Le pendule sphérique

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1 1. Noaions Les veceurs son noés en gras Longueur du pendule simple T 0 Période du pendule θ Élongaion angulaire du pendule Le pendule sphérique par Gilber Gasebois df/d es noée f ' e df/d es noée f '' Un pendule sphérique es un pendule qui n'oscille pas dans un plan, mais sur une sphère de rayon cenrée sur l'axe du pendule. 2. Mouvemen du pendule simple pour les rès peis angles 2.1 Équaions différenielles du mouvemen m a = m g + T T = m v/ + m g cosθ Si θ es pei, on n'a plus de mouvemen significaif sur Oz, donc z = -, z' = 0, z'' = 0 e cos θ = 1 - θ/2 = 1. De plus d'après la conservaion de l'énergie mécanique, v/ = 2 g ( cosθ - cosθ m = g ( θ m - θ << g donc T = m g On pose ω 0 = g/ ( ω 0 es la pulsaion du pendule dans un repère galiléen x'' = - T/m x/l = - g x/ = - ω 0 x y'' = - T/m y/l = - g y/ = - ω 0 y z'' = 0 Équaions différenielles pour les rès peis angles x'' = - ω 0 x y'' = - ω 0 y 2.2 Soluion x'' = - ω 0 x donc x = X m sin(ω 0 + φ 1 y'' = - ω 0 y donc y = Y m sin(ω 0 + φ 2 A = 0, x = r 0, y = 0, v x = 0 e v y x = X m sinφ 1 = x 0 donc φ 1 = π/2 e x = r 0 cos ω 0 y = Y m sinφ 2 = 0 donc φ 1 = 0 e y = Y m sin ω 0 v x = x' = - r 0 ω 0 sin ω 0 v y = y' = Y m ω 0 cos ω 0

2 A = 0, v y = Y m ω 0 donc Y m /ω 0 /ω 0 ( /g 1/2 Les soluions son donc : x = r 0 cos ω 0 y /ω 0 sin ω 0 avec ω 0 = ( g/ 1/2 e T 0 = 2π/ω 0 = 2π ( /g 1/2 (x/r 0 + ( y ω 0 /v 0 = 1 de la forme : x/a + y/b = 1 Équaion d'une ellipse de demiaxes a e b Le mouvemen du pendule es donc une ellipse de demi-axes r 0 e v 0 ( /g 1/2 Remarque : Cee soluion n'es valable que pour les rès peis angles. Pour des angles un peu moins peis, l'ellipse précesse lenemen. ( Cf Mouvemen général du pendule simple 3.1 Équaions différenielles en coordonnées carésiennes m a = m g + T T = m v/ + m g cosθ ( cosθ = - z/ T = m v/ - m g z/ = m/ (( v x + v y + v z - g z a x = x'' = T x /m = - (( v x + v y + v z - g z x/ a y = y'' = T y /m = - (( v x + v y + v z - g z y/ a z = z'' = - g + T z /m = - g - (( v x + v y + v z - g z z/ La soluion ne peu êre que numérique e donne un mouvemen ellipique don l'axe ourne uniformémen dans le sens du lancemen iniial. L'ellipse ne se referme pas, on a une dérive globale de l'axe de l'ellipse. La viesse angulaire de la dérive augmene avec l'ampliude angulaire de l'oscillaion e avec le rappor des deux demi-axes de l'ellipse.( Cf 3.3

