N o XIF au catalogue. Techniques d'enquête. Décembre 2004

Transcription

1 N o XIF au caalogue Techniques d'enquêe Décembre 2004

2 Commen obenir d aures renseignemens Toue demande de renseignemens au suje du résen rodui ou au suje de saisiques ou de services connees doi êre adressée à : Division des méhodes d enquêes aurès des enrerises, Saisique Canada, Oaa, Onario, K1A 0T6 (éléhone : Pour obenir des renseignemens sur l ensemble des données de Saisique Canada qui son disonibles, veuillez comoser l un des numéros sans frais suivans. Vous ouvez égalemen communiquer avec nous ar courriel ou visier nore sie Web. Service naional de renseignemens Service naional d aareils de élécommunicaions our les malenendans Renseignemens concernan le Programme des services de déô Télécoieur our le Programme des services de déô Renseignemens ar courriel infosas@sacan.ca Sie Web.sacan.ca Renseignemens our accéder au rodui Le rodui n o XIF au caalogue es disonible grauiemen. Pour obenir un eemlaire, il suffi de visier nore sie Web à.sacan.ca e de choisir la rubrique Nos roduis e services. Normes de service à la clienèle Saisique Canada s engage à fournir à ses cliens des services raides, fiables e courois, e ce, dans la langue officielle de leur choi. À ce égard, nore organisme s es doé de normes de service à la clienèle qui doiven êre observées ar les emloés lorsqu ils offren des services à la clienèle. Pour obenir une coie de ces normes de service, veuillez communiquer avec Saisique Canada au numéro sans frais Les normes de service son aussi ubliées dans le sie.sacan.ca sous À roos de Saisique Canada > Offrir des services au Canadiens.

3 Saisique Canada Division des méhodes d enquêes aurès des enrerises Techniques d'enquêe Juin 2004 Publicaion auorisée ar le minisre resonsable de Saisique Canada inisre de l Indusrie, 2006 Tous drois réservés. Le conenu de la résene ublicaion élecronique eu êre rerodui en ou ou en arie, e ar quelque moen que ce soi, sans aure ermission de Saisique Canada, sous réserve que la reroducion soi effecuée uniquemen à des fins d éude rivée, de recherche, de criique, de come rendu ou en vue d en réarer un résumé desiné au journau e/ou à des fins non commerciales. Saisique Canada doi êre cié comme sui : Source (ou «Adaé de», s il a lieu : Saisique Canada, année de ublicaion, nom du rodui, numéro au caalogue, volume e numéro, ériode de référence e age(s. Auremen, il es inerdi de reroduire le conenu de la résene ublicaion, ou de l emmagasiner dans un ssème d eracion, ou de le ransmere sous quelque forme ou ar quelque moen que ce soi, reroducion élecronique, mécanique, hoograhique, our quelque fin que ce soi, sans l auorisaion écrie réalable des Services d ocroi de licences, Division des services à la clienèle, Saisique Canada, Oaa, Onario, Canada K1A 0T6. Avril 2006 N o XIF au caalogue ISSN Périodicié : semesriel Oaa This ublicaion is available in English uon reques (caalogue no XIE Noe de reconnaissance Le succès du ssème saisique du Canada reose sur un arenaria bien éabli enre Saisique Canada e la oulaion, les enrerises, les adminisraions canadiennes e les aures organismes. Sans cee collaboraion e cee bonne voloné, il serai imossible de roduire des saisiques récises e acuelles.

4 4 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée Vol. 30, N o 2, Saisique Canada, N o au caalogue Esimaion robuse ar la régression généralisée Jean-François eaumon e Asma Alavi 1 Résumé Le meilleur esimaeur (ou rédiceur linéaire sans biais (LU d un oal de oulaion es fondé sur les deu hohèses suivanes : i le modèle d esimaion qui sous-end l esimaeur LU es sécifié correcemen e ii le lan de sondage es ignorable en ce qui concerne le modèle d esimaion. Dans ce conee, un esimaeur es robuse si sa disribuion demeure roche de celle de l esimaeur LU lorsque les deu hohèses iennen e s il reien de bonnes roriéés lorsque l une des hohèses ou les deu ne son as enièremen saisfaies. La robusesse au écars ar raor à l hohèse (i es aelée robusesse au modèle, andis que la robusesse au écars ar raor à l hohèse (ii es aelée robusesse au lan de sondage. On considère souven que l esimaeur ar la régression généralisée (RE es robuse, uisque sa roriéé d êre asmoiquemen sans biais ar raor au lan (ASP ne déend ni de l hohèse (i ni de l hohèse (ii. Touefois, si ces deu hohèses iennen, l esimaeur RE es arfois neemen moins efficace que l esimaeur LU e, en ce sens, n es as robuse. L inefficacié relaive de l esimaeur RE comaraivemen à l esimaeur LU es due à la grande disersion des oids de sondage. Afin d obenir un esimaeur robuse au lan de sondage, nous roosons donc un comromis enre ces deu esimaeurs. Cee aroche offre aussi une ceraine roecion conre les écars ar raor à l hohèse (i. Touefois, elle ne roège as conre les données aberranes, qui euven êre considérées comme la conséquence d une erreur de sécificaion du modèle. Pour raier les données aberranes, nous uilisons la echnique de l esimaion généralisée ondérée our réduire l influence des uniés our lesquelles les résidus ondérés de oulaion son imorans. Nous roosons deu moens raiques de mere en œuvre les esimaeurs dans le cas d enquêes olvalenes; soi nous modifions le oids des uniés influenes e adoons une aroche ar calage our obenir un ensemble unique de oids d esimaion robuses soi nous modifions les valeurs des uniés influenes. Nous évaluons ceraines roriéés de l aroche roosée au moen d une éude en simulaion oran sur une oulaion finie asmérique créée à arir de données d enquêe réelles. os clés : Robusesse au lan; robusesse au modèle; esimaeur ; données aberranes; oids rérécis; meilleur rédiceur linéaire sans biais. 1. Inroducion En héorie classique, on eu considérer que les données d échanillon son irées aléaoiremen d une oulaion infinie e émere des hohèses au suje de la loi de disribuion inconnue de la oulaion infinie. Auremen di, on osule un modèle e on cherche à en esimer les aramères. Dans ce conee, un esimaeur θˆ d un aramère du modèle θ es robuse si sa disribuion demeure roche de celle de l esimaeur du maimum de vraisemblance de θ quand les hohèses du modèle iennen e s il reien de bonnes roriéés lorsque les hohèses du modèle ne son as enièremen saisfaies. On suose souven que la loi de disribuion inconnue de la oulaion infinie es la loi normale e, ar conséquen, l esimaeur du maimum de vraisemblance se rédui à l esimaeur ar les moindres carrés habiuel. L eisence de données aberranes dans l échanillon eu êre considérée comme la conséquence d un écar ar raor à une hohèse du modèle. On ourrai suoser que la majorié de l échanillon rovien du modèle choisi, mais que ceraines données, aelées données aberranes, roviennen d un modèle différen. Par conséquen, l eisence de ce genre de données aberranes dans l échanillon ourrai inroduire un biais e augmener la variance de l esimaeur ar les moindres carrés des aramères du modèle sélecionné. Les valeurs aberranes ourraien aussi êre le résula d une disribuion foremen asmérique. Le cas échéan, l esimaeur ar les moindres carrés es sans biais, mais eu êre rès inefficace à cause d un écar ar raor à l hohèse habiuelle de normalié. L eisence de données aberranes dans l échanillon ourrai aussi êre le résula d erreurs de mesure. Ceendan, nous suosons dans le rese de l aricle que les données on éé vérifiées e corrigées, au besoin, e qu aucune erreur de mesure ne ersise. L esimaion robuse au données aberranes our les oulaions infinies a éé éudiée en déail (our une revue, voir Huber 1981, ou Hamel, Ronchei, Rousseeu e Sahel En héorie de l échanillonnage, on cherche habiuellemen à esimer des aramères de oulaion finie, els que le oal, = U, d une variable d inérê our une oulaion finie U de aille N. Comme il n es habiuellemen as ossible d observer la variable our oues les 1. Jean-François eaumon e Asma Alavi, Division des méhodes d enquêes aurès des ménages, Saisique Canada, 16 e éage, immeuble R.-H.-Coas, Oaa, (Onario, Canada, K1A 0T6. Courriel : Jean-Francois.eaumon@sacan.ca e Asma.Alavi@sacan.ca.

