MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

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1 VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés B. Bourgeois F. Delaplace F. Fortain

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3 Table des matières Retrouvez sur le site à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab), des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires. Chapitre 1. Rappel de calculs algébriques Calcul matriciel 1 2. Sommes et produits 2 3. Séries 3 4. Limites 4 5. Calcul intégral 5 6. Représentations graphique de fonctions 6 Exercices 8 1. Calcul matriciel 8 2. Sommes et produits et séries 9 3. Séries Limites Calcul intégral Représentations graphiques de fonctions 12 Corrigés 15 Chapitre 2. Espaces vectoriels Espace vectoriel Sous-espace vectoriel de E Matrice d une famille de vecteurs 44 Exercices 46 Corrigés 50 Chapitre 3. Applications linéaires Applications linéaires Matrice d une application linéaire Rang d une application linéaire Isomorphisme entre (E, F ) et n,m ( ) 69 Exercices 70 Corrigés 74 Chapitre 4. Réduction des endomorphismes Éléments propres et réduction d un endomorphisme Éléments propres et réduction des matrices 90 Exercices 92 Corrigés 96 Chapitre 5. Suites et séries Compléments Négligeabilité Équivalents Théorème du point fixe Séries à termes positifs 118 Exercices 119 Corrigés 122 Chapitre 6. Comparaisons et développements Négligeabilité Équivalents Développements limités 138 Exercices 140 Corrigés 143 Chapitre 7. Intégrales impropres Valeur d une intégrale impropre convergente Intégrales de référence Intégrales absolument convergentes Changement de variable 157 Exercices 158 Corrigés 162 Chapitre 8. Couples et vecteurs aléatoires Couples aléatoires Vecteurs aléatoires 183 Exercices 184 Corrigés 187 Chapitre 9. Fonctions de deux variables (1) Généralités Continuité et discontinuité en un point Dérivées partielles d ordre 1 en un point 200 Exercices 201 Corrigés 204 Chapitre 10. Fonctions de deux variables (2) Dérivées partielles d ordre Développement limité d ordre Exercices 218 Corrigés 221 III

4 Table des matières Chapitre 11. Variables à densité Variables aléatoires à densité 237 Exercices 239 Corrigés 244 Chapitre 12. Convergences et approximations Convergence en probabilité Convergence en loi 262 Exercices 263 Corrigés 267 Chapitre 13. Estimateurs, estimations Estimateurs et estimations Suites d estimateurs 280 Exercices 282 Corrigés 287 IV

5 MÉTHODE 1. Négligeabilité 5Chapitre Suites et séries Compléments Définition 5.1. Une suite (u n ) est négligeable devant une suite (v n ) s il existe un entier n 0 et une suite (ε n ) n n 0 convergente de limite 0 telle que (u n ) n n 0 = (v n ɛ n ) n n 0. On note u n = + o(v n ) ou, plus simplement, u n = o(v n ). Si (u n ) est négligeable devant (v n ) et si (v n ) est une suite où tous les termes sont non nuls à u n partir d un certain rang ( N, n N, v n 0) alors : lim = 0. n + v n Propriétés 5.1. Si la suite (v n ) est convergente, et si (u n ) = o(v n ), alors lim(u n ) = 0. Si (u n ) = o(v n ) et (v n ) = o(w n ) alors (u n ) = o(w n ). Si (u n ) = o(w n ) et (v n ) = o(w n ) alors (u n + v n ) = o(w n ). Si (u n ) = o(v n ) alors (λ u n ) = o(v n ) et, si λ 0, (u n ) = o(λv n ). Si (u n ) = o(w n ) et (v n ) = o(t n ) alors (u n w n ) = o(w n t n ). Si (u n ) = o(v n ) et lim(v n ) = b alors (u n + v n ) converge et lim(u n + v n ) = b. o(v n +o(v n )) = o(v n ). Croissances comparées On utilisera ici la notation (u n ) (v n ) pour dire que (u n ) = o(v n ). On a les comparaisons suivantes, au voisinage de + : 2. Équivalents (α,β,γ) [0,+ [ [0,+ ( ]1,+ [, (ln n) α n β γ n n! Définition 5.2. Une suite (u n ) est équivalente à une suite (v n ) s il existe un entier n 0 et une suite (ɛ n ) n n 0 convergente de limite 1 telle que (u n ) n n 0 = (v n ɛ n ) n n

6 Mathématiques ECE 2 e année On note (u n ) + (v n ) et parfois, par abus d écriture, u n + v n ou simplement u n v n. Si (u n ) est équivalente à (v n ), suite où tous les termes sont non nuls à partir d un certain u n rang ( N, n N, v n 0), alors : lim = 1. n + v n Propriétés 5.2. Si u n est convergente de limite l alors on a l implication : (u n ) (v n ) (v n ) converge et lim n + (v n) = l. On a l équivalence si l 0. Si (u n ) (w n ) et (v n ) (t n ) alors (u n v n ) (w n t n ). Si (u n ) (w n ), (v n ) (t n ) et (v n ) ne s annule pas au voisinage de +, alors u n w n. v n t n Si (u n ) (w n ) alors, pour toute valeur de α où u α n et w α n existent au voisinage de +, on a u α n w α n. Si (u n ) (w n ) et (v n ) = o(w n ) alors (u n + v n ) (w n ). Équivalents de référence Soit (u n ) une suite convergente de limite 0. α > 0, (1 + u n ) α 1 αu n ; e u n 1 u n ; ln(1 + u n ) u n. 3. Théorème du point fixe Soit (u n ) une suite de la forme u n+1 = f (u n ). Si f est une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans I, si (u n ) est une suite convergente de limite l, et si f est continue en l alors l est une racine de l équation f (x) = x. 4. Séries à termes positifs On dit qu une série u n est à termes positifs (à partir d un certain rang), s il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite (u n ) sont positifs. Critères Comparaisons : si u n et v n sont deux séries à termes positifs telles que, à partir d un certain rang N, 0 u n v n alors : 1. si u n diverge, alors v n diverge. 2. si v n converge, alors u n converge. Équivalence : si u n et v n sont deux séries à termes positifs telles que u n v n, + alors les deux séries sont de même nature. Négligeabilité : si u n et v n sont deux séries à termes positifs telles que u n et v n converge, alors la série u n converge. o(v n ) n + 118

