2. Formules d addition.

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1 IX. Trigonométrie 1. Rppels 1.1 Définitions : Dns le cercle trigonométrique C ( O, 1 ), si nous fixons un point P correspondnt à un ngle d mplitude nous vons défini : = bscisse du point P sin = ordonnée du point P. si + k, k Z = sin si k k Z cot = sin 1. Propriété fondmentle Cette propriété s'étblit fcilement pr le théorème de Pythgore : + sin = 1 sin cot P 1. Vleurs prticulières: sin cot / Réduction u premier qudrnt: Pr les figures ci-dessous, on détermine isément les reltions du tbleu suivnt. P P 1 P P 4 P, P, et P 4 permettent de situer les ngles -, + et - - Q 1, Q, Q, et Q 4 permettent de situer les ngles -, +, - et + Q Q 1 P 1 Q Q 4 P = - + = P = + - = P 4 = k- + = k Q 1 = - + = Q = + = Q = - Q = + - = sin = sin sin = - sin sin = - sin sin = sin = sin = - sin = - = - = - = = sin = - sin = - sin = sin = - tg = = - = cot = - cot = cot = - cot ngles supplémentires ngles nti - supplémentires. 1.5 Exercices de révision. 1. Si = 1/ et ngles opposés. ngles complémentires. ngles nti - complémentires..< < déterminer sin et sns fire usge de l clcultrice. 4/01/014 CNDP Erpent - Trigonométrie IX - 1

2 . Sns utiliser l clcultrice, déterminer : sin 5 4, sin 17, 7, sin 4. Simplifier les expressions suivntes : ( ) ( ) ( ) ) cot 40 sin 15 b) sin( ) sin( ) cot( ) ( 50) 575sin( 90)145 ( )sin( ) c) = ( ) cot( ). Formules d ddition. Dns ce prgrphe nous llons étblir les vleurs des nombres trigonométriques de l somme et de l différence de deux ngles. Nous envisgeons le cs de l somme de deux ngles igus dont le résultt est un ngle igu. (cfr. figure ci-contre) Considérons le cercle trigonométrique C ( O, 1 ). Nous vons : ( + b ) = OP 1 = OP - P P 1 Dns le OP P OP = OP. Dns le OPP : OP = OP. b = 1. b = b Et nous obtenons : OP = b. D'utre prt, dns le tringle OPP, nous vons : PP = OP. sin b = 1. sin b = sin b Les tringles recgles OP 1 P 5 et P 5 PP sont recgles et ont deux ngles igus opposés pr le sommet donc les utres ngles igus sont égux :P 4 P P = P 5 ÔP 1 = En exprimnt l vleur de P P 4 dns le tringle P P 4 P et en utilisnt l vleur de PP trouvée ci-dessus, nous vons : P 1P = PP4 PP sin = sin b. sin = sin. sin b 19 Or : ( + b ) = OP 1 = OP - P P 1 c-à-d ( + b ) =. b - sin. sin b. On peut refire une démonstrtion nlogue dns les utres cs de figure. Les utres formules s étbliront fcilement à prtir de celle-ci. ( - b ) = ( + (-b) ) = (-b) - sin sin (-b) = b + sin sin b sin ( + b ) = ( - ( + b ) ) = ( ( - ) - b ) = ( - ) b + sin ( - ) sin b et donc sin ( + b ) = sin b + sin b sin ( - b ) = sin ( + (-b) ) = sin (-b) + sin (-b) = sin b - sin b En rssemblnt ces églités nous obtenons: sin b sin b ( + b ) = sin( ) b sin b sin b b b t nb ( b) b sin sin b b sin sin b 1 b b b ( b) b De même ( - b ) = ( + (-b) ) = 1 ( b) 1 b Nous retiendrons: ( b ) = b sin sin b sin ( b ) = sin b sin b b ( b) 1 b 1. Sns utiliser l mchine, déterminer les nombres trigonométriques de 1, 5 1. A prtir des formules d ddition clculer les nombres trigonométriques de -, +, -,... O b P 4 P P 5 P 1 P P IX - CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

