TD n 4. Exercice 1 : Exercice 2 :

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1 TD n 4 Exercice 1 : Soit le montage suivant : 1.1. Le montage fonctionne-t-il en régime linéaire? Justifier Quelles sont les valeurs possibles pour V s? 1.3. En faisant successivement deux hypothèses sur la valeur de la sortie en déduire les deux inégalités vérifiées par l entrée Tracer la caractéristique de ce montage, c est-àdire V s en fonction de V e Comment s appelle ce montage? Ve Vs A l aide du montage précédent on cherche à réaliser un oscillateur. Une des solutions possible est d utiliser le montage suivant : On admet que l amplificateur opérationnel fonctionne en régime saturé Que pouvez-vous dire des courants traversant le condensateur et la résistance. En déduire l équation différentielle vérifiée par v e et - + v s. On posera τ = C On suppose qu à t = 0 + la tension V s = +V sat ve C 2 1 et V e = - α V sat, où α = Exprimer et dessiner v e(t) Quelle est la limite de v e quand t tend vers l infini? Cette limite pourra-t-elle être atteinte? Pour quelle valeur de v e la tension v s bascule? On appelle t 0 l instant où v s bascule, exprimer t 0 en fonction de α et τ. 2.4 Donner la valeur de v e et v s pour t = t 0+. En déduire l expression de v e pour t > t Dessiner sur le même graphe, v e et v s en fonction du temps. Calculer la période du signal. i o vs Exercice 2 : Soit le montage suivant : On considère que l amplificateur opérationnel est idéal. 1- Exprimer v en fonction de O, i et v S. Exprimer v S en fonction de v En supposant que l amplificateur fonctionne en régime linéaire, exprimer v en fonction de O et i ; quelle propriété intéressante possède alors le montage? 3- Sachant que la condition de fonctionnement en régime linéaire impose - V SAT < v S < + V SAT, quelles contraintes cela entraîne-t-il sur v et i? Dans le cas où cette condition n est pas vérifiée, exprimer v en fonction de i, O et V SAT. 4- Tracer la caractéristique v = f(i) de ce montage. v v v+ - + S vs

2 On souhaite réaliser un oscillateur sinusoïdal à l aide d un circuit LC. 5- Dessiner le schéma du circuit permettant d obtenir ces oscillations. 6- Etablir une équation différentielle permettant de montrer que ces oscillations sont bien sinusoïdales. 7- Si on réalise ce montage, qu observe-t-on? Quel en est la cause? 8- En utilisant le montage précédent (montage à résistance négative), proposer une solution au problème évoqué à la question précédente. 9- Etablir une équation différentielle régissant les oscillations. En déduire une condition sur O pour avoir des oscillations sinusoïdales et leur pulsation. 10- Expliquer ce qui se passe si cette condition n est pas vérifiée. Que peut-on en déduire sur le spectre du signal oscillant? Exercice 3 (Banque PT 2016) : Dans ce problème, on examine la réalisation, à l'aide d'ali d'une Modulation de Largeur d'impulsion (MLI). La modulation de largeurs d'impulsion Figure 1 Le principe consiste à générer des impulsions électroniques à intervalles régulières mais dont la largeur temporelle va dépendre d'un signal «modulant». C'est la valeur de tension du ce signal qui va déterminer la largeur de l'impulsion (cf. Figure 1).

3 A.1 - Modulation de largeur d'impulsion : réalisation analogique On considère le montage de la Figure 2 mettant en jeu un ALI supposé idéal auquel on applique : un signal modulant u e(t) une tension «dent de scie» u scie(t) de période T dont l'allure temporelle est représentée Figure 3. Q1. appeler les caractéristiques d'un Amplificateur Linéaire Intégré idéal. Q2. L'ALI fonctionne-t-il en régime linéaire ou en régime saturé? Quelle fonction réalise un tel montage? La tension u scie(t) est une tension dite «dent de scie» (cf. Figure 3). On note T la période de cette tension et U max la tension maximale atteinte par u scie(t). Figure 2 Figure 3 Q3. Déterminer la pente a des rampes de la tension u scie(t) en fonction de T et U max. Q4. On considère un signal modulant continu : u e(t) = U 0 avec 0 < U 0 < U max. Déterminer, les durées τ + et τ -, correspondant respectivement aux temps passés en saturation haute et en saturation basse durant une période T en fonction de U 0, U max et T. eprésenter graphiquement le signal u mod(t) en sortie de l'ali entre t = 0 et t = 3T. Q5. Que se passe-t-il si U 0 > U max? Q6. On considère maintenant comme signal modulant u e(t) un signal sinusoïdal de période T e = 5T, de valeur basse 0 et de valeur haute U max (atteinte pour t = 0). On prendra f e = 1 T e = 1kHz, la fréquence du signal modulant. Q6.a. Donner l'équation horaire de u e(t). Q6.b. eprésenter le spectre de u e(t). Q6.c. On a représenté en Annexe (Partie B : - A ENDE AVEC LA COPIE) le signal u e(t) (Figure C.1) sur une période. eprésenter sur le même graphique les signaux u scie(t) et u mod(t). On note V sat la tension de saturation positive de l'ali. On prendra pour le tracé graphique : V sat = U max/2 Q6.d. On réalise expérimentalement la modulation de largeur d'impulsion. Pour savoir comment obtenir le signal modulant à partir du signal modulé (démodulation), on observe le spectre du signal. Celui-ci est donné Figure 4 - l'échelle des amplitudes est arbitraire. Proposer, en le justifiant, le type de filtre permettant de démoduler le signal u mod(t).

