Chapitre 1 - Calcul matriciel

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1 Lycée Maximilien Sorre Année BTS SIO 2 1 Notion de matrice 1.1 Généralités Chapitre 1 - Calcul matriciel Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres appelés coecients (ou termes, ou éléments). Si la matrice comporte n lignes et p colonnes, on dit que la matrice est de format (ou dimension, ou taille) (n, p). Le coecient d'indice (i, j) d'une matrice est le coecient situé à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne de cette matrice. Remarque : On désigne souvent une matrice à l'aide d'une lettre majuscule, et ses coecients à l'aide de la même lettre minuscule. Ainsi on note souvent a i,j le coecient d'indice (i, j) de la matrice A. Avec ces notations, si A = , alors :... Deux matrices sont dite égales si elles ont même format, et si les coecients qui occupent la même position sont égaux deux à deux. Exemple ( ): 1 x et 3 4 ( 1 2 y 4 ) sont égales si et seulement si... 1

2 1.2 Matrices particulières Une matrice ligne est une matrice ne comportant qu'un seule ligne. ex : Une matrice colonne est une matrice ne comportant qu'un seule colonne. ex : Une matrice carrée est une matrice comportant autant de lignes que de colonnes. On dit que la matrice est d'ordre n si le nombre de lignes (ou de colonnes) vaut n. ex : Une matrice nulle est une matrice dont tous les coecients sont nuls. ex : Une matrice identité (ou unité) est une matrice carrée dont tous les termes situés sur la diagonale principale sont égaux à 1, et dont tous les autres termes sont égaux à 0. ex : Notations : On note O n la matrice nulle carrée d'ordre n, et on note I n la matrice identité d'ordre n. 2 Opérations sur les matrices 2.1 Addition La somme de deux matrices A et B de même format est la matrice obtenue en additionnant deux à deux les coecients qui occupent la même position. Si A, B et C sont des matrices de même format : Commutativité : A + B = B + A Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) Élément neutre : si O est la matrice nulle de même format que A, alors A + O = A. 2.2 Multiplication par un réel Le produit d'une matrice A par un nombre réel k est la matrice, notée ka, obtenue en multipliant chaque terme de A par k. Remarque : On note A le produit ( 1) A. Si k et m sont deux réels et A et B des matrices : k (m A) = (km) A Distributivité : k (A + B) = k A + k B 2

3 2.3 Produit matriciel Soit A = (a 1, a 2,..., a p ) une matrice ligne à p éléments, et soit B = b 1 b 2... b p une matrice colonne à p éléments également. Le produit de A par B, noté A B (ou AB) est la matrice de dimension (1, 1) dont le coecient vaut a 1 b 1 + a 2 b a p b p. Soit A une matrice de format (n, k) et B une matrice de format (k, p). Le produit de A par B, noté A B (ou AB) est la matrice de dimension (n, p) dont le coecient d'indice (i, j) est obtenu en multipliant la i-ième ligne de A par la j-ième colonne de B. Remarque : Attention aux dimensions des matrices. On ne peut calculer AB que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A, B et C sont des matrices de formats adaptés, alors : Associativité : (A B) C = A (B C) Élément neutre : si A est carrée d'ordre n, on a A I n = I n A = A Distributivité : A (B + C) = A B + A C Remarque : Attention! La multiplication matriciel n'est pas commutative : en général, A B B A Remarque : Il existe des matrices carrées A (non nulle), B et C d'ordre n telles que B C et AB = AC. On ne peut donc pas parler de division matricielle. 3

4 Pour toute matrice carrée A et tout entier n 1, on dénit la puissance n-ième de A par le produit de n termes : A n = A A A. 3 Inverse d'une matrice 3.1 Généralités Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est inversible si il existe une matrice B telle que AB = BA = I n. B s'appelle alors l'inverse de A. Si A est inversible, alors elle possède une unique matrice inverse notée A Application : résolution d'un système de n équations à n inconnues Un système linéaire de n équations à p inconnues x 1, x 2,..., x p peut s'écrire sous la forme matricielle AX = B où A est une matrice de format (n, p), B est une matrice colonne de format (n, 1) et X = x 1 x 2... x p On considère un système linéaire de n équations à n inconnues, d'écriture matricielle AX = B (où A est une matrice carrée d'ordre n). Si A est inversible, alors ce système possède pour unique solution X = A 1 B. 4

5 4 Calcul matriciel à la calculatrice Étape 1 : Saisie d'une matrice - Touche matrice - Flèche droite deux fois pour choisir le menu EDIT - Choisir la matrice à éditer (A, B, C,...) et faire entrer - Saisir la taille de la matrice (ex : 2 3) - Saisir la valeur des coecients - Touches 2nde mode (quitter) pour revenir à l'écran de calcul. - Touche menu, choisir RUN-MAT Étape 2 : Utiliser une matrice dans un calcul - Touche matrice (menu NOMS) - Choisir la matrice à utiliser (A, B, C,...) et faire entrer - Touche F3 (pour le menu mat) - Choisir la matrice à éditer (A, B,...) et appuyer sur la èche droite - Saisir la taille de la matrice (m lignes et n colonnes) - Saisir la valeur des coecients - Touche exit 2 fois pour revenir à l'écran de calcul. - Touche optn, puis F2 (pour MAT) - F1 (pour Mat) - Saisir le nom de la matrice à utiliser (ex alpha puis X, θ, T pour A) - À la n du calcul, touche exit 2 fois pour revenir au menu de départ. Pour calculer l'inverse d'une matrice - Après la nom de la matrice, touche x 1 - Après la nom de la matrice, touche puis touche ( ) et touche 1 (pour mettre 1 en exposant) - OU, après la nom de la matrice, touche shift puis touche ) (pour x 1 ) 5