Fonctions de référence

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions de référence"

Transcription

1 Chpitre 7 Clsse de Seconde Fonctions de référence Ce que dit le progrmme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence Fonctions linéires et fonctions ffines Vritions de l fonction crré, de l fonction inverse. Donner le sens de vrition d une fonction ffine. Donner le tbleu de signes de x+b pour des vleurs numériques données de et b. Connître les vritions des fonctions crré et inverse. Représenter grphiquement les fonctions crré et inverse. On fit le lien entre le signe de x+b, le sens de vrition de l fonction et s courbe représenttive. Exemples de non-linérité. En prticulier, fire remrquer que les fonctions crré et inverse ne sont ps linéires. I. Fonctions ffines, fonctions linéires 1.1) Rppels définitions Définition 1. Une fonction ffine est une fonction f définie sur R pr : f ( x)= x+b où et b sont deux nombres réels donnés. En prticulier : Si b = 0, lors l fonction f définie sur R pr : f ( x)= x s'ppelle une fonction linéire. s'ppelle le coefficient de l fonction ffine ou linéire; b s'ppelle le terme constnt de l fonction ffine ou linéire. Exemple 1. - L fonction définie pr f ( x)= 3 x+ 2 est une fonction ffine de coefficient 3 et de terme constnt 2. Elle n'est ps linéire. - L fonction définie pr f ( x)= 3 5 x est une fonction linéire. - L fonction définie pr f ( x)= 2 x 2 +5 n'est ni ffine, ni linéire. 1.2) Sens de vrition Théorème 1. Soit f une fonction ffine définie sur R pr : nombres réels donnés. Alors : f ( x)= x+b où et b sont deux Si est positif, lors l fonction f est strictement croissnte sur R ; Si est négtif, lors l fonction f est strictement décroissnte R ; Si = 0, lors l fonction f est constnte sur R. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 1/9

2 Démonstrtion. Soient x 1 et x 2 deux nombres réels quelconques. Supposons que x 2 > x 1. Donc x 2 x 1 >0. Mis lors : f ( x 2 ) f ( x 1 )=( x 2 +b) ( x 1 +b)= x 2 +b x 1 b=( x 2 x 1 ) Ainsi : Si > 0, lors f ( x 2 ) f ( x 1 )>0 donc f est strictement croissnte sur R. Si < 0, lors f ( x 2 ) f ( x 1 )<0 donc f est strictement décroissnte R. Si = 0, lors f ( x)=b pour tout x, donc l fonction f est constnte R. Tbleux de vritions > 0 < 0 = 0 x + x + x + f(x) + f(x) + 1.3) Représenttion grphique Théorème 2. Soit f une fonction ffine définie sur R pr : f ( x)= x+b où et b sont deux nombres réels donnés. (Si b = 0, f est linéire). Alors Dns un repère du pln, l représenttion grphique de l fonction f est une droite D non prllèle à Oy et qui psse pr le point B(0 ; b). Réciproquement, toute droite D non prllèle à Oy est l réprésenttion grphique d'une fonction ffine (ou linéire). Définition 2. s'ppelle le coefficient directeur de l droite D b s'ppelle l'ordonnée à l'origine de l droite D. b = f(0). B(0 ; b) D. f(x) 1.4) Proportionnlité des ccroissements Théorème 3. Soit f une fonction ffine définie sur R pr : f ( x)= x+b où et b sont deux nombres réels donnés. Alors si x 1 et x 2 sont deux nombres réels distincts et si y 1 = f (x 1 ) et y 2 = f ( x 2 ), lors : 1 ) Les quntités f ( x 2 ) f ( x 1 ) et (x 2 x 1 ) sont proportionnelles et le coefficient de proportionnlité est égl u coefficient de l fonction. 2 ) Le coefficient directeur de l fonction peut être clculé pr : = f ( x 2) f ( x 1 ) = y 2 y 1 Accroissement verticl = x 2 x 1 x 2 x 1 Accroissement horizontl On dit que l'ccroissement de l fonction est proportionnel à l'ccroissement des bscisses. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 2/9