7 Exercices Suites et séries Compléments Exercices guidés Exercice A (20 min.) 1) Montrer que l équation x e x = n admet une unique solution réelle, pour tout entier naturel n non nul, notée u n. 2) Montrer que u n ln n. 3) Déterminer un équivalent simple au voisinage de + de u n ln n. Exercice B (20 min.) On considère la suite (u n ) définie sur par : u 0 > 0; n, u n+1 = 1 + u n 2. 1) Vérifier que la suite (u n ) est bien définie. 2) Étudier la convergence de la suite (u n ). 3) Montrer que u n n au voisinage de +. Exercice C (20 min.) n! Soit a un réel positif. On considère la série de terme général u n = Π n k =1 (k + a ), n. 1) On suppose que 0 a 1. Montrer que la série de terme général u n est divergente. n 2) On suppose dans toute la suite du problème que a > 1. On pose S n = Etablir que pour n 2, S n 1 = 1 a 1 n + a a 1 u n. 3) Montre alors que la série de terme général u n est convergente. 4) Calculer la somme de cette série. Exercices k =1 u k Exercice 1 (10 min.) Déterminer un équivalent simple de la suite (u n ). 1) n, u n = (n + 3 ln n)e n 1 2) n, u n = ln(n 2 + 1) n + 1 Exercice 2 (10 min.) Étudier la convergence des séries de terme général u n dans chacun des cas suivants : 1) u n = 2 n ) u 1 n n = n + n. 3) u n = 1 ln n. 119 EXERCICES

8 Mathématiques ECE 2 e année Exercice 3 2) u n = ln n n 2. (10 min.) Étudier la convergence des séries de terme général u n dans chacun des cas suivants : 3 1) u n = 4 + n. 3) u n = e 1 n n. Exercice 4 (15 min.) 4) u n = ln n e n. On considère la suite définie par son premier terme u 0 strictement positif et la relation de u n récurrence : n, u n+1 = u n 2 + u n + 1 1) Vérifier que la suite (u n ) est bien définie. 2) Étudier le sens de variations de la suite (u n ). 3) Montrer que la suite (u n ) est convergente. 4) Déterminer la valeur de la limite de la suite (u n ). Exercice 5 (15 min.) On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0, tel que u 0 > 0 et u 0 1 et la 3 relation de récurrence : n, u n+1 = 1 + 2u n 2 1) Montrer que la suite (u n ) est bien définie et que, n, 0 u n 3, u n 1. 2) Montrer que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont monotones ; en déduire qu elles sont convergentes. 3) Montrer que si la suite (u n ) convergeait, sa limite ne pourrait être que ) En considérant la dérivée de la fonction définie sur par f (x ) = en 1, déterminer 1 + 2x 2 la limite quand n tend vers + de u n+1 1 u n 1. 5) En déduire que la suite (u n ) diverge et conclure. Exercice 6 (10 min.) On considère la série de terme général u n telle que, pour tout entier naturel n, 0 u n < 1. Montrer que les séries de terme général u n et v n = ln(1 + u n ) sont de même nature. Exercice 7 (10 min.) Étudier la nature de la série de terme général u n = ln sa somme. Exercice 8 (10 min.) 1 1n 2 et, si elle converge, calculer Déterminer selon la valeur du réel x la nature de la série de terme général u n = (2 n 1)x n. Exercice 9 (15 min.) On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et n, u n+1 = u n e u n. 1) Déterminer la nature de la suite (u n ). 120

9 Chapitre 5 Suites et séries Compléments 2) Déterminer la nature de la série de terme général u n Exercice 10 (20 min.) Soit (v n ) une suite réelle décroissante et de limite nulle. On pose, pour tout entier naturel n, u n = ( 1) n v n et S n = n u k. 1) Montrer que les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes. 2) En déduire que la série de terme général u n est convergente. 3) On note S la somme de cette série. Montrez que n,s 2n+1 S S 2n. 4) Montrer enfin que n, S S n v n+1. 5) Étudier la nature des séries de termes général : u n = ( 1)n ln n n Exercices SCILAB Exercice S1 (10 min.) k =0 et v n = ( 1) n ( n + 1 n). Soit (u n ) la suite arithmético-géométrique définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2, u n+1 = 1 3 u n ) En utilisant les instructions plot2d et plot2d2, écrire un programme pour obtenir la représentation graphique suivante : On codera la grille en vert (code couleur 3), la première bissectrice en fuchsia (code couleur 6), la courbe en bleu-ciel (sky blue) et l épaisseur du trait sera 2. 2) Que représente la ligne brisée d origine ( 2, 0)? Que peut-on conjecturer sur les variations de la suite, sur sa nature? 3) Justifier votre conjecture. Exercice S2 (5 min.) Soit (u n ) la suite arithmético-géométrique définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2, u n+1 = 1 3 u n En utilisant les instructions plot2d et plot2d2, écrire un programme pour obtenir la représentation graphique suivante : 121 EXERCICES

