le triangle de Pascal - le binôme de Newton

Save this PDF as:
Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "le triangle de Pascal - le binôme de Newton"

Transcription

1 1 / 51 le triangle de Pascal - le binôme de Newton une introduction J-P SPRIET 2015

2 2 / 51 Plan Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et une application au binôme de Newton. 1 2

3 3 / 51 Plan 1 2

4 4 / 51 On va définir une suite double d entiers que l on peut ranger dans un tableau

5 4 / 51 On va définir une suite double d entiers que l on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin :

6 4 / 51 On va définir une suite double d entiers que l on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : k n u 0,0 u 1,0 u 1, u. 4,2... u 5,0 u 5,5

7 On va définir une suite double d entiers que l on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : k n u 0,0 u 1,0 u 1, u. 4,2... u 5,0 u 5,5 u n,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne n 4 / 51

8 On va définir une suite double d entiers que l on peut ranger dans un tableau dont les lignes et les colonnes sont numérotées à partir de 0 comme sur ce dessin : k n u 0,0 u 1,0 u 1, u. 4,2... u 5,0 u 5,5 u n,k est le terme situé dans la case du tableau situé à la ligne n 4 / 51

9 5 / 51 La suite u des termes u n,k est construite de la façon suivante :

10 5 / 51 La suite u des termes u n,k est construite de la façon suivante : u n,0 = 1 pour tout n 0 : k n u 1, u 4, u 5,5

11 La suite u des termes u n,k est construite de la façon suivante : u n,0 = 1 pour tout n 0 : k n u 1, u 4, u 5,5 Autrement dit, la première colonne correspondant à k = 0 n est composée que de 1. 5 / 51

12 6 / 51 Puis on poursuit la construction des termes u n,k de la façon suivante :

13 6 / 51 Puis on poursuit la construction des termes u n,k de la façon suivante : u n,n = 1 pour tout n 0 : k n u 4,

14 Puis on poursuit la construction des termes u n,k de la façon suivante : u n,n = 1 pour tout n 0 : k n u 4, Autrement dit, la première diagonale n est composée que de 1. 6 / 51

15 7 / 51 Puis on poursuit la construction des termes situés à l intérieur du triangle :

16 7 / 51 Puis on poursuit la construction des termes situés à l intérieur du triangle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n n 0 k u 3,1 u 3,2.... u 4,

17 Puis on poursuit la construction des termes situés à l intérieur du triangle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n n 0 k u 3,1 u 3,2.... u 4, Autrement dit, la somme des deux termes des cases bleues 7 / 51

18 8 / 51 Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne après ligne le tableau :

19 8 / 51 Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne après ligne le tableau : les deux premières règles : u n,0 = 1 pour tout n 0 u n,n = 1 pour tout n 0

20 Les trois règles précédentes permettent de remplir ligne après ligne le tableau : les deux premières règles : u n,0 = 1 pour tout n 0 u n,n = 1 pour tout n 0 k n / 51

21 9 / 51 Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne le tableau :

22 9 / 51 Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne le tableau : la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n

23 9 / 51 Les trois règles permettent de remplir ligne après ligne le tableau : la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n k n

24 10 / 51 la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n permet de remplir la ligne correspondant à n = 3 : k n

25 11 / 51 la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n permet de remplir la ligne correspondant à n = 3 : k n

26 12 / 51 la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n permet de remplir la ligne correspondant à n = 4 : k n

27 13 / 51 la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n permet de remplir la ligne correspondant à n = 4 : k n

28 14 / 51 la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n permet de remplir la ligne correspondant à n = 5 : k n

29 la troisième règle : u n,k + u n,k+1 = u n+1,k+1 pour tout n et k tels que 0 k < n permet de remplir la ligne correspondant à n = 5 : k n et ainsi de suite / 51

30 16 / 51 Quelles semble avoir ce triangle? k n

31 Quelles semble avoir ce triangle? k n il n est composé que d entiers naturels : (k, n) N on a u n,k N. 16 / 51

32 17 / 51 Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche. k n

33 Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche. k n Comment écrire cette relation? 17 / 51

34 Chaque ligne est un palindrome : elle se lit aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche. k n Pour tout n 0 on a : pour tout k tel que 0 k n, u n,k = u n,n k. 18 / 51

35 Il y a bien d autres : la somme des termes formant la ligne n est égale à 2 n : k n n u n,k = 2 n k= / 51

36 20 / 51 On voudrait maintenant trouver l expression générale de ces termes ( n k) sans avoir besoin de les construire ligne après ligne.

