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1 Systèmes Automatisés Optimisation en sciences de l ingénieur présente les principales méthodes exactes d optimisation statique et dynamique. Parmi les méthodes décrites figurent : - la programmation linéaire avec plusieurs implémentations et la programmation non linéaire particulièrement détaillée compte tenu de la grande variété d algorithmes existants ; Pierre Borne Dumitru Popescu Florin-Gheorghe Filip Dan Stefanoiu RECHERCHE TECHNOLOGIE APPLICATIONS Sy s t èmes Aut oma t is és - la programmation dynamique avec divers exemples d application ; - les réseaux de Hopfield ; - l optimisation en identification des systèmes ; - l optimisation des systèmes dynamiques avec notamment l application à la commande des processus, l optimisation des systèmes de grandes dimensions et des systèmes d information. Didactique, cet ouvrage propose des références permettant au lecteur d approfondir les diverses méthodes traitées. Lorsque les algorithmes étudiés le permettent, sans trop agrandir les présentations, des exemples d implémentation sont proposés pour certains algorithmes. Les auteurs Pierre Borne est professeur de classe exceptionnelle, ingénieur IDN, docteur en automatique et docteur ès sciences physiques. Dumitru Popescu est professeur en contrôle automatique et l optimisation des systèmes dynamiques. Florin-Gheorghe Filip est chercheur en informatique appliquée et systèmes d aide à la décision. Dan Stefanoiu est professeur dans les domaines du traitement du signal et de l identification des systèmes. Optimisation en sciences de l ingénieur Optimisation en sciences de l ingénieur méthodes exactes Pierre Borne Dumitru Popescu Florin-Gheorghe Filip Dan Stefanoiu Z(7ic7e6-CDIJHI(

2 Pierre BORNE Florin G. FILIP Dumitru POPESCU Dan STEFANOIU Optimisation en sciences de l ingénieur Méthodes exactes Hermès 2012

3 Cet ouvrage à été élaboré avec le support du projet européen FP7 ERRIC (Empowering Romanian Research on Intelligent Information Technology), contrat FP7-REGPOT /

4 Table de matières Avant propos XIII 1. PROGRAMMATION LINÉAIRE Objectif de la programmation linéaire Position du problème Méthode de Lagrange Algorithme du simplexe Principe Mise sous forme simpliciale Passage d une forme simpliciale à une autre Résumé de l algorithme du simplexe Exemple de mise en oeuvre Programmation linéaire appliquée à l optimisation d allocation de ressources Domaines d utilisation Allocation de ressources pour la publicité Position du problème Mise en équation sous forme d un problème de programmation linéaire Optimisation d une découpe de rouleaux de papier Position du problème Formulation du problème Mise sous forme de programme linéaire d un problème de commande optimale Position du problème Mise sous forme d un programme linéaire PROGRAMMATION NON LINÉAIRE Position du problème de la programmation non linéaire Conditions de Karush-Kuhn-Tucker Algorithme général de recherche Étapes principales Calcul de la direction de recherche Calcul du pas d avancement 30

5 II Optimisation en sciences de l ingénieur Méthodes exactes 2.4. Méthodes monovariables Méthode de Coggin (d interpolation polynomiale) Méthode de la Section d or Méthodes multivariables Méthodes de recherche directe Méthodes de recherche (directe) linéaire Méthodes de recherche (directe) évolutive 44 A. Méthode de Nelder-Mead (du simplexe) 47 B. Méthode de Box (du complexe) Méthodes de gradient Méthode de Cauchy (du gradient) Méthode de Newton-Raphson (de l approximation quadratique) Méthode de Gauss-Newton Méthodes de Fletcher-Powell (à métrique variable) Méthodes de Fletcher-Reeves (des gradients conjugués) Méthodes de Rosen (des gradients projetés) PROGRAMMATION DYNAMIQUE Principe de la programmation dynamique Position du problème Problème décisionnel Équation récurrente d optimalité Cas particuliers Problème stationnaire à horizon infini Problème à horizon non fixé Problème à horizon aléatoire Prise en compte de contraintes de type somme Loi d évolution aléatoire Initialisation lorsque l état final est imposé Cas où les informations nécessaires ne sont pas toujours accessibles Exemples Optimisation d un trajet Problème du contrebandier RÉSEAUX DE HOPFIELD Structure 111