10 Corrigés Suites et séries Compléments Corrigés des exercices guidés Exercice A Ce sujet est consacré à la recherche d équivalents dans l étude d une suite définie implicitement comme solution d une équation. 1) Méthode 1 Bien que l étude de ce type de suite ne soit pas exigible, elle apparaît fréquemment dans les sujets de concours et il convient de bien mémoriser la démarche. Tout repose sur le théorème de bijection. Mais attention, ici, il est essentiel dans un premier temps d observer l équation proposée pour voir qu un raisonnement par disjonction des cas permettra de simplifier de manière considérable la démonstration. On peut tout d abord remarquer que si x < 0, alors x e x < 0. Donc, comme n 1, l équation x e x = n n admet aucune solution sur. On considère maintenant la fonction f définie sur + par f (x) = x e x. Cette fonction est clairement strictement croissante sur + avec f (0) = 0 et lim f (x ) = +. x + Donc f réalise une bijection de + dans lui même et comme n +, l équation f (x) = n admet une unique solution dans +. On peut aussi noter que comme f (0) = 0, 0 n est pas solution de l équation proposée. En conclusion, l équation x e x = n admet une unique solution réelle, pour tout entier naturel n non nul, notée u n, avec u n > 0. 2) Méthode 2 Pour montrer que deux suites (u n ) et (v n ) sont équivalentes au voisinage de +, plusieurs démarches sont possibles. On peut montrer que le quotient u n v n a pour limite 1 en + ou travailler avec les équivalents usuels et les opérations autorisées sur les équivalents. On peut aussi utiliser le lien entre équivalents et négligeabilité. On remarque ici que l expression demandée comporte un ln n, ce qui sous-entend de commencer par modifier l équation donnée. D après la première question, on peut dire que u n e u n = n. 122

11 Chapitre 5 Suites et séries Compléments Toutes ce quantités étant strictement positives, on peut donc en déduire que ln u n + u n = ln n On cherche maintenant à déterminer la limite de la suite (u n ) en + : On a, avec les notations introduites à la première question, f (u n ) = n et f définit une bijection de + dans lui même telle que lim f (x) = +. Par suite, f admet une application x + réciproque notée f 1 telle que lim f 1 (x) = +. x + On a donc, comme u n = f 1 (n), lim u n = +. n + En utilisant les négligeabilités usuelles, on peut écrire qu au voisinage de +, ln u n = o(u n ). Ce qui permet ensuite d en déduire que ln u n + u n u n. On peut alors conclure que u n ln n. 3) Méthode 3 Cette dernière question est plus difficile que la précédente car elle est ouverte : le sujet ne propose par de réponse. Il convient donc de construire nous même un équivalent pour u n ln n. On pourrait formuler une conjecture puis démontrer que cette conjecture est correcte en utilisant une des démarches proposées en question 2. On rappelle qu on ne peut pas additionner les équivalents ni les composer. On a démontré à la question précédente qu au voisinage de +, u n ln n. On sait aussi d après cette même question que ln u n + u n = ln n ce qui peut aussi s écrire ln n u n = ln u n. ln u n Commençons par nous intéresser au quotient ln(ln n). ln u n u n 2, ln(ln n) = ln n ln n ln n Or, comme u n ln n, on a Comme de plus lim n + On a donc ln u n ln(ln n). u n ln u ln n n 2, ln(ln n) = 1 + ln n ln(ln n) lim n + u n ln n = 1 d où lim ln u n n + ln n = 0. ln n = +, il en résulte que lim n + Or ln u n = ln n u n. Il en résulte que ln n u n ln(ln n). ln u n ln(ln n) = 1. Exercice B On considère la suite (u n ) définie sur par : u 0 > 0; n, u n+1 = 1 + u 2 n. L objet de cet exercice est l étude d une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence de la forme u n+1 = f (u n ). On y trouve les deux questions très classiques : montrer que la suite est bien définie et l étude de la convergence. 123 CORRIGÉS

12 Mathématiques ECE 2 e année 1) Méthode 1 La question de la bonne définition de la suite se traite à l aide d un raisonnement par récurrence puisque, en raison du mode de définition, chaque terme de la suite est généré à partir du terme précédent. A l intérieur de cette récurrence, on se propose aussi soit d encadrer les termes de la suite, soit de minorer soit de majorer. On pose P n : u n existe et u n > 0. Par hypothèse, u 0 existe et u 0 > 0, ce qui établit P 0. Soit n un entier naturel tel que P n. On sait alors que u n existe et u n > 0. Il en résulte de manière immédiate que u 2 n + 1 est bien défini et strictement positif donc u n+1 existe et u n+1 > 0, ce qui établit P n+1. On peut donc en conclure par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes sont strictement positifs. 2) Méthode 2 Tout cette question repose sur le théorème du point fixe : si la suite (u n ) est définie par une relation de récurrence du type u n+1 = f (u n ), et si la suite (u n ) converge vers une limite L, alors L est un point fixe de f. On notera qu il est nécessaire de montrer que la suite (u n ) converge pour pouvoir ensuite conclure ; ceci pourra se faire par le théorème de convergence monotone. On pourra aussi remarquer que si la fonction f ne possède pas de point fixe, la suite (u n ) ne pourra pas être convergente... On commence par s intéresser aux éventuels points fixes de la fonction f définie pour tout x strictement positif par f (x) = x Comme on travaille sur +, f (x) = x x = x 2. Cette équation n admet pas de solution donc la fonction f n a pas de point fixe. On peut donc en déduire que la suite (u n ) ne peut pas converger. On s intéresse au sens de variation de (u n ). n, u 2 n+1 u 2 n = 1 On peut donc en déduire que n, u 2 n+1 > u 2 n et puisque la suite (u n) a tous ses termes strictement positifs d après la première question, u n+1 > u n. Il en résulte que la suite (u n ) est strictement croissante. Or, d après le cours, une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Si la suite est croissante non majorée, alors elle diverge vers +. Étant donné que la suite (u n ) n est pas convergente, on en déduit qu elle n est pas majorée. lim u n = + n + 124