5 Techniques d enquêe, décembre uniés de la oulaion, la raique consise à sélecionner à arir de la oulaion finie un échanillon aléaoire s de aille n conformémen à un lan d échanillonnage robabilise ( s Z. La marice d informaion sur le lan Z conien N lignes don la e es égale à z, e z es un veceur de variables auiliaires disonible à l éae de l éablissemen du lan de sondage. Ceci n emêche as de suoser que la oulaion finie roremen die rovien d un modèle, comme cela es eliciemen le cas lorsqu elle es choisie afin de faire des inférences fondées sur un modèle. Sous ce e d inférences, Roall (1976 a éabli le meilleur esimaeur (ou rédiceur linéaire sans biais (LU our es Linear Unbiased ˆ de (voir aussi Vallian, Dorfman e Roall 2000, chaire 2. Ce esimaeur es fondé sur les deu hohèses suivanes : i le modèle d esimaion sous-jacen à l esimaeur LU ˆ es sécifié correcemen e ii le lan de sondage es ignorable en ce qui a rai au modèle d esimaion. Dans ce conee, un esimaeur ˆ du oal de oulaion finie es robuse si sa disribuion rese roche de celle de l esimaeur LU ˆ quand les deu hohèses iennen e qu il reien de bonnes roriéés quand l une des hohèses ou les deu ne son as enièremen saisfaies. La robusesse au écars ar raor à l hohèse (i es aelée robusesse au modèle, andis que la robusesse au écars ar raor à l hohèse (ii es aelée robusesse au lan de sondage. ien que nous considérions des esimaeurs robuses consruis dans la ersecive d une esimaion fondée sur un modèle, nous référons, dans la mesure du ossible, évaluer leurs roriéés ar raor au lan de sondage. Ceci nous erme de choisir les consanes don déenden les esimaeurs robuses e d évaluer leur qualié sans devoir nous auer sur un modèle e, lus récisémen, sans devoir nous auer sur un modèle our les données aberranes. Cela nous fourni aussi un cadre objecif our comarer les esimaeurs dérivés sous divers modèles. Nous arageons cee référence our l évaluaion ar raor au lan de sondage des roriéés des esimaeurs fondés sur un modèle avec Lile (1983 qui fai remarquer que les roriéés asmoiques fondées sur le lan de sondage ourraien êre lus uiles our évaluer les esimaeurs que les roriéés asmoiques fondées sur un modèle, ariculièremen si l ensemble de données es grand. L esimaeur ar la régression généralisée (RE de es souven considéré comme un esimaeur robuse, uisque sa roriéé d absence asmoique de biais ar raor au lan (ASP ne déend ni de l hohèse (i ni de l hohèse (ii; auremen di, l esimaeur RE es robuse au biais, même si l on eu jusifier sa forme au moen d un modèle d esimaion. Ceendan, si les deu hohèses iennen, l esimaeur RE es arfois neemen moins efficace que l esimaeur LU e, en ce sens, il n es as robuse. L inefficacié relaive de l esimaeur RE comaraivemen à l esimaeur LU es due à une fore disersion des oids de sondage. Le fai que la variabilié des oids de sondage uisse accroîre la variance d un esimaeur es bien connu (voir, ar eemle, Rao 1966; Duouchel e Duncan 1983; Kish 1992; Pfeffermann 1993; Korn e raubard 1999, chaire 4; Ellio e Lile 2000; Kalon e Flores-Cervanes 2003 e n es as rare dans le cas des enquêes aurès des ménages, à cause des nombreu redressemens des oids avan le calage (Kish 1992; Kalon e Flores-Cervanes Ce roblème es souven raié ar roncaion des oids de sondage les lus élevés (Poer 1988, 1990, 1993; Soes Pour obenir un esimaeur robuse au lan de sondage quand la variabilié des oids de sondage es fore, nous roosons un comromis enre les esimaeurs RE e LU qui reose sur la echnique des moindres carrés ( our Leas Squares ondérés. Ce esimaeur de comromis résene un biais ar raor au lan de sondage lus faible que celui de l esimaeur LU quand l hohèse de lan ignorable n es as saisfaie e, simulanémen, es lus efficace que l esimaeur RE quand cee hohèse es vérifiée. Il offre aussi une ceraine roecion conre les écars ar raor au hohèses du modèle. L échanillonnage équilibré (Roall e Herson 1973 e le calage non aramérique (Chambers, Dorfman e Wehrl 1993 son d aures méhodes qui roègen conre ceraines formes d erreur de sécificaion du modèle (voir aussi Vallian, Dorfman e Roall 2000, chaires 3, 4 e 11. Touefois, aucune de ces méhodes ne roège conre les données aberranes, qui euven êre considérées comme la conséquence d une erreur de sécificaion du modèle. Dans le cas de l esimaion fondée sur un modèle, l idée qui sous-end la echnique d esimaion a éé avancée our élaborer des esimaeurs robuses au données aberranes our remlacer l esimaeur LU (Chambers 1986; Lee 1991; Welsh e Ronchei Dans le cas de l esimaion fondée sur le lan de sondage, la echnique d esimaion a aussi éé uilisée our élaborer des esimaeurs robuses au données aberranes our remlacer l esimaeur RE (e e Rives 1992; Hulliger 1995, 1999; Duchesne 1999; Zaslavs, Schener e elin L esimaion es égalemen discuée dans l aricle bibliograhique de Lee (1995 e une comaraison emirique de lusieurs esimaeurs robuses au données aberranes figure dans e e Lee (2000. Les aramères de oulaion finie son souven for sensibles à la résence de données aberranes dans la oulaion, conrairemen au aramères de modèle (oulaion infinie, qui ne déenden habiuellemen as de ces données. Par conséquen, le roblème de la robusesse au données aberranes n es as le même our les oulaions Saisique Canada, N o au caalogue

6 6 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée finies que our les oulaions infinies. Comme le fai remarquer Chambers (1986, dans le cas des oulaions finies, c es l erreur d échanillonnage d un esimaeur (ou l erreur de rédicion dans un cadre fondé sur un modèle, e non as nécessairemen l esimaeur roremen di, qui doi êre insensible au données aberranes. Par eemle, lorsqu on uilise un lan d échanillonnage aléaoire simle, la médiane d échanillon es robuse au sens classique. Par conséquen, la résence d une valeur aberrane dans la oulaion finie n a our ainsi dire aucun effe sur sa variance ar raor au lan de sondage, aussi grande que soi la valeur aberrane. Par conre, l erreur d échanillonnage e le biais ar raor au lan de sondage de la médiane d échanillon, quand on uilise celle-ci comme esimaeur de la moenne de oulaion finie, rennen une valeur arbirairemen grande lorsqu une ou lusieurs uniés de la oulaion rennen une valeur arbirairemen grande. Cee siuaion es due au fai que la moenne de oulaion finie rend, elle-même, une valeur arbirairemen grande dans de elles condiions. Conrairemen à la médiane d échanillon, la moenne d échanillon es sans biais ar raor au lan de sondage, mais elle n es as robuse au sens classique. La résence d une donnée aberrane dans la oulaion finie eu donc avoir un effe imoran sur l erreur d échanillonnage e la variance ar raor au lan de sondage de la moenne d échanillon. Cela elique ourquoi, dans le cas de oulaions finies, on considère souven la robusesse au données aberranes comme éan un comromis enre le biais e la variance e ourquoi les données aberranes doiven habiuellemen avoir une influence, du moins dans une ceraine mesure, sur les esimaeurs. L erreur quadraique moenne (EQ es ar conséquen un crière uile our évaluer la qualié des esimaeurs des aramères de oulaion finie robuses au données aberranes. L objecif réel du résen aricle es de rouver un esimaeur robuse our remlacer l esimaeur RE habiuellemen uilisé de. Ceendan, quand on discue de quesions de robusesse, il es lus naurel de commencer ar inroduire l esimaeur oimal (LU. Donc, à la secion 2, nous discuons des hohèses qui sous-enden ce esimaeur. Nous donnons aussi les condiions sulémenaires sous lesquelles le biais asmoique ar raor au lan de sondage de l esimaeur LU es négligeable. À la secion 3, nous raions de la robusesse au lan de sondage e inroduisons l esimaeur des moindres carrés ( ondéré. À la secion 4, nous discuons de la robusesse au modèle (lus récisémen, de la robusesse au données aberranes e nous roosons la echnique d esimaion généralisée ondérée our réduire l influence des uniés don le résidu ondéré de oulaion es grand. L esimaeur roosé es convergen dans le cas d un recensemen en ce sens qu il es égal au oal de oulaion finie lorsqu on réalise un recensemen. Nous roosons deu moens raiques d aliquer les esimaeurs au enquêes olvalenes; soi nous modifions les oids des uniés influenes e nous uilisons une méhode de calage our obenir un ensemble unique de oids d esimaion robuses soi nous modifions les valeurs des uniés influenes. À la secion 5, nous discuons de l esimaion de l erreur quadraique moenne (EQ. À la secion 6, nous évaluons ceraines roriéés de la méhode roosée au moen d une éude en simulaion oran sur une oulaion finie asmérique créée à arir de données d enquêe réelles. Enfin, à la dernière secion, nous irons ceraines conclusions. 2. eilleur esimaeur linéaire sans biais Soi un veceur de variables auiliaires disonible our oues les uniés de l échanillon s e our lequel on connaî les oau de oulaion = U. Soi, en oure, X la marice conenan N lignes don la e es égale à. Le veceur eu ou non conenir ceraines variables du veceur z de variables de lan de sondage. Avan de arler de la robusesse, nous décrivons les deu hohèses (voir A1 e A2 ci-arès au suje desquelles la robusesse es souhaiée. Puis, nous eliquons brièvemen commen nous les validons. A1 Le modèle d esimaion m qui sui ien : les sachan X, our U, suiven des lois indéendanes de moenne E ( X = m β e de variance V ( 2 m X = σ v, où β e σ 2 son des aramères inconnus du modèle, v = λ e λ es un veceur de consanes connues. L indice inférieur «m» indique que les esérances e les variances son évaluées ar raor au modèle m. A2 Le lan de sondage es indéendan de sachan X; auremen di, ( s, X = ( s X, où es un veceur conenan N élémens don le e es égal à. L hohèse (A1 décri le modèle d esimaion m, qui sécifie la loi de sachan X. Nous ouvons uiliser des echniques sandard our valider ce modèle (voir, ar eemle, Draer e Smih 1980, chaire 3. L hohèse de linéarié E ( X = m β es une imorane hohèse sous-jacene au modèle d esimaion m. Il eise lusieurs moens d en évaluer la validié. On roose souven, our cela, d uiliser un grahique des résidus e βˆ en = foncion de βˆ our un cerain esimaeur sans biais ar raor à m βˆ de β. Toue endance qui se dégage de ce grahique es une indicaion que la relaion enre e n es as linéaire. Pour obenir la robusesse au écars ar Saisique Canada, N o au caalogue

