UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit d N. Une fonction polynôme (à coefficients réels) P de degré d = d P est une fonction définie sur R telle qu il existe d + 1 constantes réelles a 0,..., a d où a d 0 et : P (x) = a 0 + a 1 x + + a d x d, x R. Remarque importante : En algèbre, un polynôme P à une indéterminée sur R est défini comme une expression formelle de la forme : P = a d X d + a d 1 X d a 1 X + a 0 où d N, les coefficients a 0,, a d sont (d + 1) réels et X est un symbole formel (ce n est pas un nombre réel) appelé «indéterminée du polynôme». Dans la suite du cours (qui est un cours d analyse et non d algèbre générale!) on conviendra de confondre le polynôme P = P (X) = a d X d + a d 1 X d a 1 X + a 0 R[X] et la fonction polynôme P définie sur R par P (x) = a d x d +a d 1 x d 1 + +a 1 x+a 0 : on peut effectivement justifier qu il y a une bijection entre l ensemble des polynômes à une indéterminée sur R et l ensemble des fonctions polynômes (ce qui n est pas forcément le cas lorsque l on travaille sur d autres «ensembles» de nombres que R). Sauf mention contraire, tous les polynômes considérés dans ce cours seront à une indéterminée sur R. 1.1 Degré Remarque : Parfois (en algèbre essentiellement) on définit le degré du polynôme nul comme étant égal à, ce qui permet de rédiger les théorèmes qui vont suivre sans avoir besoin de distinguer les cas P nul ou non. Nous ferons dans ce cours la distinction.

2 1.2 Fonction dérivée 2 Proposition 1. Soient P et Q deux fonctions polynômes, la somme, le produit, le produit par un nombre réel a et la composition de fonctions polynômes respectivement notés P + Q, P Q, ap et P Q sont bien définis. Si de plus a 0 et P et Q sont non nuls, on a : 1. d (ap ) = d P. 2. si P +Q n est pas le polynôme nul, d (P +Q) max{d P, d Q}, l égalité est toujours obtenue lorsque d P d Q et l exemple P (x) = 1+x x 4 et Q(x) = x 2 +x 4 donne un cas d inégalité stricte.. d (P Q) = d P + d Q. 4. d (P Q) = d P d Q. Preuve succincte : Les deux premiers points sont prouvés par développement et en revenant aux définitions. Pour les deux derniers, on réitère les deux premiers résultats, il suffit alors de montrer ces résultats pour les monômes de plus hauts degrés de P et Q, (resp. a p x p et b q x q ) Exercice 1. Soient P (x) = 2x 2 x et Q(x) = x 4 7x + x 5. Donner la forme développée, réduite et ordonnée des polynômes P + Q, P Q et P 2Q. 1.2 Fonction dérivée Définition 2. La fonction polynôme dérivée de P (définie par P (x) = a 0 + a 1 x + + a d x d ) est définie sur R par : P (x) = a 1 + 2a 2 x + + da d x d 1, et les dérivées successives de P sont définies de manière récurrente par la relation P (+1) (x) = (P () ) (x) pour tout réel x. Exercice 2. Soit P la fonction définie par P (x) = x n ; montrer que : N, x R, P () (x) = n(n 1) (n + 1)x n = Solution : Une preuve par récurrence sur permet de prouver le résultat. n! (n )! xn Proposition 2. Pour toutes fonctions polynômes P et Q et pour toute constante a : 1. (P + Q) = P + Q. 2. (ap ) = ap.. (P Q) = P Q + P Q. 4. (P Q) = Q (P Q).

