CHAPITRE 2. SUITES ET LIMITES Définition de la limite. Montrer à l aide de la définition de la limite 1. x y x + y =

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1 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 46. Corrigés. Défiitio de la ite. Motrer à l aide de la défiitio de la ite que 0. Noter d abord que la foctio x x est strictemet croissate puisque pour tout 0 x < y : x y x y x + y < 0. Pour tout ϵ > 0, choisir N ϵ > ϵ. Alors pour tout N ϵ : > ϵ > ϵ < ϵ.. Calcul des ites I. Appliquer seulemet les ites, les règles de calcul pour les ites et les critères doés das les otes de cours et/ou des méthodes algébriques. Pour les foctios trigoométriques, appliquer les iégalités de l exercice du chapitre et les formules d additio etc. (a) (b) (3 + 4) 3. (c) / 3 3. cos (d) 3 0 car cos 3 est boré. (e) si 0 car 0 si d où la coclusio par le théorème des deux gedarmes. (f) cos si 0 e otat que cos est boré et les iégalités pour si ci-dessus. si( + ) si( ) (g) cos( + ) + cos( ) cos si ta. cos cos cos( + ) + cos( ) cos cos (h) cos. cos cos si (i) puisque si est boré. + + (j) ( ) 0. (k) ( ( + )( + 4)) ( + )( + 4)

2 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 47 (l) ( (6 + 3) ) (m) ( ) comme ci-dessus. () (o) (p) (q) (r) (s) (t) 3 7 cos 0 car cos est boré et < A 6 /3 pour tout etier positif avec A 6 /3. 0 puisque, par exemple,! > 3 pour tout > 3! (démostratio par récurrece). e 0 e otat que e <. ( + ) ( ) ( + ) ( )+ + e. ( + ) e. ( ) ( ) ( + ). 3 ( cos ) si. et Nous utilisos le fait que si si cos si x x 0 x. puisque par l exercice du chapitre e preat x : > si > cos >. Pour trasformer ( cos ) il y a deux possibilités. Soit o écrit soit o utilise l idetité cos cos + cos si + cos cos cos 0 cos si ( ). Avec le premier résultat ous avos 3 ( cos ) si si 3 + cos si 3 si 3 + cos +.

3 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 48 Si o utilise la deuxième idetité o a 3 ( cos ) si 3 si ( ) si ()3 si 3 ( ) cos. 3. Calcul des ites II. (a) Pour tout x 0 : (b) Pour tout x 0 : x 3 (c) Pour tout x R, x, : vaut 0. + x 0. Si x 0, alors + x x. Si x 0, alors + x x 3 + x ( ) x x +. Si x la ite (d) Pour tout x > 0 : ( x ) 0 (voir ch..3 du cours). k (e) Pour 3 soit x k 4. Motrer que les x coverget k3 lorsque ted vers l ifii et calculer la ite. Noter que x d où k3 k k 4 k3 (f) Pour soit x calculer sa ite. (+)! (k + )(k ) (k + )(k ) 6 ( )! 4( ) (+)! 4 ( )! + x k k3 k k 4 4. k 3 k 3 +. Motrer que x 3 ++ (+) et Par récurrece. Si, alors x ( + ).

4 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 49 Pour coclure o ote (e utilisat a 3 b 3 (a b)(a + ab + b )) que x + x ( + )3 ( + ) ( + ) ( + ) ( + )3 ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + )( + ) (( + ) + ( + ) + ) ( + )(( + ) ( + ) + ) Fialemet x k k 3 k Covergece I*. Soit x la ite de la suite (x ). Pour tout ϵ > 0, il existe u ombre aturel N tel que x x < ϵ pour tout N. Par coséquet, pour tout N o a y x + x + x x x + x + x x < ϵ. Cela motre que pour tout ϵ > 0 il existe u ombre aturel N tel que y < ϵ pour tout N. Doc y Covergece II*. x. 6. Covergece III*. Soit (x ) N ue suite covergete telle que x x. Etudier la covergece des suites (µ ), (σ ) défiies par µ x k, k σ (x k µ ). k O démotre µ x, σ 0. E fait o s atted ce que la suite de la valeur moyee des premiers élémets coverge vers la ite x de la suite (x ) N, puisque les fluctuatios de x autour de x devieet arbitrairemet petites pour suffisammet large. Pour la même raiso, o s atted ce que la variace tede vers zéro. La suite (x ) N est covergete doc borée, ce que ous otos comme suit : il existe C > 0 tel que x x C pour tout N. La covergece

