J adresse toute ma gratitude et reconnaissance à ceux qui ont contribué à la correction, l amélioration ainsi que la relecture de ce manuscrit.

Transcription

1 Remerciements J exprime ma profonde gratitude à mon directeur de thèse Monsieur El Miloud JAARA qui m a accordé une place au sein du laboratoire de recherche en informatique (LARI). Je lui exprime toute ma reconnaissance pour sa gentillesse, sa rigueur et ses conseils précieux. Je présente mon énorme reconnaissance à Monsieur EL Bekkaye MERMRI, professeur à FSO, qui m a aidé à mettre les premiers pas dans le domaine de l optimisation depuis la licence. Je le remercie profondément pour son co-encadrement avisé et ses remarques pointues, et également pour son soutien et sa sympathie. J adresse toute ma gratitude et reconnaissance à ceux qui ont contribué à la correction, l amélioration ainsi que la relecture de ce manuscrit. Je souhaite également remercier les membres du jury de cette thèse:...,...,...,..., pour l intérêt porté à mon travail. A ma mère, ma femme, ma petite fille Baraa et à toute ma famille, merci beaucoup pour votre soutien. Que l ensemble des personnes qui ont contribué de près ou de loin à la réalisation de cette thèse, trouve ici l expression de mon profond respect et gratitude. 1

2 Résumé La recherche fondée sur les méthodes métaheuristiques joue un rôle très important dans l étude des problèmes d ingénierie, d informatique décisionnelle et de recherche opérationnelle. La plupart de ces problèmes appartiennent à la classe des problèmes NP-difficiles, et donc ne possèdent pas de solutions algorithmiques efficaces. Dans cette thèse, nous avons étudié et développé quelques algorithmes basés sur des méthodes métaheuristiques pour la résolution des problèmes mono-objectifs et multi-objectifs complexes, issus des problèmes concrets. Nous nous sommes intéressés en particulier aux algorithmes génétiques (AGs), puis aux méthodes de recherche locale (ou de voisinage) telles que le recuit simulé et la recherche locale. Afin d améliorer les résultats de quelques problèmes d optimisation, des hybridations des algorithmes génétiques et de la recherche locale sont réalisées. Nous avons développé un nouvel algorithme pour un traitement équitable des fonctions objectifs dans l optimisation multi-objective. Puis, nous avons introduit un algorithme qui automatise le choix du facteur compromis entre deux fonctions objectifs. Nous avons proposé ensuite un codage mixte qui combine le codage binaire et réel pour coder les différents types des données du problème. Dans l objectif de faire face aux données imprécises et incertaines, nous avons développé, pour les problèmes considérés, des approches basées sur la logique floue et la logique possibiliste. Les problèmes complexes concrets considérés dans cette thèse sont issus de trois domaines différents. La première étude de cas concerne la planification de l emplacement des stations de base dans les réseaux mobiles de troisième génération UMTS (Universal Mobile Telecommunication System). L objectif est de maximiser la couverture et de minimiser le coût de l installation des stations de base. Dans la deuxième étude de cas, nous avons étudié et développé le problème de la sectorisation dynamique de l espace aérien avec contraintes. L objectif est de minimiser la charge de coordination entre les secteurs adjacents, et d équilibrer la charge de travail à l intérieur de chaque secteur. Nous avons appliqué le modèle trouvé à l espace aérien marocain. La troisième étude de cas concerne un problème qui génère une matrice des entiers à partir d une matrice des nombres réels en respectant quelques contraintes. Une application type est le problème du tableau de spécification rencontré dans le domaine de l évaluation éducative. Afin d aider l enseignant à proprement déterminer le nombre de questions ou de points de chaque cellule du tableau de spécification, nous avons développé un outil technologique (logiciel) qui automatise l optimisation de ce tableau. 2

3 Mots clés: optimisation, métaheuristiques, algorithmes génétiques, problème multi-objectif, logique floue, UMTS, trafic aérien, tableau de spécification. Abstract Research based on metaheuristics methods plays a very important role in the study of engineering problems, computer-assisted decision-making and operational research. Most of these problems belong to the class of NP-hard problems, and therefore have no efficient algorithmic solutions. In this thesis, we have studied and developed some algorithms based on metaheuristics methods for solving complex mono-objective and multi-objective problems. We are especially interested in genetic algorithms (GAs) and local search such as simulated annealing. To improve the results of some optimization problems, hybridization of genetic algorithms and local search are performed. We developed a new algorithm for an equitable treatment of objective functions in multi-objective optimization problems. Then, we introduced an algorithm that automates the choice of the tradeoff parameter between two objective functions. We have proposed an encoding method which combines binary and integer coding to encode different types of data problem. To deal with the imprecise and uncertain information we used fuzzy Logic and possibility theory. As applications, we considered complex and practical problems from three different areas. The first case study concerns the problem of planning the universal mobile telecommunication system (UMTS) base stations location for uplink direction. The objective is to maximize the total trafic covered and minimize the total installation cost. In the second case study, we are interested in a dynamic airspace sectorization problem with constraints. The objective is to minimize the coordination workload between adjacent sectors and to balance the workload across the sectors. We applied the model found in Moroccan airspace. The third case study concerns a specific problem that generates an array of integers from an array of real numbers satisfying some constraints. A typical example of this problem is the table of specification problem encountered in the field of education. To facilitate the task of the teacher, we have developed a technological tool (software) that automatically optimizes the table of specification. The teacher or the decision maker must simply enter the necessary data. Index Terms: optimization, metaheuristics, genetic algorithms, multi-objective problem, fuzzy logic, UMTS, airspace sectorization problem, table of specification. 3

