Chapitre 12. Matrices

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1 Chapitre 12 Matrices. I Dans la suite, n, p, q, r désignent des entiers naturels non nuls. K désigne R ou C. Matrices 1 Dénition Dénition 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes, ou matrice de type (n, p), à coecients dans K toute application de [1; n] [1; p] dans K. On note :, ou encore M : [1; n] [1; p] K (i, j) M(i, j) = M i,j M = (M i,j ) (i,j) [1;n ] [1;p ] = (M i,j) 1 i n 1 j p On représente la matrice M à l'aide d'un tableau dont les éléments sont les valeurs prises par M : M 1,1 M 1,2... M 1,p M 2,1 M 2,2... M 2,p... M n,1 M n,2... M n,p Dénition 2 Pour (i, j) [1; n] [1; p], M i,j est appelé coecient d'ordre i, j, coecient en position i, j ou de la matrice M, situé à l'intersection de la ième ligne et de la jème colonne. On dit que M a pour terme général M i,j, pour 1 i n et 1 j p. Si K = R on parle de matrice réelle, si K = C on parle de matrice complexe. L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coecients dans K se note M n,p (K). On note M n (K) = M n,n (K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n (à n lignes et n colonnes) à coecients dans K. Remarque M n,p(r) M n,p(c). Exercice 1 1. Représenter M = (i(2j + 1)) 1 i 3 1 j 2 ( )

2 Dénition 3 Soit M M n,p (K). Pour i [1; n], on appelle ième vecteur ligne de A la matrice de M 1,p (K) (matrice ligne à p colonnes) (M i,1 M i,2... M i,p ) K p Pour j [1; p], on appelle jème vecteur colonne de A la matrice de M n,1 (K) (matrice colonne à n lignes) (M 1,j M 2,j... M n,j ) K n Propriété 1 - Matrices égales Deux matrices A et B sont égales si et seulement si elles ont même type (même nombre de lignes et même nombre de colonnes) et même coecients pour chaque position donnée, autrement dit n = q (A, B) M n,p (K) M q,r (K), A = B p = r (i, j) [1; n] [1; p], A ij = B ij Dénition 4 - Matrices nulles, matrices identités On appelle matrice nulle de M n,p (K) et on note 0 Mn,p(K) ou encore 0 n,p la matrice à n lignes et p colonnes dont tous les coecients sont nuls. On appelle matrice identité de M n (K), ou matrice identité d'ordre n, et on note I n, la matrice carrée d'ordre n dont tous les coecients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale qui sont égaux à 1. Exemples 0 M2,3 (K) 0 M3,2 (K) (i, j) [[1; n]] [[1; p]], ( ) 0 Mn,p(K) =... i,j (i, j) [[1; n]] 2, (I n) i,j = δ i,j =... 2

3 II Opérations matricielles Dénition 5 - Somme, Produit par un réel Soient (A, B) M n,p (K) 2. On appelle somme de A et B, et on note A + B, la matrice de M n,p (K) dénie par (i, j) [1; n] [1; p], (A + B) i,j = A i,j + B i,j Pour λ R, on dénit la matrice λ.a, que l'on note aussi λa, par (i, j) [1; n] [1; p], (λa) i,j = λa i,j Dénition 6 - Produit matriciel Soient (A, B) M n,p (K) M p,q (K). On appelle produit de A par B, et on note A B, ou encore AB, la matrice de M n,q (K) dénie par (i, j) [1; n] [1; q ], (AB) i,j = p A i,k B k,j, autrement dit le coecient d'ordre (i, j) de la matrice AB est le produit scalaire (qui est aussi le produit matriciel) de la ième ligne de A par la jème colonne de B. Dénition 7 - Puissances d'une matrice carrée Soient A M n (K). On dénit la suite des puissances de A (A n ) n N par k=1 { A 0 = I n n N, A n+1 = AA n = A n A Remarques 1. L'opération + (somme) est une loi de composition interne sur M n,p(k). Deux matrices doivent avoir le même format pour que leur somme soit dénie. 2. L'opération. (multiplication par un réel) est une loi de composition externe sur M n,p(k), c'est-à-dire une application de K M n,p(k) dans M n,p(k). 3. Pour multiplier deux matrices, leurs formats doivent être compatibles : le nombre de colonnes de la première doit être égal au nombre de lignes de la seconde. En particulier, on peut toujours dénir le produit de deux matrices carrées de même ordre. 4. On ne peut pas calculer les puissances d'une matrice non carrée. 5. Les règles de calculs sur les puissances sont les mêmes que sur les réels. Exercice 2 1. Dans chacun des cas suivants, calculer si elles existent les matrices AB et BA. ( ) ( ) (a) A = ; B = ( ) (b) A = ; B = Montrer que 3. Montrer que (A, B, C) M n,p(k) M p,q(k) 2, A(B + C) = AB + AC (A, B, C) M n,p(k) M p,q(k) M q,r(k), (AB)C = A(BC) 3