5 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 50 implique que pour tout ϵ > 0 il existe N ϵ N tel que x x < ϵ pour tout N ϵ. Alors pour tout > N ϵ : µ x (x k x) k x k x N ϵ x k x + k N ϵc + ( N ϵ)ϵ. k Il e suit que pour tout > Ñϵ : max(n ϵ, N ϵc ) : ϵ µ x < ϵ + ϵ ϵ d où la covergece. Pour (σ ) oter d abord que d où σ (x k µ ) ( k kn ϵ+ x k) µ. k σ x x Covergece IV*. Soit (x ) N la suite défiie par {, si {k x : k N } ; 0, autremet. Avec les otatios de l exercice 6, motrer que x k x µ 0, σ 0 et que (x ) N e coverge pas. O a µ [ ] et σ µ µ d où l affirmatio puisque 0 [ ]. La suite (x ) N e coverge pas car sup x, if x Mootoie*. Soit (x ) N la suite défiie par x ( + ) +. Motrer que cette suite est décroissate et calculer sa ite. Idée : appliquer l extesio de l iégalité de Beroulli démotrée à l exercice 33 du chapitre.

6 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 5 O veut motrer que x x + (+)+. O retravaille + (+) + 3 cette expressio pour pouvoir appliquer l iégalité ( + x) k + kx + k(k ) x qui est vérifiée pour tout x R + et tout etier positif k. O a doc : x x + ( ) ( + ) + ( ( + ) + ( + ( + ) ) ) + ( + ( ( + ) ( + ) + + ( + ( + ) ) ) ( ) + O élève l expressio au carré afi d obteir u quotiet de polyômes : ( x x + ) ( ) ( + ) ( + ) + + ( + ( + ) où o a coclu e comparat les coefficiets des polyômes. Pour calcuer la ite, il suffit de voir que ( + ) x ( + ) + et d ivoquer le théorème des deux gedarmes. E effet, o a démotré e cours que les deux bores ci-dessus coverget vers e. Doc x e 9. Formule de Stirlig - u premier pas. Motrer à l aide de l exercice précédet que la suite (a ) N défiie par coverge. a! + e. Les élémets a sot clairemet positifs, il suffit doc de motrer que la suite est décroissate. O a a + a ( + )! + ( + ) + 3 e! e e( + )+ ( + ) + 3 e ( + )+ A la derière étape, o a utilisé le résultat de l exercice précédet, c està-dire la suite ( + )+ est décroissate et ted vers e. Remarque : o démotrera au chapitre 6 que la suite a ted vers π et que l o obtiet la fameuse fomule de Stirlig :! π + e

7 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 5 0. Noexistece d ue ite*. Supposos que si existe. Alors par l exercice 4, coverge vers 0. Doc si( + ) si( ) cos si cos 0 et par l exercice 4 cos( + ) cos( ) si si coverge vers 0. Noter que si 0. Par coséquet, si et cos coverge vers 0. Ceci est impossible car si + cos pour tout. Doc l hypothèse que si existe est fausse.. Limite supérieure et ite iférieure. Pour les suites suivates, doer sup et if. (a) x + ( ) + ( ) d où sup x (predre les idices pairs) et if x (predre les idices impairs). (b) x [ ] [, + ] doc if x sup x d où e particulier x. cos π (c) x cos π {, 0, }. O a x, N. Noter que cos π {, } et cos π, si est impair ;, si est pair et pas divisible par 4 ;, si est divisible par 4. 3 Par coséquet, if x et sup x 3. cos π (d) x, N. C est ue suite périodique de période 8, + cos π 4 c est-à-dire x +8 x et x 0 +, x 3, x, x 3, x 4 +, x 5, x 6, x 7 3. Par coséquet, if x et sup x Foctio cotiue. Motrer que f : R R défiie par f(x) x x est ue foctio bijective et cotiue. Doer sa foctio réciproque.