6 Table de matières III 4.2. Réseaux de Hopfield dynamiques continus Problème général Application au problème du voyageur du commerce Optimisation par réseau de Hopfield basée sur le recuit simulé Méthode déterministe Méthode stochastique OPTIMISATION DANS L IDENTIFICATION DES SYSTÈMES Principe de l identification optimale Formulation des problèmes d identification optimale Problème général Formulation basée sur la Théorie de l optimisation Formulation basée sur la Théorie de l estimation (statistique) Modèles usuels d identification Modèle général Classe des modèles E/S rationnels (RES) Classe des modèles autorégressives (ARMAX) Classe des modèles d état Méthode des moindres carrés de base Solution de type MMC Interprétation géométrique de la solution de type MMC Consistance de la solution de type MMC Exemple de mise en œuvre de la MMC pour un modèle ARX Méthodes des moindres carrés modifiées Retrouver la consistance perdue MMC étendue Méthode des variables instrumentales Méthode de minimisation de l erreur de prédiction Principe et algorithme de base Mise en œuvre de la MMEP pour des modèles ARMAX Convergence et consistance des estimations de type MMEP Méthodes adaptatives d identification optimale Paradigme précision-adaptabilité Version adaptative de base de la MMC Version adaptative de base de la MVI 173

7 IV Optimisation en sciences de l ingénieur Méthodes exactes Versions adaptatives à fenêtre des MMC et MVI Algorithmes à fenêtre exponentielle Algorithmes à fenêtre rectangulaire OPTIMISATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES Méthodes variationnelles Variation d une fonctionnelle Minimisation sans contraintes Variation le long de la trajectoire Conditions au premier ordre Intégrales premières de l équation d Euler Conditions de Weierstrass-Erdmann Équations canoniques de Hamilton Équations de Hamilton Équations de Hamilton-Jacobi Conditions au second ordre Condition de Weierstrass Condition de Legendre Minimisation en présence de contraintes Application à la commande optimale d un processus continu, principe du maximum Formulation Exemples de mise en oeuvre Commande en temps minimum Course de vitesse Commande à consommation minimale Commande quadratique Principe du maximum, cas discret Principe de la commande optimale à base de critères quadratiques Conception de la commande LQ Commande LQ à horizon fini Commande LQ à horizon infini Robustesse de la commande LQ Filtrage optimal Prédicteur de Kalman-Bucy Filtre de Kalman-Bucy Stabilité des estimateurs de Kalman-Bucy Robustesse des estimateurs de Kalman-Bucy 223

8 Table de matières V 6.7. Conception de la commande LQG Problèmes d optimisation liés aux critères linéaires quadratiques Problème de la commande optimale par retour d état Problème de la stabilisation quadratique Problème de la commande optimale par retour de sortie OPTIMISATION DES SYSTÈMES DE GRANDES DIMENSIONS Caractéristiques des problèmes complexes d optimisation Techniques de décomposition Problèmes à structure bloc diagonale Algorithme de Ritter pour des POL Algorithme de Rosen pour des POL Algorithme de Rosen pour des PONL Algorithme de Benders pour des PONL Problèmes séparables au niveau du critère et des contraintes Coordination par multiplicateurs de Lagrange Coordination par modèle Coordination mixte Techniques de pénalisation Technique de la pénalisation externe Technique de la pénalisation interne Technique de la pénalisation étendue OPTIMISATION ET SYSTÈMES D INFORMATION Aperçu d ensemble Facteurs d influence dans la construction des systèmes informatiques Approches Sélection des outils informatiques Difficultés d implémentation et d utilisation Évaluation Conclusions 282 BIBLIOGRAPHIE 283

9 Avant propos Ce livre a pour objet la présentation des principales méthodes exactes d optimisation statique et dynamique. Il a été conçu dans le cadre du projet européen ERRIC et réalisé en coopération entre enseignants chercheurs de France et de Roumanie. De façon à ne pas alourdir la présentation, les démonstrations ne sont le plus souvent pas présentées, seules quelques indications relatives aux principes d établissement des divers algorithmes proposés étant données avec ajout de références permettant au lecteur intéressé d approfondir les diverses méthodes présentées. Lorsque les algorithmes étudiés le permettent, sans trop agrandir les présentations, des exemples d implémentation sont proposés. Parmi les méthodes décrites figurent : la programmation linéaire avec diverses implémentations ; la programmation non linéaire, chapitre particulièrement important compte tenu de la grande variété d algorithmes existants ; la programmation dynamique avec divers exemples d application ; les réseaux de Hopfield ; l optimisation en identification des systèmes ; l optimisation des systèmes dynamiques avec notamment l application à la commande des processus ; l optimisation des systèmes de grandes dimensions ; l optimisation et les systèmes d information. Les techniques d optimisation pour les problèmes difficiles mettant en œuvre des métaheuristiques et l approche stochastique et sous-optimale seront traitées dans un autre ouvrage. Les auteurs Lille et Bucarest Juillet 2012

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