Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel

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1 Al 6 -Systèmes linéaires - Calcul matriciel Dans ce chapitre K désignera R ou C, et n, p, q, r désigneront des entiers naturels non nuls 1 Matrices Définition 1 1 On appelle matrice de taille n p à coefficients dans K, toute famille A de n p nombres de K écrite sous la forme d un tableau rectangulaire que l on note A = (a ij ) 1 i n et qui se présente sous la forme suivante : 1 j p a 11 a 1j a 1p A = a i1 a ij a ip a n1 a nj a np Le nombre a ij est le coefficient de A situé à l intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne La matrice L i (A) = ( ) a i1 a i2 a ip est appelée la i-ième ligne de A La matrice C j (A) = a 1j a nj On peut alors également écrire : A = est appelée la j-ième colonne de A L 1 (A) L n (A) ou A = 2 L ensemble des matrices de taille n p est noté M n,p (K) ( ) C 1 (A),, C p (A) 3 Pour n = p on dit que la matrice est carrée L ensemble des matrices carrées est noté M n (K) 4 Pour p = 1 on dit que la matrice est une matrice colonne de taille n 5 Pour n = 1 on dit que la matrice est une matrice ligne de taille p Remarque 1 S il n y a pas d ambigüité sur la matrice, on note souvent les lignes L i et les colonnes C j Définition 2 Matrices canonique Pour tout i [1, n] et j [1, p], on définit la matrice canoniques E ij par : ligne i colonne j M n,p(k) Ses éléments sont tous nuls, sauf celui à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne qui vaut 1 Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 1 sur 16

2 Définition 3 Matrice diagonale On appelle matrice diagonale, une matrice carrée Diag(a 1,, a n ) définie par : a D = Diag(a 1,, a n ) = 0 a 2 0 M n(k) 0 0 a n Tous ses éléments, en dehors de la diagonale, sont nuls Définition 4 La matrice identité On appelle matrice identité de taille n la matrice carrée : Diag(1,, 1) = M n(k) Ses éléments diagonaux sont tous égaux à 1 et tous ses autres éléments sont nuls La matrice identité de taille n (on dit aussi d ordre n) est notée I n Remarque 2 Les éléments de la matrice identité d ordre n sont égaux à δ i,j appelé symbole de Kronecker et défini, pour tout i, j [1, n], par : { 0 si i j δ i,j = 1 si i = j Définition 5 Matrice triangulaire 1 On appelle matrice triangulaire supérieure, une matrice carrée de la forme : a 11 a 12 a 1n 0 a 22 an 1,n M n(k) 0 0 a n,n 2 On appelle matrice triangulaire inférieure, une matrice carrée de la forme : a a 21 a 22 0 M n(k) a n1 a n,n 1 a n,n Définition 6 Égalité Deux matrices sont égales lorsqu elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux Définition 7 Addition matricielle Soient A, B M n,p (K), on définit la somme de A et B par : A + B = C avec C M n,p (K) et pour tout (i, j) [1, n] [1, p], c ij = a ij + b ij Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 2 sur 16

3 Définition 8 Multiplication par un scalaire Soient A M n,p (K) et λ K, on définit le produit de A par λ par : λ A = λa = C avec C M n,p (K) et pour tout (i, j) [1, n] [1, p], c ij = λa ij Définition 9 Matrice nulle - Matrice opposée 1 On appelle matrice nulle et on note 0 np (ou 0 s il n y pas d ambiguïté) la matrice dont tous les coefficients sont nuls 2 On appelle matrice opposée de A M n,p (K) la matrice 1 A, notée A Remarque 3 Une combinaison linéaire de matrices n a de sens que pour des matrices de même taille Proposition 1 Structure vectorielle de M n,p (K) Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p (K), α K et β K deux scalaires 1 A + B = B + A : commutativité, 2 A + (B + C) = (A + B) + C : associativité, 3 A + 0 = A : l élément neutre, 4 (α + β)a = αa + βa : distributivité, 5 α(a + B) = αa + αb : distributivité Définition 10 Produit de deux matrices Soient A = (a ij ) M n,p (K) et B = (b ij ) M p,q (K) Alors le produit C = A B est une matrice de M n,q (K) dont les coefficients c ij sont définis pour tout i [1, n] et tout j [1, q ] par : p c ij = a ik b kj Proposition 2 Si A M n,p (K), alors : k=1 Élément neutre pour la multiplication A I p = A et I n A = A Remarque 4 Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante : L élément se trouvant à la position (i, j) de A B est le produit de la i-ème ligne de A et de la j-ème colonne de B Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 3 sur 16