7 Techniques d enquêe, décembre raor à l hohèse de linéarié, nous ouvons uiliser un modèle ossraifié quand il es ossible de ariionner la oulaion en groues homogènes e muuellemen eclusifs. Hedlin, Falve, Chambers e Koic (2001 illusren l imorance d une modélisaion minuieuse dans le cas des enquêes ar sondage. L hohèse (A2 es une condiion suffisane our que l on uisse ignorer (Rubin 1976 le lan de sondage en ce qui concerne la loi de sachan X. Auremen di, la loi de es indéendane de s arès le condiionnemen sur X. En uilisan l hohèse (A1, nous ouvons subdiviser en un erme fie Xβ e un erme d erreur aléaoire ε = Xβ. Par conséquen, si le lan de sondage es indéendan de ε sachan X, c es-à-dire si ( s ε, X = ( s X, alors l hohèse (A2 es saisfaie e le lan de sondage es ignorable. Puisque nous considérons uniquemen les lans de sondage de la forme ( s Z, un moen éviden de rendre le lan de sondage ignorable consise à inclure oues les variables de lan de sondage z dans le modèle d esimaion. Les variables uilisées our former les sraes, celles uilisées comme mesure de aille en cas d échanillonnage avec robabilié roorionnelle à la aille, e ainsi de suie, son des eemles de variables de lan de sondage. Les oids de sondage euven aussi résumer uilemen l informaion sur le lan de sondage. Noons qu il ne fau as nécessairemen inclure oues les variables de lan de sondage dans le modèle d esimaion (voir Sugden e Smih Les variables de lan qui son indéendanes de (ou ε sachan X ne devraien as êre incluses dans le modèle. Pour évaluer la validié de l hohèse (A2, l uilisaion d un grahique des résidus e βˆ en foncion des = oids de sondage (ou de oue variable de lan ourrai êre uile (voir Pfeffermann Toue endance se dégagean de ce grahique laisse enendre que les oids de sondage son corrélés à l erreur aléaoire ε e que le lan de sondage n es as ignorable en ce qui concerne le modèle d esimaion. On eu aussi recourir à des ess lus formels our évaluer la validié de cee hohèse (voir, ar eemle, Duouchel e Duncan 1983; raubard e Korn 1993; e, our d aures références bibliograhiques à ce suje, Pfeffermann Sous le modèle d esimaion m e l hohèse de lan ignorable (A2, il es facile de monrer que l esimaeur LU (Roall 1976 ˆ de rend la forme de rojecion simle ˆ = ˆ, où ˆ es défini imliciemen ar l équaion s ( ˆ = 0. (2.1 v L esimaeur LU eu aussi s écrire sous la forme ˆ = s, où les oids d esimaion LU son donnés ar 1 = v s v. (2.2 La variance ar raor au modèle Vm{(ˆ s, X} de ˆ es celle qui es la lus eie our chaque échanillon ossible armi ous les esimaeurs linéaires sans biais ar raor à m de. Une conséquence direce de ce résula es que la variance aniciée E {E (ˆ 2 m X} de ˆ es égalemen la lus eie armi ous les esimaeurs linéaires sans biais ar raor à m de, où l indice inférieur indique que l esérance es évaluée ar raor au lan de sondage. Sous l hohèse sulémenaire que la loi de, sachan X, es normale, ˆ es aussi l esimaeur du maimum de vraisemblance du veceur de aramères du modèle β. En général, l esimaeur LU ˆ n es as asmoiquemen sans biais ar raor au lan (ASP. Ceendan, sous le modèle d esimaion m, l hohèse de lan ignorable (A2 e l hohèse sulémenaire (A3 énoncée lus loin, l esimaeur LU a la roriéé d êre asmoiquemen sans biais ar raor au lan en robabilié (ASPP en ce sens que son biais relaif ar raor au lan E (ˆ / converge en robabilié vers 0 quand n e N augmenen sans borne. 2 2 A3 U E {( I}σ = O( N, U β = O ( N e σ 2 U = O( N, où σ 2 = σ 2 v e I es une variable aléaoire ficive indiquan si l unié es sélecionnée dans l échanillon ( I = 1 ou ne l es as ( I = 0. L hohèse (A3 décri le comoremen asmoique de rois quaniés de oulaion. Plus récisémen, eiger 2 2 que U E {( I } σ = O( N signifie esseniellemen qu aucun oids d esimaion LU ne devienne ro grand à mesure que la aille d échanillon e la aille de oulaion augmenen. Par eemle, si = v = 1 e que nous uilisons un lan d échanillonnage de aille fie n, alors la 2 2 condiion U E {( I}σ = O( N équivau à suoser que les oids = N / n resen bornés quand n e N augmenen l un e l aure. La reuve que ˆ es ASPP es donnée en annee e n eige as que v = λ. Par conséquen, l esimaeur LU es ASPP, même si la variance ar raor au modèle Vm ( X es sécifiée incorrecemen. Comme nous l avons fai remarquer lus hau, l esimaeur LU es efficace si le modèle d esimaion m e l hohèse de normalié iennen, de même que l hohèse de lan ignorable (A2. Sous ces hohèses e l hohèse sulémenaire (A3, l esimaeur LU es égalemen ASPP. Donc, une remière éae vers la robusesse consise à sélecionner e à valider un modèle d esimaion el que ces hohèses soien saisfaies dans la mesure du ossible. alheureusemen, en raique, il es rare qu elles Saisique Canada, N o au caalogue

