TP 7 : Numérisation d un signal : quantification et traitement numérique

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1 I Parie I : Élecronique TP TP 7 : Numérisaion d un : quanificaion e raiemen numérique Inroducion Lors du précéden TP, nous avons éudié une éape de la numérisaion d un : l éape d échanillonnage. Il ne s agi pas de la seule éape inervenan dans le processus de numérisaion. Le processus comple peu êre schémaisé comme ci-dessous : X analogique X échanillonnage échanillon 1. Échanillonneur -bloqueur Éape 1 : L échanillonneur-bloqueur agi ous les (qui es la période d échanillonnage), donc aux emps = n avec n N. Il bloque la valeur du d enrée à un niveau consan égal à X(n ). On peu noer égalemen qu il possède une impédance d enrée élevée ( 1 MΩ pour un oscilloscope, moins pour nore care d acquisiion) afin que la mesure ne perurbe pas le foncionnemen du circui. X blocage NUMÉRISATION X Valeurs possibles pour le X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 quanificaion 2. Converisseur analogique-numérique (CAN) numérique q q Éape 2 : La valeur X(n ) à la sorie de l échanillonneur-bloqueur peu prendre n impore quelle valeur (c es une grandeur analogique). Mais un ordinaeur ou un sysème numérique en général ne peu raier que des valeurs numériques, qui ne peuven prendre qu un ensemble discre de valeurs X 1, X 2, ec. Le converisseur analogique-numérique (CAN) aribue la valeur numérique X 1, X 2, ec. la plus proche de X(n ). Sockage en mémoire 3. Éape 3 : Ces valeurs son sockées en mémoire pour êre affichées ou manipulées. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 1 / 8 Pierre de Couberin TSI

2 On défini le pas de quanificaion, noé q, comme l écar enre deux valeurs numériques possibles (voir figure ci-dessus). C es lui qui fixe la résoluion de la care d acquisiion numérique, car le numérique ne peu pas représener des poins don les ampliudes son disanes de plus de q. Noons que le numérique peu ensuie se mere sous forme de bis, donc de suie de 0 e de 1, puisque chaque valeur possible du X 1, X 2, ec., possède une écriure binaire. II Quanificaion e résoluion, nombre de bis On s inéresse plus pariculièremen à l éape de quanificaion. On monre ci-dessous deux exemples de numérisaion, avec le même emps d échanillonnage, mais un pas de quanificaion q différen : q = 1 à gauche, e q = 0.5 à droie. 8 7 analogique numérique (échanillonné, quanifié, q=1) 8 7 analogique numérique (échanillonné, quanifié, q=0.5) s 4 s Lien enre pas de quanificaion e nombre de bis Soi n es le nombre de bis sur lequel l éape de quanificaion a lieu. Il y a 2 n valeurs possibles pour le numérisé socké dans l ordinaeur. D aure par, on noe U l ampliude maximale d acquisiion du (par exemple la care d acquisiion don on dispose perme d acquérir un allan de -15 V à +15 V, donc U = 30 V). On en dédui que l écar enre deux valeurs numériques possibles es q = U 2 n 1 U 2 n. On donne des exemples de nombre n de bis ci-dessous : Type de suppor Son sur un CD audio Valeurs pour un pixel d une image au forma jpeg, par canal de couleur Valeurs pour un pixel d un appareil numérique reflex (qui es d une couleur donnée) Care d acquisiion de l oscilloscope uilisé en TP Care d acquisiion vers l ordinaeur uilisée en TP Quanificaion 16 bis 8 bis 14 ou 16 bis selon modèle 8 bis 12 bis 1 Quelle es la valeur du pas de quanificaion q pour la care d acquisiion vers l ordinaeur que l on uilise? On s inéresse à l oscilloscope. Sa care d acquisiion es sur 8 bis, soi 2 8 = 256 valeurs possibles affichées à l écran. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 2 / 8 Pierre de Couberin TSI