8 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 53 f est cotiue puisque f est le produit des foctios cotiues x et x. La foctio f est strictemet croissate puisque { x f(x), si x 0 ; x, si x > 0. doc ijective. Elle est surjective car l équatio y x x admet toujours ue solutio x doée par { x f y, si y 0 ; (y) y, si y > La foctio partie etière. Motrer que f : R R défiie par f(x) [x] est cotiue e tout x / Z et discotiue e tout N Z. Soit N Z. Pour tout x ]N, N + [ o a f(x) N. Doc f est cotiue e ces poits. Soit (x ) ue suite qui coverge vers N telle que x ]N, N[, par exemple, x N +, N. Alors, f(x ) N et f(x ) N f(n) N. 4. si x. Cosidéros la suite (x ) défiie par x pour 0. La π(+ ) suite (x ) coverge vers 0 et si x si π( + ) ( ) e coverge pas. Deuxième partie : La foctio si est cotiue e tout x x 0 (c est la compositio des foctios cotiues si et /x). Par le théorème de la valeur itermédiaire, pour tout y [, ] il existe x 0 tel que y si x. Choisir x x + πx. Alors les x coverget vers zéro et + π d où y si. x x x 5. La foctio idicatrice de Q. Soit x R\Q. Alors χ Q (x) 0. Il existe ue suite de ratioels x qui coverge vers x et χ Q(x ). De même pour x Q, il existe ue suite d irratioels qui coverge vers x. 6. Propriétés des foctios cotiues.* Soit c < a < b < d et f : [a, b] [c, d] ue foctio surjective et cotiue. Motrer que f possède au mois u poit fixe. Il suffit de motrer que g(x) : f(x) x admet au mois u zéro. Puisque la foctio f est surjective, il existe s, t [a, b] tels que f(s) c et f(t) d. Alors g(s) c s c a < 0 et g(t) d t d b > 0. Puisque la foctio g est cotiue, il existe (par le théorème de la valeur itermédiaire) au mois u zéro de g.

9 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES Calcul des ites III. Calculer les ites suivates : (a) + + ( ). (b) cos.! (c) puisque pour tout 3 o a! 3 d où! Suite géométrique. Pour 0 la relatio est vraie. Si x aq, alors par la relatio de récurrece pour x ous avos x + qx qaq aq +.q.e.d. 9. Ue suite majorée par ue suite géométrique. Pour 0 l iégalité x q x 0 est vraie. Si pour u etier aturel, x q x 0, alors x + q x q q x 0 q + x 0. Par le théorème de deux gedarmes la suite des x (et doc la suite des x par la règle.4) coverge vers 0 (les gedarmes sot les suites u 0 et v q x 0 ). 0. Suites récurretes oliéaires I. Das chaque cas il faut d abord démotrer la covergece de la suite e suivat les méthodes doées au chapitre.7. (a) x. (b) (c) (d) (e) x. x. x. x.. Soit a, b R + et (x ), 0, la suite défiie par la relatio de récurrece x + ax, x 0 b. (a) Motrer par récurrece que la suite x est doée par (b) Calculer e foctio de a et b x a b. x

10 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 55 (a) O a et x 0 a 0 b 0 b x + ax a (a b ) a + b +. (b) O peut aussi écrire x (ab) a et doc i. si ab, alors x a. ii. si ab <, alors (x ) est décroissate et miorée par zéro, doc elle coverge. La ite est solutio de l équatio x ax, doc x 0 ou x a. La deuxième solutio est écartée vu que x 0 b < a et la suite est décroissate. Doc x 0. iii. si ab >, alors majorée. x + car la suite est croissate et o. Soit (x ), 0, la suite défiie par la relatio récurrete x + 5x + 4, x 0 0. (a) Motrer par récurrece que la suite x est doée par x ( 5) ( 5) +. (b) Calculer x (a) O a et x 0 ( 5)0 ( 5) x + 4 ( 5) + 5( 5) ( 5) + ( 5)+ + ( 5) + x +. (b) x 5 3. Soit (u ), 0, la suite défiie par la relatio de récurrece Motrer que u u +, 0 < u 0. + u 0 < u u 0.

