UE EEA (ELEAR5EM) Fondamentaux de l'électrotechnique 8h cours et 6h de TD. Circuits électriques en régime sinusoïdal, circuits magnétiques

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1 UE EEA (ELEAR5EM) Fondamentaux de l'électrotechnique 8h cours et 6h de TD Circuits électriques en régime sinusoïdal, circuits magnétiques Coef matière = 0,34 Capitre 1 Lois fondamentales de l électricité 1

2 Chapitre 1 1ère partie Circuits électriques en régime permanent sinusoïdal Etude d un circuit électrique A t=0 on ferme K. Déterminer l expression de i(t) sachant que i(0)=0 et v(0)=0. Equation différentielle du 1 er ordre à coefficients constants. 4 2

3 Etude d un circuit électrique (2) Solution équation homogène : 0 Solution particulière de l éq. avec 2 nd membre : 2 nd membre e cos ω solution particulière de la forme Acosω + Bsinω En remplaçant i(t) par Acosω +Bsinω dans l éq. avec 2 nd membre on trouve : L équation générale de l équation avec 2 nd membre est donc: 5 Etude d un circuit électrique (3) Si on considère que i(0) = 0 alors : cos sin 1 Ou aussi : cos 1 Régime transitoire Régime permament 6 3

4 Etude d un circuit électrique (4) Pour étudier une installation électrique contenant une source sinusoïdale, on se place généralement en régime permanent Toutes les grandeurs électriques sont sinusoïdales à la fréquence de la source. Les inconnues = amplitude et phase des différentes grandeurs Diagramme de Fresnel ou amplitudes complexes ou Théorème de Boucherot 7 Circuits électriques en régime permanent sinusoïdal : Fresnel Auguste Fresnel (Physicien français ) a proposé de représenter toute grandeur sinusoïdale x(t) = cos ω par ω cosω Origine des phases Pour simplifier, on représente généralement les grandeurs à t=0 8 4

5 Circuits élec. en régime permanent sinus : Fresnel (2) La représentation de Fresnel transforme l addition de grandeurs sinusoïdales en une addition de vecteurs (+ facile). Ex : Pb : déterminer l amplitude et la phase du courant i(t) délivrée par la source. / 9 Circuits élec. en régime permanent sinus : Fresnel (3) Diagramme de Fresnel Résolution : Rque : Le choix comme axe d origine des phases simplifie la construction graphique (pas adaptée ici) ou analytique en projetant tous les vecteurs sur les axes vertical et horizontal 2 équations à 2 inconnues I et 10 5

6 Circuits élec. en régime permanent sinus : Amplitudes complexes On considère que le vecteur de Fresnel qui représente x(t) = cos ω est l image d un nombre complexe X appelé Amplitude Complexe de x(t). cos ω X X= X M arg(x) = m sin X cos sin ou X cos e 11 Circuits élec. en régime permanent sinus : Amplitudes complexes (2) Amplitude Complexe de Démo : cos ω X jω jωx? sin ω sin ω cos ω 2 ω ω jω 12 6

7 Circuits élec. en régime permanent sinus : Amplitudes complexes (2) Amplitude Complexe de cos ω X j j X 13 Circuits élec. en rég. perm. sinus : Impédances complexes d un dipôle Convention récepteur i(t) Z v(t) On choisit la tension comme origine des phases : cos cos ou

8 Circuits élec. en rég. perm. sinus : Impédances complexes (2) Avec les conventions choisies pour : > 0 courant en retard (AR) sur la tension cos AR < 0 courant en avance (AV) sur la tension cos AV 0 Impédance complexe du dipôle : Donc : arg arg arg arg 0 Forme algébrique : cos sin R = résistance X = réactance 15 Circuits élec. en rég. perm. sinus : Impédances complexes (3) Rque 1 : l impédance complexe d un dipôle n a de sens qu en régime permanent sinusoïdal. Rque 2 : les règles d association des impédances complexes sont les mêmes que celles applicables aux résistances. Dipôles élémentaires : Résistance : 0 Inductance : Capacité : 16 8