3 Démonstrtion. Soient x 1 et x 2 deux nombres réels quelconques, mis différents. Donc x 2 x 1 0 et y 2 y 1 = f (x 2 ) f ( x 1 )=( x 2 +b) ( x 1 +b)= x 2 +b x 1 b=( x 2 x 1 ) D'où le résultt. Exemples 2. Déterminer grphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine Coefficient directeur = 3 2 Ordonnée à l'origine b = 1 Donc f (x)= 3 2 x+1 Coefficient directeur = Ordonnée à l'origine b = 3 Donc f ( x)= 2 x Coefficient directeur = 0 Ordonnée à l'origine b = 2 Donc f ( x)=2 constnte Exemple 3. Déterminer l'expression lgébrique de l fonction ffine f telle que : f (3) = 3 et f (6) = 1. Soit f l fonction ffine définie sur R pr : 1 ) Recherche du coefficient directeur : Ici on : x 1 = 3 et x 2 = 6 f ( x)= x+b On sit que = f ( x 2) f ( x 1 ) = y 2 y 1 = 1 3 x 2 x 1 x 2 x = 2 3 donc = ) Clcul de l'ordonnée à l'origine b. On remplce pr s vleur dns l'expression de f pour clculer b : f ( x)= 2 3 x+b et f (3) = 3. Donc 3= b. Donc 3 = 2 + b. Ce qui donne : b = 5. Conclusion : L'expression de l fonction ffine f est : 1.5) Étude du signe d'une fonction ffine f ( x)= 2 3 x+5. Soit f une fonction ffine définie sur R pr : f ( x)= x+b. Nous vons vu, dns le chpitre 5 sur les équtions et inéqutions, comment étudier. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 3/9

4 le signe d'une expression du premier degré de l forme f ( x)= x+b. Nous vons utilisé deux méthodes : l méthode lgébrique et l méthode grphique. On cherche d'bord l'bscisse du point où l droite coupe l'xe des bscisses. Pour cel, on résout l'éqution : f (x) = 0. Ce qui équivut à [ x+b = 0] donc à [ x = b] donc à x= b. On obtient une vleur remrquble x= b. On donc : > 0 < 0 x b + f(x) + 0 Pour tout x < b b Pour tout x > f (x) < 0 f (x) > 0 x f(x) + b 0 Pour tout x < b b Pour tout x > Exemple 3. On considère l fonction ffine définie sur R pr x f ( x)=3 x 5 1 ) Donner le sens de vritions de l fonction f sur R. 2 ) Étudier le signe de l fonction f sur R. 3 ) Déterminer le signe de f (π/2) sns le clculer. 4 ) Comprer sns les clculer f (π/2) et f ( 2) sns les clculer. 5 ) Si 3 < 2, donner le meilleur encdrement de f (). f (x) > 0 f (x) < 0 1 ) f est une fonction ffine de coefficient = 3, donc > 0, donc l fonction f est strictement croissnte 2 ) L fonction f est strictement croissnte, donc elle est négtive, nulle, puis positive. De plus f ( x)=0 (ssi) 3 x 5=0 (ssi) 3 x=5 (ssi) x=5/3. On obtient le tbleu de signes : x 5/3 + f (x) 0 + Pr conséquent : Pour tout x < 5/3 : f (x) < 0 et pour tout x > 5/3 : f (x) > 0. 3 ) π/2=1,57... et 5/3=1,66... Donc π/ 2<5/ 3 Or l fonction f est strictement croissnte sur R Donc f (π/2)< f (5/3). Donc f (π/ 2)<0. CQFD 4 ) π/2=1,57... et 2=1,41... Donc π/ 2> 2. Or l fonction f est strictement croissnte sur R Donc f (π/2)> f ( 2). CQFD 5 ) L fonction f est strictement croissnte sur R donc si 3 < 2, lors f ( 3) f ()< f ( 2). Donc 14 f ()< nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 4/9