4 Propriété 2 - Structure algébrique de M n,p (K) 1. (M n,p (K), +) est un groupe commutatif : (a) + est associative : (A, B, C) M n,p (K) 3, (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (b) + est commutative : (A, B) M n,p (K) 2, A + B = B + A (c) 0 Mn,p(K) est l'élément de M n,p (K) pour + : A M n,p (K), A + 0 Mn,p(K) = 0 Mn,p(K) + A = A (d) Tout élément de M n,p (K) admet un inverse par + dans M n,p (K) (qui est alors unique, appelé opposé de A et noté A) : 2. (M n,p (K), +,.) est un K-espace vectoriel : (a) (M n,p (K), +) est un groupe commutatif (b) Propriétés d'associativité et de distributivité : A M n,p (K), A + ( A) = ( A) + A = 0 Mn,p(K) (λ, µ, A, B) K 2 M n,p (K) 2, λ.(a + B) = λ.a + λ.b (λ + µ).a = λ.a + µ.a (λµ).a = λ.(µ.a) (c) A M n,p (K), 1.A = A Propriété 3 - Propriétés du produit matriciel 1. (M n,p (K), +) est un groupe commutatif : 2. Associativité : (A, B, C) M n,p (K) M p,q (K) M q,r (K), A(BC) = (AB)C 3. Distributivité à gauche et à droite sur + : (A, B, C) M n,p (K) 2 M p,q (K), (A + B)C = AC + BC (A, B, C) M n,p (K) M p,q (K) 2, A(B + C) = AB + AC 4. I n est élément neutre à gauche I p est élément neutre à droite de M n,p (K) : A M n,p (K), { In A = A AI p = A 5. 0 Mn,p(K) est absorbant à gauche et 0 Mq,r(K) est absorbant à gauche dans M p,q(k) A M p,q (K), { 0Mn,p(K)A = 0 Mn,q(K) A0 Mq,r(K) = 0 Mp,r(K) 6. Le produit matriciel n'est pas commutatif Propriété 4 Pour (A, B) M n,p (K) 2, Si AB = BA (on dit que A et B commutent), alors la formule du binôme de Newton (en particulier les identités remarquables) est vériée : AB = BA = n N, (A + B) n = n ( n k k=0 ) A k B n k 4

5 Dénition 8 - Transposée Soit A M n,p (K). On appelle transposée de A et on note t A la matrice de M n,p (K) dénie par (i, j) [1; n] [1; p], t A i,j = A j,i. Remarque La transposée de A est la matrice dont les colonnes sont les lignes de A et dont les lignes sont les colonnes de A. Exemple Pour A = Propriété , on a t A = 1. la transposition est involutive : A M n,p (K), t (t A ) = A 2. la transposition est linéaire : (A, B) M n,p (K) 2, t (A + B) = t A + t B (λ, A) K M n,p (K), t (λa) = λ t A 5

6 III Algèbre des matrices carrées 1 Structure algébrique de M n (K) Propriété 6 (M n (K), +,., ) est une algèbre non commutative unitaire : 1. (M n,p (K), +,.) est un K-espace vectoriel : 2. Associativité : (A, B, C) M n (K) 3, A(BC) = (AB)C 3. Distributivités : (λ, A, B, C) K M n (K) 3, (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC λ.(ab) = (λ.a)b = A(λ.B) 4. I n est élément neutre : A M n (K), I n A = AI n = A Propriété 7 (M n (K), +, ) est un anneau non commutatif unitaire : 1. (M n (K), +) est un groupe commutatif : 2. Associativité : (A, B, C) M n (K) 3, A(BC) = (AB)C 3. Distributivités : (A, B, C) M n (K) 3, { (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC 4. I n est élément neutre : A M n (K), I n A = AI n = A 6