37 20 / 51 On voudrait maintenant trouver l expression générale de ces termes ( n k) sans avoir besoin de les construire ligne après ligne. pour cela on va faire une digression sur les factorielles...

38 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre n! = 1 2 n

39 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" n! = 1 2 n

40 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = n! = 1 2 n

41 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 n! = 1 2 n

42 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 par exemple : 3! = n! = 1 2 n

43 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 par exemple : 3! = 6 n! = 1 2 n

44 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 par exemple : 3! = 6 par exemple : 4! = n! = 1 2 n

45 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 par exemple : 3! = 6 par exemple : 4! = 24 n! = 1 2 n

46 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 par exemple : 3! = 6 par exemple : 4! = 24 on remarque que 4! = 4 3! n! = 1 2 n

47 21 / 51 Rappel : pour n 1, on note n! le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 et n : On lit ce nombre "factorielle n" par exemple : 1! = 1 par exemple : 3! = 6 par exemple : 4! = 24 n! = 1 2 n on remarque que 4! = 4 3! et de façon générale n! = n (n 1)! pour tout n 2

48 22 / 51 Par nécessité on impose que 0! = 1. Ainsi, n! peut se définir par récurrence : { 0! = 1 n! = n (n 1)! pour tout n 1

49 22 / 51 Par nécessité on impose que 0! = 1. Ainsi, n! peut se définir par récurrence : { 0! = 1 n! = n (n 1)! pour tout n 1 Ainsi puisque 1! = 1 on a bien pour n = 1 la relation n! = n (n 1)!.

50 23 / 51 { 0! = 1 n! = n (n 1)! pour tout n 1

51 23 / 51 { 0! = 1 n! = n (n 1)! pour tout n 1 On définit alors les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n

52 23 / 51 { 0! = 1 n! = n (n 1)! pour tout n 1 On définit alors les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( ) 3 3! 2 = 2!(3 2)! = 3! 2! 1! = = 3

53 { 0! = 1 n! = n (n 1)! pour tout n 1 On définit alors les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( ) 3 3! 2 = 2!(3 2)! = 3! 2! 1! = = 3 par exemple ( 5 3 ) = 5! 3!(5 3)! = 5! 3! 2! = = / 51

54 ( ) n On peut alors calculer les = k pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n n! k!(n k)! k n ( ) 0 0 ( ) ( ) ( 4 0 ) ( ) ( ) / 51

55 25 / 51 ( ) n On peut alors calculer les = k pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n n! k!(n k)! n k

56 26 / 51 Il y a une forte ressemblance avec les termes de la suite (u n,k )... on va montrer que ce sont en fait deux suites qui prennent les mêmes valeurs... et on aura donc trouvé la formule générale que l on cherchait...

57 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n

58 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n 0) =

59 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n) n! 0 = 0!(n 0)! =

60 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n) n! 0 = 0!(n 0)! = n! 1 n! = 1

61 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n) n! 0 = 0!(n 0)! = n! 1 n! = 1 par exemple ( n n) =

62 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n) n! 0 = 0!(n 0)! = n! 1 n! = 1 par exemple ( ) n n! n = n!(n n)! =

63 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n) n! 0 = 0!(n 0)! = n! 1 n! = 1 par exemple ( ) n n! n = n!(n n)! = n! n! 0! =

64 27 / 51 On a défini les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n par exemple ( n) n! 0 = 0!(n 0)! = n! 1 n! = 1 par exemple ( ) n n! n = n!(n n)! = n! n! 0! = n! n! 1 = 1

65 28 / 51 On définit les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n On a montré que ( n 0) = 1 et ( n n) = 1

66 28 / 51 On définit les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n On a montré que ( n ( 0) = 1 et n n) = 1 On montre alors que l on a la relation : ( n ( k) + n ) ( k+1 = n+1 k+1) pour tout n et k tels que 0 k < n

67 28 / 51 On définit les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n On a montré que ( n ( 0) = 1 et n n) = 1 On montre alors que l on a la relation : ( n ( k) + n ) ( k+1 = n+1 k+1) pour tout n et k tels que 0 k < n démontrer cette relation!