4 Calculer le coefficient c ij dans le produit A B revient donc à calculer le produit scalaire des vecteurs formés par la i-ème ligne de A et la j-ème colonne de B Remarque 5 Le produit de matrices n est pas commutatif en général En effet, il se peut que AB soit défini mais pas BA, ou encore que AB et BA soient tous deux définis mais pas de la même taille Mais, même si AB et BA sont définis et de la même taille, on a en général AB BA AB = 0 n implique pas A = 0 ou B = 0 Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul En d autres termes, on peut avoir A 0 et B 0 mais AB = 0 AB = AC n implique pas B = C On peut avoir AB = AC et B C Définition 11 Puissance d une matrice Pour tout A M n (K), on définit les puissances successives de A par : Autrement dit : Définition 12 Matrices nilpotentes A 0 = I n et A p+1 = A p A pour tout p N A p = A A A }{{} p facteurs On dit que A M n (K) est une matrice nilpotente s il existe k N tel que A k = 0 Dans les propositions suivantes, on suppose que les produits matriciels sont possibles Proposition 3 Propriétés du produit 1 A(BC) = (AB)C : associativité, 2 A(B + C) = AB + AC et (B + C)A = BA + CA : distributivité, 3 A 0 = 0 et 0 A = 0 Remarque 6 Dans le calcul matriciel, la matrice identité joue un rôle analogue à celui du nombre 1 pour les réels C est l élément neutre pour la multiplication Proposition 4 Produit de matrices canoniques Pour deux matrices canoniques E ij et E kl de M n (K), on a : E ij E kl = δ j,k E il Proposition 5 Produit avec une matrices canonique Pour une matrice A M n (K), on a : { 1 E ij A = A, avec L k (A L j (A) si k = i ) = (0,, 0) si k i C i (A) si k = j 0 2 A E ij = A, avec C k (A ) = si k j 0 Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 4 sur 16

5 Remarque 7 Dans l ensemble M n (K) des matrices carrées de taille n n à coefficients dans K, la multiplication des matrices est une opération interne, c est-à-dire si A, B M n (K) alors AB M n (K) On peut ainsi définir les puissances successives d une matrice Proposition 6 Formule du binôme Soient A et B deux matrices de M n (K) qui commutent, c est-à-dire telles que AB = BA Alors, pour tout entier naturel p, on a la formule suivante : où ( ) p désigne le coefficient du binôme k (A + B) p = p k=0 ( ) p A k B p k, k Remarque 8 Cette formule est fréquemment utilisée avec B = I n ou B = I n, car ces deux matrices commutent avec toute matrice de M n (K) Attention : le produit matriciel n étant pas commutatif, les identités remarquables sont donc en général fausses En particulier : (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2, on a juste : De même : on a simplement : (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 (A + B) (A B) A 2 B 2, (A + B) (A B) = A 2 AB + BA B 2 2 Opérations élémentaires sur une matrice Définition 13 Matrice de transvection Une matrice est dite de transvection si elle vérifie : λ T ij (λ) = 0 1 = I n + λe i,j, 1 avec i, j [1, n], i j et λ K Une matrice de transvection T ij (λ) est donc une matrice triangulaire dans M n (K) dont tous les termes diagonaux valent 1 et de termes hors de la diagonale tous nuls sauf celui d indice (i, j) qui vaut λ Proposition 7 Transvection Pour toute matrice A M n (K), pour tous i, j [1, n] tels que i j et pour tout λ K, on a : 1 le produit T ij (λ) A a pour effet de remplacer la ligne L i par L i +λl j, c est-à-dire effectuer l opération suivante L i L i + λl j sur la matrice A ; 2 le produit A T ij (λ) a pour effet de remplacer la colonne C j par C j + λc i, c est-à-dire effectuer l opération suivante C i C i + λc j sur la matrice A Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 5 sur 16

