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1 FONCTIONS DE REFERENCE Objectifs: connaître les propriétés des fonctions élémentaires pour pouvoir étudier des fonctions plus complexes. I. LES FONCTIONS ELEMENTAIRES ce sont les touches «fct» de la calculatrice : x² (fct «carré»), x - ou/x (fct «inverse»), (fct «racine» (carrée)), (+ sin, cos, ln, exp PLUS TARD), ainsi que les fonctions *k et +k où k est une constante. la fonction «carré» tableau de valeurs: x ,5, x² ,25 2, représentation graphique : 2. la fonction «racine carré» tableau de valeurs: x - 0 0,25 2, x impossible 0 0,5,5 2 3 représentation graphique : 3. la fonction «inverse» f x = x =x

2 tableau de valeurs: x ,25 0, x -0,25-0,5 - impossi ble représentation graphique : 4 2 0,5 0,25 0,2 II SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION. fonction croissante définition une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsque elle conserve l'ordre sur I.: pour tous réels a et b de l'intervalle I, si a<b alors f(a) < f(b) - langage de l'algèbre: si on applique la fonction f à chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens - langage des fonctions: les images par f sont dans le même ordre que les valeurs de la variable prises dans I cad: si des valeurs de la variable prises dans I sont dans l'ordre croissant (respectivement décroissant) alors les images correspondantes sont dans l'ordre croissant (respectivement décroissant) - langage graphique: la partie de la courbe (correspondant aux points dont l'abscisse x est dans I ) monte 2. fonction décroissante définition une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsque f inverse l'ordre sur I.: pour tous réels a et b de l'intervalle I, si a<b alors f(a) > f(b) - langage de l'algèbre: si on applique la fonction f à chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de sens contraire - langage des fonctions:les images par f sont dans l'ordre inverse des valeurs de la variable prises dans I cad: si des valeurs de la variable prises dans I sont dans l'ordre croissant (respectivement décroissant) alors les images correspondantes sont dans l'ordre décroissant (respectivement croissant) - langage graphique: la partie de la courbe (correspondant aux points dont l'abscisse x est dans I ) descend

3 3. tableau de variation (exemple) f est croissante sur l'intervalle [-5;-2] et décroissante sur l'intervalle [-2 ; 4] x f(x) 2 - III. SENS DE VARIATION DES FONCTIONS ELEMENTAIRES. la fonction «carré» tableau de variations: x 0 + x² 0 * La fonction carré est décroissante sur l'intervalle ] ; 0] * Si on élève au carré chaque membre d'une inégalité où les membres sont négatifs, on obtient une inégalité de sens contraire * chez les nombres positifs, les nombres sont dans le même ordre que leurs carrés * si 0 < a < b alors a² < b² * La fonction carré est croissante sur l'intervalle [0;+ [ * Si on élève au carré chaque membre d'une inégalité où les membres sont positifs, on obtient une inégalité de même sens * chez les nombres négatifs, les nombres sont dans l'ordre inverse de leurs carrés, ou encore: plus les nombres (négatifs) sont petits, plus leurs carrés sont grands * si a < b < 0 alors a² > b² Pour aller plus loin: démonstration du sens de variation: *la fonction carré est croissante sur [0 ; + [ démonstration: Soient a et b deux réels strictement positifs, cad dans l'intervalle ]0 ; + [, avec a b. On veut comparer leurs images f a =a² et f b =b², on va donc étudier le signe de leur différence: f a f b =a² b²= a b a b le premier facteur est négatif: en effet a b 0 car a b ; le second facteur est positif a b 0 car a et b tous deux positifs ainsi f a f b est négatif cad f a f b 0 et f(a) < f(b) On était partis avec a<b, leurs images sont dans le même ordre: a² < b², la fonction a conservé l'ordre, elle est donc croissante. * la fonction carré est décroissante sur ]- ; 0] démonstration: Soient a et b deux réels strictement négatifs, cad dans l'intervalle ]- ; 0[, avec a b. On veut comparer leurs images f a =a² et f b =b², on va donc étudier le signe de leur différence: f a f b =a² b²= a b a b le premier facteur est négatif: en effet a b 0 car a b ; le second facteur est négatif a b 0 car a et b tous deux négatifs ainsi f a f b est positif cad f a f b 0 et f(a) > f(b) On était partis avec a<b, leurs images sont dans l'ordre inverse: a² > b², la fonction a inversé l'ordre, elle est donc décroissante. 2. la fonction racine carrée tableau de variations:

4 x 0 + x 0 * La fonction racine est croissante sur [0;+ [ * Si on prend la racine carrée de chaque membre d'une inégalité où les membres sont positifs, on obtient une inégalité de même sens * chez les nombres positifs, les nombres sont dans le même ordre que leurs racines carrées ou encore: plus les nombres (positifs) sont grands, plus leurs racines carrées sont grandes * si 0 < a < b alors a b pour aller plus loin: démonstration de son sens de variation: la fonction racine carré est croissante sur ]0 ; + [ démonstration: Soient a et b deux réels strictement positifs, cad dans l'intervalle ]0 ; + [, avec a b. On veut comparer leurs images f a = a et f b = b, on va donc étudier le signe de leur différence: f a f b = a b= a b a b = a b a b a b le numérateur est négatif: en effet a b 0 car a b ; le dénominateur est positif a b 0 car somme de deux positifs ainsi f a f b est négatif cad f a f b 0 et f(a) < f(b) On était partis avec a<b, leurs images sont dans le même ordre: a b, la fonction a conservé l'ordre, elle est donc croissante. 3. la fonction «inverse» f x = x tableau de variations: x 0 + x * la fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[ * Si on remplace chaque membre d'une inégalité où les membres sont strictement positifs par son inverse, on obtient une inégalité de sens contraire * avec des nombres positifs, des fractions de même numérateur sont dans l'ordre inverse de leurs dénominateurs ou encore: pour un même numérateur positif, plus le dénominateur positif est grand, plus la fraction est petite * si 0 < a < b alors a b * la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [ * si on remplace chaque membre d'une inégalité où les membres sont strictement négatifs par son inverse, on obtient une inégalité de sens contraire * si a < b < 0 alors a b pour aller plus loin: démonstration de son sens de variation: * la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [

5 démonstration: Soient a et b deux réels strictement positifs, cad dans l'intervalle ]0 ; + [, avec a b. On veut comparer leurs images f a = a et f b =, on va donc étudier le signe de leur b différence: f a f b = a b = b a b a b a = b ab a ab = b a ab le numérateur est positif: en effet b a 0 car a b ; le dénominateur est positif ab 0 car a et b de même signe positif ainsi f a f b est positif cad f a f b 0 et f(a) > f(b) On était partis avec a<b, leurs images sont dans l'ordre inverse a b, la fonction a inversé l'ordre, elle est donc décroissante. de même la fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0[ remarque sur la notation : rappel puissances négatives: a m = a m en particulier pour m=- et a=x: x = : c'est une autre notation pour la fonction inverse, utilisée par certaines x calculatrices et par le professeur de physique: * une vitesse en km.h =km h = km distance en km ; on voit qui est bien la vitesse h temps en h * de même des kg.mol =kg mol = kg masse en kg on voit qui est bien la masse par mol quantité de matière en mol mole appelée masse molaire 4. La fonction «+k» : f x =x k * La fonction x x+k est croissante sur ] ; + [ * si on ajoute un même nombre à chaque membre d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens * si a<b alors a+k < b+k Démonstration je sais a<b et je veux comparer leurs images f(a) = a+k et f(b) = b+k f(a) f(b) = (a+k) (b+k) = a + k - b k = a b Or a<b donc a-b < 0 cad a-b négatif donc f(a) f(b) négatif cad f(a) f(b) < 0 donc f(a) < f(b) cad a+k < b+k f conserve l'ordre donc elle est croissante 5. La fonction «k» avec k positif : f x =kx * La fonction x kx avec k positif est croissante sur ] ; + [ * Si on multiplie chaque membre d'une inégalité par un même nombre positif, on obtient une inégalité de même sens * si a<b et si k positif alors k a < k b démonstration je sais a<b et je veux comparer leurs images f(a) = k a et f(b) = k b f(a) f(b) = (k a) (k b) = k (a - b) Or a<b donc a-b < 0 cad a-b négatif donc en multipliant par k positif, la règle des signes du produit donnera le résultat f(a) f(b) négatif cad f(a) f(b) < 0 donc f(a) < f(b) cad k a < k b f conserve l'ordre donc elle est croissante 5bis. La fonction «k» avec k négatif : f x =kx * La fonction x kx avec k négatif est décroissante sur ] ; + [ * Si on multiplie chaque membre d'une inégalité par un même nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire

6 * si a<b et si k négatif alors k a > k b Démonstration je sais a<b et je veux comparer leurs images f(a) = k a et f(b) = k b f(a) f(b) = (k a) (k b) = k (a - b) Or a<b donc a-b < 0 cad a-b négatif donc en multipliant par k négatif, la règle des signes du produit donnera le résultat f(a) f(b) positif cad f(a) f(b) > 0 donc f(a) > f(b) cad k a > k b f inverse l'ordre donc elle est décroissante III. DECOMPOSER UNE FONCTION EN FONCTIONS ELEMENTAIRES. générer des fcts à l'aide des fcts élémentaires activité (TD): générer des fonctions à partir des fonctions de référence calculer mentalement l image de (-2) par f(x) = 3x² 8 image de 2 : -2 carré 4 * racine 2 image de 3 : 3 carré 3 *3 9-8 racine image de x : x carré x² *3 3x² -8 3x²-8 racine 3x² 8 nous avons décomposé f en chaîne de fcts de ref : carré, *3, -8, racine les briques: les fonctions de référence (carré, racine, inverse), ainsi que les fonctions sommes ou produits par une constante (*k, +k) les mortiers: - la décomposition en chaîne ensemble: f(x) = 8x²-7; seuls: voir fiche - opérations sur les chaînes : le produit, la somme de chaînes: ensemble: (2x-)(3x+7) seuls: x² + 3, x+ 7,3 x 2x³,(7+ x)(3 x²) x x retenons : lorsque la variable figure plusieurs fois, il faut reconnaître la FORME de la fonction : somme, produit, quotient ( somme, produit, quotient de chaînes) 2. applications fiche dérivées en classe de Première : - les fonctions de référence - opérations : somme u+v, produit u*v, quotient u/v Il est très important de savoir reconnaître la FORME (composée, somme, produit) et les différents COMPOSANTS (fcts de ref) en seconde : représentations graphiques simples (x²+k, kx²), sens de variation, inégalités

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