8 8 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée soien saisfaies enièremen. Par eemle, nous ourrions hésier à inclure ous les idenifians de srae dans le modèle d esimaion si le nombre de sraes es rès grand. Le cas échéan, l hohèse de lan ignorable ourrai ne as êre enièremen vérifiée. En oure, le modèle d esimaion, comris l hohèse de normalié, ourrai ne as êre vérifié our chaque variable d inérê. Conséquemmen, il n es as oujours arorié d uiliser aveuglemen l esimaeur LU ˆ de e il fau arfois recourir à des esimaeurs robuses. 3. Robusesse au lan de sondage Paran du fai que v = λ, il es facile de monrer (voir Särndal, Sensson e Wreman, 1992 age 231 que eu s erimer sous la forme =, où es défini imliciemen ar l équaion ( = 0. (3.1 v U Le veceur serai l esimaeur de β, sous le modèle d esimaion m, si l on ouvai réaliser un recensemen. Puisque es connu, rechercher un esimaeur du oal de oulaion équivau à rechercher un esimaeur de. Selon la héorie de l esimaion fondée sur le lan de sondage, un esimaeur naurel ˆ de es défini imliciemen ar l équaion ( ˆ = 0, (3.2 v s où, le oids de sondage de l unié, es égal à l inverse de la robabilié de sélecion π. L uilisaion de ˆ mène à l esimaeur RE ˆ = ˆ de. L esimaeur RE ˆ rend une forme de rojecion simle arce que v = λ (voir Särndal e coll. 1992, age 231. Nous ouvons aussi l écrire sous la forme ˆ = s, où les oids d esimaion RE son donnés ar 1. (3.3 v s v Comme nous le soulignons dans l inroducion, l esimaeur RE es robuse au biais uisque sa roriéé d êre ASP ne déend as de la validié du modèle d esimaion m ni de l hohèse de lan ignorable. Ceendan, l esimaeur RE n es as robuse à la variance, uisqu il es arfois neemen moins efficace que l esimaeur LU lorsque les deu hohèses son vérifiées. L inefficacié de l esimaeur RE es due à la fore disersion des oids de sondage. Dans le cas des enquêes aurès des ménages, cee siuaion n es as rare, à cause des nombreu redressemens de la ondéraion avan le calage. En oure, les considéraions raiques quan au choi du lan de sondage, conjuguées à l informaion limiée don on disose à l éae de la conceion du lan de sondage, roduisen fréquemmen des lans de sondage aroimaivemen ignorables. Ainsi, dans le cas des enquêes aurès des ménages, l informaion géograhique es souven la rinciale informaion auiliaire don on disose our consruire les sraes. À moins que le nombre de sraes soi rès grand, cee informaion es, en général, faiblemen corrélée au variables quaniaives d inérê, elles que les déenses ou le revenu, e à leur variable d erreur résiduelle de oulaion corresondane E =. Par conséquen, la variable de oids de sondage es, elle aussi, faiblemen corrélée à E, ce qui donne à enser que l hohèse de lan ignorable ourrai enir aroimaivemen. Cela fai aussi enser que les oids de sondage agissen lus ou moins comme un brui aléaoire lors de l esimaion de au moen de (3.2 e que leur influence ourrai êre significaivemen réduie. Par conséquen, our obenir un esimaeur robuse au lan de sondage lorsque la variabilié des oids de sondage es fore, nous roosons de rérécir (shrin les oids de sondage de façon qu ils se rarochen de la moenne e d uiliser l esimaeur ˆ ˆ =, où ˆ es défini imliciemen ar ( ˆ = 0 (3.4 s v e où es le oids «réréci» de l unié donné ar s = g( ; α. (3.5 g( ; α s Dans le deuième membre de (3.5, le rôle du raio es simlemen d assurer que s = s e celui de la foncion g ( ;α, d obenir les oids rérécis qui son moins variables que les oids de sondage. Nous suosons que cee foncion es monoone en la consane α, avec 1 g( ; α. Les esimaeurs LU e RE son ar conséquen des cas séciau erêmes de l esimaeur obenus quand α es el que g ( ;α = 1 e g ( ;α, resecivemen. Pour obenir un simle comromis enre ces deu esimaeurs erêmes, nous α roosons d uiliser g ( ; α, avec 0 α 1. Le choi α = 0 mène à l esimaeur LU, andis que le choi α = 1 mène à l esimaeur RE. En fai, l aueur de cee roosiion es Kish (1992, age 198. D aures foncions g ( ;α e d aures moens de réduire la variabilié des oids de sondage son décris dans la liéraure (voir, ar eemle, Ellio e Lile La roncaion des oids de sondage de valeur élevée ( g ( ;α = min(,α, avec α > 0 es une aroche fréquemmen uilisée our résoudre ce roblème. Elle eu êre uile lorsque les hohèses (A1 e (A2 ne son as enièremen saisfaies e qu il eise des oids de sondage anormalemen grands. Saisique Canada, N o au caalogue

9 Techniques d enquêe, décembre Une meilleure aroche ourrai consiser à ronquer les résidus ondérés don la valeur es grande. Nous ouvons our cela uiliser la echnique de l esimaion généralisée ondérée décrie à la secion suivane. L esimaeur ˆ ˆ donnés ar s eu aussi s écrire sous la forme, où les oids d esimaion son 1. (3.6 v s v Noons que les oids d esimaion, comris e en an que cas ariculiers, son calés sur les oau connus de oulaion en ce sens qu ils saisfon l équaion de calage s = (voir Deville e Särndal Robusesse au modèle (au données aberranes Comme nous le menionnons dans l inroducion, l esimaeur ˆ roège dans une ceraine mesure conre les écars ar raor à l hohèse de lan ignorable, ainsi que conre les écars ar raor au hohèses qui sous-enden le modèle. Ceendan, il n offre aucune roecion conre les données aberranes, qui euven êre considérées comme la conséquence d une erreur de sécificaion du modèle, comris un écar ar raor à l hohèse de normalié. Ainsi, l esimaeur RE es ASP quelle que soi la validié du modèle d esimaion. Touefois, sa variance ar raor au lan eu êre rès grande en résence de données aberranes dans la oulaion finie, arce qu elles euven influer foremen sur son erreur d échanillonnage lorsqu elles son sélecionnées dans l échanillon. Ce roblème risque d êre amlifié lorsque les oids de sondage son rès disersés. Dans le cas de l esimaeur d Horviz-Thomson, cee siuaion a éé bien illusrée ar l eemle du cirque de asu (1971. Naurellemen, l uilisaion de variables auiliaires efficaces au sade de l esimaion eu ermere de neuraliser l effe des valeurs aberranes sur les esimaions. alheureusemen, rès souven, ce genre de variables auiliaires ne son as disonibles, si bien que l uilisaion d esimaeurs robuses au données aberranes eu donner des résulas significaivemen meilleurs que l esimaeur. En uilisan la echnique de linéarisaion ar série de Talor (voir, ar eemle, Särndal e coll. 1992, age 235 e sachan que =, il es bien connu, e facile de monrer, qu on eu aroimer l erreur d échanillonnage de l esimaeur RE comme sui : ˆ s E, où E = es le résidu de oulaion our l unié. Par conséquen, un oids de sondage élevé associé à un résidu de oulaion (ou valeur aberrane imoran eu avoir un effe considérable sur la qualié de l esimaeur RE. De surcroî, il es facile de monrer que l erreur d échanillonnage de l esimaeur eu s erimer sous la forme ˆ = s E. Donc, un oids d esimaion élevé associé à un résidu de oulaion imoran eu influencer foremen l erreur d échanillonnage e la qualié de l esimaeur. Pour résoudre ce roblème, nous uilisons la version de Schee (Hamel e coll. 1986, ages de la echnique d esimaion généralisée ondérée our réduire l influence des uniés don le résidu ondéré de oulaion es grand. Nous obenons ainsi l esimaeur ˆ de, qui es défini imliciemen ar s 1 h h E ( ˆ ψ Q v = 0, (4.1 où E ˆ ( = ( ˆ / v, Q es un aramère d échelle de oulaion osiif e h es un oids qui eu déendre non seulemen de, mais aussi de z. Le rôle de la foncion ψ (. consise à réduire l influence des uniés our lesquelles h E ( es grand. Come enu des considéraions qui récèden, h v ou h = v es un choi naurel. Dans le remier cas, c es l influence d une grande valeur de E qui es réduie e dans le second, celle d une grande valeur de E. On ourrai choisir h v de référence à h v s il eise des valeurs aberranes dans les variables auiliaires ou que la valeur de α n es as roche de 1 (en α suosan que g ( ;α. Le oin imoran ici es que h devrai déendre des oids de sondage ou e que les choi roosés lus hau devraien ous deu donner de meilleurs résulas que les choi lus simles qui ne iennen as come des variables auiliaires z, els que h = v ou h = 1, qui réduisen l influence des grands résidus non ondérés. En oure, il convien de souligner de nouveau que nous recherchons un esimaeur robuse du veceur des aramères de oulaion e non du veceur des aramères du modèle β. En fai, lui-même n es as robuse (au sens classique our β, uisqu il eu êre foremen influencé ar la résence de données aberranes dans la oulaion finie. Par conséquen, les données aberranes doiven eercer une ceraine influence sur ˆ. L équaion (4.1 eu s écrire sous la forme d une régression linéaire ondérée : où s * ˆ (, ( ˆ Q = 0, (4.2 v ( ˆ *, Q ( r ψ r Saisique Canada, N o au caalogue

