Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017

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1 Niveau : Seconde Vecteurs partie1 Exercices entraînement - corrigé Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 VE1 Exercice 1 : À partir de la figure ci-dessous, 1) donner les images des points C, D, E dans la translation de vecteur AB ; C a pour image Y par la translation de vecteur AB D a pour image Z par la translation de vecteur AB E a pour image D par la translation de vecteur AB 2) citer trois vecteurs égaux au vecteur CY ; DZ et ED AB ; 3) citer les trois parallélogrammes définis par les trois égalités vectorielles du 2. Les trois parallélogrammes sont : ABYC ( AB = CY ) ; ABZD ( AB = DZ ) et ABDE ( AB = ED ) Vecteurs partie1 Exercices entraînement 1

2 Exercice 2 : Déterminer l image : 1) de l hexagone 1 dans la translation de vecteur AC ; C est l hexagone 6 2) de l hexagone 4 dans la translation de vecteur AB ; C est l hexagone 6 3) de l hexagone 7 dans la translation de vecteur DE. C est l hexagone 3 Exercice 3 : Placer deux points A et B et tracer le vecteur AB. 1) Construire un vecteur opposé à AB : CD 2) Construire un vecteur de même direction et de même sens que AB et qui n est pas égal à AB : EF 3) Construire un vecteur de même direction que AB mais de sens contraire et qui n est pas égal à BA : GH Vecteurs partie1 Exercices entraînement 2

3 VE2 Exercice 1 : Construire les vecteurs suivants AB + CD BA + EF CD + FE Exercice 2 : Construire ci-dessous un vecteur égal à AB + BC pour chacun des 3 cas ci-dessous : Exercice 3 : On donne les vecteurs EF GH d origine A GH IJ d origine B EF IJ d origine C EF GH IJ d origine D. EF, GH et IJ suivants. Construire les vecteurs suivants : Vecteurs partie1 Exercices entraînement 3

4 VE3 Exercice 1 : Écrire le plus simplement possible. 1) MB MD = MB + DM MB MD = DM + MB MB MD = DB 4) BD MC BM + DB = BD + CM + MB + DB BD MC BM + DB = BD + DB + CM + MB BD MC BM + DB = BB + CB BD MC BM + DB = 0 + CB BD MC BM + DB = CB 2) CB CD BD = CB + DC + DB CB CD BD = DC + CB + DB CB CD BD = DB + DB CB CD BD = 2 DB 5) MA + EM CA EC = EM + MA + AC + CE MA + EM CA EC = EA + AE MA + EM CA EC = AE + EA MA + EM CA EC = AA = 0 Vecteurs partie1 Exercices entraînement 4

5 3) BD BA + MA MD = BD + BA + MA + DM BD BA + MA MD = BD + BA + DM + MA BD BA + MA MD = BD + BA + DA BD BA + MA MD = BD + DA + BA BD BA + MA MD = BA + BA BD BA + MA MD = 2 BA 6) AU + SH ST + MU = UA + SH + TS + MU AU + SH ST + MU = MU + UA + TS + SH AU + SH ST + MU = MA + TH Exercice 2 : Soit A, B, C et D quatre points quelconques. 1) Démontrer les égalités suivantes. a) AB CD ( AC BA ) = DA AB CD ( AC BA ) = AB + DC AC + BA AB CD ( AC BA ) = AB + BA + DC + CA AB CD ( AC BA ) = 0 + DA AB CD ( AC BA ) = DA b) AD + BC = AC + BD AD + BC = AC + CD + BD + DC AD + BC = AC + BD + CD + DC AD + BC = AC + BD + 0 Vecteurs partie1 Exercices entraînement 5

6 AD + BC = AC + BD 2) Simplifier l écriture des vecteurs suivants. a) u = ( AB AC ) + ( BD CD ) u = AB + CA + BD + DC u = CA + AB + BC u = CB + BC u = 0 b) v = ( AD CD ) ( AB + BC ) v = AD + DC AC v = AC AC v = 0 Exercice 3 : Soit ABC un triangle rectangle en A. 1) Construire les points D et E tels que : AD = BA CE = CB + CD 2) Quelle est la nature du quadrilatère BCDE? Justifier. AD = BA et donc A est le milieu de [BD] CE = CB + CD = CA + AB + CA + AD (relation de Chasles) Comme AD = BA on a CE = CA + AB + CA + BA CE = CA + CA + AB + BA = 2 CA + 0 soit encore CE = 2 CA et donc A est le milieu de [CE] BCDE est donc un parallélogramme de centre A (c est même un losange car les diagonales sont perpendiculaires) Vecteurs partie1 Exercices entraînement 6

7 Exercice 4 : Soit un triangle ABC et le point G défini par GA + GB + GC = 0 1) En décomposant la relation par Chasles, exprimer le vecteur AG en fonction des vecteurs AB et AC On a GA + GB + GC = GA + GA + AB + GA + AC GA + GB + GC = 3 GA + AB + AC Comme GA + GB + GC = 0 on a alors : 3 GA + AB + AC = 0 et donc AB + AC = -3 GA Soit AB + AC = 3 AG Et AG = 1 3 ( AB + AC ) 2) Construire, à la règle non graduée et au compas seuls, le point G. (figure en page 8) 3) Que représente le point G pour le triangle ABC? Le point G est le centre de gravité du triangle ABC Vecteurs partie1 Exercices entraînement 7

8 4) Soit M un point quelconque du plan. Montrer que MA + MB + MC = 3 MG MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC MA + MB + MC = MG + MG + MG + GA + GB + GC MA + MB + MC = 3 MG + 0 MA + MB + MC = 3 MG Vecteurs partie1 Exercices entraînement 8