9 Circuits élec. en rég. perm. sinus : Exercices 1) 2) Déterminer l'impédance de cette inductance à f=1khz 3) 4) Déterminer l'impédance de ce condensateur à f=1khz a) Déterminer les formes algébrique et polaire a) Déterminer les formes algébrique et polaire et le module de l'impédance complexe entre A et le module de l'impédance complexe entre C et B à 1 khz et D à 1 khz b) En déduire à f = 1kHz, le déphasage entre le courant et la tension de ce dipôle 4) b) En déduire à f = 1kHz, le déphasage entre le courant et la tension de ce dipôle a) Déterminer les formes algébrique et polaire b) En déduire à f = 1kHz, le déphasage entre le et le module de l'impédance complexe entre A courant et la tension de ce dipôle et B à 1 khz 17 Circuits élec. en rég. perm. sinus : Exercices 5)Entourerlaoulesbonnesréponses: Onconsidèrelenœuddecourantdelafigureci dessous, avec I 1 =[1;0 ] et I 2 =[2; /2]. a) La loi des nœuds permet d'écrire i 1 (t) + i 2 (t) = i(t). b) La loi des nœuds permet d'écrire I 1 +I 2 =I. c) La loi des nœuds permet d'écrire I 1 +I 2 =I. d) I 2 = 2j. e) 3 f) Arg(I) = 45. 6) On considère un circuit RC série alimenté par une tension e(t) =E M cos(ωt) avec E M =1Vet ω =314rad/s;R=1kWetC=1μF. a) Quelle est l intensité complexe i(t) circulant dans le dipole? b) Quelles sont les tensions complexes u c (t) et u r (t) aux bornes de C et R? Faire le diagramme de Fresnel des tensions. c) Quelle est l intensité réelle i(t) dans le circuit? Représenter i(t) et e(t) sur le même graphique. d) Quel dipôle faudrait il mettre en série pour que i(t) et e(t) soient en phase? 18 9

10 Chapitre 1 2 ème partie Caractéristiques des signaux périodiques : Valeurs moyenne et efficace, développement en série de Fourier 19 Caractéristiques des signaux périodiques : valeur moyenne a) Valeur moyenne Propriétés x(t) = signal périodique (*) de période T sa valeur moyenne, notée <x(t)>, est = P1 : La valeur moyenne d un signal alternatif (**) = 0 P2 : <x 1 (t)+x 2 (t)> = <x 1 (t)> + <x 2 (t)> (*) x(t+t) = x(t) (**) x(t+t/2) = x(t) 20 10

11 Caractéristiques des signaux périodiques : valeur efficace b) Valeur efficace Propriétés x(t) = signal périodique de période T sa valeur efficace, notée X, vérifie!! P1 : La valeur efficace d un signal alternatif vérifie / P2 : De façon générale, la valeur efficace de (x 1 (t)+x 2 (t)) X 1 + X 2 P3 : Si x(t) est un signal sinusoïdal alors. Demo Sauf indication contraire, on utilise la valeur efficace pour définir un signal sinusoïdal.!! Ex : réseau EDF BT V = 230 V ( amplitude 325 V) 21 Caractéristiques des signaux périodiques : valeur efficace / / / 12 / Donc Retour 22 11

12 Caractéristiques des signaux périodiques : mesurage a) Valeur moyenne Analogique magnétoélectrique : Numérique position DC b) Valeur efficace Analogique Magnétoélectrique à redresseur (*) : ou Ferromagnétique : Numérique RMS (*) position AC Numérique True RMS position AC (*) Valable uniquement pour des signaux sinusoïdaux 23 Caractéristiques des signaux périodiques : mesurage Caractéristiques d un appareil analogique Précision de l appareil = Classe*Calibre /100 Précision de la mesure = Précision de l appareil + Erreur de lecture + Erreur de méthode ½ graduation 24 12