68 28 / 51 On définit les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n On a montré que ( n ( 0) = 1 et n n) = 1 On montre alors que l on a la relation : ( n ( k) + n ) ( k+1 = n+1 k+1) pour tout n et k tels que 0 k < n démontrer cette relation! Ce qui justifie que la suite des ( n k) suit exactement le même procédé de construction que la suite (u n,k ).

69 28 / 51 On définit les termes ( n k) comme ( ) n n! = k k!(n k)! pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n On a montré que ( n ( 0) = 1 et n n) = 1 On montre alors que l on a la relation : ( n ( k) + n ) ( k+1 = n+1 k+1) pour tout n et k tels que 0 k < n démontrer cette relation! Ce qui justifie que la suite des ( n k) suit exactement le même procédé de construction que la suite (u n,k ). Et donc pour tout n 0 et k vérifiant 0 k n, on a ( ) n n! u n,k = = k k!(n k)!

70 29 / 51 Ainsi, plutôt que de noter u n,k on préfère noter les termes ( n k )

71 29 / 51 Ainsi, plutôt que de noter u n,k on préfère noter les termes ( n) k que l on "lit" : k parmi n

72 Ainsi, plutôt que de noter u n,k on préfère noter les termes ( n) k que l on "lit" : k parmi n k n u 0,0 u 1,0 u 1, u. 4,2... u 5,0 u 5,5 devient avec ces nouvelles notations : 29 / 51

73 Plutôt que de noter u n,k on préfère noter les termes ( n k n 0 1 k ( ) 0 0 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) / 51

74 On a les trois règles de construction par récurrence du triangle : ( ) n = 1 pour tout n / 51

75 31 / 51 On a les trois règles de construction par récurrence du triangle : ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la première 0 colonne

76 31 / 51 On a les trois règles de construction par récurrence du triangle : ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la première 0 colonne ( ) n = 1 pour tout n 0 n

77 31 / 51 On a les trois règles de construction par récurrence du triangle : ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la première 0 colonne ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la diagonale n

78 31 / 51 On a les trois règles de construction par récurrence du triangle : ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la première 0 colonne ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la diagonale n ( ) ( ) ( ) n n n+1 + = pour tout n et k tels que k k + 1 k k < n relation appelée formule de Pascal

79 31 / 51 On a les trois règles de construction par récurrence du triangle : ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la première 0 colonne ( ) n = 1 pour tout n 0 pour remplir la diagonale n ( ) ( ) ( ) n n n+1 + = pour tout n et k tels que k k + 1 k k < n relation appelée formule de Pascal pour remplir l intérieur

80 32 / 51 Plan démonstrations 1 2 démonstrations

81 33 / 51 démonstrations On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimant le développement de l identité remarquable (a+b) n lorsque a et b sont deux nombres réels

82 33 / 51 démonstrations On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimant le développement de l identité remarquable (a+b) n lorsque a et b sont deux nombres réels (ou plus généralement deux nombres complexes).

83 33 / 51 démonstrations On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimant le développement de l identité remarquable (a+b) n lorsque a et b sont deux nombres réels (ou plus généralement deux nombres complexes). Par exemple (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2

84 33 / 51 démonstrations On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimant le développement de l identité remarquable (a+b) n lorsque a et b sont deux nombres réels (ou plus généralement deux nombres complexes). Par exemple (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 =

85 33 / 51 démonstrations On appelle formule du Binôme de Newton la relation exprimant le développement de l identité remarquable (a+b) n lorsque a et b sont deux nombres réels (ou plus généralement deux nombres complexes). Par exemple (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3

86 34 / 51 démonstrations (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2

87 34 / 51 démonstrations (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 =

88 34 / 51 démonstrations (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3

89 34 / 51 démonstrations (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 =

90 34 / 51 démonstrations (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Quelles sont les remarquables de ces développements?