3 2 Racines Définition. On appelle racine d un polynôme P tout nombre (réel) u vérifiant P (u) = 0. Théorème 1. Soit P un polynôme de degré p, P (x) = a a p x p (p > 0 et a p 0) et u R tel que P (u) = 0 ; alors il existe un polynôme R de degré p 1 tel que P (x) = (x u)r(x). Une identité remarquable importante (d un intérêt propre) permet de prouver cet énoncé : Proposition. Soient (a, b) R 2, n 1 : a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) Exemple 1. x x 2 + x 1 = (x 1)(x 2 + 1). Exercice. Soit P (X) = X 4 + 2X 2X 2 X + 2. Déterminer deux racines «évidentes» de P (X) afin de factoriser au maximum P (X) sur R. Utilisations de la proposition : Pour n = 2 cette relation s écrit a 2 b 2 = (a b)(a + b), elle est essentielle pour les calculs d expressions comportant des radicaux, par exemple : 1 5 = 5 + ( 5 + )( 5 ) = 5 + ( 5) 2 ( ) 2 = 5 + L expression 5 est appelée expression conjuguée de 5 +. La relation précédente sera fondamentale dans l étude des nombres complexes. Pour n 1 cette formule permet de calculer la somme S n = 1 + a + + a n des termes d une série géométrique. Lorsque a = 1, on obtient S n = n + 1 (il y a n + 1 termes dans cette somme S n ) et sinon S n = 1 + a + + a n = 1 an+1 = an a a 1. Réitérer le théorème 1 conduit au : Corollaire 1. Si un polynôme P (x) = a 0 +a 1 x+ +a d x d, de degré d, admet d racines x 1,..., x d, il s écrit P (x) = a d (x x 1 ) (x x d ). Corollaire 2. Soit P un polynôme de degré d possédant (au moins) d + 1 racines, alors P est le polynôme nul. Conséquence : L écriture d un polynôme est unique. Définition 4. Soient P un polynôme à coefficients réels, a un réel et m un entier non nul. On dit que a est une racine de P d ordre m (ou d ordre de multiplicité m) si les deux conditions suivantes sont vérifiées : (X a) m divise P i.e. il existe un polynôme Q tel que P = (X a) m Q (X a) m+1 ne divise pas P 2

4 4 Théorème 2. a R est une racine multiple de P d ordre m si et seulement si il existe un polynôme Q vérifiant : P = (X a) m Q, et Q(a) 0 Application 1 : Relations coefficients-racines d un polynôme : 1. n = 2, P (x) = a 2 (x x 1 )(x x 2 ) = a 2 (x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 ). 2. n =, P (x) = a (x x 1 )(x x 2 )(x x ) = a (x (x 1 +x 2 +x )x 2 +(x 2 x +x 1 x +x 1 x 2 )x x 1 x 2 x ).. Plus généralement, un développement de la seconde expression de P (x) permet de prouver que les coefficients a 0, a 1,..., a d 1 s écrivent comme des fonctions explicites de x 1,..., x d. Identifier le coefficient constant de P (x) donne a 0 = ( 1) d a d x 1 x d ; considérer le coefficient de x d 1 donne a d 1 = a d (x x d ). Nous avons donc prouvé : Corollaire. (Sous réserve d existence) 1. Les racines x 1 et x 2 du polynôme P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 vérifient x 1 x 2 = a 0 /a 2 et x 1 + x 2 = a 1 /a Les racines x 1, x 2 et x du polynôme P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x vérifient x 1 + x 2 + x = a 2 /a, x 2 x + x 1 x + x 1 x 2 = a 1 /a et x 1 x 2 x = a 0 /a.. Plus généralement, les racines x 1,, x d du polynôme P (x) = a 0 + a 1 x + + a d x d vérifient x 1 x d = ( 1) d a 0 /a d, x x d = a d 1 /a d. Exercice 4. [interpolation de Lagrange] Soient n un entier naturel et x 1 < < x n n nombres réels distincts et soit (y 1,..., y n ) R n alors il existe un unique polynôme P de degré n 1 tel que P (x i ) = y i pour 1 i n. Solution de l exercice 2. Sera vue en T.D. Corollaire 4. La dérivée définie dans ce chapitre coïncide avec la définition usuelle d une dérivée (comme limite du taux d accroissement). Application 2 : Calcul effectif d un produit La pratique montre qu un développement pas à pas de produits est lourd et difficile à rédiger. Dans cette section nous verrons comment les choses peuvent se faire un peu plus rapidement. Développons par exemple le produit P (x) = (x 1)(x+2)(x+). Deux techniques concurrentes s opposent :

