Examen du module LP353

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1 28 janvier 2009 Examen du module LP353 Année Universitaire Documents de cours et de TD, ainsi que la calculatrice non autorisés. Durée de l épreuve 3 heures L examen est composé de deux parties correspondant à deux sujets d étude totalement indépendants. Le premier sujet a pour but d étudier les propriétés d une onde électromagnétique localisée à l interface entre deux milieux. Le second sujet porte sur l étude d une cellule à cristaux liquides et des propriétés de biréfringence de ce système.

2 Première partie Etude d une onde de surface La propagation d ondes mettant en jeu des interfaces modifie leur amplitude de telle manière que celle-ci varie exponentiellement dans le plan d onde. On nomme ce type d ondes ondes planes inhomogènes. On étudie ici les caractéristiques de ces ondes lorsqu une seule interface est mise en jeu : il s agit alors d ondes de surface. On considère une interface (Oyz) séparant deux milieux homogènes, linéaires, isotropes et non magnétiques caractérisés par leur permittivité diélectrique relative ε r1 et ε r2. x ε r1,µ 0 ε r2,µ 0 y z Figure 1 Interface plane entre deux milieux diélectriques non magnétiques 1 Solutions des équations de propagation On s intéresse aux solutions des équations de propagation de type onde plane inhomogène transverse magnétique TM se propageant le long de (Oz) et pour lesquelles B z = 0 et E y = 0. Ces ondes sont monochromatiques de pulsation ω. La projection de leur vecteur d onde k sur l axe de propagation Oz est notée γ. Les champs électriques de ces ondes peuvent être écrits : E 1 (r, t) = E 1,0 e i(ωt γz) dans le milieu 1, et E 2 (r, t) = E 2,0 e i(ωt γz) dans le milieu 2 (1) Dans chacun des milieux, on décompose les amplitudes spatiales E i,0 (x) (i = 1, 2) du champ électromagnétique suivant les composantes longitudinale (E z, B z ) selon la direction unitaire u z et transverse (E, B ), selon la direction perpendiculaire à u z. 1. Rappeler les équations de Maxwell dans l un des deux milieux. En déduire l équation de propagation du champ électrique, que nous allons chercher à résoudre. 2. Montrer, à partir des équations de Maxwell, que les composantes des champs transverses (E (x) et B (x)) s expriment uniquement en fonction de E z (x). 3. En déduire qu il suffit de résoudre la projection de l équation de propagation sur l axe (Oz) dans chacun des milieux, et écrire alors la forme générale des fonctions E 1,0z (x) et E 2,0z (x). On posera κ 2 1 ε r1 c 2 ω2 + γ 2 et κ 2 2 ε r2 c 2 ω2 + γ Montrer que pour que les champs E i restent localisés à l interface il faut que les κ i (i = 1, 2) soient réels et écrire dans ce cas les fonctions E i,0z (x) (i = 1, 2) en tenant compte des conditions aux limites.

3 5. En utilisant les propriétés de continuité des champs électrique et magnétique à l interface, montrer que ε r1 = ε r2. κ 1 κ 2 6. En déduire la relation de dispersion reliant γ à ω. 7. Les relations des deux questions précédentes définissent la condition de propagation des ondes de surface. Montrer que de manière générale, ces ondes ne peuvent pas exister si les milieux 1 et 2 sont des diélectriques sans perte (cas dans lequel ε r1 et ε r2 sont réels positifs). 2 Polaritons de surface On étudie ici le cas particulier des polaritons de surface, qui sont des ondes de surface utilisées en spectroscopie de molécules adsorbées sur une surface métallique. Le milieu 1 est le vide et le milieu 2 est un métal caractérisé par sa constante diélectrique relative (issue du modèle de Drude) : ε r2 = 1 ω2 p ω 2 (2) 1. Tracer l allure de γ 2 c 2 en fonction de ω dans le cas de cette configuration géométrique. Indiquer pour quel domaine de ω il y a propagation de polaritons de surface. 2. Montrer que dans la limite γc ω, il existe une solution à la pulsation ω = ω p / 2. Cette solution est appelée plasmon de surface. Écrire, d après la partie 1, la relation liant E x à E z et en déduire la polarisation de l onde de plasmon de surface. x θ y ε r1 ε r2 ε r3 prisme en verre métal air z Figure 2 Configuration d excitation des polaritons de surface par onde évanescente. 3. Une méthode utilisée pour exciter un polariton de surface consiste à se placer dans la configuration de la figure 2, où une fine couche de métal est éclairée à travers un prisme de verre par une onde plane arrivant avec l angle d incidence θ dans le plan (Oxz). Exprimer γ, projection sur (Oz) du vecteur d onde incident, en fonction de θ, ε r1 et ω/c. Rappeler pourquoi γ est de même amplitude dans les trois milieux. 4. On note k i,x la composante selon x du vecteur d onde dans les milieux i = 1, 2 ou 3 (k i,x peut être réelle ou complexe). En écrivant les relations reliant (γ, ε r2 et k 2,x ) ainsi celles reliant (γ, ε r3 et k 3,x ), de façon analogue à la question 3 de la partie 1 donner la condition sur l angle d incidence θ pour l obtention d un polariton de surface, et indiquer sur quelle interface celui-ci apparaît. 5. Interpréter l existence d un polariton de surface graphiquement en utilisant la courbe de dispersion ω(γ) dans les différents milieux. Vous tracerez notamment la courbe de dispersion de l onde dans le verre sous incidence normale et celle sous l incidence oblique d angle θ et vous intéresserez à leurs positions relatives par rapport à la courbe de dispersion dans le métal, en calculant la pente de cette dernière à l origine en ω = 0.