5 II. L fonction crrée 2.1) définition Définition 3. L fonction crrée est l fonction f définie sur R pr : f ( x)=x 2 Exemple 4. - L'imge de 3 pr l fonction crrée est : f ( 3)=( 3) 2 =9. - L'imge de 3+ 2 pr l fonction crrée est : f (3+ 2)=(3+ 2) 2 = ( 2) 2 = = Pour déterminer les ntécédents de 5, on résout une éqution : f ( x)=5. Ce qui équivut à x 2 =5 On psse tout à guche : x 2 5=0. On trnsforme en I.R. : x 2 ( 5) 2 =0 On fctorise : (x 5)( x+ 5)=0 Donc, d'près le Théorème du produit nul, on obtient x 5=0 ou x+ 5=0 D'où : x= 5 ou x= 5. Donc cette éqution dmet deux solutions : 5 et 5. On écrit : S ={ 5 ; 5 }. Ce qui donne : Conclusion. 5 dmet deux ntécédents pr l fonction crrée qui sont 5 et ) Sens de vrition Théorème 4. L fonction crrée est strictement décroissnte sur ] ; 0] et strictement croissnte sur [0 ; + [. Démonstrtion. 1 ) Sur ] ; 0] : Soient x 1 et x 2 deux nombres réels quelconques négtifs. Supposons que x 1 < x 2. Donc x 1 < x 2 < 0 et x 1 x 2 < 0. On ussi : x 1 + x 2 < 0. ( x 1 et x 2 sont négtifs) : Mis lors : f ( x 1 ) f ( x 2 )=( x 1 ) 2 (x 2 ) 2 =( x 1 x 2 )( x 1 +x 2 ) d'près l'irn 3. Or x 1 x 2 < 0 et x 1 + x 2 < 0. Donc f ( x 1 ) f ( x 2 )>0. f chnge le sens des inéglités. Pr conséquent f est strictement décroissnte ] ; 0]. 2 ) Sur [0 ; + [ Soient x 1 et x 2 deux nombres réels quelconques positifs. Supposons que x 1 < x 2. Donc 0 < x 1 < x 2 et x 1 x 2 < 0. On ussi : x 1 + x 2 > 0. ( x 1 et x 2 sont positifs) : Mis lors : f ( x 1 ) f ( x 2 )=( x 1 ) 2 (x 2 ) 2 =( x 1 x 2 )( x 1 +x 2 ) d'près l'irn 3. Or x 1 x 2 < 0 et x 1 + x 2 > 0. Donc f ( x 1 ) f ( x 2 )<0. f conserve le sens des inéglités. Pr conséquent f est strictement croissnte [0 ; + [. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 5/9

6 Tbleu de vritions f(x) x 0 + Théorème 5. Pour tous nombres réels et b, on : 1 ) Si 0 b lors 2 b 2 et 2 ) Si b 0 lors 2 b 2 Autrement dit : 1 ) Deux nombres positifs et leurs crrés sont rngés dns le même ordre ; 2 ) Deux nombres négtifs et leurs crrés sont rngés dns l'ordre contrire. 0 Démonstrtion. 1 ) On sit que l fonction crrée est strictement croissnte sur [0 ;+ [. Donc si 0 b lors f () f (b) donc 2 b 2. 2 ) De même, on sit que l fonction crrée est strictement décroissnte sur ] ; 0]. Donc si b 0 lors f () f (b) donc 2 b 2. CQFD 2.3) Représenttion grphique Définition 4. Dns un repère du pln, l représenttion grphique de l fonction crrée est une courbe ppelée prbole de sommet O, l'origine du repère. Remrque. On peut remrquer u pssge que, dns un repère quelconque, l représenttion grphique de l fonction crrée n'est ps une droite, donc l fonction crrée n'est ni ffine, ni linéire. Théorème 5. Dns un repère orthonormé (O ; I ; J), l courbe représenttive de l fonction crrée est symétrique pr rpport à l'xe des ordonnées Oy. On dit que l prbole dmet un xe de symétrie Oy. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 6/9

7 Démonstrtion. En effet pour tout nombre réel x, on : f ( x) = ( x) 2 = x 2 =f (x). Donc les nombres x et x ont l même imge. Donc les points A et B sont symétriques pr rpport à Oy. 2.4) Applictions Exemple 5. 1 ) Dns chcun des cs suivnts, comprer les crrés des nombres donnés sns utiliser l clcultrice : 2 5 ) π et 3,14. b) et c) 3 et b) Donnez le meilleur encdrement possible de 5 2 schnt que : 3 < 2. c) Étudier les vritions des fonctions suivntes sur ] ; 0] puis sur [0 ; + [ : f (x)= x 2 2 ; g ( x)= x 2 ; h( x)= x 2 +3 ; k (x)=2 x 2 et k (x)=2 x 2 3 III. L fonction inverse 3.1) définition Définition 5. L fonction inverse est l fonction f définie sur R {0} pr : f ( x)= 1 x Exemple 6. - L'imge de 3 pr l fonction crrée est : f ( 3)= 1 3 = L'imge de 2 5 pr l fonction crrée est : f ( 2 5 )= = Pour déterminer le (ou les) ntécédents de 5, on résout une éqution : f ( x)=5. 1 Ce qui équivut à : x =5. Cette éqution une vleur interdite x = 0. (Donc 0 n' ps d'ntécédent pr f ). On écrit l'églité des produits en croix : 5 x=1. On divise les deux côtés pr 5 : x=1/5 Donc cette éqution dmet une seule solution : x=1/5. On écrit S={1/5}. Conclusion. 5 dmet un seul ntécédent pr l fonction inverse qui est 1/5.. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 7/9