7 2 Matrices carrées particulières Dénition 9 Soit A M n (K). 1. On dit que A est triangulaire supérieure lorsque les coecients de A situés strictement en-dessous de la diagonale sont tous nuls : (i, j) i > j = A i,j = 0 On note T + n (K) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre n. 2. On dit que A est triangulaire inférieure lorsque les coecients de A situés strictement audessus de la diagonale sont tous nuls : 3. Propriété 8 Propriété 9 (i, j) i < j = A i,j = 0 On note T n (K) l'ensemble des matrices triangulaires inférieures d'ordre n. 4. On dit que A est diagonale lorsque les coecients de A situés en-dehors de la diagonale sont tous nuls : (i, j) i j = A i,j = 0 Dans ce cas, on peut noter A = diag(a 1,1,..., A n,n ). On note D n (K) l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n. 1. D n (K) T + n (K) et D n (K) T n (K) 2. D n (K) = T + n (K) T n (K) T + n (K), T n (K) et D n (K) sont des sous-algèbres de (M n (K), +,., ) : Propriété Elles sont non vides. 2. Elles sont stables par opérations La somme, le produit de deux matrices triangulaires supérieures, la multiplication par un réel d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure. La somme, le produit de deux matrices triangulaires inférieures, la multiplication par un réel d'une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure. La somme, le produit de deux matrices diagonales, la multiplication par un réel d'une matrice diagonale est une matrice diagonale. 3. Elles contiennent l'élément neutre I n est une matrice diagonale (donc triangulaire supérieure et triangulaire inférieure) Propriété 11 (A, B) T + n (K) 2 T n (K) 2, (AB) i,i = A i,i B i,i Dans le produit de deux matrices triangulaires supérieures ou de deux matrices triangulaires inférieures, on obtient les éléments diagonaux en multipliant les éléments diagonaux de même position.. (A, B) D n (K) 2, (AB) = diag(a 1,1 B 1,1,..., A n,n B n,n ) Le produit de deux matrices diagonales est la matrice diagonale obtenue en multipliant les éléments diagonaux de même position. 1. La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure. 2. La transposée d'une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire supérieure. 3. La restriction de la transposition à D n (K) est Id Dn(K). 7

8 3 Matrices symétriques, antisymétriques Dénition 10 Soit A M n (K). Propriété On dit que A est symétrique lorsque t A = A. L'ensemble des matrices carrées d'ordre n symétriques est noté S n (K). 2. On dit que A est antisymétrique lorsque t A = A. L'ensemble des matrices carrées d'ordre n antisymétriques est noté A n (K). 1. Les coecients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls : 2. D n (K) S n (K). 3. D n (K) A n (K). 4. D n (K) = S n (K) A n (K). 5. D n (K) = T n + S n (K) = T n + A n (K). 6. D n (K) = Tn S n (K) = Tn A n (K). Propriété 13 A S n, i [1; n], A i,i = 0 Toute matrice carrée d'ordre n s'écrit d'une seule façon comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique : M D n (K),!(A, B) S n (K) A n (K), M = S + A 4 Matrices carrées qui commutent Dénition 11 Soient (A, B) M n (K) 2. On dit que A et B commutent lorsque AB = BA. Propriété 14 Soient (A, B) M n (K) 2. On suppose que A et B commutent. 1. (k, k ) N 2, A k B k = B k A k Toute puissance de A commute avec toute puissance de B. 2. k N, (AB) k = A k B k 3. La formule du binôme de Newton (en particulier les identités remarquables) est vériée : n N, (A + B) n = n ( n k k=0 ) A k B n k Propriété Les matrices diagonales commutent entre elles : (D 1, D 2 ) D n (K) 2, D 1 D 2 = D 2 D 1 2. Les seules matrices qui commutent avec toutes les autres matrices sont les matrices de la forme λi n, avec λ R. Remarque Pour (λ, A) K M n,p(k), I n commute avec A, donc (A + λi n) n = n k=0 ( n k ) λ n k A k 8