11 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 56 O procède par récurrece. Pour 0, o a 0 u 0 0 u 0 et doc la propositio est vraie. O suppose qu elle est vérifiée pour. Aisi u > 0 et par coséquet u + u +u > 0. De même o a que u u 0 implique u u + + u + u + 0 +u u + u où das la derière iégalité o a de ouveau utilisé u > 0. +u Suites récurretes liéaires d ordre. (a) (b) x 3. x 3. (c) La suite (d ) défiie par d x x vérifie d + 3d, d Par coséquet (d ) est divergete et la suite (x ) est pas ue suite de Cauchy, doc elle diverge. 5. Récurrece logistique - la route vers le chaos. O cosidère la suite (x ) défiie par x + µx ( x ), x 0 [0, ] pour u paramètre µ ]0, 4]. Motrer que x [0, ] pour tout N. Evidemmet pour tout x + max µx ( x ) µ 4. car x( x) 4. Doc x pour tout. Par coséquet, x + µx ( x ) 0. (a) Exemple µ. Motrer que pour tout x 0 [0, ] x 0. Pour tout x + x x 0. La suite (x ) est décroissate et miorée (par 0), doc covergete. Elle coverge vers la solutio de x x( x), i.e. x 0.

12 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 57 (b) Exemple µ. Motrer que pour tout x 0 [0, ] la suite (x ) est doée par x ( x 0). Motrer esuite que pour tout x 0 ]0, [ x. Le rsultat est vrai pour 0. Alors par rcurrece, x + ( ( x 0) )( + ( x 0) ) ( ( x 0) + ). O pose q ( x 0 ). Evidemmet q < pour x 0 ]0, [ (l itervalle ouvert est importat). De plus > pour (démostratio par récurrece : l iégalité est vraie pour et + > + + ). Doc pour tout (oter que q q car l exposat est pair) x q. Le théorème des deux gedarmes implique la covergece vers. (c) Exemple µ 4. O défiit θ 0 par x 0 si θ 0. Motrer que pour tout x 0 [0, ] x si ( θ 0 ). Calculer x pour tout θ 0 de la forme θ 0 π et k N. k Calculer x pour tout θ 0 de la forme θ 0 π et k N. 3 k Doer la suite (x ) si x 0 si π 5, i.e. θ 0 π 5. Facultatif pour voir plus : Etudier umériquemet le comportemet de x pour autres coditios iitiales x 0. Pour 0, par défiitio x 0 si θ 0. Alors par rcur- rece, x + 4 si θ ( si θ ) 4 si (θ ) cos (θ ) 4 si ( θ 0 ) cos ( θ 0 ) si ( θ 0 ) si ( + θ 0 ) Pour tout θ 0 de la forme θ 0 π k et k N, o a x k si π 0. Doc x 0 pour tout k : x 0. Pour tout θ 0 de la forme θ 0 π et k N, o a x 3 k k si π et x x k pour tout k.

13 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 58 Si x 0 si π 5, i.e. θ 0 π 5, alors x 3 4. (x ) 0 (si π 5, si π 5, si π 5, si π 5,...). C est ue suite périodique de période. O trouve des autres suites périodiques pour θ 0 de la forme θ 0 π et k N, m N \ {0}. Si θ m k 0 π est irratioel la suite x est irrégulière (i covergete, i périodique). 6. Ue Applicatio cotractate*. Soiet a, b > 0 et f : [0, [ [0, [ défiie par f(x). Trouver ue coditio pour a, b telle que f est ax + b cotractate. Das ce cas, e déduire la ite de la suite défiie par x + f(x ), x 0 0. Noter que pour tout x, y 0 : f(x) f(y) a(y x) (ax + b)(ay + b) a x y b Si a < b, alors f est cotractate. L uique poit fixe das le domaie de f est doé par x b + b + 4a a et x teds vers x. 7. Suites de ombres complexes I. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (+3i)+5 (3 i)+ +3i 3 i i (7+0i)+ (4+5i) i (3+9i)+3 (4+i) i 3i i (3+4i) +(5+7i) (+i)+3 3+4i +i (5+i) +( 3i)+8 ( 3i) 7 5+i 3i (8+5i) +(+7i)+ (+7i) 9 8+5i +7i 5+3i (+7i) (3 9i) Suites de ombres complexes II. Soit a, b R. (a) i i +i i + 5 3i i i e i(+a) e i( a) e ia (e i e i ) si si ie ia si si ie ia