4 Table des matières 1 Contexte général et méthodologie Introduction générale Problématiques étudiées Objectifs de la thèse Organisation de la thèse Liste des publications Les métaheuristiques: présentation générale Introduction Les métaheuristiques à solution unique Les méthodes de descente (Hill climbing) Le recuit simulé (Simulated annealing) La recherche tabou (Tabu search) La méthode GRASP Les métaheuristiques à solution multiple Les algorithmes génétiques (Genetic algorithms) Les algorithmes de colonies de fourmis (Ant colonies) L optimisation par essaims particulaires (Particle swarm optimization) Les métaheuristiques et l optimisation multi-objective Optimisation multi-objective Les métaheuristiques et l optimisation multi-objective Conclusion Les algorithmes génétiques : état de l art Introduction et aperçu historique Comment fonctionne un algorithme génétique (AG)? Principales composantes d un algorithme génétique Codage des données Principe de sélection Opérateur de croisement Opérateur de mutation

5 3.4 La base théorique des AGs Hybridation des algorithmes génétiques Conclusion AGs et l optimisation multi-objective : un nouvel algorithme pour un traitement équitable des fonctions objectifs Introduction Présentation du problème et modélisation Algorithmes génétiques et poids dynamiques Limitation des poids constants Méthode basée sur les AGs et les poids dynamiques Explication Expérimentation : cinq problèmes tests Problème test : SCH Problème test : SCH Problème test : Min-Ex Problème test : Const-Min-Ex Problème test : Max-Ex Conclusion Première étude de cas : optimisation de réseau mobile UMTS à l aide des AGs Introduction Concepts fondamentaux Mécanisme de contrôle de puissance Propagation radioélectrique Problème d optimisation de l emplacement des sites UMTS Approche de résolution du problème basée sur les AGs avec un facteur compromis dynamique Représentation du chromosome Population initiale, croisement et mutation Application Description des données Résultats de l expérimentation Conclusion Le problème de l emplacement des stations de base dans le réseau UMTS en utilisant les AGs et la logique floue Introduction Logique floue et logique possibiliste Introduction à la logique floue Commande floue

6 6.2.3 Introduction à la logique possibiliste Description du problème et modélisation Approche basée sur la logique floue Approche basée sur la logique possibiliste Modèle prévu de la maximisation de possibilité Modèle prévu de la maximisation de nécessité Modèle résultant de la logique possibiliste Approche de résolution basée sur l hybridation des AGs et RL Représentation du chromosome Population initiale, croisement et mutation Hybridation des AGs et RL Application description des données Résultats numériques Conclusion Deuxième étude de cas : la gestion du trafic aérien à l aide des AGs Introduction Présentation du problème et modélisation Modèle basé sur la logique floue Approche basée sur l hybridation des algorithmes génétiques Application Description des données Résultats Conclusion Troisième étude de cas : problème de l évaluation éducative et métaheuristiques Introduction Description du problème du tableau de spécification (PTS) Modélisation mathématique Approches de résolution du PTS basées sur les métaheuristiques Approche de résolution basée sur le recuit simulé Approche de résolution basée sur les algorithmes génétiques Approche de résolution en utilisant une hybridation des AGs et la RL Application Données Résultats des expérimentations Un outil technologique pour résoudre le problème PTS Conclusion Conclusion générale et perspectives 124 6

7 Liste des tableaux 3.1 Codage de Gray Résultats du problème test SCH Résultats du problème test SCH Résultats du problème test Min-Ex Résultats du problème test Const-Min-Ex Résultats du problème test Max-Ex Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 95 et m = Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 400 et m = Règles floues SI-ALORS Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 95 et m = Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 400 et m = Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 95 et m = 22 en utilisant une mesure de possibilité Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 95 et m = 22 en utilisant une mesure de nécessité Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 400 et m = 120 en utilisant une mesure de possibilité Nombre de TPs servis et BSs installées pour n = 400 et m = 120 en utilisant une mesure de nécessité Règles SI-ALORS concernant la charge de la surveillance et la résolution des conflits Règles SI-ALORS concernant la charge de la coordination Liste des aéroports marocains Données pour l espace aérien marocain en Table de spécification de la géographie en pourcentages Table de spécification de la géographie en nombres réels Table de spécification en nombres entiers Tableau de spécification des Mathématiques en pourcentages Tableau de spécification de Physique en pourcentages

8 8.6 Problème 1 : Résultats des trois approches problème 1 : Décision Tableau de spécification des Mathématiques en nombres réels Problème 2 : Résultats selon les trois approches Problème 2 : Décision Tableau de spécification de Physique en nombres réels Problème 3 : Résultats selon les trois approches Problème 3 : Décision