91 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 =

92 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 =

93 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : on remarque que : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

94 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : on remarque que : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Il y a une somme de termes en a k b l avec k +l =

95 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : on remarque que : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Il y a une somme de termes en a k b l avec k +l = n.

96 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : on remarque que : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Il y a une somme de termes en a k b l avec k +l = n. donc en a k b n k.

97 35 / 51 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : on remarque que : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Il y a une somme de termes en a k b l avec k +l = n. donc en a k b n k. Cette somme commence toujours par a n et se finit par b n.

98 démonstrations Dans le développement de (a+b) n : (a+b) 2 = a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 on remarque que : Il y a une somme de termes en a k b l avec k +l = n. donc en a k b n k. Cette somme commence toujours par a n et se finit par b n. Il y a un nombre entier devant chaque terme a k b n k : pour n = 2 ces entiers sont 1 / 2 / 1 pour n = 3 ces entiers sont 1 / 3 / 3 / 1 pour n = 4 ces entiers sont 1 / 4 / 6 / 4 / 1 Ces entiers ressemblent étrangement à ceux du triangle de Pascal. 35 / 51

99 démonstrations On va donc démontrer la formule dite du binôme de Newton : (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k 36 / 51

100 démonstrations On va donc démontrer la formule dite du binôme de Newton : (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k cette formule semble vraie pour n = 2, n = 3 et n = 4. On peut observer qu elle est aussi vraie avant : pour n = 1 et n = / 51

101 37 / 51 démonstrations La relation peut se démontrer : (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k - par un raisonnement prouvant une relation de récurrence - par récurrence - par un raisonnement ensembliste et de dénombrement

102 38 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence Passer de (a+b) 2 à (a+b) 3 c est d abord développer a

103 39 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence Passer de (a+b) 2 à (a+b) 3 c est d abord développer a, puis b

104 40 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence

105 40 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a 3 avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b 3.

106 40 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a 3 avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b 3. les autres termes sont de la forme a k b 3 k avec comme coefficient entier la somme de deux coefficients de la ligne précédente.

107 40 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a 3 avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b 3. les autres termes sont de la forme a k b 3 k avec comme coefficient entier la somme de deux coefficients de la ligne précédente. Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal,

108 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a 3 avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b 3. les autres termes sont de la forme a k b 3 k avec comme coefficient entier la somme de deux coefficients de la ligne précédente. Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal, et donc ils sont égaux à u 3,k = ( 3) k 40 / 51

109 41 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On peut généraliser aisément : On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a n avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b n.

110 41 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On peut généraliser aisément : On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a n avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b n. les autres termes sont de la forme a k b n k avec comme coefficient entier la somme de deux coefficients de la ligne précédente.

111 41 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On peut généraliser aisément : On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a n avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b n. les autres termes sont de la forme a k b n k avec comme coefficient entier la somme de deux coefficients de la ligne précédente. Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal,

112 démonstrations Démonstration par un raisonnement prouvant une relation de récurrence On peut généraliser aisément : On voit donc qu il n y a qu un seul terme en a n avec comme coefficient entier 1 devant. Idem pour b n. les autres termes sont de la forme a k b n k avec comme coefficient entier la somme de deux coefficients de la ligne précédente. Les coefficients suivent donc la règle du triangle de Pascal, et donc ils sont égaux à u n,k = ( n) k 41 / 51

113 42 / 51 démonstrations Démonstration par récurrence Soient a et b deux réels (ou deux complexes) fixés. Montrons par récurrence la formule du binôme de Newton : pour tout n N, (a+b) n = n k=0 ( n k Notons P n la propriété : (a+b) n = k=0 ) a k b n k n k=0 ( ) n a k b n k. k Initialisation : la propriété P n est vraie au rang n = 0 car 0 ( ) ( ) 0 0 (a+b) 0 = 1 et que a k b 0 k = a 0 b 0 = 1. k 0

114 43 / 51 démonstrations Hérédité Supposons la propriété P n vraie pour un entier n et montrons alors qu elle est vraie au rang n+1. C est à dire supposons n ( ) n que (a+b) n = a k b n k et montrons alors que k=0 n+1 ( n+1 (a+b) n+1 = k k=0 k ) a k b n+1 k On a (a+b) n+1 = (a+b)(a+b) n = (a+b) d après l hypothèse de récurrence. ( n k=0 ( ) n )a k b n k k