13 Caractéristiques des signaux périodiques : dev pt en série de Fourier (*) x(t) signal périodique de période T cos sin Développement des Mathématiciens OU 2cos X n = valeur efficace de l harmonique de rang n Développement des Physiciens Relation de PARSEVAL (Marc Antoine Parseval des Chênes, , mathématicien français ) (*) Jean Baptiste Joseph Fourier, , mathématicien et physicien français 25 Chapitre 1 3 ème partie Puissances dans un dipôle 26 13

14 Puissances dans un dipôle Les puissances permettent De quantifier les échanges entre composants électriques & De dimensionner des constituants d un système électrique En DC : P = V * I En AC : déphasage en v et i puissances réactive et apparente, facteur de puissance. Pour tout ce qui suit : i(t) Z v(t) Convention récepteur 27 Puissances dans un dipôle : Puissances instantanée et active Puissance instantanée p(t) = i(t). v(t) Unité = Watt (W) Peu d intérêt car fluctue en permanence Puissance active. Unité = Watt (W) Bilan de l énergie absorbée ou fournie sur une période Avec la convention choisie P > 0 le dipôle consomme de l énergie c est un récepteur (une charge) P < 0 le dipôle fournit de l énergie c est un générateur (une source) 28 14

15 Puissances dans un dipôle : Puissance active (2) Expression de P pour quelques cas particuliers Régime sinusoïdal : 2sin 2sin 2sin. 2sin 2 =? cos cos 2 cos.2 2 sin sin cos2 Nulle car intégrale sur 2 périodes? Donc Rappel : sin. sin 29 Puissances dans un dipôle : Puissance active (3) Tension périodique et courant continu Ex : Machine à courant continu alimentée par un hacheur Si L est grande alors i(t) = I 0 2sin. 2sin 2sin Nulles car intégrale sur n périodes Donc 30 15

16 Puissances dans un dipôle (5) Tension sinusoïdale et courant périodique Ex : En entrée d un redresseur alimentant une charge très inductive Si L est grande alors i(t) = I 0 alors I 0 I 0 2sin 2sin 2sin. 2sin 31 Puissances dans un dipôle : Puissance active (4) 2sin. 2sin 2. 2sin 2. 2sin Donc 1 1 Rque : En extrapolant ce calcul on peut conclure que dans le cas général (tension et courant périodiques) la puissance s écrit : P avec, Rappel : sin.sin

17 Puissances dans un dipôle : Puissance apparente et facteur de puissance Puissance apparente Unité = Volt ampère (VA) Rque : S est une grandeur de dimensionnement. Facteur de puissance Rque 1 : 1 Rque 2 : En régime sinusoïdal Sans unité 33 Puissances dans un dipôle : Puissance réactive Régime sinusoïdal uniquement v(t) et i(t) sont des grandeurs sinusoïdales On peut écrire avec = composante active du courant On peut aussi définir la composante réactive de i et lui associer une «puissance»: = puissance réactive Unité = Volt ampère réactif (VAR) 34 17

18 Puissances dans un dipôle : Puissance réactive (2) Rque 1 : Q ne représente pas une consommation ou production d énergie électrique, mais un échange d énergie entre inductances et capacités du circuit. Rque 2 : Pour les conventions choisies (récepteur, orientation et sens positif de ) Un circuit inductif consomme une puissance réactive (Q >0) Un circuit capacitif fournit une puissance réactive (Q < 0) Rque 3 : En régime sinusoïdal on peut écrire donc 35 Puissances dans un dipôle : Puissance déformante 2sin 2sin De la définition de S on tire : =? d après. la relation. de Parseval..... Puissance déformante 2 = D 2 Unité D = volt ampère (déformant) = VA ou VAD 36 18