9 Liste des figures 2.1 Déplacement d une particule Organigramme de l AG Slicing crossover Limite de l opérateur de croisement Illustration de l opérateur de mutation SCH1- comparaison entre w 1 f 1 et w 2 f 2, pour 10 essais, en utilsant les poids dynamiques (à gauche) et la méthode classique avec w 1 = 0.3 et w 2 = 0.7 (à droite) SCH2- comparaison entre w 1 f 1 et w 2 f 2, pour 10 essais, en utilsant les poids dynamiques (à gauche) et la méthode classique avec w 1 = 0.3 et w 2 = 0.7 (à droite) MinEx- comparaison entre w 1 f 1 et w 2 f 2, pour 10 essais, en utilsant les poids dynamiques (à gauche) et la méthode classique avec w 1 = 0.7 et w 2 = 0.3 (à droite) ConstMinEx- comparaison entre w 1 f 1 et w 2 f 2, pour 10 essais, en utilsant les poids dynamiques (à gauche) et la méthode classique avec w 1 = 0.7 et w 2 = 0.3 (à droite) Max-Ex : comparaison entre w 1 f 1 et w 2 f 2 pour 10 essais, en utilsant les poids dynamiques Max-Ex : Le comportement des solutions pour 9 itérations interférences intra-cellulaires et inter-cellulaires Illustration : problème avec 6 TPs et 4 CSs Illustration du croisement Illustration de mutation Première instance : emplacement de 95 TPs et 22 BSs dans une zone de service de 0,4 0,4 (Km) Première instance : coût de chaque BS Deuxième instance : emplacement de 400 TPs et 120 BSs dans une zone de service de 1 1 (Km) Deuxième instance : coût de chaque BS Exemple d une fonction d appartenance de la variable linguistique Froid Principe général d un contrôleur flou Fonctions d appartenance des coûts d entrée (à gauche) et des coûts de sortie (à droite) 87 9

10 6.4 Fonction d appartenance des coûts d entrée Fonction d appartenance du coût total (fuzzy total cost) Fonction d appartenance du but flou G (fuzzy goal) Degré de possibilité Degré de nécessité Exemple de contraintes (voir [82, 123]) Fonctions d appartenance pour les variables d entrées et de sorties Comparaison entre le trafic à l intérieur de secteurs et la charge de coordination en utilisant un facteur compromis dynamique; et en utilisant un facteur compromis constant Sectorisation de l espace aérien marocain pendant le jour (à gauche) et pendant la nuit (à droite) Exemple de croisement Exemple de mutation Vue globale du logiciel du tableau de spécification Données entrées par l évaluateur Tableau de spécification en nombres réels Décision : Tableau de spécification optimisé

11 Liste des abréviations AG Algorithme génétique U M T S Système de communications mobiles de troisième génération (Universal Mobile Telecommunication System) P M O Problème (d optimisation) multi-objectif ASP Sectorisation dynamique de l espace aérien RS Recuit Simulé GRASP Procédure de recherche adaptative aléatoire gloutonne (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) AS Système de fourmis (Ant System) T SP Problème du voyageur de commerce OEP Optimisation par essaims particulaires V EGA Méthode basée sur les AGs (Vector evaluated genetic algorithm) M OGA Méthode basée sur les AGs (Multi-Objective Genetic Algorithm) N P GA Méthode basée sur les AGs (Niched Pareto Genetic Algorithm) SP EA Méthode basée sur les AGs (Strength Pareto Evolutionary Algorithm) NSGA II Méthode basée sur les AGs (Fast Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) M EA Méthode basée sur les AGs (Multi-objective Evolutionary Algorithm) DM OEA Méthode basée sur les AGs (Dynamic Multi-objective Evolutionary Algorithm) P F GA Méthode basée sur les AGs (Pareto Fitness Genetic Algorithm) SM GA Méthode basée sur les AGs (Sharing Mutation Genetic Algorithm) W CDM A Multiplexage par code large bande (Wideband Code Division Multiple Access) F DD multiplexage de fréquences (Frequency Division Duplex) TDMA Accès multiple à répartition dans le temps (Time Division Multiple Access) TP Point de test BS Station de base CS Site candidat RL Recherche locale SIF Système d inférence floue UV Unité de volume P T S Problème du tableau de spécification 11

12 Chapitre 1 Contexte général et méthodologie 1.1 Introduction générale L optimisation joue un rôle important en recherche opérationnelle, en informatique, en analyse numérique, en mathématiques appliquées, et dans différents domaines de l industrie et de l ingénierie. La difficulté de la résolution des problèmes d optimisation, d une part, et le nombre croissant des applications pratiques pouvant être formulées sous la forme d un problème d optimisation, d autre part, justifient l importance dédiée à ce domaine. Les problèmes d optimisation sont généralement difficiles à résoudre. En effet, la plupart de ces problèmes appartiennent à la classe des problèmes NPdifficiles et ne possèdent donc pas à ce jour de solutions algorithmiques efficaces. Plusieurs types d optimisation existent dans la littérature. En effet, un problème d optimisation peut être combinatoire (discret) ou continue, mono-objectif (avec un seul objectif) ou multi-objectif (avec plusieurs objectifs), statique ou dynamique, avec ou sans contraintes. Cette liste n est pas exhaustive et un problème peut combiner plusieurs types en même temps, par exemple il peut être à la fois continu et dynamique. Généralement, Un problème d optimisation peut être défini par: Un ensemble de variables du problème dites aussi variables de décision. Elles peuvent être de nature diverse: réelle, entière, booléenne, etc., comme elles peuvent exprimer des données qualitatives ou quantitatives. Une fonction objectif nommée aussi fonction de coût, définit le but à atteindre. Pour chaque problème, on cherche à minimiser ou à maximiser la fonction objectif. Un ensemble de contraintes qui est, en général, un ensemble d égalités et d inégalités que les variables doivent satisfaire. Ces contraintes limitent l espace de recherche. Compte tenu de l importance de ces problèmes, de nombreuses méthodes de résolution ont été développées en recherche opérationnelle et en intelligence artificielle. Ces 12