6 Remarque 9 Cette proposition reste valable pour toute matrice A M n,p (K) Si on effectue des opérations sur les lignes, il faut que i, j [1, n] et i j Si on effectue des opérations sur les colonnes, il faut que i, j [1, p] et i j Définition 14 Matrice de dilatation On appelle matrice de dilatation toute matrice de M n (K) qui vérifie : D i (λ) = λ = I n + (λ 1) E i,i, avec i [1, n] et λ K Une matrice de dilatation D i (λ) est donc diagonale de termes diagonaux tous égaux à 1 sauf le numéro i qui vaut λ Proposition 8 Dilatation Pour toute matrice A M n (K), pour tout i [1, n] et pour tout λ K : 1 le produit D i (λ) A a pour effet de remplacer la ligne L i par λl i, c est-à-dire effectuer l opération suivante L i λl i sur la matrice A ; 2 le produit A D i (λ) a pour effet de remplacer la colonne C i par λc i, c est-à-dire effectuer l opération suivante C i λc i sur la matrice A Remarque 10 Cette proposition reste valable pour toute matrice A M n,p (K) Si on effectue des opérations sur les lignes, il faut que i [1, n] et λ K Si on effectue des opérations sur les colonnes, il faut que i [1, p] et λ K Définition 15 Matrice de permutation Une matrice est dite de permutation si elle vérifie : P ij = = I n (E i,i + E j,j ) + (E i,j + E j,i ) avec i [1, n] et j [1, n] Une matrice de permutation est dans M n (K) et tous ses termes diagonaux valent 1 sauf le i-ème et le j-ème termes qui sont nuls et de termes hors de la diagonale tous nuls sauf celui d indice (i, j) et (j, i) qui valent 1 Proposition 9 Permutation Pour toute matrice A M n (K), pour tous i, j [1, n] : 1 le produit P ij A a pour effet de permuter la ligne L i avec la ligne L j, c est-à-dire effectuer l opération suivante L i L j sur la matrice A ; Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 6 sur 16

7 2 le produit A T ij (λ) a pour effet de permuter la colonne C i avec la colonne C j, c est-à-dire effectuer l opération suivante C i C j sur la matrice A Remarque 11 Cette proposition reste valable pour toute matrice A M n,p (K) Si on effectue une permutation sur les lignes (resp sur les colonnes), il faut que i, j [1, n] (resp i, j [1, p]) Définition 16 Matrices élémentaires On appelle matrice élémentaire une matrice de transvection ou de dilatation ou de permutation Définition 17 Matrices équivalentes Deux matrices A et B sont dites équivalentes par lignes si l une peut être obtenue à partir de l autre par une suite d opérations élémentaires sur les lignes On note A L B, ou bien simplement A B Remarque 12 La relation «équivalentes par lignes» est une relation d équivalence, elle vérifie entre autres la transitivité, c est-à-dire : Si A B et B C, alors A C 3 Algorithme du pivot de Gauss-Jordan Définition 18 Matrice échelonnée Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes : 1 Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi 2 À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul à partir de la gauche est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente Exemple 1 1 La matrice A = n est pas échelonnée par lignes car la deuxième condition n est pas vérifiée En effet, le premier élément non-nul de la 3 ème ligne n est pas situé à droite (mais en même position) que le premier élément non-nul de la 2 ème ligne La matrice B = est échelonnée par lignes Définition 19 Pivot On appelle pivot d une matrice échelonnée par ligne, le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle Exemple 2 Les pivots de B, la matrice échelonnée par ligne vue dans l exemple précédent, sont : 4, 5, 2, 3 Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 7 sur 16

8 Définition 20 Matrice échelonnée réduite Une matrice échelonnée en lignes est dite échelonnée réduite par lignes si elle est nulle ou si tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne Exemple Les matrices et sont échelonnées réduites par lignes Les matrices et ne sont pas échelonnées réduites par lignes Théorème 1 Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes Définition 21 Rang d une matrice On appelle rang d une matrice M, noté rg (M), le nombre de pivots obtenus après réduction de M en matrice échelonnée par lignes Remarque 13 Il découle de la définition que le rang d une matrice est inférieur ou égal au nombre de lignes mais aussi au nombre des colonnes Théorème 2 Rang de matrices équivalentes Si deux matrices sont équivalentes, alors elles ont le même rang Remarque 14 Algorithme de Gauss-Jordan On a vu que toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite par lignes, cela se traduit par : pour toute matrice A M n,p (K), il existe une matrice E produit de matrices élémentaires et une unique matrice échelonnée réduite R telles que R = E A Méthode : savoir pratiquer l algorithme du pivot de Gauss-Jordan Soit A une matrice que l on veut réduire avec la méthode du pivot de Gauss-Jordan Cet algorithme permet de transformer A en une une matrice équivalente par lignes et qui est échelonnée réduite par lignes Ce processus se déroule en deux temps : 1 échelonnement de la matrice grâce à des opérations élémentaires sur les lignes ; 2 passage à une matrice échelonnée réduite par lignes Remarque 15 Les opérations élémentaires sur les lignes permettant de trouver une matrice équivalente par lignes sont : 1 L i λl i avec λ 0 2 L i L i + λl j avec λ K et j i 3 L i L j Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 8 sur 16