9 5 Produit par des matrices carrées particulières Dénition 12 - Matrices de la base canonique Pour (i, j) [1; n] [1; p], on note E n,p i,j la matrice de M n,p (K) dont les coecients sont tous nuls sauf le coecient de position (i, j) qui est égal à 1 : (k, l) [1; n] [1; p], (E i,j ) k,l = δ i,k δ j,l Propriété 16 - Produit par des matrices de la base canonique Soit A M n,p (K). 1. Pour (i, j) [1; n] 2, le produit E n,n i,j A est la matrices dont toutes les lignes sont nulles sauf peut-être la i-ème ligne qui est égale à la j-ème ligne de A. 2. Pour (i, j) [1; p] 2, le produit AE p,p i,j est la matrices dont toutes les colonnes sont nulles sauf peut-être la j-ème ligne qui est égale à la i-ème colonne de A. 3. Le produit de deux matrices de la base canonique est, soit nul, soit une matrice de la base canonique. (i, j, k, l) [1; n] [1; p] 2 [1; q ], E n,p i,j Ep,q k,l = δ j,ke n,q i,l Résultat 1 - Produit par des matrices diagonales Soit A M n,p(k). 1. Soit D D n(k) (i, j) [[1; n]] [[1; p]], (DA) i,j = D i,ia i,j Lorsqu'on multiplie une matrice à gauche par une matrice diagonale, on multiplie chaque ligne par le coecient diagonal correspondant. 2. Soit D D p(k) (i, j) [[1; n]] [[1; p]], (AD) i,j = D j,ja i,j Lorsqu'on multiplie une matrice à droite par une matrice diagonale, on multiplie chaque colonne par le coecient diagonal correspondant. Résultat 2 - Produit par une matrice de 1 Soit A M n,p(k). 1. Soit J = (1) (i,j) [1;n ] 2. (i, j) [[1; n]] [[1; p]], (JA) i,j = Lorsqu'on multiplie une matrice à gauche par une matrice de 1, on somme les coecients de chaque colonne de la matrice. 2. Soit J = (1) (i,j) [1;p ] 2. (i, j) [[1; n]] [[1; p]], (JA) i,j = Lorsqu'on multiplie une matrice à droite par une matrice de 1, on somme les coecients de chaque ligne de la matrice. n k=1 n k=1 A k,j A i,k 9

10 IV Matrices carrées inversibles 1 Dénition Exercice 3 - Equations matricielles, unicité de la solution 1. Soit A = ( ) (a) Montrer qu'il existe une matrice M 0 telle que AM = MA = A. (b) Montrer qu'il existe une matrice M 0 telle que AM = MA = 0. (c) Montrer qu'il existe une matrice B telle que AB = A mais BA A. (d) Montrer qu'il existe une matrice C telle que BA = 0 mais AB Soit A M n(k). Montrer qu'il existe au plus une matrice B M n(k) telle que AB = BA = I n. Dénition 13 - Matrices inversibles Soit A M n (K). On dit que A est inversible lorsqu'il existe une matrice B dans M n (K) telle que AB = BA = I n. Dans ce cas, B est unique, est appelé matrice inverse de A et notée A 1. On note GL n (K) l'ensemble des matrices inversibles de M n (K). Propriété 17 (GL n (K), ) est un groupe non commutatif appelé groupe linéaire d'orrde n sur K : 1. I n GL n (K). 2. (A, B) GL n (K) 2, AB GL n (K) et (AB) 1 = B 1 A A GL n (K), A 1 GL n (K) et ( A 1) 1 = A. Propriété 18 - Inverse à gauche, à droite (admise) Soit A M n (K). B M n (K, (AB = I n ou BA = I n ) = AB = BA = I n. Un inverse à gauche ou à droite est un inverse. Il sut d'avoir un inverse à gauche ou à droite pour être inversible Exercice 4 Soit A M n(k). 1. On suppose qu'il existe B M n(k) \ {0} telle que AB = 0. Montrer que A n'est pas inversible. 2. On suppose qu'il existe (λ, µ) R 2 tels que A 2 = λa + µi. Discuter l'inversibilité de A, et, le cas échéant, donner sa matrice inverse, selon les valeurs de λ et µ. 10

11 2 Inversibilité des matrices particulières Propriété 19 - Matrices diagonales Une matrice diagonale est inversible et et seulement si ses coecients sont tous non nuls. Dans ce cas, sa matrice inverse est la matrice diagonale obtenue en prenant l'inverse de chacun des coecients diagonaux : D = diag (D 1,1,..., D n,n ) GL n (K) i [1; n], D i,i 0 Dans ce cas, Propriété 20 - Ligne ou colonne de 0 ( 1 D 1 = diag,..., D 1,1 1 D n,n Une matrice qui contient une ligne ou une colonne de zéros n'est pas inversible. Propriété 21 - Matrices carrées d'ordre 2 ( ) a b Soit A = M c d 2 (K). On appelle déterminant de A et on note det(a) le réel ad bc. A GL n (K) det(a) = ad bc 0 ) Dans ce cas, A 1 = 1 ad bc ( d b c a ) Remarque ( ) a b Supposons A = T + 2 c d (K) T 2 (K) (c = 0 ou d = 0). Alors : A GL n(k) a 0 et d 0 Une matrice triangulaire d'ordre 2 est inversible si et seulement si ses coecients diagonaux sont tous non nuls 11