3 . Sns clcultrice, déterminer les nombres trigonométriques de + b et de - b schnt que ) sin = - 1 et b = 1 si qudrnt et b qudrnt 4 b) sin = 4 et b = - si et b 4. Vérifier sin sin (b - c) + sin b sin (c - ) + sin c sin ( - b) = 0 5. Vérifier sin ( + b) sin ( - b) = sin - sin b. Vérifier sin + sin b b = sin ( + b) ( - b) 7. Vérifier ( - ) + + ( + ) =. Formules de dupliction En considérnt le cs où = b dns les formules d ddition, nous obtenons: sin = sin + sin = sin = - sin sin = - sin = 1 1 Nous retiendrons: sin = sin = - sin = 1 1. Vérifier 1 + =. Vérifier 1 - = sin 5. Vérifier. Vérifier 4 - sin 4 = 4. Vérifier sin 1 1 = sin. Vérifier cot - = cot 7. Déterminer sin en fonction de sin uniquement, en fonction de uniquement et en fonction de uniquement. Remrque: les églités des deux premiers exercices sont souvent employées et utiles à mémoriser. Elles sont connues sous le nom de "formules de Crnot" 1 + = 1 - = sin 4. Nombres trigonométriques de à prtir de / Nous svons sin + =1 sin sin = sin = sin sin sin 1 De même = sin sin sin 1 sin 1 N.B. ces trnsformtions ne sont possibles que si 0 c-à-d si + k (ou + k ) L gente s obtient directement à prtir des formules de dupliction. Nous retiendrons: si +k: sin = 1 = 1 1 = 1 4/01/014 CNDP Erpent - Trigonométrie IX -

4 1. Connissnt l vleur de, retrouver celle de sin,,. Schnt que = - clculer sin. Trnsformer l expression suivnte pour l exprimer en fonction de : + - sin 5. Formules logrithmiques ( ou formules de Simpson) Dns les formules d ddition, posons +b = p et - b = q = pq et b = pq ( + b) + ( - b) = b - sin sin b + b + sin sin b donc ( + b) + ( - b) = b c-à-d p + q = p q p q ( + b) - ( - b) = b - sin sin b - b - sin sin b donc ( + b) - ( - b) = - sin sin b c-à-d p - q = - sin p q sin p q sin ( + b) + sin ( - b) = sin b + sin b + sin b - sin b donc sin ( + b) + sin ( - b) = sin b c-à-d sin p + sin q = sin p q p q sin ( + b) - sin ( - b) = sin b + sin b - sin b + sin b donc sin ( + b) - sin ( - b) = sin b c-à-d sin p - sin q = p q sin p q ( + b) + ( - b) = p + q = sin p sin q sin p q sin q p sin( p q) p q p q p q ( + b) - ( - b) = p - q = sin p sin q sin p q sin q p sin( p q) p q p q p q Nous retiendrons: p + q = pq p - q = - sin pq sin p + sin q = sin pq sin p - sin q = pq p q = sin( p q ) p q et les formules inverses: pq sin pq pq sin pq b = ( + b) + ( - b) - sin sin b = ( + b) - ( - b) sin b = sin ( + b) + sin ( - b) 1. Simplifier ) sin sin 4 b) sin 4 sin sin p sin q c) p q. Clculer sin + sin ( + ) + sin ( + 4 ) p q d) sin p sin q b ( 4 b) e) sin( 4 b) sin b n ( n ) f) sin( n ) sin n IX - 4 CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