13 méthodes peuvent être classées en deux grandes catégories : les méthodes exactes et les méthodes approchées. Les méthodes exactes permettent de trouver des solutions optimales pour des problèmes de taille raisonnable. Mais lorsque la taille du problème devient importante, ces méthodes trouvent des difficultés à le résoudre en un temps raisonnable. Parmi les méthodes exactes, on peut citer la méthode de séparation et évaluation (Branch and Bound), l algorithme A* et la programmation dynamique. Les méthodes approchées constituent une alternative très intéressante pour traiter les problèmes d optimisation de grande taille si l optimalité n est pas primordiale. Les méthodes heuristiques constituent une classe importante des méthodes approchées. Elles visent à explorer l espace de recherche d une manière efficace afin de déterminer des solutions quasi-optimales. Les méthodes heuristiques perdent, généralement, la complétude (aucune garantie d optimalité) pour gagner en efficacité (réduction très importante en termes de temps de calcul). Contrairement aux méthodes heuristiques qui sont spécifiques à un problème donné, Les métaheuristiques sont des algorithmes généraux composés de concepts fondamentaux qui permettent de les adapter et de les appliquer à une large classe de problèmes d optimisation. Le mot métaheuristique provient de la composition de deux mots grecs: heuristique qui signifie trouver, et meta qui est un préfixe signifiant au-delà, ou dans un niveau supérieur. Nous constatons, depuis ces dernières années, que l intérêt porté aux métaheuristiques augmente continuellement en recherche opérationnelle et en intelligence artificielle. Les métaheuristiques peuvent être classées suivant plusieurs critères. La classification la plus fréquente est celle basée sur le nombre de solutions utilisées simultanément. Cette dernière permet de distinguer les métaheuristiques à base de populations à celles de trajectoires (ou de recherche locale). Dans cette thèse, nous adopterons cette dernière classification. Une description générale de quelques méthodes constituant ces deux classes, et un état de l art de la méthode des algorithmes génétiques sont présentés dans le deuxième et le troisième chapitres. L application des métaheuristiques pour résoudre des problèmes d optimisation constitue une tâche principale de cette thèse. Une application de trois métaheuristiques à un problème d optimi-sation mono-objectif est détaillée dans le dernier chapitre. Cependant les problèmes d optimisation rencontrés en pratique ne sont pas toujours mono-objectifs. Il y a généralement plusieurs critères, souvent contradictoires, à satisfaire simultanément. Il s agit d un problème où on doit minimiser ou maximiser plusieurs fonctions objectifs à la fois. Ce type de problèmes est dit problème d optimisation multi-objectif (PMO). Une partie très importante de ce travail est consacrée à la résolution des problèmes d optimisation multi-objectif en utilisant les métaheuristiques, en particulier les algorithmes génétiques. 13

14 La réalisation de ces applications nécessite d abord une collection efficace des données. Mais dans le monde réel, plusieurs informations sont incertaines, imprécises, vagues, partiellement vraies, ou sans frontières nettes. C est un contexte où la logique floue montre une grande efficacité. L application des métaheuristiques et de la logique floue pour résoudre un certain problèmes d optimisation est expliquée dans le sixième et septième chapitres. Dans l objectif de réaliser des applications à des cas concrets, trois études de cas réelles sont présentées et développées dans cette thèse. La première étude de cas concerne le domaine de réseau mobile de troisième génération UMTS (Universal Mobile Telecommunications System). Le problème à optimiser est la planification de l emplacement des stations de base dans le réseau UMTS. C est un problème multi-objectif qui vise à maximiser la couverture de ce réseau et à minimiser le coût de l installation des stations de base. Dans la deuxième étude de cas, nous étudions un problème de la sectorisation dynamique de l espace aérien avec contraintes. C est un problème à la fois multiobjectif et dynamique. L objectif est de minimiser la charge de coordination entre les secteurs adjacents, et d équilibrer la charge de travail à l intérieur de chaque secteur. L étude concerne une instance réelle du problème, c est l espace aérien marocain. La troisième étude de cas concerne un domaine différent aux deux premiers. Elle concerne le problème du tableau de spécification qui appartient au domaine de l évaluation éducative. Ce problème mono-objectif est souvent rencontré par les enseignants lors de la préparation des examens. Dans l optique de renforcer la qualité de ce travail, des recherches empiriques (collection des données, questionnaire, entretien, ) sont élaborées sur le terrain. 1.2 Problématiques étudiées En raison de leur importance, les problèmes d optimisation mono-objectifs sont soumis à plusieurs travaux et recherches dans des différents domaines tels que la recherche opérationnelle, l informatique, l ingénierie des systèmes et autres. Les efforts déployés, dans ce sens, ont généré plusieurs méthodes de résolution qui sont soit exactes ou approximatives selon le problème étudié. Cependant les problèmes d optimisation rencontrés en pratique sont rarement mono-objectifs. Il s agit de l optimisation multiobjectif où on doit minimiser ou maximiser plusieurs fonctions objectifs à la fois. Dans cette thèse, nous proposons d étudier et de développer quelques algorithmes basés sur des méthodes métaheuristiques pour la résolution des problèmes d optimisation 14

