Identification en temps réel de sources thermiques par thermographie infrarouge

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1 Identification en temps réel de sources thermiques par thermographie infrarouge Olivier Quéméner*, Etienne Videcoq*, Alain Neveu* * IUT Evry Brétigny Athis-Mons Université Evry Val d Essonne Département Génie Thermique et Energie Chemin de la Tuilerie, Brétigny sur Orge Sections de rattachement : 62 Secteur : Secondaire RÉSUMÉ. Cette étude présente une méthode pour résoudre un problème thermique inverse tridimensionnel et non linéaire. Elle fait appel à une réduction de modèle par analyse modale adaptée aux non linéarités. Les mesures sont effectuées par thermographie infrarouge. L ensemble de ces techniques numériques et expérimentales confère à cette méthode des propriétés appréciées du monde industriel tels que la non intrusion des mesures et le temps réel des calculs. MOTS-CLÉS : problème inverse, modèle réduit, analyse modale, modes de branche, pas de temps futurs. 1. Introduction Dans le domaine de la thermique, la méthode inverse consiste à identifier l évolution de flux ou de sources thermiques, à partir de mesures de températures ponctuelles en des positions accessibles. Cette problématique est présente dans le monde industriel pour des problèmes d optimisation de processus ou de Contrôle-Commande. Mathématiquement, la méthode inverse est un problème mal conditionné, qui nécessite l emploi de techniques de régularisation lourdes. Par ailleurs, pour un problème réel, la géométrie souvent complexe impose des méthode de discrétisations numériques (de type éléments finis), et les phénomènes physiques à prendre en compte peuvent être de nature non linéaires (comme le rayonnement). Malgré des moyens de calculs toujours plus performants, la résolution d un problème inverse va alors être limitée par des problèmes de taille mémoire et des temps de calculs longs, ce qui interdit toute identification en temps réel, objectif véritablement intéressant pour le monde industriel. 1

2 Afin de pallier à ces difficultés, une voie consiste à utiliser des modèles simplifiés dit réduits, qui vont permettre d obtenir des résultats approchés satisfaisant en des temps acceptables. Nous proposons ici l utilisation d une méthode modale particulièrement adaptée aux problèmes non linéaires. Un banc d essais expérimental est alors testé qui reproduit les contraintes industrielles (configuration tridimensionnelle, rayonnement non négligeable, écoulement de fluide). 2. Présentation du banc d essais La figure 1 reproduit le schéma du domaine étudié. Celui-ci est un bloc parallélépipédique (0.164 m * 0.098m * m) en acier. Deux conduits circulaires (diamètre m) y sont insérés, dans lesquels circule de l huile. Les faces externes du bloc sont isolés thermiquement, exceptés sur les deux faces verticales Γ 1 et Γ 2, peintes en noir afin d augmenter le phénomène de la dissipation thermique par rayonnement. Deux sources chauffantes cylindriques (diamètre 20 mm et longueur 60 mm) sont placées dans ce bloc. Figure 1. Système diffusif étudié Figure 2.Vue schématique du banc d essais La mesure de température est effectuée par caméra infrarouge positionnée à 1m de la surface Γ 1. Une vue générale du banc est présentée en figure 2. Les deux sources chauffantes sont alimentées via un modulateur de puissance lui même commandé par ordinateur, ce qui permet ainsi d ajuster la puissance dissipée par chacune des deux sources selon une évolution choisie. C est cette évolution que l on cherchera donc à identifier en temps réel à partir des mesures de température. L évacuation de la chaleur ainsi produite par les sources chauffantes s effectue à la fois par les deux faces noires Γ 1 et Γ 2, et par un circuit d huile alimentant les deux conduits. Ce circuit est fermé et est refroidi par un échangeur alimenté en eau froide. Les températures d entrée et de sortie d huile qui varient au cours du temps sont mesurées par thermocouples reliés au système d acquisition. 2

3 3. Modélisation du système Les phénomènes thermiques étudiés sont définis par les équations suivantes : M Γ i T r r M Ω i i [ 1,2,3 ] ci = ( ki T ) + Q i(t ) (1) t i r r 4 4 [ 1,2] n ( k T ) = h ( T T ) + ε σ ( T T ) 3 ext r r M Γ i (3) i ext ext [ 3,4,5,6 ] n ( k T ) = h ( T T ) r ( k T ) = h ( T ( x ) T ) 3 r M Γ 7 n 3 oil oil (4) Où T(x,y,z,t) est la température et Q i (t) représente la puissance volumique dissipée par la source de chaleur du domaine Ω i. La table 1 présente les valeurs des propriétés thermophysiques des différents domaines. Domaine Conductivité thermique k (W.m -1.K -1 ) Capacité thermique volumique c (J.m -3.K -1 ) eq ext Sources de chaleur volumique Q (W.m -3 ) Ω Q 1 Ω Q 2 Ω Table 1. Propriétés des domaines Les termes h ext = 8 W.m -2.K -1 et h eq = 2,5 W.m -2.K -1 sont les coefficients d échanges convectifs, T ext est la température ambiante, l émissivité des deux surfaces noires Γ 1 et Γ 2 a pour valeur ε = 0.95 et σ est la constante de Stéfan-Boltzann, n r est le vecteur unitaire normal. On suppose que la température de l huile T oil varie linéairement le long des deux conduits, et le coefficient de convection h oil est estimé à 140 W.m -2.K -1. Enfin initialement, la température est égale à T 0 = 297,5K. La discrétisation spatiale du problème ainsi posé selon la méthode des éléments finis, nécessite un grand nombre de nœuds (N = 23139), et donc des matrices de grandes tailles qui interviennent dans la relation suivante : C T & (t ) = K(T )T( t ) + ( t ) + BU(t ) (5) Y( t ) = S T( t ) (6) C et K (dim N,N) sont les matrices de capacité et de conductance. On note la non linéarité de cette dernière liée au phénomène de rayonnement sur les faces externes Γ 1 (2) 3