3 3.2 Équaions différenielles en coordonnées sphériques Approche newonienne r = En coordonnées sphériques : x = sinθ cosφ y = sinθ sinφ z = - cosθ x' = cosθ cosφ θ' - sinθ sinφ φ' y' = cosθ sinφ θ' + sinθ cosφ φ' z' = sinθ θ' x'' = - sinθ cosφ θ' + cosθ cosφ θ'' - 2 cosθ sinφ θ' φ' - sinθ cosφ φ' - sinθ sinφ φ'' y'' = - sinθ sinφ θ' + cosθ sinφ θ'' + 2 cosθ cosφ θ' φ' - sinθ sinφ φ' + sinθ cosφ φ'' z'' = cosθ θ' + sinθ θ'' m a = m g + T donc T = m a - mg = -T OM T parallèle à OM donc T X OM = 0 ou ( a - g X OM = 0 ( X es le produi vecoriel donc x'' x y'' z - z'' y + g y ( 1 y'' X y = z'' x - g x - x'' z ( 2 z'' - g z x'' y - y'' x ( 3 L'équaion ( 3 donne après remplacemen de x'' e z'' e simplificaion ( heureusemen beaucoup de ermes se simplifien!! : φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sin θ L'équaion ( 1 donne après remplacemen de y'', z'' e φ'' rouvé précédemmen e après simplificaion ( ça se simplifie encore beaucoup.. : θ'' = - g/ sinθ + sinθ cosθ φ' On a donc les rois relaions : r = θ'' = - g/ sinθ + sinθ cosθ φ' φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ Ces deux équaions semblen beaucoup plus simples que les équaions carésiennes, mais elles ne son pas plus solubles... Il fau les résoudre numériquemen Approche Lagrangienne Le lagrangien L es la différence enre les énergies cinéique e poenielle. La deuxième loi de Newon ou le principe de moindre acion enraîne : d(dl/dq'/d - dl/dq =0 ( ici, q es θ ou φ q e q' son considérés comme deux variables indépendanes L = E c - E p = 1/2 mv + mg cosθ = 1/2 m( v θ + v φ + mg cosθ v θ = θ' e v φ = sinθ φ' L = 1/2 m( θ' + sinθ φ' + mg cosθ dl/dθ' = m θ' donc d(dl/dθ'/d = m θ''

4 dl/dθ = m sinθ cosθ φ' - mg sinθ d(dl/dθ'/d - dl/dθ = m θ' - m sinθ cosθ φ' + mg sinθ = 0 θ'' - sinθ cosθ φ' + g sinθ = 0 θ'' = - g/ sinθ + sinθ cosθ φ' dl/dφ' = m sinθ φ' donc d(dl/dφ'/d = m sinθ φ'' + 2 m sinθ cosθ θ ' φ' dl/dφ = 0 d(dl/dφ'/d - dl/dφ = m ( sinθ φ'' + 2 sinθ cosθ θ' φ' = 0 φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ Remarque : Comme souven, la méhode du Lagrangien simplifie énormémen les calculs!! Approche physique Les résulas précédens peuven paraîre bizarres e il es bon de comprendre l'origine physique de ces expressions Le seconde es la conséquence de la conservaion de la composane L z du momen cinéique. L z se conserve car la force mg rese dans le plan verical du pendule, on n'a donc aucune composane de son momen sur Oz e donc aucune variaion de L z L z = m R φ', R = sinθ donc L z = m sinθ φ' = consane L z = consane donc sinθ φ' = consane = C e φ' = C/sinθ avec C = sinθ 0 ' donc φ'' = - 2 C sinθ cosθ θ'/sin 4 θ = - 2 C cosθ θ'/sin 3 θ or C = φ' sinθ donc φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ Ce qui es bien la formule rouvée précédemmen. La première expression es la conséquence de la loi de Newon pour un obje en roaion qui es : dl r /d = Σ M F = M mg = - m g sinθ ( L r es la composane perpendiculaire à Oz du momen cinéique L L r = m v e donc dl r /d = m a ( v e a son les composanes angenielles au cercle décri par la masse du pendule a es la somme de deux ermes, l'accéléraion due au mouvemen dans le plan verical a θ e l'accéléraion due au mouvemen dans le plan horizonal a φ. a θ = θ'' e a φc = R φ' avec R = sinθ composane cenripèe de a φ donc a φc = sinθ φ' ( a φc es la Sa projecion sur l'axe angen vau a φ = a φc cosθ = - sinθ cosθ φ' ( l'aure composane perpendiculaire de a φ donne une conribuion nulle à a Donc a = a θ + a φ = θ'' - sinθ cosθ φ' = ( θ'' - sinθ cosθ φ' dl r /d = m a = m ( θ'' - sinθ cosθ φ' = - m g sinθ, on obien : θ'' = - g/ sinθ + sinθ cosθ φ' donc en divisan par m C'es bien la relaion rouvée précédemmen.