5 . Vérifier les identités suivntes: sin sin5 sin ) = 5 b) - sin 4 sin = c) = (sns clcultrice) d) = 0 ( sns clcultrice ) Exercices récpitultifs. 1. Vérifier les identités suivntes: ) sin 7 - sin 5-5 sin = - sin 4 b) ( + b ) + ( - b ) - b = 1 c) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) sin e) 1 ( ( + ) - ( ) ) = f) d) ( 1 + ) = 1 sin sin = 1. Si et b sont les mesures des ngles igus d un tringle recgle, vérifier: ) sin + sin b = ( - b ) b) - b = sin b 7. Equtions trigonométriques. 7.1 Equtions élémentires Une éqution trigonométrique est dite élémentire si elle peut être rmenée à une des formes suivntes: sin b = sin b = b = Nous consttons: sin b = sin b = + k ou b = - + k b = b = + k b = b = + k vec les C.E. : b + k Exemple1 x = 1 x = x = + k Sol. Principles : {, 5 } qui sont les solutions comprises entre 0 et Exemple sin( - x ) = sin ( + x ) - x = + x + k ou - x = - ( +x ) + k - x = - +k ou 0x = - + k (éq. imp.) x = + k Sol. Principles : { 4 4, 5 } 4 Exemple Dns certins cs nous serons menés à utiliser l clcultrice: ( - x ) = 1 - x = 0,175 + k -x = -4,904 + k x = 4,904 + k Sol. principles : {1,4905 ; 4,904} A. Résoudre les équtions suivntes. 1. sin x - 1 = 0. x 1. cot x - =0 4. sin x + 1 = 0 4/01/014 CNDP Erpent - Trigonométrie IX - 5

6 5. sin x = sin x. ( + x ) = ( x - 18 ) 7. ( x - ) = ( 4 - x ) 8. ( x - ) = ( - x) 9. sin ( - x ) = sin ( +x ) 10. x - = ( + x ) = 0, B. ) Trcer le grphe de l fonction f(x) = x + 1 en utilisnt les trnsformtions de grphes. b) Déterminer les rcines de cette fonction et vérifier sur le grphe. c) Déterminer les points d'intersection de cette fonction vec l droite y = et vérifier grphiquement d) Résoudre l'inéqution x et vérifier grphiquement. 7. Equtions utilisnt les propriétés des ngles ssociés. Exemple: sin x = x sin x = sin ( - x) x = - x + k ou x = - + x + k x = + k ou 0x = + k (impossible) x = 4 + k 1. x = - ( - x). sin x = - sin ( - x). sin x = - sin x 4. x = - ( - x) 5. sin ( - x) + sin ( + x) = 0. sin x = x 7. sin (x + 4 ) = - (x - ) 8. x = cot x 9. cot (x + ) + (x + ) = sin (x + ) = (x + ) 11. sin x + (x + 5 ) = 0 1. x + (x - ) = 0 7. Equtions à trnsformer pr les formules trigonométriques de bse Exemple: x = x - 1 x - sin x = x - 1 x - x = 0 x ( x - 1 ) = 0 x = 0 ou x - 1 = 0 x = + k ou x = 1 = Sol. principles: {,,, 5 } x = + k Résoudre les équtions suivntes: 1. x + sin x =,75. x + x = 0. x + 4x = x + x 4. x 4 x = x x 5. sin x + sin 5x + sin 4x = x + x = 0 7. sin x - 5 x - 4 = 0 8. sin (x - ) sin (x + ) = Equtions homogènes en sinus et inus. Exemple sin x + sin x x - sin x x = 0 sin x ( sin x + sin x x - x ) = 0 sin x = 0 ou sin x + sin x x - x = 0 x = k ou x + x - 1 = 0 ( x = 0 n'ét ps solution de l'éqution, on divise toute l'éqution pr x) = = 1 x = 1 x = 0,940 + k ou x = -1,78 + k S = { x x = k ou x = 0,940 + k ou x = -1,78 + k} IX - CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

