Les puissances à exposants négatifs

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1 CHAPITRE Les puissces à exposts égtifs. Itroductio : les puissces de Nous coissos bie l ottio où est u etier positif : E géérl : ( ) N... fcteurs Rerquos qu'il y ue reltio évidete etre deux puissces successives de. Pr exeple : ou ecore : 5 ou ecore : 6 5 ou ecore : etc. 6 5 E géérl : ( N ) Ou ecore : Nous llos essyer de doer u ses à : c'est ue puissce vec l'expost égtif. Pour cel, ous fisos l'hypothèse que l forule (.) reste vlble pour tout etier reltif. Nous obteos de cette fço le tbleu suivt : Il est doc turel de poser : E d'utres teres : : : : : : : 8 est l'iverse de.

2 Et e géérl :. Défiitio et exeples Défiitio. Soit R et N. est l'iverse de ( N) est l'iverse de. Doc : Rerque. Ds l défiitio o doit choisir 0 puisqu'e géérl 'existe ps! 0 0 Corollire de l défiitio. Coe l'iverse de. E d'utres teres : est l'iverse de, o peut dire égleet que Déostrtio. Exeples. Puissces de Puissces de ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 7 ( ) est Rerquos que les puissces pires de sot positives tdis que les puissces ipires de sot égtives. Ceci est géérl : Sige d'ue puissce. Soit ) Si > 0 lors > 0. ( ) R et Z. b) (i) Si < 0 et est pir lors > 0. (ii) Si < 0 et est ipir lors <

3 . Propriétés Pour coecer, rppelos les propriétés des puissces à exposts positifs: (, b R )(, N) Puissce d'u produit : ( ) b b Puissce d'u quotiet : Produit de puissces de êe bse : Quotiet de puissces de êe bse : b + si si Puissce d'ue puissce : ( ) Nous llos prouver que ces forules restet vlbles pour des exposts égtifs. Puissce d'u produit (, R )( Z) ( ) b b b Déostrtio. L forule est déj vlble si N (voir cours de 6 e ). Il reste doc à déotrer l forule si Z, c.-à-d. si vec N. Ds ce cs : ( b) ( b) ( b) b b b 8 b Exeple. ( ) Puissce d'u quotiet pr défiitio forule pour exposts positifs produit de deux frctios (voir chp. ) pr défiitio b (, b R )( Z) Déostrtio. L forule est déj vlble si N. Il reste doc à déotrer l forule si Z, c.-à-d. si vec N. Ds ce cs :

4 vec : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b pr défiitio ( ) forule pour exposts positifs ( ) forule sur les frctios x x 7 Exeple.. x x L'exeple suggère d'itroduire ue utre forule itéresste : Déostrtio. (, b R )( Z) b b b b b b Exeple. x x. Produit de puissces de êe bse ( R )(, Z) + Déostrtio. L forule est déj vlble si N et N. Il reste doc à déotrer l forule si Z ou si Z. Nous llos ous restreidre u cs ou N et Z, c.-à-d. ' vec ' N. Alors : ' + si ' ' ' d'près (.) ( ' ) ' + si ' ' ( 8) Exeple.. 8 Quotiet de puissces de êe bse Déostrtio. Exeple. ( R )(, Z) ( 5) ( ) pr défiitio d'près (.6)

5 Puissce d'ue puissce ( R )(, Z) ( ) Déostrtio. L forule est déj vlble si N et N. Il reste doc à déotrer l forule si Z ou si Z. Nous llos ous restreidre u cs ou N et Z, c.-à-d. ' vec ' N. Alors : ( ' ' ) ( ) ' ' ( ) Le lecteur est ivité à déotrer l forule ds les utres cs. Exeple. ( ) Nottio scietifique Ds les scieces, o recotre souvet de très grds obres ou ecore des obres très proches de 0. Pr exeple, l sse d'u électro est à peu près égle à e 0, kg Quel trvil que d'écrire ce obre! De plus, so développeet décil 'est ps très lisible : il est e effet difficile de copter le obre de zéros vt de recotrer le preier chiffre sigifictif c.-à-d. 9. Afi de bie copredre l ottio scietifique de ce obre, ous llos d'bord étudier les puissces de 0. Exposts positifs O rerque que si 0, lors le développeet décil du obre 0 est égl à suivi de zéros. Exposts égtifs , 0,0 0,00 0,000 0, , O rerque que si < 0, lors le développeet décil du obre 0 est égl à 0 suivi de l virgule, puis de zéros e efi du. Reteos doc qu'il y u totl zéros ds le développeet décil de 0. Après voir copté zéros ds le développeet décil de l sse e, o copred iséet que : e 9, 0 kg C'est l ottio scietifique de ce obre. L'vtge de cette écriture est double : d'ue prt elle est très codesée et d'utre prt elle peret u lecteur de coprer très rpideet l'ordre de grdeur de plusieurs obres écrits e ottio scietifique. Pr exeple l sse du proto est 7 p, kg L ottio scietifique des deux obres red clir que 5 p > et êe que > 000. e p e

6 Défiitio. Tout obre réel o ul x peut s'écrire sous l fore R+ et < 0 Z Cette écriture est ppelée ottio scietifique de x. x ± 0 tel que : Le fit iportt ds cette défiitio est que < 0, c.-à-d. ds le développeet décil de, il y excteet u chiffre devt l virgule. Autres exeples. L vitesse de l luière ds le vide est à peu près égle à c k/s /s k/s 8 0 /s Le obre d'toes coteues ds ue ole d'u éléet est égl à ole 6,005 0 prticules (obre d'avogdro) L costte de grvittio uiverselle vut eviro ( ) γ 6,67 0 / kg s Nous llos fileet ous itéresser u problèe de l trsfortio d'u obre e ottio scietifique. Exeples et règles., 56, 56 0, 56, 56 0,56, , 6, 56 0 Si l'o déplce l virgule de uités vers l guche, il fut ultiplier pr 0. 0,56, , 056, , 0056, , 00056, 56 0 Si l'o déplce l virgule de uités vers l droite, il fut ultiplier pr 0. Cette costte pprît ds l loi de grvittio de Newto F γ, qui doe l force d'ttrctio F etre deux r corps poctuels de sses et situés à ue distce r l'u de l'utre. 6

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