13 Chapitre 5 Suites et séries Compléments 3) Méthode 3 Le terme général de la suite u n n étant pas connu, il semble difficile de lui trouver directement un équivalent. On commence par observer les résultats précédents et, en particulier, l égalité vérifiée par deux termes consécutifs de la suite (u 2 n ) ; on obtient ainsi une propriété très intéressante de cette suite qui va permettre de débloquer la situation. Se souvenir que lorsqu on n a pas de piste, il convient de passer en revue toutes les hypothèses et les résultats antérieurs! On a montré à la question précédente que n, u 2 n+1 u 2 n = 1. Ceci nous permet d affirmer que la suite de terme général u 2 n est une suite arithmétique de raison r = 1. On peut donc donner l expression de son terme général en fonction de n : On montre alors que u 2 n n. En effet, n, u 2 n n = 1 + u 2 0 n. On en déduit que lim n + u 2 n n = 1. n, u 2 n = u n. Comme on a prouvé que tous les termes de la suite (u n ) étaient positifs, on peut en déduire, en utilisant les opérations sur les équivalents que u n n au voisinage de +. Exercice C Cet exercice, très complet, permet de travailler tous les savoir-faire exigibles sur les séries : critère de comparaison des séries à termes positifs, calcul de la somme de la série. n! Soit a un réel positif. On considère la série de terme général u n = n k =1 (k + a ), n. 1) Méthode 1 Pour montrer que la série de terme général u n est divergente, étant donné que c est une série à termes positifs, on minore son terme général par le terme général d une série divergente. On pourra ensuite appliquer le critère de comparaison des séries à termes positifs. Bien que cela puisse sembler évident, on pensera à mentionner sur sa copie que la série est à termes positifs. On suppose que 0 a 1. On travaille par encadrements successifs : On sait par hypothèse que 0 a 1. On peut donc en déduire que : k, k k + a k + 1 On multiplie membre à membre ces inégalités entre nombres positifs : 125 CORRIGÉS

14 Mathématiques ECE 2 e année n n n k, k (k + a ) (k + 1) k =1 Ce qui peut aussi s écrire : k, n! On en déduit que k =1 k =1 n (k + a ) (n + 1)!. k =1 n! (n + 1)! n! n k =1 (k + a ). Soit finalement n 1, n + 1 u n. Or, n 1, u n > 0, > 0, on peut donc appliquer le critère de comparaison des séries à n termes positifs. Etant donné que la série de terme général est divergente (on rappelle n que n et que la série harmonique est divergente ), on peut en conclure que la série n de terme général u n est divergente. n On suppose dans toute la suite du problème que a > 1. On pose S n = u k. 2) Méthode 2 Ce résultat s établit par récurrence ; pas de difficultés sur le fond mais des calculs à mener astucieusement, y compris pour la phase d initialisation, qui, pour une fois, n est pas évidente. On pose P n : S n 1 = 1 a 1 n + a a 1 u n On initialise la récurrence pour n = 2 : Pour n = 2, on a d une part, S 1 = u 1 = a et d autre part 1 a a a 1 u 2 = a 1 a + 1 En simplifiant on trouve bien a soit S 1 ce qui établit P 2. Hérédité : Soit n, n 2 tel que P n. On a donc S n 1 = 1 a 1 n + a a 1 u n. Or, par définition, S n = S n 1 + u n. On en déduit que S n = 1 a 1 n + a a 1 u n + u n S n = 1 a 1 u n k =1 n + a a 1 1 Or, d après la définition du terme général de (u n ), on a la relation u n = u n+1 n a n + 1. On peut alors remplacer dans la formule précédente et il vient : S n = 1 a 1 n a a 1 u n+1 ce qui établit P n+1 et achève le raisonnement par récurrence. 3). 126