4 Figure 4 A.2 - éalisation d'un signal «dent de scie» Le principe de cette modulation est basé sur l'utilisation d'un signal dent de scie. On se propose ici d'étudier une façon de créer un tel signal. On considère le montage suivant (les ALI sont supposés idéaux) : Figure 5 Q7. appeler les ordres de grandeurs des impédances d'entrée et de sortie réelles d'un ALI. Q8. Expliquer brièvement pourquoi on peut commencer par étudier les deux étages 1 et 2 représentés sur le schéma séparément. Q9. On considère l'étage 1. On admet que : Quand le signal u e(t) est positif, la diode D2 est assimilable à un interrupteur ouvert et la diode D1 à un fil. Quand le signal u e(t) est négatif, la diode D2 est assimilable à un fil et la diode D1 à un interrupteur ouvert. Q9.a. Déterminer l'équation différentielle qui relie u s(t) et u e(t) quand u e(t) est positive. Comment appelle-t-on un tel montage? Q9.b. Déterminer l'équation différentielle qui relie u s(t) et u e(t) quand u e(t) est négative.

5 Q10. On considère maintenant l'étage 2. Q10.a. Expliquer pourquoi on sait que l'ali de l'étage 2 va fonctionner en régime de saturation. Q10.b. On suppose que la sortie est en saturation haute u e = V sat. Déterminer les gammes de valeurs possibles pour u s. Q10.c. On suppose que la sortie est en saturation basse u e = V sat. Déterminer les gammes de valeurs possibles pour u s. Q10.d. eprésenter la caractéristique de transfert u e(u s). Comment appelle-t-on un tel montage? On considère maintenant le montage entier. Il n'y a pas de «tension d'entrée» et la tension de sortie est la tension u s(t). Q11. On suppose que, à t = 0, l'étage 2 vient de basculer en saturation haute u e = V sat. Q11.a. Déterminer u s(t = 0) puis l'équation littérale horaire de u s(t) pour t > 0. Q11.b. Déterminer la date t 1 à laquelle l'étage 2 va basculer en saturation basse. On note Δt haut la durée pendant laquelle l'étage 2 est en saturation haute. Expliciter littéralement Δt haut. Q12. A t = t 1, l'étage 2 vient donc de basculer en saturation basse. Q12.a. Déterminer l'expression littérale de u s(t) pour t > t 1. Q12.b. Déterminer la date t 2 à laquelle l'étage 2 va basculer à nouveau en saturation haute. On note Δt bas, la durée pendant laquelle l'étage 2 est en saturation basse. Déterminer littéralement Δt bas et la période T du signal u s(t). Q13. eprésenter sur le graphique Figure B.2 fourni dans l'annexe (Partie B : - A ENDE AVEC LA COPIE) les signaux u s(t) et u e(t) en supposant Δt bas = 19 Δt haut. Q14. On veut créer un signal dent de scie de fréquence f = 1MHz. On choisit C = 10 pf. De plus, pour que le signal ressemble le plus au signal dent de scie de la Figure 2, on fixe Δt bas = 19 Δt haut. Déterminer les valeurs de 1 et 2 en fonction de C et f. Faire l'application numérique.

6 Annexe B.1 - Modulation de largeur d'impulsion - Question Q6.c Figure C.1 : chronogramme du signal u e(t) sur une période. B.1 - Création d'un signal dent de scie - Question Q13 Figure C.1 : chronogramme à compléter : on fera apparaître Δt bas et Δt haut.

7 Exercice 4 : On fabrique une bobine de diamètre 20cm et de longueur 3cm, on mesure ses caractéristiques à 60 khz : 8mH et 30 en série. On place deux de ces bobines l une à côté de l autre. Une des bobine est en court-circuit, et l autre est alimentée par un générateur de tension sinusoïdale Lr, E = E 0 cos( t). On appelle M l inductance mutuelle des deux bobines. 1) Montrez que M est inférieur à 8mH. Montrer que l ensemble des deux bobines est équivalent à un dipôle branché sur le générateur et calculer son impédance. Application numérique avec M=4mH. 2) On ne conserve que la bobine branchée sur le générateur. Si on approche une plaque métallique contre cette bobine, la mesure des caractéristiques de la bobine donne 33 et 7.5mH. Justifiez qualitativement ces valeurs. Proposez une méthode de mesure permettant de les obtenir. Quand la plaque métallique reste loin de la bobine, la variation de son inductance est beaucoup trop faible pour être mesurée facilement. On réalise le circuit 1 avec des bobines idéales (résistance nulle). La plaque métallique est approché de la bobine d un des circuits qui voit son inductance diminuée de ΔL > 0. Ce montage sert à réaliser un détecteur de métal. La grandeur de sortie devant être perceptible par l oreille humaine. 3) Calculez la valeur de la capacité du condensateur C pour que l on puisse détecter une variation relative de l inductance comprise entre 0,1% et l écart maximum donné à la question 2. Déterminez les caractéristiques du filtre. Comment procéder pour détecter des variations d inductance encore plus petite? Pour réaliser l oscillateur et rendre la bobine idéale, on utilise le circuit 2 comprenant un composant actif équivalent à une source de tension commandée V 2. La source de tension V 2 est telle que la tension V 1 soit nulle. 4) Montrer que ce circuit permet de répondre au problème posé. 5) Quelle est la caractéristique du dipôle D? Comment réaliser le composant actif? On précisera qualitativement et quantitativement, comment réaliser pratiquement ce circuit. C Lr, bobine i D u D D V 1 V 2 0 Circuit 2

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