115 44 / 51 démonstrations Alors en développant, ( on obtient que n ( ) n S = (a+b) )a k b n k = k ( k=0 n ( ) ( n ( ) n n a )a k b n k + b )a k b n k k k k=0 k=0 k=0 par développement ( du produit n ( ) ( n ( ) n n Donc S = )a k+1 b n k + )a k b n+1 k k k k=0 développement de a dans la première somme et de b dans la seconde On pose alors, dans la première somme, le changement de variable i = k + 1, soit encore k = i 1 et on a : par

116 45 / 51 démonstrations S = ( n k=0 ( ) n )a k+1 b n k + k ( n k=0 ( ) n )a k b n+1 k k On pose alors, dans la première somme, le changement de variable i = k + 1, soit encore k = i 1 et on a : n ( ) n n+1 ( ) n a k+1 b n k = a i b n (i 1) = k i 1 k=0 i=1 n+1 ( ) n a i b n+1 i i 1 i=1

117 démonstrations Ainsi, on a donc d après le calcul précédent : n+1 ( ) ( n ( ) n n S = a i b n+1 i + )a k b n+1 k i 1 k i=1 (( k=0 n ( ) ( ) n n Puis S = )a i b n+1 i + )a n+1 b 0 + i 1 n (( i=1 n ( ) ( ) n n )a k b n+1 k + )a 0 b n+1 k 0 k=1 on( isole les termes qui ne sont pas commun n ( S = n ) k 1 a k b n+1 k + ( ) ( ) n) n k a k b n+1 k + a n+1 b 0 + ( ) k=1 n n a 0 b n+1 0 par ( regroupement des deux sommes n ( ( S = n ( k 1) + n ) ) ) k a k b n+1 k + a n+1 + b n+1 k=1 par factorisation dans la somme 46 / 51

118 47 / 51 démonstrations ( n S = k=1 ( ( n ( k 1) + n ) ) ) k a k b n+1 k + a n+1 + b n+1 ( Mais alors ) on ( reconnaît ) ( la) formule de Pascal : n n n+1 + = k 1 k ( k n ( ) n+1 de sorte que S = )a k b n+1 k + a n+1 + b n+1 k k=1

119 48 / 51 démonstrations ( n ( ) n+1 S = )a k b n+1 k + a n+1 + b n+1 k k=1 Il ne reste plus qu à voir que a n+1 = ( n+1) a n+1 b n+1 (n+1) et b n+1 = ( n+1) 0 a 0 b n+1 (0) pour voir que les termes isolés a n+1 et b n+1 peuvent être intégrés dans la somme pour les indices k = n+1 et k = 0 respectivement : n+1 ( n+1 D où S = (a+ b) n+1 = k k=0 La propriété P n est donc héréditaire. ) a k b n+1 k. Et P n+1 est vraie.

120 49 / 51 démonstrations Conclusion : la propriété P n est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n N : pour tout n N, (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k

121 50 / 51 démonstrations Démonstration par un raisonnement ensembliste et de dénombrement n fois { }} { (a+b) n = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) il s agit donc de prendre dans chacune des n parenthèses un terme a ou b et de les multiplier entre eux. On a donc une somme de 2 n termes, chacun est formé par des produits de n facteurs égaux à a ou à b. On doit alors regrouper les termes ayant autant de a et de b ; on a donc des "anagrammes" de "mots" de la forme k fois n k fois { }} { { }} { a a a b b b

122 51 / 51 démonstrations Or les "anagrammes" de "mots" de la forme k fois n k fois { }} { { }} { a a a b b b n! sont au nombre de. C est à dire le coefficient du k!(n k)! triangle de Pascal ( n k).