3 2 Si le calibre es el que les valeurs exrêmes affichables à l écran son +20 V e -20 V, quelle es la résoluion q de l oscilloscope? e si on zoom pour que ces valeurs exrêmes soi -20 mv e +20 mv? Quel es donc l inérê de pouvoir choisir libremen les valeurs exrêmes? 3 Visualiser sur l oscilloscope un sinusoïdal produi par le GBF. Faire une acquisiion (bouon Run-Sop), puis zoomer sur le pour visualiser la quanificaion. III Traiemen numérique d un Une fois le numérisé, il es pariculièremen facile de lui faire faire subir oue sore de ransformaions. Le es en effe socké en mémoire sous la forme d un ableau de données, s[n] représenan le s au emps n = n ( es la période d échanillonnage), avec n N pouvan aller de 1 (ou 0 selon le logiciel) au nombre oal de poins de l acquisiion. En pariculier, cee manipulaion numérique es plus aisée qu une manipulaion analogique réalisée à l aide de composans (résisances, capaciés,...). On peu réaliser des aches plus complexes e qui son facilemen modifiables (pas besoin de changer la valeur des composans du circui analogique, mais juse les paramères du programme). Une fois raié, le numérique peu êre à nouveau converi en analogique à l aide d un converisseur numérique-analogique (CNA). Ce converisseur possède, ou comme le CAN, un pas de quanificaion q. À ire d illusraion, nous allons numériser un analogique, réaliser un filrage numérique passe-bas sur ce numérisé, puis ransformer ce numérisé filré en analogique. Dans un second emps, nous comparerons ce numérique filré au produi par un filre analogique R-C. Nous allons donc suivre les éapes de la figure ci-dessous : analogique (GBF) Échanillonneur-bloqueur CAN quanificaion q numérique NUMÉRISATION (care d acquisiion) Filre passe-bas analogique R-C analogique filré passe-bas Sockage en mémoire Algorihme de filrage passe-bas (Lais Pro) CNA analogique numérique quanificaion filré passe-bas (care d acquisiion) visualisaion sur oscilloscope e comparaison III.1 Écriure de l algorihme de raiemen numérique passe-bas H La foncion de ransfer complexe d un filre passe-bas es H = 0 avec H 1 + jω/ω 0 le gain saique e ω c c la pulsaion de coupure. On prendra H 0 = 1 dans la suie. On obien alors l équivalen dans le domaine emporel : s e = 1 s + 1 ds 1 + jω/ω c ω c d = e ds d = ω cs() + ω c e(). Il fau résoudre l équaion différenielle encadrée à l aide d un schéma numérique, donc il fau l écrire sous forme discrèe. On rappelle que le numérique es composé des s( n ), noés s n, avec n = n. On noe aussi e( n ) = e n. La méhode du schéma d Euler explicie consise à faire l approximaion : ds d = s n+1 s n, e à considérer que ω c s() + ω c e() = ω c s n + ω c e n. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 3 / 8 Pierre de Couberin TSI

4 4 Monrer que ceci perme d arriver à la relaion de récurrence suivane : s n+1 = Ae n + Bs n, avec A e B à exprimer en foncion du paramère α = ω c. Nous allons écrire un algorihme sous Lais Pro qui perme d effecuer ce calcul numérique. On prendra ω c = rad/s, ce qui correspond à une fréquence de coupure f c = ω c /(2π) = 1.6 khz. 5 Aller dans Traiemen -> Feuille de calcul. L algorihme sera le suivan, qui es à recopier (sans les commenaires) e compléer. Te = omegac = 1e4 alpha = omegac * Te A = B = s = Table(0) // Déclare la variable Te (période d échanillonnage). // À compléer avec la période d échanillonnage du numérisé. // Déclare la variable omegac (pulsaion de coupure du filre) // avec la valeur rad/s. // À compléer // À compléer // Ser à créer un ableau s, qui sera le de sorie // En Pyhon on aurai écri s = np.zeros(len(ea1)) s[n] = A*EA1[n-1] + B*s[n-1] // L équaion de récurrence s écri ainsi sous Lais Pro // Ceci es l équivalen en Pyhon de : // for n in range(1,len(s)): // s[n] = A*EA1[n-1] + B*s[n-1] Pour l exécuer, on uilisera Calcul -> exécuer (F2). On peu ensuie afficher la courbe s sur le graphique. III.2 Acquisiion e raiemen du 6 Réaliser l acquisiion numérique d un sinusoïdal de fréquence f 1 khz avec une période d échanillonnage = 10 µs e un nombre de poins suffisan pour voir une dizaine de périodes. Réaliser le filrage numérique de ce (penser à saisir la bonne valeur de dans l algorihme). L afficher sur Lais Pro (faire glisser la courbe s sur le graphique). 7 Resiuer ce numérique filré en sorie de la care analogique à l aide du CNA e le visualiser sur l oscilloscope. Pour cela, uiliser l ongle sorie de Lais Pro, e choisir s comme sorie. Cee sorie es envoyée sur la borne sorie DA de la care d acquisiion lorsque l on clique sur émere. Aenion, la care d acquisiion ne peu pas délivrer plus de 5 V, il fau donc que s soi inférieur à cee valeur. Il fau faire une acquisiion e appuyer sur Run/Sop sur l oscilloscope pour le figer. Sur l oscilloscope, mesurer l ampliude du, compléer la première colonne du ableau qui sui (parie filrage numérique seulemen). Enfin, vérifier rapidemen en changean la fréquence d enrée du qu on a bien le comporemen d un filre passe-bas (coupure pour f f c, pas de modificaion pour f f c ). TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 4 / 8 Pierre de Couberin TSI