10 10 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée e h E ( ˆ r =. Q Nous roosons de modifier comme sui la foncion bien connue ψ (. de Huber (1964 de sore que les oids * corrigés ˆ (, Q soien oujours égau ou suérieurs à 1 : ψ( r = r, si r φ, e ψ( r = sign( r ma( r /, φ, auremen, où φ es une consane osiive. Ce qui nous mène au oids corrigés, si r φ, * ( ˆ, Q = φ ma 1,, auremen. r (4.3 L algorihme des moindres carrés reondérés iéraivemen (IR our Ieraivel Reeighed Leas- Squares (eaon e Tue 1974 es souven uilisé our résoudre (4.2 e (4.3. Lors d une iéraion donnée i, on calcule d abord les oids corrigés * ( i 1 ( i 1 (, Q au (i moen de (4.3, uis on obien en résolvan (4.2 avec * ˆ (, Q e ˆ remlacés ar * ( i 1 ( i 1 (, (i Q e, (i resecivemen. Pour obenir, on calcule habiuellemen une esimaion de Q à chaque iéraion de l algorihme IR. Dans l éude en simulaion de la secion 6, nous avons uilisé Q ( i 1 = 1,483 médiane d' échanillon ondérée de ( i 1 ( h E ( ; s, (4.4 où la médiane ondérée d échanillon es calculée en uilisan les oids / h. L équaion (4.4 se rédui à la roosiion de Hulliger (1999 quand h = 1 e g ( ;α =. Nous roosons d uiliser (0 = ˆ comme veceur des valeurs de déar, uisque ˆ es facile à obenir. On réèe normalemen la rocédure iéraive jusqu à ce qu on aeigne la convergence. Pour réduire le ems machine, ariculièremen si l on uilise une méhode de rééchanillonnage our esimer l EQ, on eu se limier à une seule iéraion de l algorihme IR. À la secion 6, nous monrons emiriquemen que l eécuion d une seule iéraion donne un esimaeur du oal de oulaion don les roriéés son semblables à celles de l esimaeur enièremen iéré. Cee observaion a égalemen éé faie ar Lee (1991. L esimaeur de es donné ar ˆ = ˆ. Sous la conraine que * ˆ (, Qˆ 1, où Qˆ es un esimaeur de Q, les esimaeurs ˆ e ˆ son convergens dans le cas d un recensemen en ce sens qu ils son eacemen égau à e, resecivemen, quelle que soi la valeur de φ e de α, quand on réalise un recensemen ( π = 1, our U. Cee conraine ourrai êre uile our conrôler le biais ar raor au lan de sondage de ˆ lorsqu il eise des oids rérécis don la valeur es roche de 1. Noons que les esimaeurs ˆ e ˆ se réduisen à ˆ e ˆ, resecivemen, quand φ = ( ψ ( r = r. L esimaeur ˆ eu aussi êre erimé sous la forme ˆ = s, où les oids d esimaion son donnés ar 1 * * ˆ ˆ (, ( ˆ, ˆ Q Q. (4.5 v s v Les oids d esimaion son encore calés sur les oau connus de oulaion ( s =. Afin de déerminer les valeurs aroriées de α e φ, nous ouvons esimer l EQ de l esimaeur ˆ our diverses valeurs de α e φ au moen de données d échanillon assées ou couranes. Nous ouvons alors choisir les valeurs de α e φ qui donnen l esimaion la lus eie de l EQ. Nous discuons de l esimaion de l EQ à la secion 5. Comme le souligne Hulliger (1995, choisir adaaivemen α e φ en minimisan l EQ esimée au moen de données couranes d échanillon donne un esimaeur ˆ qui ne nécessie as l esimaion du aramère d échelle Q. En oure, cee rocédure erme de conrôler l ordre de grandeur du biais ar raor au lan de sondage de ˆ sans devoir uiliser de consanes sulémenaires. Ceendan, elle es robablemen moins efficace que l uilisaion des valeurs oimales (quoique inconnues de α e φ. Dans le cas des enquêes olvalenes, il es robable que l on obienne des valeurs différenes de α e φ our diverses variables d inérê. Si l on veu évier d uiliser lusieurs ensembles de oids, un comromis es nécessaire. En guise de remière éae vers ce comromis, nous ouvons déerminer une valeur commune de α, saisfaisane our la luar des variables d inérê. Puis, nous roosons deu moens raiques d aliquer l esimaeur ˆ sans devoir rouver de valeur de comromis our φ ; ou bien nous modifions les oids des uniés influenes e nous uilisons une aroche de calage our obenir un ensemble unique de oids d esimaion robuses, ou bien nous modifions les valeurs des uniés influenes. Nous discuons de la remière oion à la secion 4.1 e de la seconde à la secion odificaion des oids des uniés influenes Suosons mainenan que nous voulions esimer les oau de oulaion d un veceur de q variables d inérê = ( 1, 2,..., q. Nous ouvons obenir un veceur de q esimaeurs ˆ = ˆ (ˆ,,..., ˆ 1 2 de q = U, avec des valeurs oeniellemen différenes de φ our des Saisique Canada, N o au caalogue

11 Techniques d enquêe, décembre variables différenes. Pour simlifier la noaion, nous rerésenons les oids corrigés associés à la variable i ar * ( i, our i = 1, 2,..., q. Puisque les oids corrigés * ( i déenden de la variable d inérê i, nous obenons q ensembles de oids, même si nous choisissons une valeur commune de φ. e e Rives (1992, Duchesne (1999 e Hulliger (1999 on roosé d uiliser les oids corrigés * ( = * * min( (, (,..., * 1 2 ( q our obenir un ensemble unique de oids. Alors, les oids d esimaion ( son calculés en remlaçan * ˆ (, Qˆ ar * ( dans (4.5 e es esimé ar s (. ien que les oids d esimaion ( soien calés sur les oau connus de oulaion, ils ne son as calés sur le veceur des esimaions ˆ, que nous considérons comme nos meilleures esimaions au sens de la minimisaion de l EQ esimée. De surcroî, l uilisaion de s ( rodui vraisemblablemen un biais ar raor au lan de sondage lus imoran que ˆ, même si elle erme de conrôler la variance ar raor au lan de sondage. Pour résoudre ces roblèmes, nous roosons de calculer les oids d esimaion, A ( en remlaçan * ˆ (, Qˆ ar les oids corrigés * ( dans (4.5 e en augmenan le veceur de variables auiliaires e les oau connus de oulaion au moen de e ˆ, resecivemen. Par conséquen,, A les oids d esimaion ( son calés sur e ˆ, e es esimé au moen de ˆ, A = s (. Naurellemen, on ourrai vouloir limier le nombre de variables de calage, ce qui resreindrai dans une ceraine mesure l alicabilié de cee méhode lorsque la valeur de q es rès grande. 4.2 odificaion des valeurs des uniés influenes Un aure moen d aliquer l esimaeur, ˆ, en raique consise à modifier les valeurs des variables d inérê e à uiliser les oids d esimaion,, our oues les variables. Nous ouvons faire cela séarémen our chaque variable d inérê, si bien que nous revenons à la résene secion au cas d une variable d inérê unique. Commençons ar rerésener ar s o l ensemble aléaoire de oues les uniés échanillonnées our lesquelles * ˆ (, Qˆ. Auremen di, s o es l ensemble aléaoire d uniés qui on éé reconnues comme éan influenes. Posons aussi que ˆ * es défini imliciemen ar l équaion s * ( ˆ v = 0, (4.6 * où =, si s so, e =, auremen. La * quanié es une valeur modifiée de l unié influene que nous uilisons our remlacer. Noons que ˆ * = ˆ si =, our s. Nous ouvons alors * esimer le oal de oulaion ar ˆ =. Il es égalemen facile de monrer que ˆ* = s. L idée ici consise à rouver des valeurs modifiées *, our so, aussi roches que ossible des valeurs originales e saisfaisan à la conraine ˆ * = ˆ. Sous cee conraine, il es éviden que ˆ * = ˆ. Nous obenons une alicaion de cee idée en minimisan la foncion de disance s * ( 2 / v o sous la conraine ˆ * = ˆ. Cela nous mène au valeurs modifiées * = * ˆ 1 + s v o ( ˆ ˆ. s v (4.7 Cee idée es esseniellemen équivalene au calage inverse roosé ar Ren e Chambers (2002, eceé que ces aueurs on uilisé la conraine ˆ * = ˆ au lieu de ˆ * = ˆ. Nous référons cee dernière, uisqu elle rodui des valeurs modifiées qui réserven mieu la relaion enre la variable d inérê e les variables auiliaires. Il es ossible de rouver d aures moens de déerminer des valeurs modifiées qui saisfon à la conraine ˆ * = ˆ. Par eemle, il es facile de monrer que cee conraine es saisfaie quand on uilise les valeurs modifiées suivanes : ˆ, (4.8 * = a + (1 a où a * ( ˆ, Qˆ /. Les valeurs modifiées de l équaion (4.8 on une inerréaion simle : il s agi de la moenne ondérée de la rédicion robuse ˆ e de la valeur observée. oins de oids es accordé à la valeur observée quand la valeur de a es lus faible e que, ar conséquen, cee valeur observée es foremen influene. 5. Esimaion de l erreur quadraique moenne L esimaion de l EQ de ˆ eu avoir rois objecifs : i rouver des valeurs aroriées de α e φ au moen de données d échanillon anciennes ou couranes, ii évaluer la qualié des esimaions e iii faire des inférences au suje de quaniés de oulaion inconnues. Paran du fai que E (ˆ, il es facile de monrer que l EQ de ˆ eu êre aroimée ar EQ ( ˆ V ( ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ + E ( V (. (5.1 Saisique Canada, N o au caalogue