15 Chapitre 5 Suites et séries Compléments Méthode 3 Il existe différentes méthodes pour montrer qu une série converge mais, compte tenu de la question précédente, où on a demandé le calcul de la somme partielle d ordre n, il semble clair qu il faut s appuyer sur la définition d une série convergente : la série de terme général u n converge si et seulement si la suite (S n ) converge. Se pose alors la question de savoir quelle méthode utiliser pour montrer que la suite (S n ) converge. Dans le cas d une série à termes positifs, la série converge si et seulement si la suite (S n ) est majorée en effet, dans ce cas, il est clair que la suite (S n ) est croissante. On pourra alors appliquer le théorème de convergence monotone. On considère la suite (S n ) des sommes partielles de la série de terme général u n. Comme la série est à termes positifs, la suite (S n ) est croissante. Montrons qu elle est majorée. D après la question précédente, S n = 1 a 1 n a a 1 u n+1. Or, n a a 1 u 1 n+1 0. On peut donc en déduire que la suite (S n ) est majorée par a 1. La suite (S n ) est croissante et majorée ; donc, d après le théorème de convergence monotone, elle converge. La série de terme général u n est convergente. 4) Méthode 4 D après le cours, la somme de la série de terme général u n est la limite de la suite (S n ). Comment déterminer cette limite? Une recherche directe ne semble pas possible. On peut d après la question précédente donner une majoration de la limite de (S n ). Un raisonnement par l abssurde nous permettra ensuite de conclure. On a prouvé à la question précédent que la suite (S n ) converge vers une limite L. Comme 1 cette suite est majorée par, le théorème de compatiblité de l ordre et de la limite nous a 1 donne L 1 a 1. Montrons que si L < 1, on obtient une contradiction. a 1 La formule obtenue à la question 2 peut aussi s écrire : n + a a 1 u n = 1 a 1 S n 1. Comme la suite (S n ) converge vers L, on a aussi lim n + n + a a 1 u n = 1 a 1 L. On pose M = 1 L ; étant donné notre hypothèse de départ, M > 0. a 1 On en déduit que n + a a 1 u n M. D où u n M a 1 n + a u n M a 1 n. 127 CORRIGÉS

16 Mathématiques ECE 2 e année Les séries de terme général u n et M a 1 sont à termes positifs ; d après le critère des n équivalents des séries à termes positifs, ces deux séries sont de même nature. Or la série de terme général 1 n est divergente (série harmonique) ; donc la série de terme général u n diverge ce qui est faux. On peut donc en conclure que + n=1 u n = 1 a 1. Corrigés des exercices Exercice 1 1) n, u n = (n + 3 ln n)e n 1. On peur remarquer qu au voisinage de +, ln n = o(n) donc n + 3 ln n n. On en déduit que, au voisinage de +, u n n e. n+1 2) n, u n = ln(n 2 + 1). n + 1 On a, au voisinage de +, (n + 1) n n 2 On transforme le numérateur en 2 ln n + ln Au voisinage de +, u n 2 ln n n.. Exercice 2 1) u n = 2 n n. u n est la somme d une série divergente (on rappelle que la série harmonique diverge) et d une série géométrique convergente ( car 1 < 1 < 1) donc cette série est divergente ) u n = n + n. On remarque que n + n n donc u n 1 n. De plus, la série de terme général u n et la série harmonique sont deux séries à termes positifs ; elles sont donc de même nature d après le critère des équivalents des séries à termes positifs ; comme la série harmonique est divergente, alors u n est aussi divergente. Exercice 3 3 1) u n = 4 + n. Au voisinage de +, u n 3 n. 1/2 1 Or la série de Riemann de terme général est divergente donc, d après le critère des n 1/2 128

17 Chapitre 5 Suites et séries Compléments équivalents sur les séries à termes positifs, on peut en déduire que u n est aussi divergente. 2) u n = ln n n. 2 1 Au voisinage de +, u n = o. n 3/2 1 La série de Riemann de terme général est convergente, donc d après le critère de n 3/2 négligeabilité pour les séries à termes positifs, u n est aussi convergente. 3) u n = e 1 n n. e 1 n 1 donc u n 1 n D après le critère des équivalents sur les séries àtermes positifs, les deux séries sont de même nature ; or la série harmonique diverge donc u n est aussi divergente. 4) u n = ln n e. n 1 On montre que u n = o n 2 1 La série de Riemann de terme général est convergente, donc d après le critère de négligeabilité pour les séries à termes positifs, u n est aussi n 2 convergente. Exercice 4 On considère la suite définie par son premier terme u 0 strictement positif et la relation de u n récurrence : n, u n+1 = u n 2 + u n ) Soit n, on pose P n : u n existe et u n > 0». Pour n = 0 : On sait par hypothèse que u 0 existe et est strictement positif ce qui établit P 0. Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P n. Sachant P n, u n existe et u n > 0, donc u 2 n + u u n n et le quotient u n 2 + u existe donc n + 1 u n+1 existe et, de plus, est strictement positif, ce qui établit P n+1. On a donc démontré par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes sont strictement positifs. 2) Puisque tous les termes de la suite (u n ) sont strictement positifs, considérons le quotient u n+1 : n, u n+1 1 = u n u n u n 2 + u n + 1. D après la première question, on a donc n, u n+1 < 1. u n On en déduit que la suite (u n ) est décroissante. 3) La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0 donc, d après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite L. De plus, d après le théorème de compatibilité de l ordre et de la limite, on a L 0. 4) La suite (u n ) est définie par son premier terme et une relation de la forme u n+1 = f (u n ) x avec f (x) = pour x 0. x 2 + x CORRIGÉS