5 fréquence du d enrée : 1 khz (soi f c /1.6) Filrage numérique (résulas de la parie III.2) valeur de α = ω c valeur de A e de B ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope valeur du gain v s /v e Filrage analogique (résulas de la parie III.3) ampliude du d enrée (mesure sur l oscilloscope) ampliude du de sorie (mesure sur l oscilloscope) valeur du gain v s /v e III.3 Comparaison avec un filre passe-bas analogique Afin de vérifier le bon foncionnemen du filre numérique, e de eser la dépendance du résula en foncion de la fréquence d échanillonnage, on réalise égalemen un filre analogique. 8 À l aide des composans don vous disposez, réaliser un filre passe-bas analogique don la foncion de ransfer es H 0 H = 1 + jω/ω c avec la même valeur de ω c que pour le filre numérique. Reproduire le schéma sur vore compe rendu, noer les valeurs des composans, l enrée e la sorie du filre. Réaliser les mesures nécessaires pour compléer le ableau ci-dessus, parie filrage analogique. 9 Faire une mesure du gain de ce filre, afin de la comparer aux résulas du filre numérique réalisé via Lais Pro. III.4 Imporance du choix de la fréquence d échanillonnage On noe encore f la fréquence du d enrée, e f e celle d échanillonnage. Dans oue cee parie on garde f = 1.0 khz. 10 Rappeler le crière que doi vérifier f e pour échanilloner correcemen le. Mais ici, une roisième fréquence inervien dans le problème : f c = ω c /(2π) la fréquence de coupure du filre passe-bas que l on simule numériquemen. Nous allons voir qu il y a une conraine enre f e e f c pour que l algorihme foncionne correcemen. 11 Réaliser les mesures nécessaires pour compléer le ableau ci-dessous. La première colonne correspond normalemen à ce qui a éé fai précédemmen, les mesures ne son donc pas à refaire. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 5 / 8 Pierre de Couberin TSI

6 période d échanillonnage 10 µs 80 µs 100 µs fréquence d échanillonnage f e Crière de Shanon respecé? valeur de α = ω c valeur de A e de B ampliude du d enrée ampliude du de sorie sur l oscilloscope valeur du gain v s /v e Correspond à ce qui es aendu (aux inceriudes près)? 12 Conclure sur un crière à respecer concernan f e e f c. III.5 Applicaions (À faire si le emps le perme.) 13 Reprendre les réglages du III.2, e envoyer en enrée un créneau. Observer alors le numérique filré sur Lais Pro. Es-ce bien ce à quoi on s aend? 14 La parie III.1 expliquai commen réaliser un filre numérique passe-bas. On souhaie cee fois réaliser un filre numérique passe-hau, du premier ordre, de foncion de ransfer H = H 0jω/ω c 1 + jω/ω c. Reprendre les éapes de III.1 pour écrire la relaion s n+1 = As n + Be n + Ce n+1 qui correspond, en donnan les expressions des paramères A, B e C en foncion de α = ω c. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 6 / 8 Pierre de Couberin TSI

7 IV Synhèse Quanificaion du Après l échanillonnage, la quanificaion es la seconde éape de la numérisaion d un. Elle consise à aribuer à chaque valeur analogique s(n ) une des valeurs numériques possibles X 1, X 2, ec. (Voir schéma en page 1.) Le nombre de valeurs numériques possibles es donné par le nombre de bi n de la care : il es de 2 n 1 2 n. Le pas de quanificaion, ou résoluion de la care, es l écar enre deux valeurs numériques possibles. Il dépend : du nombre de valeurs numériques possibles : 2 n 1 ; du calibre choisi pour l acquisiion, c es-à-dire de la plage de valeurs U admise par la care d acquisiion (par exemple U = 20 V si le calibre es ±10 V). Le pas de quanificaion, ou résoluion, es ainsi : q = U 2 n 1 U 2 n. Filrage numérique d un Le raiemen numérique d un perme d effecuer des opéraions diverses e complexes de façon simple, par programmaion d un algorihme. Les mêmes opéraions, réalisées de façon analogique par un circui élecronique, peuven nécessier des circuis complexes e don la modificaion des paramères implique de changer les valeurs des composans. Exemple : C es la raison pour laquelle les oscilloscopes numériques numérisen le pour pourvoir le raier facilemen (opéraions de muliplicaion des deux voies, de sousracion, calcul du specre, de valeur moyenne, ec..., qui seraien complexes à réaliser de façon analogique). La srucure générale du raiemen numérique d un es la suivane : analogique CAN Échanillonneur-bloqueur Sockage en CNA quanificaion mémoire q numérique numérique e manipulaions NUMÉRISATION numériques (par la care d acquisiion, par l oscilloscope,...) 3. (par Lais Pro, par les algorihmes de l oscilloscope,...) analogique Il fau ouefois prendre garde à : La fréquence d échanillonnage f e du d enrée, qui doi : oujours respecer le crière de Shannon par rappor au d enrée : êre suffisammen élevée pour permere une bonne précision des manipulaions numériques. Par exemple lorsque l on réalise l algorihme pour faire un filre passe-bas de fréquence de coupure f c à l aide d un schéma d Euler explicie, la fréquence d échanillonnage du doi vérifier : f e quelques dizaines de fois f c. Le pas de quanificaion, qui doi êre assez fin pour avoir une bonne précision. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 7 / 8 Pierre de Couberin TSI

8 Le fai que le analogique en sorie du CNA varie par palier ous les (période d échanillonnage). Le fai que le raiemen numérique prend un cerain emps e nécessie un processeur e des lecures en mémoire rapides. TP 7 : quanificaion e raiemen numérique 8 / 8 Pierre de Couberin TSI