8 3.2) Sens de vrition Théorème 6. L fonction inverse est strictement décroissnte sur ] ; 0[ et strictement décroissnte sur ]0 ; + [. Démonstrtion. 1 ) Sur ] ; 0] : Soient x 1 et x 2 deux nombres réels quelconques strictement négtifs. Supposons que x 1 < x 2. Donc x 1 < x 2 < 0 et x 1 x 2 < 0. On ussi : x 1 x 2 > 0. (puisque x 1 et x 2 sont de même signe). Mis lors : f ( x 1 ) f ( x 2 )= 1 1 = x 2 x 1 = ( x 1 x 2 ). x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 Or x 1 x 2 < 0 et x 1 x 2 > 0. Donc f ( x 1 ) f ( x 2 )>0. Donc f ( x 1 )> f ( x 2 ). f chnge le sens des inéglités. Pr conséquent f est strictement décroissnte ] ; 0[. 2 ) Sur ] 0;+ [ : Soient x 1 et x 2 deux nombres réels quelconques strictement positifs. Supposons que x 1 < x 2. Donc 0 < x 1 < x 2 et x 1 x 2 < 0. On ussi : x 1 x 2 > 0. (puisque x 1 et x 2 sont de même signe). Mis lors : f ( x 1 ) f ( x 2 )= 1 1 = x 2 x 1 = ( x 1 x 2 ). x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 Or x 1 x 2 < 0 et x 1 x 2 > 0. Donc f ( x 1 ) f ( x 2 )>0. Donc f ( x 1 )> f ( x 2 ). f chnge le sens des inéglités. Pr conséquent f est strictement décroissnte ]0 ;+ [. Tbleux de vrition (il y une vleur interdite en 0, d'où l double brre! ). x 0 + f(x) Théorème 7. Pour tous nombres réels non nuls et b, on : 1 1 ) Si 0< b lors 1 et 2 ) si b<0 lors 1 b 1 b Autrement dit : Deux nombres réels non nuls et de même signe sont rngés dns l'ordre contrire de leurs inverses. Démonstrtion. 1 ) On sit que l fonction inverse est strictement décroissnte sur ]0 ;+ [. Donc si 0< b lors f () f (b) donc 1 1 b. 2 ) De même, l fonction inverse est strictement décroissnte sur ] ; 0[. Donc si b<0 lors f () f (b) donc 1 1 b. CQFD 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 8/9

9 3.3) Représenttion grphique Définition 6. Dns un repère du pln, l représenttion grphique de l fonction inverse est une courbe ppelée une hyperbole de centre O, origine du repère. Voir pge suivnte Remrque. On peut remrquer u pssge que, dns un repère quelconque, l représenttion grphique de l fonction inverse n'est ps une droite, donc l fonction inverse n'est ni ffine, ni linéire. Théorème 5. Dns un repère orthonormé (O ; I ; J), l courbe représenttive de l fonction inverse est symétrique pr rpport à l'origine O du repère. On dit que l'hyperbole dmet un centre de symétrie O. Démonstrtion. En effet, pour tout nombre réel non nul x, on : f ( x)= 1 x = 1 x = f (x). Donc les nombres x et x ont des imges opposées. Donc les points A et B sont symétriques pr rpport u point O, origine du repère. 3.4) Applictions Exemple 7. 1 ) Dns chcun des cs suivnts, comprer les inverses des nombres donnés sns utiliser l clcultrice : ) π et 3,14. b) 2 3 et 5 6 c) 3 et b) Donnez le meilleur encdrement possible de schnt que : 3 < 2. c) Étudier les vritions des fonctions suivntes sur ] ; 0] puis sur [0 ; + [ : f (x)= 1 x +2 ; g ( x)= 2 ; h( x)= 1 et k (x)= 1 x x x +2. 2nde G Ch7. Fonctions de référence Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges Mssy Pge 9/9

Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines

Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines Fonctions : vritions et extremums. Fonctions ffines Clsse de seconde I. Sens de vrition d'une fonction... 1) Fonctions croissntes... ) Fonctions décroissntes... II. Tbleu de vritions...3 III. Mximum, minimum...3

Plus en détail

Fonctions affines ; Equations et inéquations

Fonctions affines ; Equations et inéquations Fonctions ffines ; Equtions et inéqutions I. Fonctions ffines.. Définition Définition d une fonction ffine : on ppelle fonction ffine toute fonction définie sur pr f ( ) où et sont des réels tels que.