18 Mathématiques ECE 2 e année Elle converge vers une limite L et f est continue en L (fonction rationnelle continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition). D après le théorème du point fixe, on peut en déduire que L est un point fixe de f, c est à dire L est solution de l équation f (x) = x. f (x) = x x x 2 + x + 1 = x f (x) = x L(L + 1) = 0 f (x) = x L = 0 ou L = 1 Comme on a vu que L 0 on peut donc conclure que la suite (u n ) converge vers 0. Exercice 5 On considère la suite (u n ) définie par son premier terme u 0, tel que u 0 > 0 et u 0 1 et la 3 relation de récurrence : n, u n+1 = 1 + 2u n 2 1) On peut commencer par étudier la fonction f définie sur + 3 par f (x) = 1 + 2x. Cette 2 fonction rationnelle est définie et dérivable sur + et x +, f x) = 12x 1 + 2x 2 2. On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur +. 3 Elle réalise une bijection de [0; 3] sur 19 ; 3 ce qui montre que l équation f (x) = 1 admet une unique solution dans [0; 3]. De plus, comme f (1) = 1, cette unique solution est 1. Soit n, on pose P n : «u n existe et 0 u n 3». Pour n = 1 : On sait par hypothèse que u 0 existe et f est définie sur + donc u 1 existe et, comme f est décroissante sur + avec lim f (x ) = 0, 0 < u 1 3 ce qui établit P 0. x + Hérédité : Soit n un entier naturel non nul tel que P n. Sachant P n, u n existe et 0 u n 3. L étude préliminaire de la fonction f permet d affirmer que 3 19 f (u n) 3 donc u n+1 existe et 0 u n+1 3 ce qui établit P n+1. On a donc démontré par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes de rang supérieur ou égal à 1 sont compris entre 0 et 3. Il convient maintenant de démontrer que si u 0 1, alors tous les termes de la suite sont différents de 1. On commence par montrer par récurrrence ( à rédiger seul ) que si u 0 = 1 alors n, u n = 1. Cherchons pour quelle valeur de u 0 la suite (u n ) est constante : 3 Si (u n ) est constante, on a en particulier u 0 = u 1 donc u 0 = 1 + 2u 0 2. u 0 = u 1 2u u 0 3 = 0 u 0 = u 1 (u 0 1)(2u u 0 + 3) = 0 Le trinôme 2x 2 + 2x + 3 n a pas de racines réelles ; on peut donc conclure : si (u n ) est constante, alors u 0 = 1. Il en résulte que la suite (u n ) est constante, de valeur 1, si et seulement si u 0 = 1. Par suite, u 0 1 n, u n

19 Chapitre 5 Suites et séries Compléments 2) La fonction f est décroissante sur + ; la fonction f f est bien définie et elle est croissante. Or n, u 2n+2 = (f f )(u 2n ) et u 2n+3 = (f f )(u 2n+1 ). Il en résulte d après le cours que ces deux suites sont monotones. D après la question précédente, ces deux suites sont minorées par 0 et majorées par 3 ; on peut donc appliquer le théorème de convergence monotone et en déduire que ces suites sont convergentes. 3) Si la suite (u n ) convergeait vers un réel L, ce réel serait compris entre 0 et 3 d après le théorème de compatibilité de l ordre et de la limite et, comme f est continue sur + donc continue en L, L serait un point fixe de f. L équation f (x ) = x a été étudiée dans la question 1 ; elle admet pour unique solution x = 1. On peut en conclure que si la suite (u n ) convergeait, sa limite ne pourrait être que 1. 4) La fonction f est dérivable en 1 et f (1) = 4 3 donc f (1) 4 = 3. Supposons que lim u u n+1 1 n = 1, alors lim n + u n 1 u n 1 Soit = lim u n 1 u n+1 1 lim u n 1 u n 1 = f (1) = 4 3 f (u n ) f (1) u n 1 par la définition du nombre dérivé en un point. 5) On peut donc en déduire qu il existe un entier p tel que n p, u n+1 1 > u n 1 et en particulier u n+1 1 > u p 1. Ceci est en contradiction avec le fait que lim (u n 1) = 0. n + Par suite, la suite (u n ) ne peut pas converger vers 1. Or on a prouvé que si la suite (u n ) converge, sa limite ne peut être que 1. Il en résulte que la suite (u n ) diverge. Or les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergeaient. On peut donc affirmer que ces deux suites extraites n avaient pas la même limite. Exercice 6 On considère la série de terme général u n telle que, pour tout entier naturel n, 0 u n < 1. Supposons que u n converge, alors son terme général u n tend vers 0 donc ln(1+u n ) u n. On sait par hypothèse que u n > 0 et on a donc aussi ln(1 + u n ) > 0. On peut appliquer le critères des équivalents pour les séries à termes positifs et on en déduit que les deux séries sont de même nature ; donc ln(1 + u n ) est aussi convergente. Réciproquement, supposons que ln(1+u n ) est convergente alors son terme général tend vers 0. D après les équivalents usuels e ln(1+u n ) 1 ln(1 + u n ). Or ceci peut aussi s écrire u n ln(1 + u n ). On peut de nouveau appliquer le critère des équivalents pour les séries à termes positifs et déduire que u n est de même nature que ln(1 + u n ). On peut finalement conclure que les séries de terme général u n et v n = ln(1 + u n ) sont de même nature. 131 CORRIGÉS