9 4 Systèmes linéaires Définition 22 Équation linéaire, système linéaire 1 On appelle système d équations linéaires à n équations et p inconnues tout système du type : a 1,1 x a 1,j x j + + a 1,p x p = b 1 (L 1 ) (S) a i,1 x a i,j x j + + a i,p x p = b i (L i ) a n,1 x a n,j x j + + a n,p x p = b n (L n ) Les nombres a i,j K, où i [1, n] et j [1, p], sont appelés coefficients du système Les nombres b i K, où i [1, n], forment le second membre du système Les nombres x j, où j [1, p], sont les inconnues du système 2 Lorsque tous les b i sont nuls on dit que le système est homogène Le système homogène associé au système (S), noté (S 0 ), est le système d équations linéaires qui a les mêmes coefficients que (S) et un second membre nul 3 On appelle solution de (S) tout p-uplet (x 1, x 2,, x p ) K p qui vérifie les n équations linéaires Résoudre (S) consiste à trouver l ensemble des p-uplets solutions de (S) Définition 23 Soit (S) le système linéaire : Écriture matricielle a 1,1 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x a 2,p x p = b 2 a n,1 x a n,p x p = b n 1 La matrice associée au système linéaire (S) est la matrice A = (a ij ) 1 i n 1 j p a 1,1 a 1,p a 2,1 a 2,p A = a n,1 a n,p Le système linéaire est équivalent à l équation matricielle AX = B, avec : x 1 x 2 X = M b 2 p,1(k) et B = M n,1(k) x p b 1 b n M n,p (K) suivante : 2 La matrice augmentée associée à un système est la matrice de M n,p+1 (K) formée par les coefficients de A auxquels on rajoute en dernière colonne le second membre On la note A B : a 1,1 a 1,p b 1 a 2,1 a 2,p b 2 (A B) = a n,1 a n,p b n Définition 24 Opérations élémentaires sur les lignes On définit les trois opérations élémentaires sur les lignes d un système linéaire ou d une matrice : 1 L i λl i avec λ 0 : multiplier une ligne par un scalaire λ non nul Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 9 sur 16

10 2 L i L i + λl j avec λ K (et j i) : ajouter à la ligne L i un multiple d une autre ligne L j 3 L i L j : échanger deux lignes Définition 25 Systèmes équivalents Deux systèmes linéaires sont dits équivalents si on peut passer de l un à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes Théorème 3 Solutions de systèmes équivalents Deux systèmes linéaires équivalents ont le même ensemble de solutions Autrement dit, les trois opérations élémentaires ne changent pas les solutions d un système linéaire Remarque 16 Ainsi, pour résoudre un système linéaire donné, on se ramène à un système équivalent dont la résolution sera plus simple que celle du système de départ Proposition 10 Matrices augmentées de systèmes équivalents Si on passe d un système (S 1 ) à un système (S 2 ) par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes, alors la matrice augmentée de (S 2 ) s obtient en effectuant la même suite d opérations élémentaires sur les lignes que sur la matrice augmentée de (S 1 ) Remarque 17 Cette proposition nous permet d utiliser les matrices augmentées dans la résolution d un système linéaire 5 Résolution d un système linéaire On veut savoir si un système linéaire admet des solutions et donner, en cas d existence, la forme générale des solutions Une question se pose, dans le cas où il y a une infinité de solutions : il y-a-t il des variables qui ont un rôle particulier, et quel est leur nombre? Définition 26 Systèmes compatibles - Systèmes incompatibles Un système est dit compatible lorsqu il possède au moins une solution Un système est dit incompatible lorsqu il ne possède pas de solution Exemple 4 { x1 x Le système (S) : 2 = 0 est incompatible, alors que le système x 1 x 2 = 1 { (S x1 x ) : 2 = 0 est compatible x 1 + x 2 = 1 Voici un résultat théorique important pour les systèmes linéaires Théorème 4 Solutions d un système linéaire Un système d équations linéaires n a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions Remarque 18 Un système homogène est toujours compatible car il admet au moins la solution triviale x 1 = x 2 = = x p = 0 Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 10 sur 16