4 et Γ 2. Le vecteur Φ (dim N) correspond aux excitations thermiques connues, la matrice B est appelée matrice de commande relativement au vecteur des sollicitations à identifier, qui contient ici Q 1 et Q 2, et on a donc p = 2. Pour un problème inverse, la sélection des points mesurés expérimentalement qui correspond à la matrice d observation Y (dim q) par rapport à l ensemble du champ thermique discrétisé T est effectué par la matrice d observation S (dim q,n). Compte tenu des grandes tailles matricielles, l utilisation d un tel modèle dit complet n est pas possible en méthode inverse. 4. Modèle réduit Le modèle réduit modal s exprime en considérant la projection du champ de température sur une base modale composée des vecteurs Vi(M), et en utilisant le fait que seuls quelques modes possèdent une influence non négligeable sur la reconstruction du champ thermique : N N<< N % (7) T(M,t) = x(t).v(m) x(t).v(m) i i i i i= 1 i= 1 On appelle x i (t) l état d excitation du vecteur V i (M) au temps t. Le problème aux valeurs propres {z i, V i } permettant l obtention d une base pour ce problème non linéaire est le problème de branche qui s écrit : M Ω k(m)v(m) = zc(m)v(m) (8) i i i r M Ω k V(M ).n = ςzv(m ) i i i (9) La résolution de ce problème sous forme discrète permet de déterminer N modes {z i,v i }. La spécificité de cette base est sa condition aux limites (équation 9) qui fait intervenir la valeur propre du mode z i. On note l existence d un paramètreς dit nombre de Steklov, qui permet d éviter la dégénérescence du problème modal de branche. La procédure de réduction de la base qui permet de diminuer le nombre de modes de N à N % fait appel à une technique d amalgame modal, qui permet par combinaisons linéaires d obtenir N % modes à partir de la base initialement calculée. L application de l équation 7 sur la formulation discrétisée du problème (équations 5 et 6), permet d obtenir un système d équations d états, dont le nombre d inconnues est égal au nombre N % de modes utilisés. On remplace ainsi le problème sur les températures aux nœuds du maillage de dimension N par un problème sur les états des modes de dimension N % : 4

5 ~ X ~ & (T ~ X ~ T L ( t ) = M ) ( t ) + V ( t ) + GU( t ) (10) Y ~ (t ) = H X ~ (t ) (11) Avec : T ~ = V ~ X ~ ~, L V T ~ ~ ~ ~ = CV, M (T ~ V T ~ ) = K (T ) V, G = V B, H = S V. ~ T On obtient finalement un système réduit d ordre N %, les matrices L et M sont alors caractérisées par de faibles dimensions ( N %, N % ). Le choix de la réduction et la validation du modèle réduit obtenu s effectue en comparant l évolution de température obtenue par la caméra infrarouge, lorsque le bloc est soumis à deux évolutions données des deux résistances chauffantes (précisée figure 5). Les figures suivantes représentent respectivement les positions des points utilisées pour la validation, ainsi que les résultats obtenus pour un modèle réduit d ordre 60. Figure 3. Position des points de mesure sur la face Γ 1 Figure 4. comparaison entre résultats expérimentaux et modèle réduit d ordre 60 (RM60) On obtient ainsi des résultats satisfaisants en terme de précision et de temps de calcul : en effet l utilisation d un modèle classique tel que défini par les équations 5 et 6 nécessite un temps CPU de 1120 secondes, alors que le calcul par le modèle réduit utilisé s effectue en 65 secondes. 5. Résolution du problème inverse réduit La procédure de résolution d un problème inverse est séquencielle: Les vecteurs d entrée U(k) au pas de temps k étant connus, l objectif est d identifier le vecteur U(k+1) à partir des températures au temps (k+1). En utilisant une discrétisation implicite en temps, les équation 10 et 11 amènent à la relation suivante entre le vecteur 5