12 12 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée Les deu derniers ermes de (5.1 son égau à ˆ 2 [E (ˆ ]. Ils rerésenen le carré du biais ar raor au lan de ˆ. Comme l on suggéré e e Rives (1992, un esimaeur évenuel de EQ ( ˆ es donné ar eqm ( ˆ V ˆ = ( ˆ ( ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ + ma 0, ( V (, (5.2 où Vˆ (ˆ e Vˆ (ˆ ˆ son les esimaeurs de V (ˆ e V (ˆ ˆ, resecivemen. Puisque la srucure de l esimaeur ˆ es comlee, les méhodes d esimaion de la variance ar rééchanillonnage offren un moen commode d esimer V (ˆ e V (ˆ ˆ. Les méhodes du jacnife, du boosra e des réliques rééées équilibrées (RR on éé décries e évaluées dans Rao, Wu e Yue (1992 our les lans d échanillonnage sraifiés à lusieurs degrés, où il es suosé que les uniés rimaires d échanillonnage son sélecionnées avec remise. Ces aueurs on monré dans une éude emirique que l esimaeur de la variance ar le jacnife eu résener un biais imoran lors de l esimaion de la variance d un esimaeur non lisse, comme la médiane d échanillon. Par conséquen, our l esimaion de la variance de l esimaeur, l esimaeur ar le jacnife ourrai êre lus biaisé que les esimaeurs ar les réliques rééées équilibrées ou ar le boosra si, à chaque iéraion de l algorihme IR, on esime Q au moen d un esimaeur non lisse el que (4.4. e e Lee (2000 on éudié emiriquemen les roriéés des méhodes du jacnife e du boosra our cerains esimaeurs robuses. Dans l ensemble, leurs résulas son encourageans. Il imore de souligner que l esimaeur ˆ doi êre recalculé our chaque rééchanillonnage. Ce eercice inclu la rééiion de la rocédure uilisée our esimer α e φ si l on esime ces valeurs au moen de données d échanillon couranes. Quand l esimaion de l EQ a our seul bu de rouver des valeurs aroriées de α e φ, il ourrai êre lus commode de considérer des esimaeurs simlifiés de l EQ afin de réduire le ems machine. Aussi roosonsnous quare moens de simlifier l esimaion de l EQ. i Nous ourrions nous limier à une seule iéraion de l algorihme IR our chaque rééchanillonnage, même si nous uilisons un esimaeur enièremen iéré. Nous ourrions roduire ainsi des esimaions de la variance raisonnables, uisque les esimaeurs iérés une seule fois e ceu iérés enièremen semblen avoir des roriéés comarables (voir la secion 6.4. ii Nous ourrions suoser que ceraines quaniés son fies (non aléaoires our l esimaion de l EQ. Cee hohèse enraînerai vraisemblablemen une sousesimaion de l EQ, mais l aroche ourrai êre uile si l esimaion de l EQ a uniquemen our bu de rouver des valeurs aroriées de α e φ. Nous ourrions, ar eemle, suoser que les oids corrigés * ˆ (, Qˆ son fies. En fai, cee aroimaion a éé roosée ar Hulliger (1999. Auremen, si nous aliquions l esimaeur en uilisan la méhode décrie à la secion 4.2, nous ourrions raier les valeurs modifiées dans (4.7 ou (4.8 comme des valeurs réelles our l esimaion de l EQ. iii Nous ourrions omere le erme Vˆ (ˆ ˆ dans (5.2, ce qui donnerai l esimaeur de l EQ suivan : eqm ( ˆ 2 = Vˆ (ˆ (ˆ ˆ +. Noons que cee aroche donne lieu à une suresimaion de l EQ. iv Nous ourrions envisager une combinaison de deu des roosiions susmenionnées. Par eemle, nous ourrions suoser que les oids corrigés * ˆ (, Qˆ son fies e omere le erme Vˆ (ˆ ˆ dans (5.2. Dans ces condiions, nous ourrions obenir un esimaeur de V (ˆ en noan que V (ˆ = V ( ˆ e en uilisan la echnique bien connue de linéarisaion ar série de Talor roosée ar inder (1983 our esimer ˆ V (. Arès des calculs algébriques simles, nous obenons l esimaeur de l EQ eqm s l s (ˆ (π l = π π l ( π l (ˆ ˆ + 2 ˆ, l ( l ˆ l (5.3 où π l es la robabilié conjoine de sélecion des uniés e l. 6. Éude en simulaion Nous avons réalisé une éude en simulaion our évaluer ceraines roriéés de l esimaeur e de l esimaeur our une oulaion finie asmérique. Plus récisémen, nous avons comaré une version de l esimaeur qui rédui l influence des résidus ondérés de oulaion don la valeur es grande à une aure qui rédui l influence des grands résidus non ondérés de oulaion. Nous avons égalemen comaré les roriéés des esimaeurs iérés une seule fois e iérés enièremen. La secion 6.1 décri la oulaion e le lan de sondage, e les secions 6.2 à 6.4, les résulas de la simulaion. 6.1 Poulaion e lan de sondage Nous avons uilisé comme oulaion les données rovenan de l Enquêe sur les déenses des ménages (ED de 1998 réalisée ar Saisique Canada. Cee Saisique Canada, N o au caalogue

13 Techniques d enquêe, décembre enquêe, qui es fondée sur un lan de sondage sraifié à lusieurs degrés, fourni des renseignemens sur lusieurs variables recueillis aurès de ménages. Nous avons choisi la variable rénovaions/réaraions comme variable d inérê, arce qu elle es lus susceible que d aures de résener des valeurs rès grandes. Nous avons créé un veceur de rois variables auiliaires binaires en subdivisan la variable revenu en rois caégories (revenu , < revenu e revenu > e nous avons choisi v = 1, our ou U. Auremen di, nous avons considéré un modèle d esimaion avec ossraificaion qui devrai êre robuse au écars ar raor à l hohèse de linéarié. Le coefficien de 2 déerminaion de oulaion ( R es égal à 0,13 our ce modèle d esimaion. Cee valeur de les enquêes aurès des ménages. À arir de cee oulaion, nous avons sélecionné échanillons don l effecif révu éai de 300 ar échanillonnage de Poisson. Nous voulions donner au ménages des robabiliés de sélecion assez disersées afin d obenir des oids de sondage variables. Nous avons donc aribué les robabiliés de sélecion de façon elle qu elles soien roorionnelles à l inverse des oids de sondage de l ED (oids qui incluen un faceur de correcion our la non-réonse. Les robabiliés de sélecion son donc 2 R es ique our * * * données ar π = ( 300 / U π π, où π, our U, es la réciroque du oids de sondage ( comris un faceur de correcion our la non-réonse rovenan des données de l ED. Le ableau 6.1 donne ceraines saisiques sommaires our cee oulaion. Nous noons que les disribuions des résidus de oulaion son rès asmériques e que l asmérie s accenue lorsque les résidus son muliliés ar les oids de sondage. La figure 6.1 monre un grahique des résidus de oulaion en foncion des oids de sondage. Premièremen, nous consaons qu il eise manifesemen une donnée aberrane avec une erreur résiduelle suérieure à e un oids de sondage ne s arochan as de 1. Heureusemen, les oids de sondage les lus erêmes ne son as associés à des résidus de oulaion imorans. En oure, bien que le grahique uisse êre romeur à cause du nombre énorme de oins qui se chevauchen, il ne semble eiser aucune relaion évidene enre les résidus de oulaion e les oids de sondage. En fai, le coefficien de corrélaion enre les oids de sondage e les résidus de oulaion es de 0,0049. Un coefficien de corrélaion aussi faible n es as aique dans le cas des enquêes aurès des ménages, our les raisons eosées à la secion 3 e donne à enser que l hohèse du lan ignorable ourrai enir aroimaivemen. Tableau 6.1 Saisiques sommaires au suje de la oulaion Variable oenne Écare Asmérie Rénovaions/réaraions ,6 Résidu de oulaion ,8 Poids de sondage ,8 Résidu ondéré de oulaion ,0 Résidu de oulaion Poids de sondage Figure 6.1. rahique des résidus de oulaion en foncion des oids de sondage. Pour chacun des échanillons, nous avons calculé les esimaions du oal de oulaion our la variable rénovaions/réaraions our l esimaeur, ainsi que our les deu versions de l esimaeur, l une qui rédui l influence des résidus de oulaion ondérés imorans ( h e l aure qui rédui l influence des résidus de oulaion non ondérés imorans ( h = 1. Pour le i e échanillon, l erreur relaive, en ourcenage, de oue esimaion ˆ i de es définie comme éan Δ i = 100 % (ˆ i /. Le biais relaif (R e la racine relaive de l erreur quadraique moenne (RREQ de ou esimaeur ˆ, erimés en ourcenage du oal de oulaion, euven donc êre esimés ar R = i = 1 Δ i /5000 e RREQ = i = 1 Δ i / 5000, resecivemen. Une aure mesure d inérê es la valeur absolue maimale de l erreur relaive, ou erreur relaive absolue maimale (ERA, erimée en ourcenage, donnée ar ERA = ma( Δ i ; i = 1, 2,..., Cee mesure eu êre uile our évaluer la sensibilié d un esimaeur à la résence d uniés influenes dans l échanillon. 6.2 Esimaeur : robusesse au lan de sondage À la résene secion, nous évaluons les roriéés de l esimaeur. La figure 6.2 illusre le R, la RREQ e l ERA de l esimaeur our 11 valeurs de α (α = 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, 1 quand α g ( ;α. D une ar, l esimaeur LU ( α = 0 a une RREQ roche du minimum e l ERA la lus faible armi les 11 valeurs de α, mais, comme révu, donne lieu au R le lus imoran (en valeur absolue. Ce R es égal à 13,05 %, valeur qui n es as négligeable. Comme nous Saisique Canada, N o au caalogue