11 Définition 27 Rang d un système linéaire On appelle rang d un système linéaire S, noté rg (S), le rang de sa matrice associée Remarque 19 On a vu que le rang d une matrice est inférieur ou égal au nombre de lignes mais aussi au nombre des colonnes De même, le rang d un système linéaire est inférieur ou égal au nombre d équations et au nombre d inconnues Théorème 5 Rang de systèmes équivalents Si deux systèmes linéaires sont équivalents, alors ils ont le même rang Définition 28 Inconnues principales et secondaires Soit (S) un système linéaire à p inconnues de rang r dont la matrice associée est échelonnée par lignes 1 On appelle inconnues principales les inconnues correspondant aux colonnes contenant les pivots 2 On appelle inconnues secondaires ou paramètres les inconnues restantes Exemple 5 Pour le système : x x 4 = 20 (S) : x 2 3x 4 = 10 x x 4 = 2 x 1, x 2 et x 3 sont les trois inconnues principales du système (S) et x 4 est l inconnue secondaire, on dit aussi que x 4 est un paramètre de (S) Théorème 6 Structure des solutions d un système linéaire Le nombre de paramètres est égal à la différence entre le nombre d inconnues et le rang Définition 29 Système de Cramer On dit qu un système linéaire est de Cramer si son rang est égal au nombre d inconnues, autrement dit lorsque le système linéaire n admet pas de paramètres Proposition 11 Structure des solutions d un système linéaire homogène Soit (S) un système linéaire homogène à p inconnues, de rang r < p Alors (S) admet une infinité de solutions qui s expriment à l aide de p r paramètres Remarque 20 Si r = p c est-à-dire le système linéaire homogène est de Cramer, alors (S) admet une seule solution, la solution triviale x 1 = x 2 = = x p = 0 Exemple 6 Pour le système : (S) : { x1 2x 3 + x 4 = 0 x 2 x 3 + 3x 4 = 0 x 1 et x 2 sont les inconnues principales du système (S) et x 3, x 4 sont les paramètres Le système homogène (S) qui est de rang 2 admet une infinité de solutions, ces solutions s expriment à l aide des paramètres x 3 et x 4 L ensemble des solutions du système (S) est : S = {(2x 3 x 4, x 3 3x 4, x 3, x 4 ) / (x 3, x 4 ) R 2 } Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 11 sur 16

12 Théorème 7 Structure des solutions d un système linéaire Les solutions d un système linéaire compatible s obtiennent en additionnant une solution particulière à toutes les solutions du système homogène associé Exemple 7 Soit le système : (S) : { x1 2x 3 + x 4 = 1 x 2 x 3 + 3x 4 = 11 On remarque que (1, 2, 3, 4) est une solution particulière de S, alors l ensemble des solutions du système (S) est : S = {(2x 3 x 4 + 1, x 3 3x 4 + 2, x 3 + 3, x 4 + 4) / (x 3, x 4 ) R 2 } 6 Application à la géométrie Cas 1 : Deux droites dans le plan Considérons maintenant deux droites D 1 et D 2 et cherchons les points qui sont simultanément sur ces deux droites Un point de coordonnées (x, y) est dans l intersection D 1 D 2 s il est solution du système : { ax + by = c (S) : a x + b y = c Trois cas se présentent alors : 1 Les droites D 1 et D 2 se coupent en un seul point Dans ce cas, illustré par la figure de gauche, le système (S) a une seule solution 2 Les droites D 1 et D 2 sont parallèles Alors le système (S) n a pas de solution cela correspond à un système incompatible La figure du centre illustre cette situation 3 Les droites D 1 et D 2 sont confondues, et dans ce cas, le système (S) a une infinité de solutions Proposition 12 Intersection de deux droites du plan Soient deux droites du plan d équations ax + by = c et a x + b y = c On leur associe le système (S) 1 Si rg (S) = 2, alors (S) admet une unique solution ; 2 si rg (S) = 1, alors (S) est soit incompatible soit admet une infinité de solutions s exprimant à l aide d un seul paramètre Cas 2 : Trois plans dans l espace L intersection de trois plans de l espace correspond à l ensemble des solutions du système linéaire à trois équations et à trois inconnues : ax + by + cz = d (S) : a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 12 sur 16