5 3.3 Eude de la précession du mouvemen pour les peis angles ( Les calculs qui suiven son dus, en grande parie à M. Jean-Pierre André que je remercie Les équaions du mouvemen son ( Cf : θ'' = - g/ sinθ + sinθ cosθ φ' ( 1 φ' = C/sinθ avec C = sinθ 0 ' On peu remplacer φ' dans l'équaion différenielle (1, on obien : θ'' = - g/ sinθ + C cosθ/sin 3 θ On muliplie de chaque côé par θ' θ'' θ' = - g/ sinθ θ' + C cosθ θ'/sin 3 θ d(1/2 θ'/d = g/ d(cosθ/d + Cd(-1/(2sin θ /d = d(g/ cosθ -C/(2sin θ/d donc ω' = 2g/ cosθ - C/sin 2 θ + D On peu ainsi calculer (dφ/dθ = φ'/θ' = C/((2g/ cosθ - C/sin θ + Dsin 4 θ dφ/dθ = C/((2g/ cosθ - C/sin θ + D 1/2 sin θ e dφ = C 1/2 dθ/((2g cosθ - C /sin θ + D 1/2 sin θ = C 1/2 sinθ dθ/((2g cosθ sin θ - C + D sin θ 1/2 sin θ On pose u = cosθ sinθ = 1 - u dφ = - C ( /(2g 1/2 du/((u - D /(2g u - u 3 + D /(2g - C /(2g1/2 (1 - u (u - D /(2g u - u 3 + D /(2g -C /(2g es une équaion du roisième degré qui a rois soluions a, b e c, on peu donc la remplacer par (u - a(b - u(u - c a es le cosinus de l'angle θ maximal, b es le cosinus de l'angle θ minimal e c<0 n'a pas de significaion physique. En développan (u - a(b - u(u - c e en comparan le résula avec u - D /(2g u - u 3 + D /(2g -C /(2g on obien : c = - (1 + ab/(a + b D /(2g = (1 - a - b - ab/(a + b C /(2g = (1 - a(1 - b/(a + b dφ = - C ( /(2g 1/2 du/((u - a(b - u(u - c 1/2 (1 - u Résoluion pour les peis angles si θ rese pei, u = cosθ, a = cosθ M e b = cosθ m resen voisins de 1 ( e inférieurs à 1 e c voisin de -1 On pose alors u = 1 - v ( v voisin de zéro dφ = -C ( /(2g 1/2 /((1 - u(u - c 1/2 du/((u - a(b - u 1/2 On développe 1/(1 - u(u - c 1/2 au premier ordre en v 1/((1 - u(u - c 1/2 = 1/((1 - u(1 + u(u - c 1/2 =1/(v(2 - v(1 - c - v 1/2 = 1/(2v(1 - v/2(1 - c 1/2 ( 1 - v/(2-2c = 1/(2v(1 - c 1/2 (1 - v/2 - v/(2-2c = 1/(2v(1 - c 1/2 (1 - v(2 - c/(2-2c = (1 + v(2 - c/(2-2c/(2v(1 - c 1/2 dφ = C ( /(2g 1/2 (1 + v(2 - c/(2-2c/(2(1 - c 1/2 dv/(v(1 - v - a(b v 1/2 dφ = C ( /(2g 1/2 /2(1 - c 1/2 dv/(v(1 - v - a(b v 1/2 + C ( /2g 1/2 (2 - c/(2-2c/(2(1 - c 1/2 dv /(((1 - a - v(v - (1 - b 1/2