12 3 Matrices inversibles et équations matricielles Propriété 22 Soit A GL n (K). (M, N) M p,n (K), MA = NA M = N (M, N) M n,p (K), AM = AN M = N Lorsqu'on multiplie une équation matricielle à gauche ou à droite par une matrice inversible, on obtient une équation équivalente. On peut simplier une équation matricielle par une matrice inversible. Remarque Soit A M n(k). Pour B M n,1(k), l'équation matricielle AX = B est un système linéaire de n équations dont A 1,1X A 1,nX n = B 1,1 les n inconnues sont les coecients de X : AX = B... A n,1x A n,nx n = B n,1 Propriété 23 Soit A M n (K). 1. A GL n (K) = ( B M n,p (K), AB = 0 B = 0) 2. A GL n (K) = ( X M n,1 (K), AX = 0 X = 0) 3. A GL n (K) l'équation AX = B d'inconnue X a une unique solution dans M n,1 (K) A GL n (K) = ( X M n,1 (K), AX = B X = A 1 B ) 4 Matrices semblables Dénition 14 Soient (A, D) M n (K) 2. On dit que A et D sont semblables lorsque : P GL n (K), A = P DP 1 Propriété 24 Soient (A, B, D, D, P ) M n (K) 4 GL n (K). 1. A = P DP 1 et B = P D P 1 = AB = P (DD )P 1 2. A = P DP 1 = n N, A n = P (D n )P 1 Exercice 5 Soient (A, D, P ) M n(k) 2 GL n (K) telles que A = P DP Montrer que l'application φ : M P 1 MP dénit une bijection de M n(k) dans M n(k). 2. Montrer que M M n(k), M 2 = A = N 2 = D avec N = φ(m)p 1 MP 3. Montrer que M M n(k), AM = MA = ND = DN avec N = φ(m) = P 1 MP 12

13 V Matrices d'opérations élémentaires 1 Matrices de dilatation Dénition 15 - Matrices de dilatation Pour i [1; n], et λ R, on appelle matrice de dilatation selon i de rapport λ, et on note D n i (λ) ou D i (λ) la matrice de M n (K) obtenue à partir de la matrice I n en remplaçant le coecient 1 en position (1, 1) par λ : D n i (λ) = I n + (λ 1)E i,i Propriété 25 On suppose n 2. Soit i [1; n]. 1. (λ, µ) R 2, D i (λµ) = D i (λ)d i (µ) 2. D i (λ) est inversible si et seulement si λ 0, et, dans ce cas, D i (λ) 1 = D i ( 1 λ ). Propriété 26 - Produit par une matrice de dilatation Soit A M n,p (K). Pour i [1; n], on note L i la i-ème ligne de A. Pour j [1; p], on note C j la j-ème colonne de A. 1. Pour i [1; n], avec i j : D i (λ)a est la matrice obtenue à partir de la matrice A en remplaçant L i par λl i. 2. Pour i [1; p], avec i j : AD i (λ) est la matrice obtenue à partir de la matrice A en remplaçant C i par λc i. 2 Matrices de transvection Dénition 16 - Matrices de transvection Pour (i, j) [1; n] 2, avec i j, et λ R, on appelle matrice de transvection selon (i, j) de rapport λ, et on note T n i,j (λ) ou T i,j(λ) la matrice de M n (K) obtenue à partir de la matrice I n en remplaçant le coecient 0 en position (i, j) par λ : T n i,j(λ) = I n + λe i,j Propriété 27 On suppose n 2. Soit (i, j) [1; n] 2, avec i j. 1. (λ, µ) R 2, T i,j (λ + µ) = T i,j (λ)t i,j (µ) 2. T i,j (λ) GL n (K) et T i,j (λ) 1 = T i,j ( λ). Propriété 28 - Produit par une matrice de transvection Soit A M n,p (K). Pour i [1; n], on note L i la i-ème ligne de A. Pour j [1; p], on note C j la j-ème colonne de A. 1. Pour (i, j) [1; n] 2, avec i j : T i,j (λ)a est la matrice obtenue à partir de la matrice A en remplaçant L i par L i + λl j. 2. Pour (i, j) [1; p] 2, avec i j : AT i,j (λ) est la matrice obtenue à partir de la matrice A en remplaçant C j par C j + λc i. 13