13 Cinq cas de figures se présentent : deux des trois plans sont sécants en une droite qui coupe le troisième plan en un point ; deux des trois plans sont sécants en une droite contenue dans le troisième plan, donc le système admet une infinité de solutions qui s expriment à l aide d un seul paramètre ; deux des trois plans sont sécants en une droite qui est strictement parallèle au troisième plan et le système est incompatible ; les trois plans sont parallèles dont au moins deux sont strictement parallèles, le système (S) est donc incompatible ; les trois plans sont confondus, alors il y a une infinité de solutions qui s expriment à l aide de deux paramètres Définition 30 Intersection de trois plans de l espace Soient trois plans de l espace d équations : et (S) le système associé ax + by + cz = d, a x + b y + c y = d et a x + b y + c y = d, 1 Si rg (S) = 3, alors (S) admet une unique solution ; 2 si rg (S) = 2, alors (S) est soit incompatible soit admet une infinité de solutions s exprimant à l aide d un seul paramètre ; 3 si rg (S) = 1, alors (S) est soit incompatible soit admet une infinité de solutions s exprimant à l aide de 2 paramètres Cas 3 : Deux plans dans l espace L intersection de deux plans dans l espace correspond à l ensemble solution du système linéaire de deux équations et à trois inconnues : { ax + by + cz = d (S) : a x + b y + c z = d Trois cas de figure se présentent : les deux plans sont strictement parallèles, alors le système est incompatible, les plans sont confondus, alors il y a une infinité de solutions qui s expriment à l aide de deux paramètres, les plans se coupent en une droite, alors il y a une infinité de solutions qui s expriment à l aide d un seul paramètre Proposition 13 Intersection de deux plans de l espace Soient deux plans de l espace d équations : et (S) le système associé ax + by + cz = d, et a x + b y + c y = d, 1 Si rg (S) = 2, alors (S) est soit incompatible soit admet une infinité de solutions s exprimant à l aide d un seul paramètre ; 2 si rg (S) = 1, alors (S) est soit incompatible soit admet une infinité de solutions s exprimant à l aide de 2 paramètres 7 Matrices carrées inversibles Définition 31 Matrice inverse Soit A M n (K) S il existe une matrice B M n (K) telle que : AB = I n et BA = I n, on dit que A est inversible On appelle B l inverse de A et on la note A 1 Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 13 sur 16

14 Remarque 21 1 La matrice identité I n est inversible dans M n (K) et son inverse est elle-même 2 Les matrices élémentaires sont inversibles L inverse de la matrice de dilatation D i (λ) est D i (1/λ), l inverse de la matrice de transvection T i,j (λ) est T i,j ( λ) et l inverse de la matrice de permutation P i,j est P j,i 3 Une matrice diagonale D = Diag(a 1,, a n ) dont tous les éléments de la diagonale ne sont pas nuls est inversible et son inverse est D 1 = Diag(1/a 1,, 1/a n ) 4 La matrice nulle 0 n n est pas inversible En effet, on sait que, pour toute matrice B de M n (K), on a B0 n = 0 n, qui ne peut jamais être égal la matrice identité 5 Si A est inversible, pour tout p N, on note : A p = (A 1 ) p = A 1 A 1 A }{{ 1 } p facteurs 6 Attention : l inverse d une matrice non carrée n a pas de sens Proposition 14 Unicité de l inverse Si A est inversible, alors son inverse est unique Proposition 15 Commutativité Soient A et B deux matrices de M n (K) telles que A B = I n Alors B A = I n et A, B sont inverses l une de l autre Remarque 22 D après cette proposition, pour justifier que B est l inverse de A, il suffit de vérifier simplement que A et B sont des matrices carrées et AB = I n ou bien que BA = I n La condition A et B sont des matrices carrées est essentielle, sans cette hypothèse, on peut avoir AB = I n, mais ni A, ni B ne sont inversibles Proposition 16 Inverse de l inverse Soit A une matrice inversible Alors A 1 est aussi inversible et on a : (A 1 ) 1 = A Proposition 17 Inverse d un produit Soient A et B deux matrices inversibles de M n (K) Alors AB est inversible et : (AB) 1 = B 1 A 1 Remarque 23 On montre de même que si A, B, C sont inversibles et de même taille, alors : (A B C) 1 = C 1 B 1 A 1 Définition 32 Groupe linéaire d ordre n L ensemble des matrices inversibles de M n (K) est appelé groupe linéaire d ordre n Cet ensemble est noté GL n (K) Proposition 18 Simplification par une matrice inversible Soient A et B deux matrices de M n (K) et C une matrice inversible de M n (K) Alors : A C = B C = A = B Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 14 sur 16