123 51 / 51 démonstrations Or les "anagrammes" de "mots" de la forme k fois n k fois { }} { { }} { a a a b b b n! sont au nombre de. C est à dire le coefficient du k!(n k)! triangle de Pascal ( n k). Ainsi, pour tout n N, (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2

Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Initiation à l algorithmique

Initiation à l algorithmique Informatique S1 Initiation à l algorithmique procédures et fonctions 2. Appel d une fonction Jacques TISSEAU Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest Technopôle Brest-Iroise CS 73862-29238 Brest cedex 3 -

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

La persistance des nombres

La persistance des nombres regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Algorithmes récursifs

Algorithmes récursifs Licence 1 MASS - Algorithmique et Calcul Formel S. Verel, M.-E. Voge www.i3s.unice.fr/ verel 23 mars 2007 Objectifs de la séance 3 écrire des algorithmes récursifs avec un seul test rechercher un élément

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Fibonacci et les paquerettes

Fibonacci et les paquerettes Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au

Plus en détail

chapitre 4 Nombres de Catalan

chapitre 4 Nombres de Catalan chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

La classification automatique de données quantitatives

La classification automatique de données quantitatives La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Objets Combinatoires élementaires

Objets Combinatoires élementaires Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Frédéric Laroche 2009

Frédéric Laroche 2009 Frédéric Laroche 2009 Les Entiers Caractériser les nombres : peut-être avec des figures géométriques? En triangle * * * * * * * * * * --------------- Une formule 1 3 6 10 --- En carré * * * * * * * * *

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

1 Recherche en table par balayage

1 Recherche en table par balayage 1 Recherche en table par balayage 1.1 Problème de la recherche en table Une table désigne une liste ou un tableau d éléments. Le problème de la recherche en table est celui de la recherche d un élément

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

IMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB

IMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB IMAGES NUMÉRIQUES MATRICIELLES EN SCILAB Ce document, écrit par des animateurs de l IREM de Besançon, a pour objectif de présenter quelques unes des fonctions du logiciel Scilab, celles qui sont spécifiques

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices

Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.

Plus en détail

Travaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation

Travaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation Université de Savoie Module ETRS711 Travaux pratiques Compression en codage de Huffman 1. Organisation du projet 1.1. Objectifs Le but de ce projet est d'écrire un programme permettant de compresser des

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

CARTE DE VOEUX À L ASSOCIAEDRE

CARTE DE VOEUX À L ASSOCIAEDRE CARTE DE VOEUX À L ASSOCIAEDRE JEAN-LOUIS LODAY Il y a cinq ans le Centre International de Rencontres Mathématiques de Luminy a envoyé ses voeux avec la carte ci-dessus. L illustration choisie par Robert

Plus en détail

dénombrement, loi binomiale

dénombrement, loi binomiale dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Chap III : Les tableaux

Chap III : Les tableaux Chap III : Les tableaux Dans cette partie, on va étudier quelques structures de données de base tels que : Les tableaux (vecteur et matrice) Les chaînes de caractères LA STRUCTURE DE TABLEAU Introduction

Plus en détail

Cours de mathématiques Première année. Exo7

Cours de mathématiques Première année. Exo7 Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,

Plus en détail

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en

Plus en détail

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

L E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun

L E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 9 L E Ç O N Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Définition 9.1 Chaîne de Markov I Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n, n N) qui permet

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

AGASC / BUREAU INFORMATION JEUNESSE 06700 Saint Laurent du Var Tel : 04.93.07.00.66 bij@agasc.fr www.agasc.fr. Word: Les tableaux.

AGASC / BUREAU INFORMATION JEUNESSE 06700 Saint Laurent du Var Tel : 04.93.07.00.66 bij@agasc.fr www.agasc.fr. Word: Les tableaux. Word: Les tableaux Introduction 6 ième partie Il est préférable par moments de présenter de l'information sous forme de tableau. Les instructions qui suivent démontrent comment créer un tableau et comment

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Consigne : je remplis le tableau en tenant compte des informations de la ligne supérieure et de la colonne de gauche (droite pour les gauchers)

Consigne : je remplis le tableau en tenant compte des informations de la ligne supérieure et de la colonne de gauche (droite pour les gauchers) Découverte du monde : traiter deux informations Compétence : Savoir utiliser un tableau à double entrée. Matériel : - un plateau de jeu quadrillé : cinq lignes et cinq colonnes, - quatre pièces "couleur",

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

Cours d introduction à l informatique. Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions

Cours d introduction à l informatique. Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions Cours d introduction à l informatique Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions Qu est-ce qu un Une recette de cuisine algorithme? Protocole expérimental

Plus en détail