19 Puissances dans un dipôle : Théorème de Boucherot (*) «Les puissances actives et réactives d un groupement de dipôles s ajoutent algébriquement» Ce théorème peut être utilisé pour effectuer des calculs sur les installations électriques en régime sinusoïdal (à la place du diagramme de Fresnel ou des impédances complexes). Ex : I= Ie j? I 1 I 2 I n P 1 P 2 P n Q 1 Q 2 Q n I I = II II 2 NON 2 + II II n n. De plus (*) Paul Boucherot, , Ingénieur français. 37 Circuits électriques : Exercices (3) On considère une installation électrique, constituée de 3 éléments (charges) indépendants associés en parallèle, connectée au réseau EDF monophasé (230V 50Hz). Les consommations de chaque charge, alimentée en 230V, sont : Charge 1 : Ich1 = 5 A et cos = 0,8 AR; Charge 2 : Pch2 = 920 W et Ich2 = 4 A; Charge 3 : Ich3 = 2 A et cos = 0,6 AV. 1) Donner la nature (R, L, C, inductive, capacitive, ) de chaque charge. 2) Donner l allure du diagramme de Fresnel qui permettrait de calculer la valeur efficace du courant absorbé par l ensemble de l installation. 3) Calculer la valeur efficace et le cos du courant absorbé par la totalité de l installation (Utiliser de préférence le théorème de Boucherot). 4) Quelle capacité faut il mettre en parallèle des 3 charges pour que le cos de l installation remonte à 0,98 AR? 5) Quelle capacité faut il mettre en parallèle des 3 charges pour que courant absorbé par l installation soit en phase avec la tension? 38 19

20 Circuits électriques : Corrigé (1) On considère une installation électrique, constituée de 3 éléments (charges) indépendants associés en parallèle, connectée au réseau EDF monophasé (230V 50Hz). Les consommations de chaque charge, alimentée en 230V, sont : Charge 1 : Ich1 = 5 A et cos = 0,8 AR; Charge 2 : Pch2 = 920 W et Ich2 = 4 A; Charge 3 : Ich3 = 2 A et cos = 0,6 AV. 1) Donner la nature (R, L, C, inductive, capacitive, ) de chaque charge. Charge 1 = charge inductive car cos AR Charge 2 = R car P = VI Charge 3 = charge capacitive car cos AV Q <0!!!! 2) Donner l allure du diagramme de Fresnel qui permettrait de calculer la valeur efficace du courant absorbé par l ensemble de l installation. 39 Circuits électriques : Corrigé (2) 3) Calculer la valeur efficace et le cos du courant absorbé par la totalité de l installation (Utiliser de préférence le théorème de Boucherot). P1=V*I1*cosphi1 = 1840 W Q1=V*I1*sqrt(1 cosphi1**2)= 1380VAR P2=920 W Q2=0 P3=V*I3*cosphi3 = 276 W Q3= V*I3*sqrt(1 cosphi3**2)= 368VAR Pt = 3036 W Qt=1012 VAR St = 3200 VA It = St/V = 13.9 A et cosphit=pt/st=

21 Circuits électriques : Corrigé (3) 4) Quelle capacité faut il mettre en parallèle des 3 charges pour que le cos de l installation remonte à0,98ar? L ajout d une capacité ne change pas Pt, donc pour avoir un cos de 0.98AR il faut que Qt =Pt*tg(arcos(0.98))= VAR Qt = Qt+Qc Qc = Qt Qt = = VAR = V 2 /C/ω C= Qc/V 2 / ω=0.024 uf 41 Circuits électriques : Corrigé (4) 5) Quelle capacité faut il mettre en parallèle des 3 charges pour que courant absorbé par l installation soit en phase avec la tension? Qt =0 Qc = Qt C=0.061 uf 42 21

22 Circuits électriques : Exercices (4) Soit une charge non linéaire alimentée par une source de tension sinusoïdale de fréquence 50Hz et de valeur efficace 220V qui absorbe un courant alternatif dont la décomposition en série de Fourier est : i( t) 5 2 sin(100t / 6) 1,5 2 sin(200t /8) 0,1 2 sin(300t / 3)... Calculer la puissance déformante absorbée par cette charge (on négligera l amplitude des harmoniques de courant au delà de l harmonique 3)

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