5 5 Dans le développement classique, les étapes de calcul sont détaillées de la manière suivante : P (x) = (x 1)(x(x + ) + 2(x + )) = (x 1)(x 2 + x + 2x + 6) = (x 1)(x 2 + 5x + 6) = x(x 2 + 5x + 6) (x 2 + 5x + 6) = (x + 5x 2 + 6x) (x 2 + 5x + 6) = x + 4x 2 + x 6 Une méthode alternative consiste à noter que P, produit de polynômes de degré 1, est un polynôme de degré : son développement est donc de la forme P (x) = ax + bx 2 + cx + d. Le coefficient de x est évidemment le produit du coefficient de x dans chaque facteur, donc a = 1. Pour les autres coefficients, on s aperçoit que chaque terme est la somme de termes élémentaires obtenus en effectuant le produit d un des deux termes de chacun des facteurs, il y a ici 2 = 8 tels termes. Le coefficient constant (de manière analogue à ce qu on a déjà dit de celui de x ) est évidemment le produit des coefficients constants, donc ici d = 6. Le coefficient de x s obtient lorsque qu on choisit une seule fois le facteur x donc c = 2 + ( 1) + ( 1) 2 = 1 est la somme obtenue en considérant de choisir le terme x d abord le premier facteur, puis dans le deuxième et enfin dans le troisième. Le coefficient de x 2 s obtient lorsqu on omet une seule fois le facteur x donc b = ( 1)+2+ = 4 est la somme obtenue en considérant d omettre x d abord dans le premier facteur, puis dans le deuxième et enfin dans le troisième. Exercice 5. [comment compter ses sous?] Déduire de l expression du polynôme P (x) = (1 + x) (1 + x 2 ) (1 + x 5 ) (qu on demande d expliciter selon les puissances croissantes de x) le nombre de manières de payer 5 euros lorsqu on dispose de pièces de 1 euro, pièces de 2 euros et un billet de 5 euros. Exercice 6. Démontrer les égalités suivantes n n = 2 n n n = n2 n 1 ) n 2( n = n(n + 1)2 n 2 n 1 n = 2n n ( n Théorème. Égalité de Vandermonde ) 2 = (n, m) N 2, r [[0; n + m] n + 1 ) ( 2n n n + m = r r n m r

6 6 Division des polynômes Théorème 4 (division euclidienne des polynômes). Soient A et B deux polynômes tels que B 0, alors il existe un couple unique de polynômes (Q, R) tels que A = BQ + R, et {R = 0 ou d R < d Q} Remarque : En pratique on procède comme pour une division d entiers (vue en primaire) : les puissances de 10 y sont remplacées par les monômes. Définition 5. En gardant les notations du théorème précédent, si R = 0 on dit que B divise A. Exercices Effectuer la division euclidienne de P (x) = x + x 2 1 par Q(x) = x 1 2. Posons P (x) = 8x 4 4x 8x 2 + x + 1 alors P (1) = 0 donc il existe un polynôme Q de degré tel que P (x) = (x 1)Q(x). Déterminer Q en divisant P (x) par x 1 4 Dérivées d ordres supérieurs L énoncé suivant est la version algébrique d un résultat qui sera prouvé ultérieurement pour des fonctions dérivables. Théorème 5. formule de Taylor Soit a R et P (x) un polynôme. Alors : P (x) = + (x a) P () (a)! Remarques : La somme précédente s arrête à l indice = d P et n est en aucun cas infinie. En effet les dérivées de P d ordre strictement supérieur à son degré sont toutes nulles (voir au début de ce chapitre). Posons P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, dans le cas particulier où a = 0, N, P () (0) = 0 si < n et P () (0) =!a sinon : la formule est alors immédiatement vérifiée. Théorème 6 (formule de Leibniz). Soient P et Q deux fonctions polynômes, alors pour tout n N n n (P Q) (n) = P () Q (n ) Théorème 7. Soit P un polynôme a un réel et m N. a est une racine de P d ordre de multiplicité m si et seulement si P (a) = = P (m 1) (a) = 0 et P (m) (a) 0. Remarques : Pour factoriser un polynôme, on recherchera d abord ses racines évidentes, 0, ±1, ±2,... Les racines multiples évidentes s obtiennent en calculant la valeur du polynôme dérivé pour chaque racine. Exemple 2. Soit P (x) = x x 2 x + 1. P a deux racines évidentes 1 et 1, sa dérivée P (x) = x 2 2x 1 admet encore la racine évidente 1. Enfin le coefficient dominant de P est a = 1, donc P (x) = (x 1) 2 (x + 1).

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