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli Chpitre 6 : Fonctions ffines -8-01-1- Seconde 7, 010-011, Y. Angeli 1. Éqution réduite d une droite Théorème. Dns un repère, soient A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) tels que x A x B. Alors l droite (AB) est

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie

Plus en détail

CH 1 Analyse : Continuité et limites

CH 1 Analyse : Continuité et limites CH Anlyse : Continuité et ites 4 ème Sciences Septembre 9 A. LAATAOUI I. Rppels Notion de continuité : Grphiquement, on peut reconnître une onction continue sur un intervlle I pr le it que le trcé de l

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire 2008-2009 mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1 Tle des mtières I Chpitre 12

Plus en détail

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES Primitives et intégrles Cours CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES. Primitives d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si

Plus en détail

2. Formules d addition.

2. Formules d addition. IX. Trigonométrie 1. Rppels 1.1 Définitions : Dns le cercle trigonométrique C ( O, 1 ), si nous fixons un point P correspondnt à un ngle d mplitude nous vons défini : = bscisse du point P sin = ordonnée

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV

2008 2010 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV LEGTHP Sint Nicols STAV Promotion 8 MODULE M4 MATHEMATIQUES TERMINALE STAV Fiches de cours S. FLOQUET Septemre 9 Lycée Sint Nicols Igny Promotion 8 SOMMAIRE STAV PARTIE : RESUMES DE COURS Équtions de droites

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments Synthèse de cours (Terminle S) Dérivtion : rppels et compléments Rppels de 1ère Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. f ( + h) f ( ) Si l limite lim existe, on

Plus en détail

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie Exo7 Zéros des fonctions Vidéo prtie 1. L dichotomie Vidéo prtie. L méthode de l sécnte Vidéo prtie 3. L méthode de Newton Dns ce chpitre nous llons ppliquer toutes les notions précédentes sur les suites

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre..................................... Densité de probbilité...........................................3

Plus en détail

Cours de Terminale S Lycée Camille Pissarro 2013-2014. Sébastien Andrieux

Cours de Terminale S Lycée Camille Pissarro 2013-2014. Sébastien Andrieux Cours de Terminle S Lycée Cmille Pissrro 203-204 Sébstien Andrieux 7 juin 204 Tble des mtières I Cours de Terminle S 5 Risonnement pr récurrence 6 2 Suites et limites des suites 8 I Suite convergente,

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

1. Les fonctions affines.

1. Les fonctions affines. L E S F O N C T I O N S U S U E L L E S. Les fonctions ffines.. Définition. Une fonction ffine est une fonction f définie sur R pr : f ( x) = x+ b.2 Représenttion grphique. o o Si b =, l fonction est linéire.

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Kit de survie - Bac S

Kit de survie - Bac S Kit de survie - Bc S. Inéglités - Étude du signe d une expression Opértions sur les inéglités Règles usuelles : Pour tout x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe Continuité - Limites Asymptotes à une cre Continuité - Théorème des vleurs intermédiires Notion de continuité Grphiquement, on peut reconnître une fonction continue sur un intervlle I pr le fit que le

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés......................................

Plus en détail

Outils de calcul pour la 3 ème

Outils de calcul pour la 3 ème Chpitre I Outils de clcul pour l Ce que nous connissons déjà :! Opértions sur les décimux, les reltifs et les quotients. Puissnces de dix. Nottions scientifiques. Clcul littérl simple. Objectifs de ce

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Développements limités. Motivation. Exo7

Développements limités. Motivation. Exo7 Eo7 Développements limités Vidéo prtie. Formules de Tlor Vidéo prtie 2. Développements limités u voisinge d'un point Vidéo prtie 3. Opértions sur les DL Vidéo prtie 4. Applictions Eercices Développements

Plus en détail

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x.

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x. MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Problème (CCP) Toutes les fonctions de ce problème sont à vleurs réelles. PARTE PRÉLMNARE Les résultts de cette prtie seront utilisés plusieurs fois dns le problème.. Fonction

Plus en détail

! Remarque : La racine carrée d un nombre négatif n existe pas.