15 complexes. Nous nous intéressons en particulier aux algorithmes génétiques, puis aux méthodes de voisinage telles que la recherche locale et le recuit simulé. La thèse comporte cinq problématiques essentielles: 1. Problématique 1. Lors de la résolution des problèmes multi-objectifs, un problème qui se pose est comment réaliser un traitement équitable entre les fonctions objectifs. Ici, nous nous intéressons à la technique de la moyenne pondérée qui transforme un problème multi-objectif en un problème mono-objectif. Cette méthode consiste à additionner tous les objectifs en affectant à chacun d eux un poids qui représente l importance relative que le décideur attribue à l objectif. Cependant la détermination des poids s avère être une question très délicate qui détermine l efficacité de la méthode. Le problème devient aussi plus complexe si le décideur essaie d assurer un traitement équitable entre les fonctions objectifs. 2. Problématique 2. Plusieurs problèmes d optimisation rencontrés en pratique sont multi-objectifs. Il s agit d un problème où on doit minimiser ou maximiser plusieurs fonctions objectifs à la fois. Si on veut résoudre ces problèmes par la méthode des algorithmes génétiques, on doit d abord trouver la structure des données convenable qui sera utilisée pour coder les données du problème. Cependant, l utilisation du même codage pour toutes les données d un problème multiobjectif n est pas toujours possible. On doit réfléchir à développer de nouveaux types de codage pour contourner cette contrainte. 3. Problématique 3. Dans le monde réel, plusieurs informations sont incertaines, imprécises, vagues, ou partiellement vraies. Comment exploiter la logique floue et la logique possibiliste pour faire face à ces imprécisions, et par suite pour rendre les problèmes étudiés plus réaliste? 4. Problématique 4. Mettre en oeuvre les algorithmes développés. Pour ceci deux études de cas sont envisagées: Étude de l emplacement des stations de base dans les réseaux mobiles UMTS; Étude de la sectorisation du trafic aérien; en particulier, pour l espace aérien marocain. 5. Problématique 5. Étude, modélisation et résolution d un problème mono-objectif lié au domaine de l éducation, en utilisant les métaheuristiques. 1.3 Objectifs de la thèse Ce travail consiste, d une part, à étudier et développer des algorithmes basés sur les métaheuristiques, en particulier sur les algorithmes génétiques, et d autre part, 15

16 à mettre en oeuvre ces algorithmes à travers plusieurs études de cas concrètes. Les objectifs de notre thèse peuvent être résumés comme suit: Étudier minutieusement et développer quelques algorithmes basés sur la méthode des algorithmes génétiques. Développer des modèles basés sur la logique floue et la logique possibiliste. Étudier des applications en considérant des problèmes multi-objectifs concrets. Exemple: la planification des réseaux mobiles de troisième génération UMTS, et la gestion du trafic aérien. Étudier un problème mono-objectif concret. développer des applications informatiques (logiciels) pour la résolution de quelques problèmes complexes. 1.4 Organisation de la thèse Notre étude est subdivisée en huit chapitres, dont trois sont consacrés à des études de cas. Le chapitre 1 présente la méthodologie de travail dans notre thèse. Il comporte les problématiques étudiées, les objectifs visés, l organisation de ce travail et la liste des publications. Le chapitre 2 présente une description générale des métaheuristiques. Ces dernières sont subdivisées en deux grandes classes: les métaheuristiques à solution unique et les métaheuristiques à solution multiple. Des brèves descriptions sont faites pour quatre méthodes de la première classe, et trois méthodes de la deuxième classe. Enfin, une présentation de la relation entre les métaheuristiques et l optimisation multi-objective est réalisée. Le chapitre 3 est consacré aux algorithmes génétiques (AGs). Il présente un état de l art de cette méthode. Ainsi, aprés l illustration du fonctionnement des AGs, nous détaillons leurs principales composantes tels que le codage et les opérateurs de sélection, de croisement et de mutation. Ensuite, une brève clarification de la partie théorique de ces algorithmes est introduite. Enfin, nous présentons quelques hybridations des algorithmes génétiques avec d autres métaheuristiques telles que le recuit simulé et la recherche locale. Dans le chapitre 4, nous nous intéressons à la technique de la moyenne pondérée qui transforme un problème multi-objectif en un problème mono-objectif. Cette méthode 16