14 3 Matrices de transposition Dénition 17 - Matrices de transposition Pour (i, j) [1; n] 2, avec i j, on appelle matrice de transposition (i, j), et on note P n i,j ou P i,j la matrice de M n (K) obtenue à partir de la matrice I n en décalant le coecient 1 de la ligne i sur la colonne j et le coecient 1 de la ligne j sur la colonne i. P n i,j = I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i Propriété 29 On suppose n 2. Soit (i, j) [1; n] 2, avec i j. 1. P i,j T + n (K) 2. P i,j GL n (K) et P 1 i,j = P i,j. Propriété 30 - Produit par une matrice de transposition Soit A M n,p (K). Pour i [1; n], on note L i la i-ème ligne de A. Pour j [1; p], on note C j la j-ème colonne de A. 1. Pour (i, j) [1; n] 2, avec i j, P i,j A est la matrice obtenue à partir de la matrice A en échangeant L i et L j. 2. Pour (i, j) [1; p] 2, avec i j, AP i,j est la matrice obtenue à partir de la matrice A en échangeant C i et C j. 4 Matrices d'opérations élémentaires Dénition 18 Propriété 31 On appelle matrice d'opération élémentaire dans M n (K) une matrice de dilatation, de transvection ou de transposition dans M n (K). On note GE n (K) l'ensemble des matrices qui sont un produit de matrices d'opérations élémentaires. 1. GE n (K) GL n (K) (En fait, cette inclusion est une égalité, c'est-à-dire que toute matrice inversible est produit de matrices d'opérations élémentaires. Ce résultat sera démontré à l'aide du théorème de décomposition de Gauss-Jordan). 2. P i,j GL n (K) et P 1 i,j 3. I n GE n (K) = P i,j. 4. GE n (K) est stable par produit matriciel et par inversion : GE n (K) est un sou-groupe de GL n (K),. (M, N) GE n (K), MN GE n (K) M GE n (K), M 1 GE n (K) 14

15 VI Décomposition de Gauss-Jordan 1 Equivalence par lignes, par colonnes Dénition 19 - Matrices équivalentes par lignes, par colonnes Soient (A, B) M n,p (K). On dit que A et B sont équivalentes par lignes, et on note A l B, lorsque E GE n (K), A = EB A a été obtenue à partir de B par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. On dit que A et B sont équivalentes par colonnes, et on note A c B, lorsque E GE p (K), A = BE A a été obtenue à partir de B par une suite d'opérations élémentaires sur les colonnes. Propriété 32 - Relation d'équivalence par lignes, par colonnes les relations l et c sont des relations d'équivalence : Relation réexive Relation symétrique A M n,p (K), A l A (A, B) M n,p (K) 2, (A l B = B l A) Relation transitive (A, B, C) M n,p (K) 3, (A l B et B l C = A l C) 2 Matrices échelonnées par ligne Propriété 33 - Matrices échelonnées par ligne Soit A M n,p (K). On dit que A est échelonnée par lignes lorsque : 1. Si une ligne non nulle de A commence par k zéros successifs, avec 0 k < n, alors la ligne suivante commence par une suite de k + 1 zéros. 2. Si une ligne de A est nulle, alors toutes les lignes suivantes sont nulles. Remarque Une matrice échelonnée par lignes de M n(k) est toujours triangulaire supérieure, mais la réciproque n'est pas vraie. Une matrice échelonnée par lignes de M n(k) est une matrice triangulaire supérieure telle que la série de zéros au début de chaque ligne est de longueur strictement croissante lorsqu'on descend d'une ligne à l'autre. Exercice 6 Dites si les matrices suivantes sont échelonnées par ligne : 1. A = 2. A = Dénition A = 4. A = Rang et pivot d'une matrice échelonnée par ligne Soit A une matrice échelonnée par lignes de M n,p (K). 1. On appelle rang de A et on note rg(a) le nombre de lignes non nulles de A. 2. On appelle pivot de A le premier coecient non nul d'une ligne non nulle de A. 15