6 des sorties (les températures calculés par modèle réduit), et les entrées à identifier (la dissipation volumique au sein des deux résistances chauffantes) : avec: [ ] 1 = I t L M ) 1 [ X ~ ( k ) + ( k 1) ] Y ~ ( k + 1) = H G U( k + 1) + H M L + (12) M (T ~ 1 ~, L = M t L V T, G = M t L 1 G Afin de tenir compte de l effet d amortissement et de retard lié au phénomène de diffusion instationnaire, il est nécessaire d utiliser l information obtenu au temps k+1, k+2, etc..., pour effectuer l identification au temps k. Une hypothèse d évolution de la grandeur à identifier doit donc être posée pour ces temps futurs. On choisi ici tout simplement de considérer U(t) comme constant : U( k i ) = U( k + 1) = constante pour 1 i nf (13) La prise en compte de ces pas de temps futurs entraîne la résolution d un système de (nf + 1) q équations, où q est le nombre de mesures. Ainsi à chaque pas de temps, le vecteur de mesure Y contient (nf + 1) colonnes: * Y ( k + 1) * Y ( k + 2 ) Y = (14) M * Y ( k + nf + 1) Le système est alors surdéterminé. L objectif est alors de déterminer la pseudo-solution ~ Û ( k + 1) du problème inverse tel quey Y 0, où Y ~ est le vecteur de température calculé par le modèle réduit. La procédure d inversion utilise une minimisation au sens des moindres carré d où les relations suivantes : T -1 T ( C C) C ( Y * - D) Û (k + 1) = (14) Avec : H C = H I + H D = H M [ G + M G] nf j= 1 H G M M j G nf 1 [ + + ] 2 [ X ~ H M X ~ ( k ) L ( k 1) M ( k ) + ML ( k + 1) + L ( k + 2 )] nf + 1 X ~ ( k ) + nf j= 0 M j M L ( k + nf + 1 j ) (15) (16) 6

7 Grâce au modèle réduit le problème inverse peut alors être résolu, ce qui n est pas possible avec un modèle complet puisque la grande taille interdit toute inversion de matrice. On présente alors les résultats de l identification pour un modèle réduit d ordre 60. Les différents points de mesures sont obtenus par thermographie infrarouge à la surface du bloc. Il existe donc un retard assez important entre le moment où la résistance chauffante dissipe une puissance volumique, et le moment où la densité de flux de chaleur atteint le point mesuré. Ce retard est estimé à 50s, ce qui pour un pas de temps de calcul de 10s entraîne l utilisation de 4 pas de temps futurs. On présente alors les résultats avec 2 points de mesures utilisés (T 2 et T 7 ), puis avec les 9 points de mesures présentés figure 3. Figure 5. Identification avec 2 points Figure 6. Identification avec 9 points L identification est globalement juste pour les deux sources. On note l influence de l augmentation du nombre de points de mesures qui contribue à stabiliser l identification. A partir de t = 2000s, l identification des deux sources comporte une erreur assez importante. On peut alors voir que les deux écarts se compensent, et que la phase d identification globale des deux sources par modèle réduit donne ainsi des résultats justes. Ainsi, le problème est lié ici au fait que le modèle d identification ne perçoit pas entre les deux sources chauffantes l origine de la variation de température aux points mesurés. Ceci est d avantage un problème de mesure lointaine de la source pour cause de non intrusion, que de manque de précision lié au modèle réduit. Le temps calcul d une étape d identification (effectuée toute les 10s) est de 0.16s avec 2 mesures et 0.72s avec les 9 températures. On a ainsi un processus en temps réel. 7

8 6. Conclusion Cette étude a permis de montrer l intérêt de la réduction par méthode modale de branche pour un processus d identification. Cette méthode de réduction, adaptée aux non linéarités permet en effet la résolution du problème inverse en temps réel, là où un modèle classique dit complet ne le permet pas, même en temps différé. Les limites de la méthode sont avant tout dues à une parfaite connaissance des paramètres du problème thermique posé, condition sine qua non de toute bonne simulation, qu elle soit complète ou réduite, directe ou inverse. Enfin, la souhait de ne pas faire de mesures intrusives, très apprécié pour toute application industrielle, reste contraignante en terme de précision. Bibliographie Alifanov O.M., Artyukhin E.A., S.V. Rumyantsev, Extreme Methods for Solving Ill Posed Problems with Applications to inverse Heat Transfer, Begell House, New York, 1995, pp Beck J.V., Blackwell B., C.R. St. Clair, Inverse Heat Conduction: Ill-posed Problems, Wiley, New York, 1985, pp Giraud M., Petit D., Identificationmethod in non linear heat conduction, parrt II : Inverse problem using a reduced model, International Journal of Heat and Mass Tranfer 48 (2005), pp Girault M., Petit D., Videcoq E., The use of model reduction and function decomposition for identifying boundary conditions of a linear thermal system, Inverse Problems in Engineering 11 (2003) Laffay P.O., Quéméner O., Neveu A., Simulation d un microprocesseur par couplage de modèles réduits modaux, Congrès français de thermique (Ile des Embiez, 29mai-1juin 2007), Neveu A., El-Khoury K., Flament B., Simulation de la conduction non linéaire en régime variable : décomposition sur les modes de branche, IJTS 38 (1999), Oulefki A., Neveu A., Réduction par amalgame modal d un modèle thermique, J.Phys. III France 3 (1993), Quéméner O., Neveu A., Videcoq E., A specific method for the branch modal formulation : Application to a highly non-linear configuration, IJTS 46 (2007),

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