14 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 59 (b) ( e i(+a) + e i(a )) e ia (e i + e i ) (i + ) cos (i + i) cos e ia (c) O passe e représetatio polaire : i + eia ie ia i (a + ib) (reiθ ) iθ re e 0 (d) O passe e représetatio polaire : a + ib a + b e iθ où θ [ π, π[. Aisi o a a + b et θ 0 Doc (a + ib) a + b e iθ (e) E trasformat l expoetielle, o obtiet (e ia a ) (cos ) + i si a O rappelle l iégalité trigoométrique dérivée à l exercice 45 du chapitre : pour tout 0 < h <, h < cos h < si h h < O pose h a. Pour tout > a, o a 0 < h < et doc De même a < cos a < a < (cos a ) < 0 (cos a ) 0 a < a si a < si a a O coclut doc que ia (e ) ia (f) O utilise le résultat précédet ) ia (e e ib ) ((e ia ) (e ib ) i(a + b) 9. Suites de ombres complexes III. Soit ue suite (z ) N, z C telle que z z C Motrer que z z

15 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 60 Par la défiitio de la ite d ue suite complexe z z z z 0 Or grâce aux propriété du module, o sait que 0 < z z < z z ce qui prouve que z coverge vers z. 30. Foctios complexes cotiues I. Motrer que la foctio f : R C défiie par f(x) e ipx p R est cotiue e tout x R. Corrigé Soit x R et (x ) N ue suite de réels qui coverget vers x. O doit motrer que eipx e ipx. O a e ipx e ipx cos px cos px + i(si px si px) cos px cos px + si px si px si p(x x) si p(x + x) + si p(x x) cos p(x + x) si p(x ( x) si p(x + x) + cos p(x ) + x) 4 si p(x x) Pour coclure, o ote que la derière expressio ted vers zéro. E effet, p(x x) o a démotré que si est cotiue sur les réels doc si ( ) si si 0 0. p(x x) 3. Foctios complexes cotiues II. Motrer que les foctios f : C R défiies par (a) f(z) z + z (b) f(z) i(z z) (c) f(z) zz (d) f(z) z sot cotiues e tout z C. Corrigé Soit z C et (z ) N ue suite complexe tels que z z 0. Il faut motrer que f(z ) f(z) 0. (a) (b) f(z ) f(z) z + z z z z z + z z z z 0 f(z ) f(z) i(z z ) i(z z) z z + z z z z + z z z z 0

16 CHAPITRE. SUITES ET LIMITES 6 (c) f(z ) f(z) z z zz z z zz + zz zz z (z z) + z(z z) z z z + z z z z z ( z + z ) 0 (car ( z ) est borée) (d) voir l exercice 9 3. Foctios complexes cotiues III. Soit f : C C cotiue e z 0 C. (a) Motrer que f(z) est cotiue e z 0. (b) Trouver u exemple pour f tel que f soit discotiue e z 0. (a) O a motré à l exercice précédet que la foctio h : C R défiie par h(z) z est cotiue sur tout C : z z 0 z z 0 Doc par la cotiuité de f e z 0 et de h sur tout C, o peut itervertir les ites h(f(z)) h( f(z)) h(f(z 0 )) z z 0 z z 0 (b) Il suffit de predre par exemple { si z i f(z) 0 sio f est cotiue e z 0 i, mais discotiue e z 0 i. 33. Foctios complexes cotiues IV. Motrer que f : C\{Im(z) 0, Re(z) 0} R défiie par f(z) arg z est cotiue e tout z D f. O sait que sur D f la formule de la bissectio permet d exprimer l argumet d u ombre complexe par arg z arcta Im(z) Im(z) + z arcta z z i( z z i + z ) arcta z z z z + i z O coclut e otat que arg s écrit comme compositio de foctios cotiues.