20 Mathématiques ECE 2 e année Exercice 7 Notons tout d abord que la série de terme général u n = ln k =2 1 1n 2 n est pas une série à termes positifs. On ne peut donc pas lui appliquer les crirères de convergence des séries à termes positifs. n On pose, pour n 2, S n = ln 1 1. k 2 k =2 n n n On transforme cette égalité en S n = ln(k + 1) + ln(k 1) 2 ln k. On simplifie ces sommes ; il reste : n 2,S n = ln 2 + ln(n + 1) ln n. On transforme de nouveau en n 2,S n = ln La suite (S n ) converge et lim S n = ln 2. n + On peut donc conclure que Exercice 8 u n converge et k = n + k =2 ln 2. u n = ln 2. Déterminons selon la valeur du réel x la nature de la série de terme général u n = (2 n 1)x n. On commence par remarquer que u n (2x ) n On peut donc s appuyer sur les résultats concernant les séries géométriques. Si x > 1, alors 2x > 1 donc la lim 2 n + 2x n = +. Par suite, lim u n 0. Comme le terme n + général de la suite ne tend pas vers 0, la série de terme général u n diverge. Si x < 1 2, alors 2x < 1 donc 2x n est convergente. Les séries de terme général u n et 2x n sontdeux séries à termes positifs telles que u n 2x n donc elle sont de même nature ; par suite, u n est convergente et d après le théorème sur la convergence absolue, u n est aussi convergente. Si x = 1 2, alors x = 1 2 ou x = 1 1 n 2, on a donc, après simplification, u n = 1 ou 2 1 n u n = ( 1) n. 2 On remarque que dans les deux cas, le terme général de la série ne tend pas vers 0 donc la série diverge grossièrement. Exercice 9 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et n, u n+1 = u n e u n. 1) Soit n, on pose P n : «u n existe et u n > 0». Pour n = 0 : On sait par hypothèse que u 0 =1 donc est strictement positif ce qui établit P 0. Hérédité : Soit n un entier naturel tel que P n. Sachant P n, u n existe et u n > 0, donc u n e u n existe et est strictement positif ; ainsi u n+1 existe et est strictement positif, ce qui établit P n+1. k =2 132

21 Chapitre 5 Suites et séries Compléments On a donc démontré par un raisonnement par récurrence que la suite (u n ) est bien définie et que tous ses termes sont strictement positifs. Puisque tous les termes de la suite (u n ) sont strictement positifs, considérons le quotient u n+1 : n, u n+1 = e u n. u n u n D après la première question, on a donc n, u n+1 u n < 1. On en déduit que la suite (u n ) est décroissante. 2) La suite (u n ) est définie par son premier terme et une relation de la forme u n+1 = f (u n ) avec f (x) = x e x pour x 0. Elle converge vers une limite L et f est continue en L car f est continue sur son ensemble de définition. D après le théorème du point fixe, on peut en déduire que L est un point fixe de f, c est à dire L est solution de l équation f (x) = x. f (x) = x x e x = x f (x) = x x(1 e x ) = 0 f (x) = x L = 0 On peut donc conclure que la suite (u n ) converge vers 0. n 1 3) On pose S n = u k et on étudie la convergence de la suite (S n ). k =0 Comme n, u n+1 = u n e u n, avec u n > 0, on en déduit que u n = ln u n ln u n+1. n 1 n,s n = (ln u k ln u k +1 ) Après réduction de cette somme, il vient : n,s n = ln u n. Or la suite (u n ) converge vers 0 donc lim S n = +. n + La suite (S n ) est divergente donc la série de terme général u n est divergente. k =0 Exercice 10 Soit (v n ) une suite réelle décroissante et de limite nulle. On pose, pour tout entier naturel n, u n = ( 1) n v n et S n = 1) On montre que la suite S 2n est décroissante : 2n+2 n,s 2n+2 S 2n = u k k =0 2n u k k =0 n u k. k =0 n,s 2n+2 S 2n = u 2n+2 + u 2n+1 = v 2n+2 v 2n+1 Or, par hypothèse, la suite (v n ) est décroissante ; on peut donc en déduire que la suite (S 2n ) est aussi décroissante. On montre de même que la suite (S 2n+1 ) est croissante. Enfin, n,s 2n+1 S 2n = u 2n+1 = v 2n CORRIGÉS

22 Mathématiques ECE 2 e année Par hypothèse, la suite (v n ) est de limite nulle donc lim (S 2n+1 S 2n ) = 0. n + Les suites (S 2n ) et (S 2n+1 ) sont adjacentes. 2) D après le cours, les suites adjacentes (S 2n ) et (S 2n+1 ) convergent et ont la même limite S. La sous-suite des termes de rangs pairs et la sous-suite des termes de rangs impairs de la suite (S n ) convergent et ont la même limite ; il en résulte que la suite (S n ) est aussi convergente. On en déduit que la série de terme général u n est convergente. 3) On note S la somme de cette série. La suite (S 2n ) est décroissante convergente donc elle est minorée par sa limite S ; la suite (S 2n+1 ) est croissante et convergente donc elle est majorée par sa limite S. Ainsi : n,s 2n+1 S S 2n 4) On déduit du résultat de la question précédente que n, 0 S S 2n+1 S 2n+2 S 2n+1 ce qui peut aussi s écrire n, 0 S S 2n+1 v 2n+2. On a aussi n,, v 2n+1 S S 2n 0. Donc, quelle que soit la parité de n, S S n v n+1. 5) On peut conclure des questions antérieures que si u n = ( 1) n v n où (v n ) est une suite décroissante de limite nulle, alors la série de terme général u n est convergente. n, u n = ( 1)n ln n n On pose v n = ln n n. La suite (v n) est bien positive et de limite nulle ; elle est décroissante à partir du rang 3 ( Ceci peut s établir facilement en étudiant la fonction définie par f (x ) = lnx x.) Elle vérifie donc les conditions énoncées précédemment donc la série de terme général u n est convergente. n, v n = ( 1) n ( n + 1 n) On pose de même v n = n + 1 n = 1 n n La suite (v n ) est aussi positive, décroissante et de limite nulle donc la série de terme général u n est convergente. Corrigés des exercices Scilab Exercice S1 1) On peut écrire, par exemple : clf () // Effa ç age des figures funcprot (0) // Initialisation des fonctions deff ("y=f(x)","y =1/3* x+1") // Dé finition de la fonction u=-2 // Initialisation de la suite n=7 // Nombre d ité rations // Matrices suite, x et y 134

