Première S2 DEVOIR SURVEILLE N 5 Mardi 25 mars 2008 Durée : 1h

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1 Première S DEVOIR SURVEILLE N 5 Mardi 5 mars 008 Durée : 1h Exercice 1 : (1,5 pts) Associer à chaque figure le bon calcul du produit scalaire de a) AB b) -AB c) 0 d) AB e) - AB AC (on ne demande pas ici de justification) : AB f) AB Exercice : (3 pts) Soit ABC un triangle tel que: AB = 5 AC = 3 et 1. Calculer AB AC.. a) Justifier que BC = AC - AB. BAC = 45. b) En déduire le carré scalaire de BC en fonction de AB et AC. c) Calculer alors BC puis en déduire une valeur approchée de BC à 10-1 près. Exercice 3 : ( pts) Dans un repère orthonormal (O ; i, j), on considère les points A(5 ;5) B( ;3) et C(6 ;-3). En utilisant le produit scalaire, justifier que le triangle ABC est rectangle. Exercice 4 : (3,5 pts) toutes les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traîtées dans n importe quel ordre. Dans un repère orthonormal (O ; i, j) : 3 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(-1 ;) et de vecteur normal n. 4. Donner une équation cartésienne du cercle C 1 de centre I(0 ;3) et de rayon a) Déterminer les éléments caractéristiques (centre et rayon) du cercle C 3 d équation cartésienne : x + y x + 10y 74 = 0. b) Le point D(-1 ;6) appartient-il à C 3? Démontrer que u + v = u v si et seulement si u et v sont orthogonaux.

2 1S - corrigé du DS5 - Exercice 1 : 1- b - c 3-f 4- d 5- e 6- a Exercice : 1. AB AC = AB AC cos( BAC ) = 5 3 = 15. a) BC = BA + AC d après le relation de Chasles. Donc BC = - AB + AC = AC - AB b) BC = BC BC = ( AC AB) ( AC AB) = AC - AB AC + AB (par bilinéarité et symétrie ou identité remarquable) c) BC = BC = AC - AB AC + AB d après ce qui précède BC 15 = 9 - BC = BC > 0 donc BC = BC = 3,6 à 0,1 près par excès. Exercice 3 : BA 3 et 4 BC donc BA BC = 3 4+ (-6) = 1 1 = 0. 6 BA et BC sont donc orthogonaux, d où le triangle ABC est rectangle en B. Exercice 4 : 1. Soit M(x ;y) un point du plan. AM x + 1 y et 3 n 4 M(x ;y) AM n = 0 M(x ;y) (x+1) 3 + (y-) (-4) = 0 M(x ;y) 3x + 3-4y + 8 = 0 M(x ;y) 3x - 4y + 11 = 0 Conclusion : 3x - 4y + 11 = 0 est une équation cartésienne de.. C 1 a pour équation cartésienne (x x I ) + (y y I ) = r ie (x 0) + (y 3) = 3 soit x + y -3y + 6 = a) x + y x + 10y 74 = 0 (x 1) 1 + (y + 5) 5 74 = 0 x + y x + 10y 74 = 0 (x 1) + (y + 5) = 100 x + y x + 10y 74 = 0 (x 1) + (y + 5) = 10 x + y x + 10y 74 = 0 est une équation du cercle C 3 de centre H(1 ;-5) et de rayon 10. b) (-1-1) + (6+5) = = 15 (-1-1) + (6+5) 100. Conclusion : D C 3