16 Propriété 34 Soit A une matrice échelonnée par lignes de M n (K). 1. rg(a) [0; min(n, p)] 2. Pour A M n,p (K), A est nulle si et seulement si A est de rang nul. 3. Pour A M n (K), A est inversible si et seulement si A est de rang n,_ c'est-à-dire si et seulement si toutes ses lignes sont non nulles, c'est-à-dire si et seulement si A est une matrice triangulaire supérieure à éléments diagonaux tous non nuls. 3 Matrices échelonnées réduites par ligne Propriété 35 - Matrices échelonnées réduites par ligne Soit A M n,p (K). On dit que A est échelonnée réduite par lignes lorsque : 1. A est échelonnée par lignes. 2. Tout pivot de A est égal à Chaque pivot de A est le seul coecient non nul de sa colonne. Exercice 7 Dites si les matrices suivantes sont échelonnées réduites par ligne : 1. A = A = 3. A = A = 5. A = Propriété 36 La seule matrice échelonnée par ligne de M n (K) inversible, c'est-à-dire de rang n, est la matrice I n. 4 Décomposition de Gauss-Jordan Propriété 37 - Phase d'échelonnage de Gauss-Jordan Dans M n,p (K), toute matrice est équivalente par ligne à une matrice échelonnée par lignes : A M n,p (K), E GE n,p (K), EA échelonnée par lignes Propriété 38 - Phase d'élimination de Gauss-Jordan Dans M n,p (K), toute matrice échelonnée par ligne est équivalente par ligne à une matrice échelonnée réduite par lignes de même rang. Propriété 39 - Théorème de Gauss-Jordan Soit A M n,p (K). Il existe une unique matrice R échelonnée réduite par lignes équivalente à A. La matrice R est appelée forme échelonnée réduite par lignes, ou forme réduite de Jordan, de A Propriété 40 - Rang d'une matrice Soit A M n,p (K). On appelle rang de A, et on note rg(a), le rang de sa forme échelonnée réduite par ligne. Remarque Le rang d'une matrice est aussi le rang de toute matrice échelonnée par lignes équivalente à A. Exercice 8 Déterminer le rang de chacune des matrices suivantes : 1. La matrice J n de M n(k) dont tous les coecients sont égaux à Une matrice de M n(k) triangulaire supérieure à éléments diagonaux non nuls. 3. Une matrice de M n(k) triangulaire supérieure avec exactement p éléments diagonaux non nuls.. 16

17 5 Applications Résultat 3 Deux matrices sont équivalentes par lignes si et seulement si elles ont la même forme échelonnée réduite par lignes. Deux matrices équivalentes par lignes ont le même rang, mais la réciproque n'est pas vraie (il existe des matrices échelonnées par ligne distinctes de même rang). Propriété 41 La seule matrice de rang 0 de M n,p (K) est la matrice nulle. Propriété 42 Soit A M n (K). Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. A GL n (K) 2. A est de rang n. 3. A a pour forme échelonnée réduite par lignes I n. Propriété 43 GL n (K) = GE n (K) Propriété 44 Une matrice triangulaire supérieure (ou triangulaire inférieure) est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls. Résultat 4 Les matrices de rang 1 sont exactement les matrices non nulles dont toutes les lignes sont colinéaires deux à deux, c'est-à-dire dont toutes les lignes non nulles sont proportionnelles à la première ligne non nulle. Résultat 5 Une matrice qui a deux lignes colinéaires ou deux colonnes colinéaires n'est pas inversible. Une matrice n'est pas inversible si et seulement si il existe une combinaison linéaire non triviale de ses lignes qui est nulle. Remarque Le rang d'une matrice est le nombre de lignes "utiles" de la matrice (du point de vue de la résolution des systèmes linéaires associés). Supposons que rg(a) = r. Il existe r lignes dans la matrice A dont aucune n'est combinaison linéaire des autres. Si on prend r lignes de A dont aucune n'est combinaison linéaire des autres, alors les n r autres lignes sont combinaisons linéaires de ces r lignes. Si on prend strictement plus de r lignes dans la matrice A, alors au moins l'une d'entre elle est combinaison linéaire des autres. r est le nombre maximum de lignes que l'on peut prendre dans la matrice A sans qu'aucune d'entre elles soit combinaison linéaire des autres.. Propriété 45 A est inversible si et seulement si le système homogène AX = 0 sur M n,1 (K) admet pour unique solution 0 : A GL n (K) ( X M n,1 (K), AX = 0 X = 0) 17

18 Propriété 46 Un inverse à gauche est un inverse : Un inverse à droite est un inverse : (A, B) M n (K) 2, AB = I n = AB = BA = I n (A, B) M n (K) 2, BA = I n = AB = BA = I n 6 Décomposition par colonnes Dénition 21 - Matrices échelonnées par colonnes Soit A M n,p (K). 1. On dit que A est échelonnée par colonnes lorsque A T est échelonnée par lignes. 2. On dit que A est échelonnée réduite par colonnes lorsque A T est échelonnée réduite par colonnes. Propriété 47 - Algorithme de Gauss-Jordan Dans M n,p (K) : 1. Toute matrice est équivalente par colonne à une matrice échelonnée par colonnes : A M n,p (K), E GE n,p (K), EA échelonnée par lignes 2. Toute matrice échelonnée par colonne est équivalente par colonne à une matrice échelonnée réduite par colonnes de même rang. Propriété 48 - Théorème de Gauss-Jordan Soit A M n,p (K). Il existe une unique matrice R échelonnée réduite par colonnes équivalente à A. La matrice R est appelée forme échelonnée réduite par colonnes de A 18