23 Chapitre 5 Suites et séries Compléments suite =[0; u]; for k =1: n u=f( u) // calcul du terme suivant de la suite suite =[ suite ; u] // Construction de la suite des termes end x= suite ([1:n -1]); y= suite ([2: n ]); y (1)=0 // RG de la courbe de la fonction et des termes de la suite v =[ -3:2] // matrice des valeurs de x pour la RG de la courbe de f plot2d (v,[v,f(v )],[6,1], rect =[ -3, -1,2,2]) // RG de la courbe // et de la premi ère bissectrice dans un rectangle de visualisation // rect =[ xmin, ymin, xmax, ymax ] a= gca () // Param è tres de la repr é sentation a. grid =[3 3] // Repr é sentation d une grille de couleur 3, c est -à-dire verte a. x_location =" origin " a. y_location =" origin " C2=a. children (1). children (1) // Courbe de f C2. foreground = color (" sky blue ") // Changement de la couleur de // la courbe C2. thickness =2 // Epaisseur du trait plot2d2 (x, y) // RG des termes de la suite 2) Le premier segment vertical a pour extrémité le point u 0, f (u 0 ), le deuxième segment vertical a pour extrémité u 1, f (u 1 ) et ainsi de suite ; il en résulte que les abscisses des extrémités des segments verticaux (ou horizontaux) sont les termes successifs de la suite.d ailleurs, c est bien ce que dit le programme.les premiers termes de la suite sont dans l ordre croissant et la suite semble être majorée α tel que α = f (α). Il en résulte qu elle semble être convergente. 3) Déterminons d abord le réel α tel que α = f (α). Immédiatement : Montrons, quel que soit n, 2 u n α + 1 = α donc α = 3 2. On a : u n+1 u n = 1 3 u n + 1 u n = 2 3 u n + 1. On a l implication : u n+1 u n 2 ( 2) Donc, u n+1 u n 0 et la suite (u n ) est croissante.montrons maintenant par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3 2. Initialisation : u 0 = Hérédité : montrons l implication u n 3 2 u n On a 1 3 u n soit u n Donc, par le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n 3 2. La suite (u n ) est croissante et majorée, donc elle converge. Sur la représentation graphique, il semblerait que la limite de la suite soit α. Soit ɛ > 0 ; on a : α = α + 1 donc u n+1 α = 3 u n α CORRIGÉS

24 Mathématiques ECE 2 e année Et donc u n+1 α = 1 3 u n α. Il en résulte qu on a l implication : n, u n α 3ɛ u n+1 α ɛ. Exercice S2 Par exemple, clf () // Effa ç age des figures funcprot (0) // Initialisation des fonctions deff ("y=f(x)","y = -1/3* x +1/2 ") // Dé finition de la fonction u = -0.4 // Initialisation de la suite n =12 // Nombre d ité rations // Matrices suite, x et y suite =[0; u]; for k =1: n u=f( u) // calcul du terme suivant de la suite suite =[ suite ; u] // Construction de la suite des termes end x= suite ([1:n -1]); y= suite ([2: n ]); y (1)=0 // RG de la courbe de la fonction et des termes de la suite v =[ -0.6:0.1:1] // matrice des valeurs de x pour la RG de la // courbe de f plot2d (v,[v,f(v )],[6,1], rect =[ -0.6, -0.4,1,0.7]) // RG de la courbe // et de la premi ère bissectrice dans un rectangle de visualisation // rect = [xmin, ymin, xmax, ymax ] a= gca () // Param è tres de la repr é sentation a. grid =[3 3] // Repr é sentation d une grille de couleur 3, // c est -à-dire verte a. x_location =" origin " a. y_location =" origin " C2=a. children (1). children (1) // Courbe de f C2. foreground = color (" sky blue ") // Changement de la couleur de la // courbe C2. thickness =2 // Epaisseur du trait plot2d2 (x, y) // RG des termes de la suite 136

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26 VUIBERT MATHS ECE 2 e année MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES Des ouvrages pour faire la différence : des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s entraîner et se mettre en situation d épreuve : exercices guidés, exercices d application et problèmes de synthèse, en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab et des exercices complémentaires. SOMMAIRE 1. Rappels de calculs algébriques 2. Espaces vectoriels 3. Applications linéaires 4. Réduction des endomorphismes 5. Suites et séries-compléments 6. Comparaisons et développements 7. Intégrales impropres 8. Couples et vecteurs aléatoires 9. Fonctions de deux variables (1) 10. Fonctions de deux variables (2) 11. Variables à densité 12. Convergences et approximations 13. Estimateurs, estimations En ligne : Annexes : A. Lois usuelles B. Scilab Exercices complémentaires Les auteurs : Bénédicte Bourgeois est professeur agrégée de mathématiques en CPGE. François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles. Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles. ISBN :

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