Price Amélioration de l approche de Baier et al. Peu de résultats sur les bornes d approximation Métaheuristique GRASP efficace Améliorations en cours (postoptimisation + path relinking) Problèmes plus réalistes : multiflots de coût min Jérôme Truffot, Christophe Duhamel, Philippe Mahey FRANCORO IV Août /32