7 Générlistion et technique: Une éqution trigonométrique est dite homogène en sinus et inus lorsque l somme des degrés du sinus et du inus de chcun de ses termes est une conste (dns notre exemple, cette conste vut ). Pour résoudre une telle éqution, nous suivrons l procédure suivnte : ) mise en évidence des termes en sin x et x ffectés de leur plus hute puissnce, ce qui nous mène à résoudre des équtions du type sin x = 0 ou x = 0 b) Si l'éqution reste est du n ème degré, on l rmène à une éqution polynomile en x en divisnt tous les termes pr n x. En posnt lors x = y, on résout l'éqution en y (du second degré, ou en utilisnt Horner). Il reste lors à déterminer les vleurs de x correspondntes Résoudre: 1. 4 x + x sin x = sin x x. sin x - sin x x - x = 0. sin 4 x - sin x x + 11 sin x x - sin x x = 0 4. sin 4 x x + 8sin x x + sin x x - sin x 4 x = 0 5. sin x x x = x + sin x x 7.5 Equtions linéires en sin x et x Une éqution linéire en sinus et inus est une éqution du type x + b sin x = c, b, c, R 0 exemple: x + sin x + = 0 x + sin x + 1 = 0 Posons = ou = Nous obtenons : x + sin x + 1 = 0 x + sin sin x + = 0 ( x - ) = - 5 ( x - ) = - = 5 x - = + k 5 x = + + k ou x = k x = + k ou x = - + k x = + k ou x = En générl : k Sol. Principles : {,}, b, c, R 0 x + b sin x = c x + b sin x = c Posons : b = x + sin x = c x + sin sin x = c x + sin x sin = c (x - ) = c Nous consttons que le second membre de cette dernière éqution est une expression dont on peut clculer l vleur numérique. Il s'git donc toujours d'une éqution élémentire que l'on peut résoudre. 1. sin x - x + = 0. x - sin x + = 0. x - sin x - 1 = 0 4. x + sin x + = 0 7. Exercices générux. 1. sin x - x = 0. 4 x - 5 sin x + sin 4 x = 0. x = x 4. sin x + 4 x = 4 5. x + cot x = 1. x - sin 5x = sin x 5. x + sin x =. x sin x = x sin x = x + x = 0 8. ( -sin x + x ) sin x - ( sin x + x ). x = x x - 5 x = x ( 1 - sin x ) + x sin x = sin x + sin x + sin x = 0 4/01/014 CNDP Erpent - Trigonométrie IX - 7

8 8. Inéqutions trigonométriques. Exemple 1 : Résoudre sin x > 1 1 ère méthode Considérons tout d bord l inéqution sin y > 1 Grphiquement nous voyons < y < - < y < 5 dns [ 0,] Donc + k < y < 5 + k + k < x < 5 + k 18 + k < x < k ème méthode : sin x > 1 sin x - 1 > 0 En résolvnt l'éqution sin x - 1 = 0 nous obtenons : x = + k ou x = k Ce qui nous permet d'obtenir le tbleu de vrition de signe de l fonction f(x) = sin x - 1 (entre 0 et ) x sin x Et nous retrouvons bien l solution trouvée précédemment : 18 + k Exemple : Résoudre ( x - 4 ) > ère méthode : Nous svons - 1 = = - et nous obtenons : - + k < x - 4 < + k k < x < k k < x < 11 + k k < x < 11 + k ème méthode : ( x - 4 ) > - 1 ( x - 4 ) + 1 > 0 < x < k En résolvnt l'éqution : ( x - ) = 0, nous obtenons : x = k ou x = k Ce qui nous permet d'obtenir le tbleu de vrition de signe de l fonction f(x) = (x - ) + 1 (entre 0 et ) 4 x (x- ) Ce tbleu confirme l solution trouvée précédemment : k < x < 11 + k 4 4 Exemple : Résoudre x Nous trouvons directement pr le grphique : 1,107 + k x < + k,14 + k x < + k Ou en utilisnt le tbleu de vrition : en résolvnt l'éqution x - = 0, nous obtenons : x =,14 + k L'étude de signe de l fonction x - confirme l solution,14 + k x < + k x 0,14 x ( x - ) 1. x < - 0,51. x 0,5 4. sin x > 1. cot ( x + 4 ) 5 7. ( 4 - x) sin 4 8. sin (x + ) < x 9. (x + ) > sin x < 4 IX - 8 CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