! Remarque : La racine carrée d un nombre négatif n existe pas. 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 1 I) Définition et conditions d existence de l rcine crrée d un nombre. 1) Définition. Il existe deux nombres tel que si on les multiplie pr eux même

Plus en détail

LOIS A DENSITE (Partie 1)

LOIS A DENSITE (Partie 1) LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ;

Plus en détail

x est la variable et f(x) est l image de x. On note y = f(x). L ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E.

x est la variable et f(x) est l image de x. On note y = f(x). L ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. http://mths-sciences.r LES FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES I) Générlités ) Déinition Soit I un intervlle de, une onction est une reltion qui ssocie à tout élément x de I, un nombre réel (x) u plus. : I x

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

Cours de Mathématique - Statistique Calcul Matriciel

Cours de Mathématique - Statistique Calcul Matriciel L - Mth Stt Cours de Mthémtique - Sttistique Clcul Mtriciel F. SEYTE : Mître de conférences HDR en sciences économiques Université de Montpellier I M. TERRZ : Professeur de sciences économiques Université

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

6.1 STRUCTURES PLANES FORMEES DE POUTRES RELATIONS ENTRE CHARGES ET ELEMENTS DE REDUCTION

6.1 STRUCTURES PLANES FORMEES DE POUTRES RELATIONS ENTRE CHARGES ET ELEMENTS DE REDUCTION 6.1 STRUTURES PLES FOREES DE POUTRES RELTIOS ETRE HRGES ET ELEETS DE REDUTIO Les vritions des éléments de réduction,,, lorsqu'on psse d'une section à l'utre, sont liées pr des reltions fondmentles que

Plus en détail

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008 Clcul intégrl. 15 décembre 2008 2 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 7 1.1 Motivtions................................ 7 1.1.1 Cs des fonctions

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION UNIVERSITE PRIS PNTHEON SORBONNE UFR DE GESTION MTHEMTIQUES PPLIQUEES L ECONOMIE ET L GESTION LICENCE nnée Cours de Thierry LFY TRVUX DIRIGES semestre 7-8 Thème n : Rppels Eercice Déterminez l ensemble

Plus en détail

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b Les intégrles Introduction Etnt donnée une fonction positive f définie sur un intervlle borné [, b], on veut évluer l ire comprise entre l e des bscisses, l courbe représentnt f et les verticles = et =

Plus en détail

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

ÉTUDES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ÉUDES DE FONCIONS NUMÉRIQUES Site MthsICE de Adm roré Lycée echnique Bmko I Pln d étude d une fonction numérique : Pour étudier une fonction numérique nous dopterons le pln suivnt : Déterminer l ensemble

Plus en détail

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006 Mjortions de l erreur dns les clculs clssiques de vleurs pprochées d intégrle Notes pour l préprtion u CAPES - Strsbourg- février 00 On trouve dns différents ouvrges élémentires des démonstrtions à coup

Plus en détail

ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ÉQUATIONS INÉQUATIONS SYSTÈMES Site MthsTICE de Adm Troré Lycée Technique Bmko I Équtions du second degré : Résolution pr l méthode du discriminnt : Pour résoudre l éqution du second degré b c = ( d inconnu,

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Théorème de Rolle et formules de Taylor

Théorème de Rolle et formules de Taylor Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

I] Généralités. b) Tableau de données et représentation graphique

I] Généralités. b) Tableau de données et représentation graphique Chpitre 4 Fonctions I] Générlités ) Notion de fonction Définition : Une fonction numérique est un processus qui fbrique un nombre (souvent noté y) à prtir d un nombre vrible (souvent noté x). On v noter

Plus en détail

TOUT SUR LE TRIANGLE

TOUT SUR LE TRIANGLE PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit

Plus en détail

Utiliser l inverse d une matrice pour résoudre un système d équations & courbes polynomiales

Utiliser l inverse d une matrice pour résoudre un système d équations & courbes polynomiales Utiliser l inverse d une mtrice pour résoudre un système d équtions & coures polynomiles Exercice : Dns une ferme, il y des lpins et des poules. On dénomre 58 têtes et 60 pttes. Comien y -t-il de lpins

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence de Mathématiques, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence de Mathématiques, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence de Mthémtiques, première nnée Lurent Michel Automne 2011 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

ANALYSE APPROFONDIES II MT242

ANALYSE APPROFONDIES II MT242 ALGÈBRE ET ANALYSE APPROFONDIES II MT242 Année 1998-1999 Chpitre 0. Introduction générle Dns cette introduction nous llons commenter les principles notions contenues dns le cours du second semestre, leurs