19 VII Systèmes linéaires 1 Dénition, Vocabulaire et Exemples Dénition 22 (a i,j ) (i,j) [1;n ] [1;p ] sont des éléments de K. Le système a 1,1 x a 1,p x p = b 1 (S) :... a n,1 x a n,p x p = b n est un système de n équations à p inconnues x 1,..., x p. Une solution du système est un élément (x 1,..., x p ) de K p A = (a i,j ) (i,j) [1;n ] [1;p ] M n,p (K) est appelée matrice du système (S). B = b 1... M n,1 (K) est appelée matrice du second membre du système (S). b n M = (A B) M n,p+1 (K) est appelée matrice augmentée du système (S) : On appelle rang du système (S) le rang de la matrice A. On appelle système homogène (S 0 ) associé au système (S) le système de matrice A et de second membre nul : a 1,1 x a 1,p x p = 0... a n,1 x a n,p x p = 0 1. On dit qu'un système est compatible lorsqu'il admet au moins une solution. x 1 Pour X =... M n,1 (K) : x n (S) AX = B (la forme matricielle du système est une équation matricielle d'inconnue X M n,1 (K)) Dans la suite, on considère deux systèmes linéaires (S) et (S ) de matrices augmentées (A B) et (A B ). Exemples 1. Les solutions du système (S) : { ax + by = A cx + d = B d'inconnues x et y dans R sont les points d'intersection dans le plan des droites du plan d'équations ax + by = A et cx + dy = B. 2. Les solutions du système (S) : { ax + by + cz = A cx + dy + ez = B d'inconnues x, y et z dans R sont les points d'intersection dans l'espace (à trois dimensions) des plans d'équations ax + by + cz = A et cx + dy + ez = B. 19

20 2 Structure algébrique de l'ensemble des solutions d'un système linéaire Propriété L'ensemble des solutions S 0 du système linéaire homogène (S 0 ) associé à (S) est un sous-espace vectoriel de K p, c'est-à-dire que : (a) S 0 contient 0. (b) S 0 est stable par somme et par multiplication par un réel : La somme de deux solutions du système, la multiplication d'une solution du système par un réel, sont des solutions du système. 2. La solution générale du système linéaire (S) est la somme d'une solution particulière du système (S) et de la solution générale du système linéaire homogène associé (S 0 ) : Pour X 1 S : S = {X + X 1, X S 0 } 3 Systèmes équivalents, opérations élémentaires sur un système Propriété Réaliser une opération élémentaire sur le système (S) L i L j ; L i L i + λl j ; L i λl i, λ 0 2. revient à eectuer az même opération élémentaire sur la matrice augmentée. ((S) (S )) ((A B) l (A B )) Deux systèmes sont équivalents si et seulement si leurs matrices augmentées sont équivalentes par lignes. Dénition 23 On dit qu'un système est échelonné [échelonné réduit] lorsque sa matrice est échelonnée par lignes [échelonnée réduite par lignes]. Propriété Tout système linéaire est équivalent à un système linéaire échelonné. 2. Tout système linéaire est équivalent à un unique système linéaire échelonné réduit. 20

21 4 Résolution d'un système linéaire Propriété 52 On suppose que n = p. Les propriétés suivantes sont équivalentes : Propriété A GL n (K) 2. Le système (S) est de rang n 3. Le système (S) a une unique solution : X M n (K), AX = B X = A 1 B Dans ce cas, on dit que le système est un système de Cramer. On note r le rang du système (S) et R la forme échelonnée réduite par lignes de A. On suppose r < n. E GE n (K), EA = R X M p (K), AX = B RX = EB RX = EB est la forme matricielle du système échelonné réduit équivalent à (S) 1. Les n r équations nulles du système linéaire échelonné réduit RX = EB sont appelées équations de compatibilité du système (S). Si le second membre du système formé par les équations de compatibilité est nul, alors le système (S) est compatible. Si le second membre du système formé par les équations de compatibilité est non nul (au moins un coecient non nul), alors le système (S) est incompatible. 2. On appelle inconnue principale du système (S) toute inconnue se situant sur un pivot de R, et inconnue secondaire du système (S) toute inconnue qui n'est pas principale. Chacune des r inconnues principales peut s'exprimer en fonction des n r inconnues secondaires. L'ensemble des solutions du système homogène s'écrit comme l'ensemble des combinaisons linéaires de n r solutions particulières du système homogène. Propriété 54 On note r le rang du système (S). On suppose r < n. Le système homogène associé a une innité de solution. Le système (S) n' a aucune solution ou une innité de solution. 21

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