14 14 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée uilisons un modèle ossraifié, ce résula donne à enser que l hohèse du lan ignorable n es as enièremen saisfaie, même si la corrélaion enre les oids de sondage e les résidus de oulaion es faible. D aure ar, l esimaeur RE ( α = 1 a un rès ei R, mais les RREQ e ERA les lus grandes, à cause de la variabilié des oids de sondage. Quand α = 0, 2, l esimaeur es biaisé, avec un R de 9,11 %, mais la valeur de son ERA es assez roche de la valeur la lus faible, e sa RREQ es la lus faible (17,94 % armi les valeurs de α considérées. Il s agi d une réducion imorane comaraivemen à la RREQ de l esimaeur RE (34,77 %. En général, les valeurs de α comrises enre 0,2 e 0,5 donnen un esimaeur de comromis raisonnable en ce qui concerne le R, la RREQ e l ERA. Noons que, our des effecifs d échanillon révus lus grands, nous nous aendons à ce que l EQ minimale soi aeine our les valeurs lus grandes de α, arce que le biais de l esimaeur eu dominer sa variance. R RREQ ERA Figure ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Valeurs de alha 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Valeurs de alha 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Valeurs de alha R, RREQ e ERA de l esimaeur. Nous avons égalemen considéré l esimaeur obenu en choisissan adaaivemen, our chaque échanillon sélecionné, la valeur de α qui donne l EQ esimée la lus eie armi l ensemble des 11 valeurs de α considérées lus hau. Nous avons esimé l EQ au moen de l équaion (5.3. La valeur moenne de α sur les échanillons sélecionnés es de 0,43, c es-à-dire une valeur un eu lus grande que celle de α (0,2 donnan l EQ la lus eie (voir la figure 6.2. Cee siuaion ourrai êre due à la simlificaion faie our obenir (5.3, c es-à-dire l omission d une comosane du carré du biais ar raor au lan de sondage lors de l esimaion de l EQ. Néanmoins, ce esimaeur rerésene une amélioraion significaive ar raor à l esimaeur RE en ce qui a rai à la RREQ (26,05 % e à l ERA (217,99 %. Ce esimaeur donne aussi une amélioraion significaive ar raor à l esimaeur LU en ce qui concerne le R ( 6,24 %. Par conséquen, choisir adaaivemen la valeur de α semble mener à un comromis uile enre les esimaeurs RE e LU. Ceendan, esimer α au lieu d uiliser la valeur oimale (quoique inconnue de α enraîne une énalié en ce qui concerne la RREQ. 6.3 Esimaeur : robusesse au données aberranes Nous avons comaré deu versions de l esimaeur, l une qui rédui l influence des résidus de oulaion ondérés imorans ( h e l aure qui rédui l influence des résidus de oulaion non ondérés imorans ( h = 1. Pour la version ondérée, nous avons choisi se valeurs de φ ( φ = 10, 25, 50, 100, 150, 200, e our la version non ondérée, nous en avons choisi neuf ( φ = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 30,. Nous avons considéré uniquemen le cas α = 1, afin de ne as confondre l effe du changemen de la valeur de la consane α e celui du changemen de la valeur de la consane φ. Naurellemen, nous ourrions rouver un esimaeur lus efficace en choisissan la valeur aroriée de chacune des deu consanes. Il convien de souligner que les résulas son fondés sur une iéraion unique de l algorihme IR en (0 uilisan = ˆ comme veceur des valeurs de déar. Les figures 6.3 e 6.4 monren que la version ondérée ( h offre de meilleures ossibiliés de réduire la RREQ e l ERA des esimaeurs que la version non ondérée ( h = 1. Les deu grahiques de la RREQ résenen une courbe en forme de U. La courbe de la RREQ our h monre qu une valeur de φ comrise enre 50 e 150 aboui à une RREQ comrise enre 25 % e environ 27 %, andis que la RREQ de l esimaeur RE (dernier oin sur les grahiques es égale à 34,77 %. La courbe de la RREQ our h = 1 monre que la RREQ es d environ 30 % our les valeurs Saisique Canada, N o au caalogue

15 Techniques d enquêe, décembre de φ comrises enre 8 e 20. Dans la région où la RREQ s aroche de sa valeur minimale, l ERA es lus faible si h. Il semble donc que h ourrai mieu conrôler l effe des uniés influenes que h = 1. Comme révu, dans les deu figures, le R diminue quand φ augmene. Nous avons égalemen considéré les versions ondérées e non ondérées de l esimaeur obenues en choisissan adaaivemen, our chaque échanillon sélecionné, la valeur de φ qui donne lieu à l EQ esimée la lus faible (en uilisan l équaion 5.3 armi les ensembles de valeurs de φ considérés lus hau. La valeur moenne de φ sur les échanillons sélecionnés es de 72,34 our la version ondérée e de 10,58 our la version non ondérée. Ces moennes son calculées en ecluan les échanillons our lesquels φ = (13 échanillons our h e un échanillon our h = 1. Les deu moennes son roches des valeurs oimales de φ observées sur les figures 6.3 e 6.4 (100 our h e 11 our h = 1. La version ondérée de l esimaeur a un R de 10,24 %, une RREQ de 28,07 % e une ERA de 197,86 %. La version non ondérée de l esimaeur a un R de 8,26 %, une RREQ de 28,18 % e une ERA de 232,57 %. Par conséquen, les deu versions de l esimaeur donnen lieu à une amélioraion significaive ar raor à l esimaeur RE en ce qui concerne la RREQ e l ERA au ri d une augmenaion du R (environ 10 %. L ERA es lus faible our la version ondérée, ce qui, de nouveau, indique que cee dernière conrôle mieu l effe des uniés influenes que la version non ondérée. Ceendan, l écar enre les RREQ des deu esimaeurs es rès faible. Curieusemen, il semble que le fai d esimer φ au lieu d uiliser la valeur oimale ne fai as augmener l EQ lorsqu on uilise la version non ondérée. Cee observaion es assez difficile à eliquer R Infini Valeurs de hi R Infini Valeurs de hi RREQ RREQ Infini Valeurs de hi Infini Valeurs de hi ERA Infini Valeurs de hi ERA Infini Valeurs de hi Figure 6.3. R, RREQ e ERA de l esimaeur quand h = 1. Figure 6.4. R, RREQ e ERA de l esimaeur quand h. Saisique Canada, N o au caalogue

16 16 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée Esimaeur Tableau 6.2 Comaraison des esimaeurs iérés une seule fois e iérés comlèemen Iéré une seule fois Iéré comlèemen R RREQ ERA R RREQ ERA Esimaeur ( h = 1, φ = 11 6,94 % 29,28 % 235,07 % 7,93 % 29,27 % 235,07 % Esimaeur ( h, φ = 100 8,14 % 25,36 % 197,86 % 8,27 % 25,33 % 196,73 % 6.4 Comaraison des esimaeurs iérés une seule fois e iérés comlèemen Comarons mainenan les esimaeurs iérés une seule fois e iérés comlèemen quand α = 1. Nous considérons uniquemen les deu cas suivans : i h = 1 e φ = 11; ii h e φ = 100. En général, l algorihme IR a convergé raidemen dans le cas de l iéraion comlèe (le nombre moen d iéraions our obenir la convergence es de 7,53 our h = 1 e de 7,29 our h, mais n a as convergé our cerains des échanillons (64 our h = 1 e 75 our h. Quand cela s es rodui, nous avons gardé l esimaion rovenan de la dernière iéraion de l algorihme IR. Il es éviden, si l on eamine le ableau 6.2, que le R, la RREQ e l ERA des esimaeurs iérés une seule fois e iérés comlèemen on des valeurs avoisinanes. Un oin qui mérie d êre souligné es que le R es un eu lus faible our les esimaeurs iérés une seule fois, observaion qui a éé faie ar Lee (1991 égalemen e qui es vraisemblablemen (0 due au fai que nous avons uilisé = ˆ comme veceur des valeurs de déar our l algorihme IR, qui es ASP our. 7. Conclusion Nous considérons, dans le résen aricle, des esimaeurs robuses our remlacer l esimaeur oimal (LU. Nous commençons ar rooser un comromis enre les esimaeurs RE e LU, c es-à-dire l esimaeur des moindres carrés (, our résoudre le roblème des écars ar raor à l hohèse du lan ignorable. Nous obenons l esimaeur ar rérécissemen des oids de sondage vers la moenne. En rincie, ce esimaeur devrai êre lus sable que l esimaeur RE lorsque l hohèse du lan ignorable ien aroimaivemen e êre moins biaisé que l esimaeur LU lorsque cee hohèse n es as enièremen saisfaie. Ces suosiions son confirmées ar une éude en simulaion oran sur une oulaion créée à arir de données d enquêe réelles. L esimaeur offre aussi une ceraine roecion conre les écars ar raor au hohèses qui sous-enden le modèle. Pour résoudre le roblème des données aberranes, nous roosons d uiliser la echnique d esimaion généralisée ondérée afin de réduire l influence des uniés our lesquelles le résidu de oulaion ondéré es imoran. Nous avons consaé, lors d une éude en simulaion, que cee méhode donne lieu à une amélioraion significaive de l EQ. Nous avons égalemen observé qu un esimaeur obenu ar iéraion unique de l algorihme IR a des roriéés semblables à l esimaeur obenu ar iéraion jusqu à la convergence. Enfin, nous roosons d aliquer les esimaeurs au enquêes olvalenes en modifian les oids des uniés influenes ou leurs valeurs. Nous esimons que les deu aroches son uiles e aiden à combler une eie faille enre la héorie e la raique. Remerciemens Les aueurs remercien sincèremen le rédaceur associé e les rois eaminaeurs de leurs remarques e suggesions consrucives. Ils remercien égalemen Cnhia occi e Wesle Yung de leurs commenaires qui on ermis de rendre l aricle lus clair. Annee Dans cee reuve, nous éliminons le condiionnemen sur X lorsque nous raions les esérances e les variances ar raor au modèle m, afin de simlifier la noaion. En uilisan le héorème de Slus, our monrer que E (ˆ / converge en robabilié vers 0 à mesure que la aille de l échanillon n e la aille de la oulaion N enden vers l infini, sous les hohèses (A1, (A2 e (A3, il suffi de démonrer que : a E β = ( / / β converge en robabilié vers 1; b E (ˆ / β converge en robabilié vers 1. Pour démonrer (a, noons que E m =1 β e 1 V m = β N 1 ( β N 2 σ 2 U N. Saisique Canada, N o au caalogue