Plus en détail

Analyse 1 L1-mathématiques

Analyse 1 L1-mathématiques Anlyse L-mthémtiques Renud Leplideur Année 3-4 UBO Tble des mtières Inéglités et clculs 3. Nombres..................................... 3.. Les ensembles N, Z, Q et R...................... 3.. Les intervlles

Plus en détail

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN L fonction logrithme népérien Cours CHAPITRE : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Définition de l fonction logrithme népérien L fonction logrithme népérien, notée ln, est définie sur ],+ [, prend l vleur

Plus en détail

Primitive et intégrale d une fonction continue

Primitive et intégrale d une fonction continue Primitive et intégrle d une fonction continue O. Simon, Université de Rennes I 24 mi 2005 Avertissement : Ceci n est ps le contenu d une leçon de CAPES. Dns le progrmme 2002 de terminles S, on introduit

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mthémtiques TS Lycée Henri IV Tble des mtières I Les nombres complexes 7 Rcines n ième d un nombre complexe non nul 7. Définition.................................................... 7.2 Représenttion

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - c E Etude du signe d une eression - igne de + b ( 0) On détermine l vleur de qui nnule + b, uis on lique l règle : "signe de rès le 0". +b b/ + signe de ( ) signe de - igne de + b + c (

Plus en détail

Calcul de limites. 3) Limite d'une somme de deux fonctions. = x. 1 lim =... =... lim x =... lim x. lim 2x = x 1. lim 2x + x = lim 3x. lim

Calcul de limites. 3) Limite d'une somme de deux fonctions. = x. 1 lim =... =... lim x =... lim x. lim 2x = x 1. lim 2x + x = lim 3x. lim Clcul de ites I) Clculs de ite en et - ) Limite en ou - des fonctions de référence : Compléter les ites suivntes ( on observer les représenttions grphiques) :........................ (voir ci-dessous )...............

Plus en détail

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

(surface d'un cercle : S = pd2 4 )

(surface d'un cercle : S = pd2 4 ) Les cordes sont de dimètres vribles. Si on les remplce pr deux cordes de même dimètre, le dimètre moyen, le résultt devrit être le même. Ici le résultt, c est sns doute l résistnce qui est proportionnelle

Plus en détail

Equations d'état, travail et chaleur

Equations d'état, travail et chaleur Equtions d'étt, trvil et chleur Exercice On donne R 8, SI. ) Quelle est l'éqution d'étt de n moles d'un gz prfit dns l'étt,,? En déduire l'unité de R. ) Clculer numériquement l vleur du volume molire d'un

Plus en détail

+ =. LE CALCUL ALGÉBRIQUE EN CLASSE DE SECONDE. Poursuivre le travail sur le sens des égalités

+ =. LE CALCUL ALGÉBRIQUE EN CLASSE DE SECONDE. Poursuivre le travail sur le sens des égalités LE CALCUL ALGÉBRIQUE EN CLASSE DE SECONDE Poursuivre le trvil sur le sens des églités Continuer à développer les propriétés de symétrie et de trnsitivité de l églité : Pour chque proposition, indiquer

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) Équtions différentielles du ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir les équtions différentielles du premier ordre. Résoudre à l min et à l ide de l clcultrice

Plus en détail

Chapitre 05 Les nombres complexes Première partie

Chapitre 05 Les nombres complexes Première partie Terminle S. Lycée Desfontines Melle Chpitre 05 Les nomres complexes Première prtie Le pln est rpporté à un repère orthonorml direct ( O;ÄOI ;ÄOJ ), ppelé pln complexe. Dns tout ce chpitre, et désignent

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Les règles de Descartes et de Budan Fourier

Les règles de Descartes et de Budan Fourier Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document

Plus en détail

mémento de mathématiques pour les ECE1

mémento de mathématiques pour les ECE1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un

Plus en détail

DM1. Nombres complexes, homographies. u w = u w.