9 9. Exercices supplémentires. 9.1 En utilisnt les formules d'ddition, clculer les nombres trigonométriques des ngles suivnts et vérifier votre réponse à l'ide de votre clcultrice ,,,,, Clculer, sns mchine 1. sin sin sin sin ) 0.5 ) 0.5 ) 9. Clculer, sns mchine, 1. ( + b) schnt que sin = - 8/17 ; sin b = 4/5 ; < < et < b <. ( + b) schnt que sin = - 1/ ; b = 1/ ; < < et < b <. ( - b) schnt que sin = /4 ; b = - / ; < < < b < 1. = =. = 7 4 b = 5 sin b = sin b = Vérifier les identités suivntes : (+b) = ( + b) = ( - b) = 1. sin sin (b - c) + sin b sin (c - ) + sin c sin ( - b) = 0. sin (b - c) + b sin (c - ) + c sin ( - b) = 0. sin ( - b) ( + b) = sin - sin b b 4. sin ( + b) ( - b) = sin + sin b b 5. sin ( + b) sin ( - b) = sin - sin b = b -. ( + b) ( - b) = - sin b = b - sin ( b) ( b) 7. = cot sin( b) sin( b) b sin( b) 8. b sin( b) 1 b ( b) 9. 1 b ( b) Clculer les expressions suivntes (sns clcultrice): = ( + ) + ( + ). ( - ) + + ( + ). sin ( - x) + sin ( + x) + sin x 4/01/014 Trigonométrie IX - 9

10 1) 0 ) 1.5 ) Vérifier les identités suivntes : 1. sin ( + b) - sin ( - b) = sin sin b. + cot = sin 1. = sin cot cot 1 4. = cot = cot sin sin 1 sin 9.7 Clculer, sns mchine 1. schnt que = - 1/ et < <. sin,,, cot ) schnt que sin = 0, et > 0 b) schnt que = 1/1 et sin < 0 1) sin = = 4 7 ).) sin = 0.9 = 0.8 = 4 7 b) sin = 10 = 119 = ( = 0.8) (sin = 5 1 ) 9.8 Fctoriser les expressions suivntes: 1. sin 5 + sin. sin 7 - sin sin - sin sin 70 + sin Simplifier les expressions suivntes: 1. sin sin. 4 sin 4 sin. sin sin 1) ) ) cot sin sin 4 sin sin 4) 5 5) -cot 9.10 Vérifier les identités suivntes: 1. sin p sin q = p q p q. p q sin p sin q sin p sin q p q. sin p sin q - cot p q p q p q p q q p p q p q q sin p sin q. cot p cotq = sin( p q ) sin p sin q b sin( b) 7. b sin( b) p IX - 10 CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

11 sin 8. - = p q sin( p q) 9. p q p q sin tg 1 tg = cot ( 4 + ) 11. ( b) ( b) ( 1 b) ( b) ( b) b( 1 ) 9.11 Fctoriser les expressions suivntes : b + ( + b) b - ( +b) p cot q 8. ec - cot 9. sec sec 1. sin ( + b - c) + sin (b + c - ) + sin (c + - b) - sin ( + b + c) sin + sin + sin 1. sin + sin + sin 1. sin + sin 7 + sin sin 5 - sin + sin 15. sin + sin + sin sin - sin + sin - sin sin 7 - sin 5 - sin + sin 0. sin + sin b - sin ( + b) 1. ( - 1). 4. sin sin 4. 4 b b 5. 4 b sin sin b sin( 45 ). 7. ( p q ) p q cot ( 4 - ) sin ( + 1) 1. 4 sin 1. 4 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin b b 1. 4 sin sin b sin c. -4 sin sin 9.1 Clculer les expressions suivntes : 4 1. sin + sin ( + ) + sin ( + ) 4. + ( + ) + ( + ) sin - sin ) 0 ) 0 ) 0 4) 0 5) ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin 5 sin sin 5 sin 7 sin msin sin 5 sin msin 5 sin Trnsformer en une somme les expressions suivntes : 1. sin. sin sin sin 5. sin sin. sin sin 7 7) sin sin5 4/01/014 Trigonométrie IX - 11