17 Techniques d enquêe, décembre En veru de l inégalié de Chebchev, / β converge en robabilié vers 1 sous le modèle m, quand N augmene, si β = O(N e σ 2 U = O( N (hohèse A3. Pour démonrer (b, nous commençons ar noer que E m E (. = E E m (. s à condiion que l ensemble de ous les échanillons ossibles ne déende as de la oulaion qui a éé générée ar le modèle m. Conséquemmen, si l hohèse (A2 ien, il es simle de monrer que E me (ˆ / β = 1. Alors, nous noons que ˆ ˆ ˆ = + V m VmE E mv. (A.1 β β β Par conséquen, VmE (ˆ / β Vm (ˆ / β, uisque les deu ermes du deuième membre de (A.1 son égau ou suérieurs à 0. En veru de l inégalié qui récède e de l inégalié de Chebchev, E (ˆ / β converge en robabilié vers 1 sous le modèle m, quand n e N augmenen, si lim n, N Vm (ˆ / β = 0. Paran de l hohèse (A2, il es simle de monrer que V m ˆ 1 = β N 1 ( β N 2 2 {( I } N E σ 2 U Conséquemmen, lim n, N Vm (ˆ / β = 0 si β = 2 2 O (N e U E {( I } σ = O( N (hohèse A3. Ce qui achève la reuve. ibliograhie eaon, A.E., e Tue, J.W. (1974. The fiing of oer series, meaning olnomials, illusraed on band-secroscoic daa. Technomerics, 16, asu, D. (1971. An essa on he logical foundaions of surve samling, ar 1. Dans Foundaions of saisical inference, (Éds. V.P. odambe e D.A. Sro, Torono: Hol, Rinehar, e Winson, inder, D.A. (1983. On he variances of asmoicall normal esimaors from comle surves. Revue Inernaionale de Saisique, 51, Chambers, R.L. (1986. Oulier robus finie oulaion esimaion. Journal of he American Saisical Associaion, 81, Chambers, R.L., Dorfman, A.H. e Wehrl, T.E. (1993. ias robus esimaion in finie oulaions using nonarameric calibraion. Journal of he American Saisical Associaion, 88, Deville, J.-C., e Särndal, C.-E. (1992. Calibraion esimaors in surve samling. Journal of he American Saisical Associaion, 87, Draer, N., e Smih, H. (1980. Alied regression analsis, second ediion. Ne-Yor, John Wile & Sons, Inc. Duchesne, P. (1999. Esimaeurs de calage robuses. Techniques d enquêe, 25, Dumouchel, W.H., e Duncan,.J. (1983. Using samle surve eighs in mulile regression analses of sraified samles. Journal of he American Saisical Associaion, 78, Ellio,.R., e Lile, R.J.A. (2000. odel-based alernaives o rimming surve eighs. Journal of Official Saisics, 16, raubard,.i., e Korn, E.L. (1993. Hohesis esing ih comle surve daa: he use of classical quadraic es saisics ih aricular reference o regression roblems. Journal of he American Saisical Associaion, 88, e, J.-P., e Lee, H. (2000. An evaluaion of oulier-resisan rocedures in esablishmen surves. Dans The Second Inernaional Conference on Esablishmen Surves, American Saisical Associaion, Aleandria, Virginia, e, J.-P., e Rives, L.-P. (1992. Oulier resisan alernaives o he raio esimaor. Journal of he American Saisical Associaion, 87, Hamel, F.R., Ronchei, E.., Rousseeu, P.J. e Sahel, W.A. (1986. Robus Saisics: he Aroach ased on Influence Funcions. Ne-Yor, John Wile & Sons, Inc. Hedlin, D., Falve, H., Chambers, R. e Koic, P. (2001. Does he model maer for RE esimaion? A business surve eamle. Journal of Official Saisics, 17, Huber, P.J. (1964. Robus esimaion of a locaion arameer. Annals of ahemaical Saisics, 35, Huber, P.J. (1981. Robus Saisics. Ne-Yor, John Wile & Sons, Inc. Hulliger,. (1995. Esimaeurs Horviz-Thomson à l éreuve des valeurs aberranes. Techniques d enquêe, 21, Hulliger,. (1999. Simle and robus esimaors for samling. Dans Proceedings of he Secion on Surve Research ehods, American Saisical Associaion, Kalon,., e Flores-Cervanes, I. (2003. Weighing mehods. Journal of Official Saisics, 19, Kish, L. (1992. Weighing for unequal P i. Journal of Official Saisics, 8, Korn, E.L., e raubard,.i. (1999. Analsis of Healh Surves. Ne-Yor, John Wile & Sons, Inc. Lee, H. (1991. odel-based esimaors ha are robus o ouliers. Dans Proceedings of he Annual Research Conference, Washingon, DC, U.S. ureau of he Census, Lee, H. (1995. Ouliers in business surves. Dans usiness Surve ehods, (Éds... Co, D.A. inder,.n. Chinnaa, A. Chrisianson,.J. Colledge e P.S. Ko. Chaire 26, Ne-Yor, John Wile & Sons, Inc. Lile, R.J.A. (1983. Esimaing a finie oulaion mean from unequal robabili samling. Journal of he American Saisical Associaion, 78, Pfeffermann, D. (1993. The role of samling eighs hen modeling surve daa. Revue Inernaionale de Saisique, 61, Poer, F. (1988. Surve of rocedures o conrol ereme samling eighs. Dans Proceedings of he Secion on Surve Research ehods, American Saisical Associaion, Saisique Canada, N o au caalogue

18 18 eaumon e Alavi : Esimaion robuse ar la régression généralisée Poer, F. (1990. A sud of rocedures o idenif and rim ereme samling eighs. Dans Proceedings of he Secion on Surve Research ehods, American Saisical Associaion, Poer, F. (1993. The effec of eigh rimming on nonlinear surve esimaes. Dans Proceedings of he Secion on Surve Research ehods, American Saisical Associaion, Rao, J.N.K. (1966. Alernaive esimaors in PPS samling for mulile characerisics. Sanhā, Séries A, 28, Rao, J.N.K., Wu, C.F.J. e Yue, K. (1992. Quelques ravau récens sur les méhodes de rééchanillonnage alicables au enquêes comlees. Techniques d enquêe, 18, Ren, R., e Chambers, R.L. (2002. Oulier robus imuaion of surve daa via reverse calibraion. Souhamon Saisical Sciences Research Insiue ehodolog, documen de ravail 03/19, Universié de Souhamon. Roall, R.. (1976. The linear leas-squares redicion aroach o o-sage samling. Journal of he American Saisical Associaion, 71, Roall, R.., e Herson, J. (1973. Robus esimaion in finie oulaions I. Journal of he American Saisical Associaion, 68, Rubin, D.. (1976. Inference and missing daa. iomeria, 63, Särndal, C.-E., Sensson,. e Wreman, J.H. (1992. odel Assised Surve Samling. Ne-Yor, Sringer-Verlag. Soes, L. (1990. A comarison of runcaion and shrining of samling eighs. Dans Proceedings of he 1990 Annual Research Conference, Washingon, DC: ureau of he Census, Sugden, R.A., e Smih, T..F. (1984. Ignorable and informaive designs in surve samling inference. iomeria, 71, Vallian, R., Dorfman, A. e Roall, R.. (2000. Finie oulaion samling: a redicion aroach. Ne-Yor, John Wile & Sons, Inc. Welsh, A.H., e Ronchei, E. (1998. ias-calibraed esimaion from samle surves conaining ouliers. Journal of he Roal Saisical Socie, Séries, 60, Zaslavs, A.., Schener, N. e elin, T.R. (2001. Doneighing influenial clusers in surves: alicaion o he 1990 os enumeraion surve. Journal of he American Saisical Associaion, 96, Saisique Canada, N o au caalogue