4 6. Donner la carte approximative, à un instant t donné, de la répartition des champs électriques E i (r, t) et magnétiques B i (r, t) (avec i = 1, 2) au voisinage de la surface. Donner la direction et l amplitude du vecteur de Poynting S i (r, t) en fonction de x. Deuxième partie Propagation d une onde électromagnétique dans un cristal liquide Un cristal liquide est formé de molécules rigides non polaires de forme bâtonnet. Dans certaines conditions de température et de pression, on peut faire passer le milieu d une phase liquide isotrope à une phase solide (cristal), en passant par une phase intermédiaire dans laquelle les bâtonnets ont tendance à s orienter dans une direction commune imposée par les conditions de contact aux surfaces de la paroi, définie par son vecteur unitaire n. Cette phase ordonnée est appelée cristal liquide nématique. Le cristal liquide est considéré comme un milieu transparent de densité N molécules par unité de volume. On considère un volume de ce cristal limité par les plans z = 0 et z = L. Dans ce régime nématique, chaque molécule acquiert, en présence d un champ électrique E, un moment dipolaire p parallèle à sa direction d orientation : p = ε 0 αe n n, (3) où E n est la composante du champ électrique dans la direction n. La polarisabilité α est réelle. On négligera les effets de champs locaux dans tout le problème, bien que cette hypothèse soit très simplificatrice. On considérera alors que dans la relation (3), le champ qui intervient est le champ incident, défini par ses propriétés en z = 0. Les vecteurs (u x, u y, u z ) sont les vecteurs unitaires portés par les axes (x, y, z). Les deux parties suivantes peuvent être traitées indépendamment. 1 Configuration d ancrage polaire La direction n est fixée dans le plan des faces de la lame selon u x (Fig.3) L onde incidente est une onde plane de pulsation ω. Figure 3 Géométrie d éclairage dans la configuration d ancrage polaire

5 1. Dans cette question seulement l onde incidente est non polarisée. Pour une incidence de 45 dans le plan (x, z), faire la construction du cheminement d un rayon à travers la lame, puis en sortie de la lame. Dans les questions 2. à 4., l onde est polarisée linéairement. 2. Exprimer la polarisation macroscopique P et le vecteur déplacement D dans le milieu en fonction de E. En déduire la matrice de permittivité relative [ε r ] x,y,z dans le repère (u x, u y, u z ) en fonction de α et N. 3. Justifier pourquoi on peut qualifier le milieu de milieu uniaxe. Quel est son axe optique et donner les valeurs des indices ordinaire et extraordinaire, notés respectivement n o et n e. 4. On considère le cas particulier de l incidence normale, et on prend un champ électrique incident polarisé à 45 de l axe u x. Donner alors l expression du champ électrique en sortie de la lame de cristal liquide. Quel est l état de polarisation de l onde en sortie de la lame? 2 Configuration de torsion Les cristaux liquides possèdent des propriétés diamagnétiques et sous l action d un champ magnétique il est possible d orienter les bâtonnets dans une direction n(z) du plan (x, y) qui varie avec la côte z du plan. L onde incidente est une onde plane se propageant dans la direction u z et polarisée suivant u x (Fig.4). L orientation des bâtonnets est définie dans le plan de côte z par l angle φ(z) = (u x, n(z)). Figure 4 Géométrie d éclairage dans la configuration de torsion 1. Pour chaque valeur de z, montrer que la matrice de permittivité [ε r ] est diagonale dans le repère (n(z), n (z), u z ) où ces trois vecteurs forment un trièdre direct. Exprimer [ε r ] dans ce repère en introduisant en fonction des indices ordinaire n o et extraordinaire n e. On cherche le champ électrique de l onde se propageant dans le cristal liquide sous la forme et de même pour D et B. E(z, t) = [E x (z).u x + E y (z).u y + E z (z).u z )]e iωt, (4) 2. Montrer, à partir des équations de Maxwell, que les composantes D z et B z sont nulles. En déduire que la composante E z est nulle. 3. Montrer que l équation de propagation dans le milieu peut être écrite : d 2 E(z) dz 2 + µ 0 ω 2 D(z) = 0

6 4. On appelle [R(z)] la matrice de passage du repère fixe (u x, u y, u z ) au repère (n(z), n (z), u z ). On rappelle que : [ ] cos φ sin φ [R(z)] = sin φ cos φ Montrer que : d 2 E(z) dz 2 + ω2 c 2 [R(z)] 1 [ε r ][R(z)]E(z) = 0 (5) 5. On suppose que φ(z) = Az, avec A une constante vérifiant A ω/c. On admet que sous cette condition [R(z)] d2 E(z) dz 2 d2 ([R(z)]E(z)) dz 2. Montrer que la solution E(z) des équations de Maxwell peut alors être écrite : [ Ex (z) E y (z) ] [ ] [ cos Az sin Az Ee.e ine ω c z = sin Az cos Az E o.e ino ω c z avec E o et E e des constantes dépendant des conditions initiales. ], E z (z) = 0 (6) 6. En tenant compte de la polarisation initiale de l onde suivant u x en z = 0, donner l expression finale de E(z). Quel est l état de polarisation de l onde en chaque plan z? 7. On place un analyseur à la sortie du cristal liquide, de direction suivant u y. Calculer l intensité détectée après cet analyseur. Quelle est la valeur de A qui permet au dispositif d annuler totalement l intensité en sortie?