15 Remarque 24 Attention : si C est une matrice quelconque de M n (K), la relation AC = BC où A et B sont des éléments de M n (K) n entraîne pas forcément l égalité A = B Proposition 19 Pour A M n (K), on a : Théorème 8 Caractérisation du groupe linéaire d ordre n Invariance du rang A GL n (K) rg (A) = n Soit A M n,p (K), alors pour toute matrice inversible B GL n (K) et toute matrice inversible C GL p (K), on a : rg (B A) = rg (A C) = rg (A) Théorème 9 CNS d inversibilité d une matrice Soit A M n (K), les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 A est inversible ; 2 sa forme échelonnée réduite est la matrice identité I n, autrement dit A I n ; 3 le système linéaire AX = 0 n admet que la solution nulle ; 4 pour tout second membre B, le système linéaire AX = B possède une unique solution X Méthode : savoir inverser une matrice par la méthode de Gauss Soit A une matrice inversible, pour déterminer son inverse : 1 on forme la matrice augmentée (A I n ) ; 2 on applique l algorithme de Gauss- Jordan en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ; 3 on arrive à la fin du processus à (I n B) ; 4 l inverse A 1 est égal à B Concrètement : La méthode pour inverser A consiste donc à faire des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice A jusqu à la transformer en la matrice identité I n On fait simultanément les mêmes opérations élémentaires en partant de la matrice I n On aboutit alors à une matrice qui est A 1 Faire une opération élémentaire signifie multiplier à gauche par une des matrices élémentaires Si E désigne le produit de ces matrices élémentaires Dire que l on arrive à la fin du processus à I n signifie E A = I n Donc A 1 = E Comme on fait les mêmes opérations sur la partie droite du tableau, alors on obtient E I n = B Donc B = E et par suite B = A 1 8 Transposition Définition 33 Transposée Soit A la matrice de taille n p de M n,p (K) : a 11 a 1j a 1p A = a i1 a ij a ip a n1 a nj a np Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 15 sur 16

16 On appelle matrice transposée de A, la matrice de taille p n notée A T ou encore t A et définie par : a 11 a i1 a n1 A T = a 1j a ij a nj M p,n (K) a 1p a ip a np Autrement dit, les lignes de la matrice A deviennent les colonnes pour la matrice transposée c est-à-dire que l on a L i (A) = C i (A T ) Ou encore, le coefficient à la place (i, j) de A T est a ji Remarque 25 On a (A T ) T = A Définition 34 Matrices symétriques - Matrices antisymétriques Soit A une matrice carrée de M n (K) 1 On dit que A est symétrique si A T = A 2 On dit que A est antisymétrique si A T = A Notation L ensemble des matrices de M n (K) qui sont symétriques (resp antisymétriques) est noté S n (K) (resp A n (K)) Remarque 26 Une matrice est symétrique si, et seulement si, pour tous i, j [1, n], les coefficients de A vérifient a ij = a ji Une matrice est antisymétrique si, et seulement si, pour tout couple d entiers (j, i) [1, n] 2 les coefficients de A vérifient a ij = a ji, ce qui entraîne que ses éléments diagonaux sont tous nuls On a donc : A M n (K) est symétrique si, et seulement si, A est de la forme : a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n a 12 a 22 a 2,n 1 a 2n A = a 1,n 1 a 2,n 1 a n 1,n 1 a n 1,n a 1n a 2n a n 1,n a nn A M n (K) est antisymétrique si, et seulement si, A est de la forme : 0 a 12 a 1,n 1 a 1n a 12 0 a 2,n 1 a 2n A = a 1,n 1 a 2,n 1 0 a n 1,n a 1n a 2n a n 1,n 0 Proposition 20 Linéarité de la transposition Soient A, B M n,p (K) et λ K, alors : 1 (A + B) T = A T + B T ; 2 (λa) T = λa T Proposition 21 Transposition d un produit et de l inverse Soient A, B M n (K), alors : 1 (AB) T = B T A T ; 2 Si A est inversible, alors A T l est aussi et on a (A T ) 1 = (A 1 ) T Cours PTSI - Jacques Delfaud - Page 16 sur 16

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