Dérivation vectorielle. On notera la dérivée par rapport au temps du vecteur U t

Transcription

1 Ce son des foncions du emps Les veceurs uilisés en cinémaique évoluen au cours du emps. On aura souven besoin d exprimer leur variaion par rappor au emps. On devra donc les dériver par rappor au emps Observons la variaion au cours du emps du veceur rouge : Par rappor au repère bleu, seule la norme du veceur rouge varie Par rappor au repère noir, la norme e la direcion du veceur rouge varies Donc, la variaion d un veceur dépend du repère «d observaion» On noera la dérivée par rappor au emps du veceur U dans le repère : Indiquer le repère de dérivaion es indispensable! du

2 Un veceur rouge : U() : ( O ; x ; y ; z ) Un repère bleu : Les composanes du veceur son des foncions du emps. Le veceur U( ) a( ) x1 b( ) y1 c( ) z1 es défini dans la base du repère 1 Sa dérivée par rappor au emps dans ce même repère es : du ( ) da( ) db( ) dc( ) x y z C es ce que u faisais en erminale.

3 Un veceur rouge : U() Un repère bleu : Un repère noir : : ( O ; x ; y ; z ) : ( O ; x; y; z) Le veceur U( ) a( ) x1 b( ) y1 c( ) z1 es oujours défini dans la base du repère 1 Par conre, on cherche sa dérivée par rappor au emps dans un aure repère : O du () d a ( ) x b ( ) y c ( ) z du ( ) da( ) dx db( ) dy dc( ) dz x a y b z c ( ) 1 ( ) 1 ( ) du ( ) da( ) db( ) dc( ) dx dy dz x1 y1 z1 a( ) b( ) c( ) 1 du ( ) du ( ) dx1 dy1 dz1 a( ) b( ) c( ) On dérive une somme de produis On ordonne On rerouve la dérivée dans 1

4 du ( ) du ( ) dx1 dy1 dz1 a( ) b( ) c( ) 1 On cherche mainenan à simplifier cee parie O z z 1 Finalemen : Pour comprendre, plaçons-nous dans le cas pariculier où : z z1 Dans ce cas : dx1 d() dx1 es foncion de α qui es d foncion de. (foncions α() composées : f ο g) dx1 d cos x sin y d d Le veceur es défini dx1 sin x cos y y1 d dans la base du repère de dérivaion dx1 z x1 d dx1 d() z x () z x 1 1 On complique un peu, mais ça simplifiera la suie

5 Finalemen : On rouve de même : appelle oi, on cherche à simplifier cee parie. On avai : On es oujours dans ce cas pariculier dx1 d() z x () z x 1 1 dy1 d() z y () z y 1 1 dz1 d() z z1 ( ) z z1( ) 1 z z 1 du ( ) du ( ) dx1 dy1 dz1 a( ) b( ) c( ) α() du ( ) du( ) a( ) ( ) z x1 b( ) ( ) z y1 c( ) ( ) z z1 1 On facorise du ( ) du ( ) () z ( ) z a( ) x1 b( ) y1 c( ) z 1 1 du ( ) du ( ) ( ) z U( ) 1 On rerouve

6 On pose : () z On es oujours dans ce cas pariculier du ( ) du ( ) ( ) z U( ) 1 1 C es le veceur viesse de roaion de 1 par rappor à. Sa norme es en rad/sec z z 1 α() A connaîre par coeur! du ( ) du ( ) Ainsi : 1 U() 1

7 On n es plus dans ce cas pariculier Dans ce cas, l orienaion de la base de 1 par rappor à la base de, peu êre définie par les angles d Euler : v w O Le cas général n es que rois fois le cas pariculier u ψ() u w θ() v ϕ() u On aura alors : E oujours : ( ) z ( ) u ( ) z 1 1 du ( ) du ( ) 1 U() 1 C es la somme de rois viesses de roaion auour de rois axes différens.

8 Pour calculer du () i Non es défini dans i? Oui O On uilise la relaion du ( ) du ( ) 1 U() 1 avec 1 le repère où le veceur es défini. On dérive les composanes. du ( ) da( ) db( ) dc( ) x y z i i i i On calcule du () 1 C es fini!...