12 9. b ( - b) 10. sin ( + b) ( - b) 11. sin ( + b) ( - b) 1. sin ( + b) sin( - b) 1. sin sin sin Vérifier les identités suivntes : = - sin sin. sin sin (b - c) + sin b sin (c - ) + sin c sin ( - b) = 0. sin (b - c) + b sin (c - ) + c sin ( - b) = 0 4. sin ( + b) sin ( - b) = sin - sin b 5. ( + b) ( - b) = - sin b. ( + b) + ( - b) - b = sin = 8. sin 5 - sin = sin 8 sin sin 5 - sin = sin 7 - sin 5-5 sin = - sin cot ( + ) - ( - ) = 1 1 sin = cot ( - ) + ( + ) 1 sin Résoudre les équtions trigonométriques suivntes et représenter les solutions sur un cercle trigonométrique. 1. sin x = sin x. sin x + sin x + sin x = 0. sin x + sin x = sin x 4. sin 4x + sin x = sin x 5. sin x + sin x + sin x + sin 4x = 0 1. x = k. x = k ou x = + k. x = k ou x = k x = k 4. x = k ou x = +k x = k 5. x = + k ou x = k ou x = +k 5 tg x. x = 1 tg x 7. x = x - 1. CE. x + k 5 x = + k ou x = + k 7. x = + k ou x = + k 9.1 Résoudre : 1. x = sin x - x. (1 - x) = 1 - x. x + sin x =,75 4. ( 4 + x) - x = 5. x + = 4 x. 5 sin x = x 1. x = + k ou x = + k 7. x = x x + x + 1 = 0 9. x = x 10. x + 5 = 7 x 11. x - cot x = x - ( x - 1) =1/ 5. x = + k ou x = + k. x = k IX - 1 CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

13 4. CE : x + k et x 4 + k x = + k ou x = - + k 5. x = + k 4. x = 0,797 + k ou x =,4118+ k 7. x =,47 + k 8. x = + k ou x = 1,181 + k 9.17 Résoudre : 1. x - sin x + = 0. x - sin x - 1 = 0. x + sin x + = 0 4. sin x - x + = 0 5. sin x + 4 x = x = + k ou x = + k. x = + k ou x = - + k 7. x = + k ou x = - + k 4. x = k ou x = 5, k 9.18 Résoudre: 1. sin x - x = 0. x - sin x = 0. sin x + 4 x = 0 4. sin x = sin( 4 - x) 5. sin x - 4 x = 0. sin x x + x = 0 7. sin x - sin x x - x = 0 8. x - x sin x = sin x - x - sin x x = 0 1. x = 0, k. x = 0, k. x = - 1,58 + k 4. x = 0, k 5. x = 0,955 + k. x = + k ou x = k 7. x = 1, k ou x = - 0,45 + k 8. x = + k ou x = 0, k 9. x = 4 + k ou x = - 0, k 10. S = 11. x = 1, k ou x = 0,450 + k 9. CE : x + k et x 4 + k x = k ou x = + k 10. CE : x + k x = + k 11. CE : x k x = 0, k ou x = - 1,017 + k 1. x = 1, k ou x = 0,8 + k. sin x + x = 7. sin x + x - 1 = 0 8. x + sin x - = 0 5. x = k ou x = 0, k. x = + k ou x = 0,450 + k 7. x = + k ou x = k 8. x = k ou x = + k x + sin x = x - 11 sin x x + 4 = 0 1. sec x - x = sin x 1. sin x - 4 sin x x + x sin x = sin 4 x - 4 x = sin x x x + x sin x = sin x x 1. 4 x - 5 sin x x + sin 4 x = sin x + x =1/ 1. CE : x + k x = k ou x = 4 + k 1. x = k ou x = + k ou x = + k 14. x = 1,017 + k ou x = - 0, k 15. x = + k ou x = 4 + k ou x = 0,45 + k 1. x = 0,955 + k ou x = 0, k 17. x = 1, k ou x = 0,477 + k 4/01/014 Trigonométrie IX - 1