3 Première S DEVOIR SURVEILLE N 5-rattrapage Mardi 5 mars 008 Durée : 1h Exercice 1 : ( pts) Calculer AB AC dans chacun des cas suivants, en choisissant la méthode la mieux adaptée (détailler les raisonnements): Exercice : (5 pts) toutes les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traîtées dans n importe quel ordre. Dans un repère orthonormal (O ; i, j) : 3 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(-1 ;) et de vecteur normal n. 4. Les droites D et D d équations cartésiennes respectives 4x -3y + 5 = 0 et 7x + y + = 0 sont-elles parallèles, sécantes non perpendiculaires ou perpendiculaires? (indication : utiliser un vecteur normal à chaque droite). 3. On considère les points B(5 ;6) et C(-1 ;-). Déterminer une équation du cercle C de diamètre [BC]. 4. a) Déterminer les éléments caractéristiques (centre et rayon) du cercle C 3 d équation cartésienne : x + y x + 10y 74 = 0. b) Le point D(-1 ;6) appartient-il à C 3? Exercice 3: (3 pts) Soit MNP un triangle tel que MN = 5 MP = 7 et NP = Calculer MN MP ; en déduire une valeur approchée en degrés (à 1 près) de l angle. Calculer MN NP. NMP. Démontrer que u + v = u v si et seulement si u et v sont orthogonaux

4 1S - corrigé du DS5 (rattrapage) - Exercice 1 : AB = 1 ( + ) = 1 ( ) a) AC AB AC BC = 1,5. 1 b) AB AC = AB AB (par projection orthogonale : comme ABC est isocèle de sommet principal C le projeté orthogonal de C sur (AB) est le milieu de [AB]) 5 Donc AB AC =. 5 c) AB AC = AB AC cos( BAC ) = 5 5 cos(10 ) = -. d) AB AC = AC AB = AC AC (par symétrie et projection orthogonale : le projeté orthogonal de B sur (AC) est le point C). Exercice : 1. Soit M(x ;y) un point du plan. AM x + 1 y et 3 n 4 M(x ;y) AM n = 0 M(x ;y) (x+1) 3 + (y-) (-4) = 0 M(x ;y) 3x + 3-4y + 8 = 0 M(x ;y) 3x - 4y + 11 = 0 Conclusion : 3x - 4y + 11 = 0 est une équation cartésienne de.. n 4 3 est un vecteur normal à D et 7 n' est un vecteur normal à D. 1 Les coordonnées des vecteurs normaux ne sont pas proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires : les droites D et D ne sont pas parallèles. n n' = 8 3 = 5 n n' 0 donc n et n' ne sont pas orthogonaux : les droites ne sont pas perpendiculaires. Conclusion : D et D sont sécantes non perpendiculaires. 3. Soit M(x ;y) un point du plan. MB 5 x 6 y et 1 x MC y M(x ;y) C MB MC = 0 M(x ;y) C (5-x)(-1-x) + (6-y)(--y) = 0 M(x ;y) C -5-4x +x -1-4y +y = 0 M(x ;y) C x -4x + y -4y -17 = 0 M(x ;y) C (x ) 4 + (y ) = 0 M(x ;y) C (x ) + (y ) = 5 M(x ;y) C (x ) + (y ) = 5 Conclusion : (x ) + (y ) = 5 est une équation cartésienne du cercle C de centre E( ;) et de rayon 5.

5 4. a) x + y x + 10y 74 = 0 (x 1) 1 + (y + 5) 5 74 = 0 x + y x + 10y 74 = 0 (x 1) + (y + 5) = 100 x + y x + 10y 74 = 0 (x 1) + (y + 5) = 10 x + y x + 10y 74 = 0 est une équation du cercle C 3 de centre H(1 ;-5) et de rayon 10. b) (-1-1) + (6+5) = = 15 (-1-1) + (6+5) 100 Conclusion : D C 3. Exercice 3 : MN = 1 ( + ) = 1 ( ) 1. MP MN MP NP = 9 D autre part MN MP = MN MP cos( NMP ) ie 9 = 5 7 cos( NMP ) D où cos( NMP ) = 9/35. NMP = cos -1 (9/35) soit. NP NMP = 34 (à 1 près). MN = MN ( NM + MP) MN NP = MN NM + MN MP MN NP = MN MN + MN MP MN NP = MN + MN MP MN NP = - MN + MN MP MN NP = MN NP = 4 u + v = u v u+ v = u v (car une norme est toujours positive) u + v = u v u + u v + v = u - u v + v u + v = u v 4 u v = 0 u + v = u v u v = 0 u + v = u v u et v orthogonaux.

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