6 On inègre dφ sur un quar de période où u passe de b à a e v passe de 1 - b à 1 - a Sachan que l'inégrale de A à B de du/(u((u - A(B - u 1/2 = π/(ab 1/2 e que l'inégrale de A à B de du/((u - A(B - u 1/2 = π On obien φ = C ( /(2g 1/2 π/(2((1 - a(b - 1(1 - c 1/2 + C ( /2g 1/2 (2 - c/(2-2c/(2(1 - c 1/2 π c valan -(1 + ab/(a + b, on obien φ = C ( /(2g 1/2 π/(2((1 - a(1 - b(a + b 1/2 + C ( /2g 1/2 (2a + 2b ab(a + b 1/2 /(a + b ab 3/2 π/4 On remplace C ( /(2g 1/2 par sa valeur ((1 - a(1 - b/(a + b 1/2 φ = π/2 + π/4 ((1 - a(1 - b 1/2 (2a + 2b ab/(a + b ab 3/2 Le deuxième erme correspond à la précession de l'axe de l'ellipse : Δφ = π/4 ((1 - a(1 - b 1/2 (2a + 2b ab/(a + b ab 3/2 1 - a = sinθ M = (d M / e 1 - b = sinθ m = ( / e a e b voisins de 1 Δφ = π/4 d M / 6/8 = 3π/16 d M / pour un quar de période T/4 = π/(2ω La viesse angulaire de précession ω p = Δφ/(T/4 = 2ωΔφ/π= 3/8 d M / ω ω p = 3/8 d M / ω = 3/8d M / (g/ 1/2 T p = 2π/ω p = 8 /(3d M T T p = 16π /(3d M ( /g 1/2 Remarque : Si on lance le pendule laéralemen, θ M = θ 0 e d M = d 0 On a C = 2g(1 - a(1 - b/(a + b e C = sin θ 0 ' donc sin 4 θ 0 ' = 2g sin θ 0 sin θ m /(cosθ 0 + cosθ m = g sin θ 0 sin θ m son proches de 1 sinθ m = sinθ 0 ' /g = sinθ 0 '/ω 2 = d 0 '/ω ω p = 3 d 0 '/(8 = 3/8 θ 0 ' T p = 16π/(3 θ 0 ' ( cosθ 0 e cosθ m 4. Mouvemen conique du pendule simple 4.1 Pendule conique. Un pendule conique es un cas pariculier de pendule sphérique où l'angle θ es fixe. Le pendule se déplace sur un cercle de rayon R = sin θ. Pour cela, il fau que la viesse de lancemen ai une valeur bien précise.

7 4.2 Résoluion à parir des équaions différenielles sphériques θ es fixe donc θ' = 0 donc φ'' = - 2 cosθ θ' φ'/sinθ = 0 donc φ' = consane e donc la viesse v du pendule es consane car v = R φ' = sinθ φ' = consane θ' = 0 donc θ'' = 0 e donc θ'' = - g/ sinθ + sinθ cosθ φ' = 0, ainsi g/ = cosθ φ' e φ' = g/( cosθ φ' = ( g/( cosθ 1/2 v = sin θ φ' = ( g sinθ /cosθ 1/2 4.3 Résoluion dans un repère ournan avec le pendule Dans ce repère, le pendule es immobile, on a donc uniquemen la force cenrifuge F c = m φ' sinθ ( la viesse relaive éan nulle, la force de Coriolis es nulle. On a donc m a r = m g + T + F c = 0 F c /( m g = φ' sinθ/g = anθ = sinθ /cosθ donc φ' = g/( cosθ φ' = ( g/( cosθ 1/2 v = R φ' = sinθ φ' = ( g sinθ/cosθ 1/2 4.4 Condiion de roaion du pendule φ' = g/( cosθ donc cosθ = g/( φ' <= 1 donc φ' >= ( g/ 1/2 Il fau donc une viesse angulaire minimale φ' = ( g/ 1/2 pour que le pendule s'écare de la vericale.