17 consiste à additionner tous les objectifs en affectant à chacun d eux un poids qui représente l importance relative que le décideur attribue à l objectif. Notre but est de réaliser un traitement automatique et équitable de chaque fonction objectif. Pour réaliser ce but, nous présentons, d abord, les limites de prendre ces poids comme des valeurs constantes, puis nous introduisons une méthode de résolution basée sur les algorithmes génétiques. Cette dernière vise à automatiser le choix des poids en les variant dynamiquement à chaque itération de l algorithme génétique. Afin de démontrer l efficacité de notre algorithme, nous utilisons cinq problèmes tests cités dans la littérature. Le chapitre 5 explique la première étude de cas de cette thèse. Elle concerne l optimisation de l emplacement des stations de base UMTS, en se basant sur des modèles de propagations avec contrôle de puissance à l aide des algorithmes génétiques (AGs). Ce problème multi-objectif est modélisé comme un problème d optimisation mono-objectif avec un facteur compromis λ. Nous commençons par la présentation de quelques concepts très utiles dans le domaine de réseau UMTS. Puis, nous présentons le problème et sa modélisation mathématique. Ensuite, nous décrivons notre approche basée sur les AGs, en introduisant un facteur compromis dynamique. Dans la section 5, nous présentons une méthode de codage mixte en combinant le codage binaire et réel, puis nous décrivons les opérateurs de croisement et de mutation convenables. Enfin, nous présentons les applications réalisées et les résultats trouvés pour quelques instances de ce problème. Dans le chapitre 6, nous continuons à étudier le même problème. Notre objectif, cette fois, est de faire face aux données imprécises et incertaines des coûts. Pour ceci, nous développons deux approches, la première est basée sur la logique floue, et la deuxième sur la logique possibiliste. Ensuite, nous proposons un algorithme basé sur l hybridation des algorithmes génétiques et la recherche locale. Des applications de ces approches sont présentées dans la dernière section. Le chapitre 7 présente la deuxième étude de cas de ce travail. Elle concerne la gestion du trafic aérien à l aide des algorithmes génétiques. Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés au problème de la sectorisation dynamique de l espace aérien ASP (Airspace Secorization Problem) avec contraintes. L objectif est de minimiser la charge de coordination entre les secteurs adjacents, et d équilibrer la charge de travail à l intérieur de chaque secteur. Nous modélisons ce problème sous la forme d un problème multi-objectif qui peut être transformé en un problème mono-objectif avec un facteur compromis dynamique entre les fonctions objectifs. Pour faire face aux informations imprécises, incertaines et subjectives, nous développons un modèle basé sur la logique floue, et pour résoudre le problème flou ASP, nous utilisons un algo- 17

18 rithme génétique hybride. Afin de recueillir les données subjectives (psychologiques) telles que le stress, la concentration, etc, nous avons élaboré un questionnaire qui a été distribué à un groupe de contrôleurs de l espace aérien. Nous appliquons notre modèle à un espace réel, qui est l espace aérien marocain. Le chapitre 8 présente la troisième étude de cas de cette thèse. Elle concerne un problème de l évaluation éducative qui peut être modélisé sous la forme d un problème d optimisation mono-objectif. Nous présentons une description de ce problème en l illustrant par un exemple. Puis, nous introduisons notre modélisation mathématique de ce problème. Nous présentons trois méthodes de résolution du problème, la première est basée sur le recuit simulé, la deuxième est basée sur les algorithmes génétiques (AGs) et la troisième utilise une hybridation des AGs et la recherche locale. Des expérimentations numériques sont présentées à la fin de ce chapitre. 1.5 Liste des publications Publications 1. M. Gabli, E.M. Jaara et E.B. Mermri, Planning UMTS base station location using genetic algorithm with a dynamic trade-off parameter. Lecture Notes in Computer Science 7853, , M. Gabli, E.M. Jaara et E.B. Mermri, A technological tool to optimize educational assessment. International journal of emerging technologies in learning, vol.8 N.6, 62-65, M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, A Genetic Algorithm approach for an equitable treatment of objective functions in multi-objective optimization problems. À apparaître dans IAENG International Journal of Computer Science (accepté). 4. M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, UMTS Base-station Location problem for Uplink direction using Genetic Algorithms and Fuzzy Logic. À apparaître dans Lecture Notes in Computer Science (accepté). Communications 1. M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, Optimisation de réseau mobile UMTS par les algorithmes génétiques. Congrès Méditerranéen des Télécommunications (CMT 2012), Fès Mars

19 2. M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, Metaheuristics for solving the table of specification. Colloque international de l évaluation des étudiants et des formations dans l enseignement supérieur : Modèles en usage et principaux défis, Oujda Avril M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, Automatisation du choix des poids de la méthode d agrégation par les algorithmes génétiques. Théorie des Nombres, Codes, Cryptographie et Systèmes de Communication (NTCCCS), Oujda Avril M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, Planning UMTS Base Station Location Using Genetic Algorithm with a Dynamic Trade-Off Parameter. Networked Systems (NETYS), Marrakech 2-4 Mai M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, UMTS Base-station Location problem for Uplink direction using Genetic Algorithm and Fuzzy Logic. International Symposium on Operational Research and Applications (ISORAP), Marrakech 8-10 Mai M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, UMTS Base-station Location problem for Uplink direction using Genetic Algorithm and Fuzzy Logic. Networked Systems (NETYS), Marrakech Mai Papiers soumis 1. M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, A Possibilistic Approach to UMTS Base-station Location problem. 2. M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, Metaheuristic approaches for an educational problem. 3. M. Gabli, E. M. Jaara et E. B. Mermri, Dynamic airspace sectorization using fuzzy logic and hybrid genetic algorithm. 19