DM1. Nombres complexes, homographies. u w = u w. Université Pul Sbtier, Année 205-206 Licence LPS DM Nombres complexes, homogrphies. Dns ce problème, on considère le pln ffine euclidien P muni d un repère orthonormé (0, i, j). On identifier P vec l ensemble

Plus en détail

Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes

Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes Chpitre I : Fonctions, expressions lgériques et prolèmes I Les ensemles de nomres : Déinition 1 : 0 ;1; 2;3;4 ;...;15;16;... est l ensemle des nomres entiers nturels.... ; -16; -15;...; -4; -3; -2; -1;

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

LE RESEAU RECIPROQUE solution

LE RESEAU RECIPROQUE solution LE RESEU RECIPROQUE solution L pge 85 de votre poly de physique est conscrée à l définition du réseu réciproque, un concept initilement introduit pr J.W. Gibbs (189-190). Ce concept, plutôt bstrit, est

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème :

Le second degré. Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d un problème : Chapitre 1 Ce que dit le programme Le second degré CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Second degré Forme canonique d une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant.

Plus en détail

Cours de 1ère S/ Géométrie plane. Eric Dostal

Cours de 1ère S/ Géométrie plane. Eric Dostal Cours de 1ère S/ Géométrie plne Eric Dostl Aout 015 Tble des mtières Vecteurs et repérge dns le pln.1 Rppels.......................................... Bses, Repères et Coordonnées.............................

Plus en détail

( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante.

( ) = ax. On dit que f est une fonction linéaire. ( ) = b. On dit que f est une fonction constante. Chapitre : Fonctions de référence I Fonctions affines Définition d'une fonction affine f est une fonction affine si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que pour tout x, f x ( ) = ax + b

Plus en détail

Racines carrées 20 = 4,

Racines carrées 20 = 4, Clsse de 3ème 08/11/010 Chpitre Rcines crrées I. Activité n 1. ABCD est un crré de coté c et d ire. (1 ) Choisir des vleurs de c puis clculer. ( ) Choisir des vleurs de puis clculer c. c = 3 cm c = cm

Plus en détail

TP 10 : Lois de Kepler

TP 10 : Lois de Kepler TP 10 : Lois de Kepler Objectifs : - Estimer l msse de Jupiter à prtir de l troisième loi de Kepler. - Utiliser Stellrium, un simulteur de plnétrium «photo-réel». Compétences trvillées : - Démontrer que,

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes... Lycée Pul Doumer 203-204 TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini....................................2 Limite en un réel..................................

Plus en détail

COURS DE MATHÉMATIQUES

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES Terminle S Vlère BONNET vlere.bonnet@gmil.com) 9 mi Lycée PONTUS DE TYARD rue des Gillrdons 7 CHALON SUR SAÔNE Tél. : ) 85 46 85 4 Fx : ) 85 46 85 59 FRANCE ii LYCÉE PONTUS DE TYARD

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6

Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6 Tble des mtières Intégrle d une fonction. Définition.................................................. Propriétés................................................. 4 Notion de primitive d une fonction 5.

Plus en détail

Chapitre III : nombres en écriture fractionnaire

Chapitre III : nombres en écriture fractionnaire Chpitre III : nombres en écriture frctionnire I - Églité de quotients A - Simplifiction de quotient ex 1 Si on multiplie ou si on divise le numérteur et le dénominteur d'un quotient pr un même nombre non

Plus en détail

3 Méthodes du 1 er degré

3 Méthodes du 1 er degré 3 Méthodes du 1 er degré 3.1 Activité Un groupement de commerçnts plnifie ses dépenses promotionnelles u jour le jour, sur une période d un n. Il sit qu u début de l nnée, une dépense de 180 pr semine

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires.

X. Equations paramétriques d'une courbe. Coordonnées polaires. . Equtions prmétriques X. Equtions prmétriques d'une courbe. Coordonnées polires. f ( ) Soient deu équtions où intervlle [, b] g( ) A chque vleur de correspondent une vleur de et une vleur de. Si l'on

Plus en détail

Rappels sur le calcul Littéral

Rappels sur le calcul Littéral Première prtie Rppels sur le clcul Littérl I Clculer vec les frctions, les puissnces, les rdicux I.1 les frctions I.1.1 générlités Bon, il est temps que je rppelle quelques règles de bse concernnt le clcul

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mthémtiques Bcclurét 20 Résumé Ce document contient les principles définitions, théorèmes et propriétés du cours de mthémtiques du tronc commun de mthémtiques de Terminle S. Je tiens à remercier

Plus en détail

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre Intégrles TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre Intégrles Tble des mtières I Exercices I-................................................ I-................................................ I-................................................

Plus en détail

DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL

DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 1 TRAVAUX DIRIGES DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL -80 II ème siècle p J-C 153 1609 1666 1916 199 ARISTARQUE de Smos donne une mesure de

Plus en détail