14 9.19 Résoudre les inéqutions suivntes : 1. sin x > - 1. x - 1. x > 4. x 5. ( - x) sin sin (x + ) < k < x < + k k x + k + k < x < + k + k x < + k ou + k < x + k 7. (x - ) > 8. x < 9. sin x 10. (x + ) > k < x < + k k < x < + k k < x < 18 + k 9. + k x + k k < x < k 5. k x + k 9.0 Exercices de synthèse 1. Déterminer les domines de définition des fonctions suivntes : 7 ) f(x) = 1 sinx sol : k, k kz sinx x b) f(x) = k/ k / x sinx x sin x x 4 c) f(x) = 1 1 x sol : R / 1,10714 k kz kz sol : k, k 4 4 kz. A tout moment, notre cœur bt, notre pression snguine ugmente pour décroître ensuite entre deux bttements. Les mximum et les minimum de pression snguine portent respectivement les noms de pression systolique et distolique. L lecture de notre pression snguine, à l'ide d'un tensiomètre, est trduite pr deux chiffres correspondnt ux pressions systolique/distolique. Une lecture de 1/8 est considérée comme normle. L pression snguine d'une personne est modélisée pr l fonction p(t) = 11,5 +,5 sin(10 t) dns lquelle p(t) est l pression en cmhg, et t est le temps exprimé en minutes. ) Clculer l période de p. b) Clculer le nombre de bttements de cœur pr minute. c) Représenter grphiquement l fonction p(t). d) Que donnerit le tensiomètre lors d'une lecture de l pression snguine? Comprer cette lecture à l tension normle. e) A quels moments, l pression snguine vut-elle 1? 8? 10.5?. L'évolution de l popultion d'une horde de cerfs est modélisée pr l fonction : p(t)= sin t où t est exprimé en nnées et où t = 0 correspond u 1 er jnvier. ) Trcer le grphe de p(t) durnt un n. b) durnt l'nnée, qund l popultion est-elle mximle? Quelle est l popultion à ce moment-là? kz IX - 14 CNDP Erpent - Trigonométrie 4/01/014

15 c) y -t-il un minimum? Si oui, qund? d) quelle est l période de l fonction P(t)? 4. Rythmes circdiens. L vrition de tempérture du corps est un exemple de rythme circdien, processus biologique qui se répète pproximtivement toutes les 4h. L tempérture est mximle vers 17h et minimle vers 5h. Soit y l tempérture du corps (en C), et soit t = 0 à minuit (t exprimé en heures). Pour une personne déterminée, s tempérture minimle est de.8 C et s tempérture mximle est de 7.17 C ) Déterminer une éqution de l forme y = d + sin (bt + c) qui modélise cette informtion b) A quels moments de l journée, cette personne -t-elle une tempérture égle à 7? c) Qund -t-elle une tempérture inférieure ou égle à.9? 5. Vrition de tempérture journlière L tempérture (en C) durnt une journée peut-être modélisée pr une fonction sinusoïdle en fonction du temps (exprimé en heures). Déterminer une telle fonction dns le cs où ) l tempérture mximle est de 10 et l tempérture minimle tteinte à 4h du mtin est de 10. b) l tempérture à minuit est de 15 et les tempértures mximles et minimles sont de 0 C et 10 C. c) l tempérture vrie entre 10 C et 0 C et l tempérture moyenne de 0 survient l première fois à 9h du mtin. 4/01/014 Trigonométrie IX - 15

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