20 Chapitre 2 Les métaheuristiques: présentation générale 2.1 Introduction Divers secteurs et domaines sont confrontés quotidiennement à des problèmes d optimisation. Le développement rapide, dans le monde actuel, conduit de plus en plus souvent à des problèmes d optimisation plus complexes. Ainsi, de très nombreux problèmes réels sont NP-difficiles. On distingue en réalité trois types de problèmes d optimisation : les problèmes discrets, en particulier les problèmes combinatoires, les problèmes continus et les problèmes mixtes (voir [36, 64, 72], pour plus de détail). Il existe deux classes de méthodes pour résoudre ces problèmes d optimisation : les méthodes exactes et les méthodes approchées. Les méthodes exactes énumèrent implicitement toutes les solutions de l espace de recherche en utilisant des heuristiques spécifiques au problème qui orientent les choix. Ces méthodes permettent de trouver des solutions optimales, mais à un coût très élevé (en terme de temps), lorsque la taille du problème sera importante. Les méthodes approchées constituent une alternative très intéressante pour traiter les problèmes d optimisation de grande taille. En effet, elle permettent d obtenir une solution approchée, en un temps correct, à un problème d optimisation, lorsqu il n existe pas (ou qu on ne connaît pas) de méthode exacte pour le résoudre en un temps raisonnable. Les métaheuristiques font partie des méthodes approchées. Contrairement aux méthodes heuristiques qui sont spécifiques à un problème donné, les métaheuristiques sont des algorithmes généraux composés de concepts fondamentaux qui permettent de les adapter et de les appliquer à une large classe de problème d optimisation. Le mot métaheuristique est dérivé de la composition de deux mots grecs : heuristique qui signifie trouver, et meta qui est un suffixe signifiant au-delà, ou dans un niveau supérieur. Plusieurs définitions ont été proposées pour eclaircir ce qu est une métaheuristique, mais on peut résumer les propriétés fondamentales de ses méthodes 20

21 aux points suivants (voir [36, 64], par exemple) : Elles sont caractérisées par leur caractère stochastique; Elles sont généralement d origine discrète, et elles ne recourent pas au calcul, souvent problèmatique, des gradients de la fonction objectif. Ce qui est un avantage, surtout en cas des problèmes continus; Elles sont, généralement, inspirées par des analogies avec la physique (recuit simulé), avec la biologie (algorithmes génétiques) ou encore l éthologie (colonies de fourmis, essaims particulaires), etc.; Elles peuvent contenir des mécanismes qui permettent d éviter d être bloquées dans des régions de l espace de recherche; Elles se prêtent à toutes sortes d extensions, notamment en optimisation multiobjectif et dynamique; Elles sont en général non déterministes, et ne donnent aucune garantie d optimalité; Elles ont l inconvénient d avoir plusieurs paramètres à régler. Plusieurs classifications possibles des métaheuristiques existent dans la littérature. Ainsi, on peut les classer en fonction du nombre de structures de voisinages utilisées, ou selon le type de mémoire guidant la recherche, ou encore selon la manière d utilisation de la diversification et de l intensification. Mais la classification la plus utilisée est celle basée sur le nombre de solutions utilisées simultanément. Cette dernière permet de distinguer les métaheuristiques à base de populations à celles à solution unique (dites aussi de trajectoires ou de recherche locale). Dans cette thèse, on adoptera cette classification. 2.2 Les métaheuristiques à solution unique Les méthodes de descente (Hill climbing) Les méthodes de descente sont des méthodes classiques et très rapides [100, 101]. Elles appartiennent à la calasse des méthodes de recherche locale. Les méthodes de descente partent d une unique solution initiale, et elles l améliorent en utilisant une unique structure de voisinage jusqu à ce qu un optimum local soit atteint, arrêtant ainsi la recherche. Le fonctionnement de ces méthodes est présenté par l algorithme suivant : 21

22 Algorithme : Méthode de descente Procédure : f fonction objectif Variable : S solution courante Début Engendrer une configuration initiale S := S 0 ; (a.) Génerer des condidats voisins de S; Choisir le meilleur candidat S 1 ; Si f(s 1 ) f(s) < 0 alors S := S 1 ; Aller en (a.); Finsi Retourne S; Fin Il existe plusieurs moyens de choix d un meilleur voisin dont deux sont très utilisés. Le Hill Climbing consiste à choisir le voisin de la solution courante ayant la meilleure qualité (exploration exhaustive du voisinage). Le First Improvement Hill Climbing consiste à choisir le premier voisin rencontré qui a une meilleure qualité (exploration partielle du voisinage). Le Netcrawler [12] se différencie des méthodes de descente traditionnelles en acceptant également les solutions de qualité égale. Ainsi, le Netcrawler choisit le premier voisin qui a une qualité meilleure ou équivalente Le recuit simulé (Simulated annealing) Le Recuit Simulé (RS) est une métaheuristique probabiliste, inspirée d un processus utilisé en métallurgie, proposée par Kirkpatrick et al. en 1983 [79]. Par analogie avec le processus physique, la fonction à minimiser est l énergie du système. On introduit également un paramètre fictif, la température du système. À chaque itération de l algorithme, on applique un opérateur de recherche locale sur une solution. Cette modification entraîne une variation de l énergie du système. Si cette variation fait baisser l énergie du système, elle est appliquée à la solution courante. Sinon, elle est acceptée avec une certaine probabilité dépendant de la température. En diminuant progressivement la température (et ainsi la probabilité d accepter des solutions détériorantes), on tend à minimiser l énergie du système [20]. Les origines du recuit simulé remontent aux expériences réalisées par Metropolis et al. [89] dans les années 50 pour simuler l évolution d un tel processus de recuit physique. Le bon fonctionnement d un algorithme de recuit dépend essentiellement de l espace des configurations et de la fonction de décroissance de la température [36]. Ce fonctionnement est présenté par l algorithme suivant : 22

23 Algorithme : Recuit simulé Début Engendrer une configuration initiale S := S 0 Initialiser la température T := T 0 Répéter Fin Pour un nombre prédeterminé d itérations, faire Engendrer un voisin S 1 de S Calculer = f(s 1 ) f(s) Si ( < 0) Alors Finsi S := S 1 ; FinPour Sinon S := S 1 avec la probabilité exp T Diminuer T ; Jusqu à la satisfaction du critère d arrêt de la température Retourner la meilleure configuration trouvée La recherche tabou (Tabu search) La recherche tabou a été introduite par Glover [60] comme une nouvelle stratégie pour échapper aux optimums locaux en utilisant une notion de mémoire. C est la première méthode à avoir porté le nom de métaheuristique par Glover [60] (voir [58] pour plus de détail). L idée de base consiste à choisir la meilleure solution parmi l ensemble des solutions qui appartiennent au voisinage de la solution actuelle même si cette solution est moins intéressante que la précédente. Ceci peut entrainer des cycles dans l exploration de l espace des solutions. Pour éviter ce problème, la méthode utilise une mémoire appelée liste tabou, qui contient la liste des solutions récemment visitées. La mémorisation de configurations entières serait trop coûteuse en temps de calcul et en place mémoire. Il est préférable de mémoriser des caractéristiques des configurations au lieu de configurations entières [11]. Il existe plusieurs techniques permettant d améliorer les performances de la méthode de recherche tabou : L intensification permet de se focaliser sur certaines zones de l espace de recherche en apprenant des propriétés favorables, par exemple les propriétés communes souvent rencontrées dans les meilleurs configurations visitées. La diversification cherche à diriger la recherche vers des configurations inexplorées. Elle permet alors de générer des configurations qui diffèrent de manière significative de celles rencontrées auparavant. Sa mise en oeuvre a comme objectif de favoriser des mouvements n ayant pas été effectués et de pénaliser les mouvements ayant été souvent répétés. 23

24 Le critère d aspiration détermine si un élément de la liste tabou peut quand même être utilisé car il remplirait certaines conditions désirées, on dit qu on lève le statut tabou. Le fonctionnement de la méthode de recherche tabou est présenté par l algorithme suivant : Algorithme : Recherche tabou Début - Choisir une solution initiale S 0 - Mettre la solution courante S now := S 0 - Mettre la meilleure solution S best := S now - Mettre la meilleure évaluation best := f(s best ), ou f est la fonction objectif Tant que la condition d arrêt n est pas satisfaite, faire - Choisir une liste des candidats voisins de S now - Choisir S now : le meilleur candidat qui a un statut non Tabou, sauf si un critère d aspiration est appliqué Si f(s now ) < best, alors FinSi best := f(s now ) et S best := S now - Mettre S now dans la liste tabou - Mettre à jour la liste tabou Fin tant que Fin Il existe quelques théorèmes de convergence pour la méthode de recherche tabou [36, 46, 65] qui prouvent que la probabilité de trouver la solution optimale augmente avec le temps, et par suite l algorithme est capable de trouver le minimum global si le temps imparti tend vers l infini. Cependant, ces théorèmes supposent des conditions strictes, rarement présentes en pratique La méthode GRASP La méthode GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure), appelée en français la procédure de recherche adaptative aléatoire gloutonne, a été introduite par Feo et Resende [47, 48]. Elle combine les avantages des heuristiques gloutonnes, de la recherche aléatoire et des méthodes de voisinage. Un algorithme GRASP répète un processus composé de deux étapes, la construction d une solution suivie par une recherche locale pour améliorer la solution construite. Phase de construction, durant laquelle une solution est itérativement construite: chaque itération ajoute un élément dans la solution partielle courante. Pour déterminer l élément qui sera ajouté, on utilise une liste des meilleurs candidats 24