Maths en PCSI Année Chapitre n 12. Calcul matriciel

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1 Chapitre n 12 Calcul matriciel Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C, et n, p et q des entiers naturels non nuls Les éléments de K seront aussi appelés des scalaires 1 Ensembles de matrices Définition 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, un tableau a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p A =, a n,1 a n,2 a n,p où a i,j K est le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ième colonne, noté aussi [A] i,j Une telle matrice est aussi notée A = (a i,j 1 i n 1 j p L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté M n,p (K Cas particuliers : 1 Toute matrice de M 1,p (K est appelée matrice ligne (à p colonnes 2 Toute matrice de M n,1 (K est appelée matrice colonne (à n lignes 3 Toute matrice de M n,n (K est appelée matrice carrée L ensemble des matrices carrées de taille n n est simplement noté M n (K Exemple 1 À quels ensembles de matrices, les matrices suivantes appartiennent-elles? ( 1 A =, B = ( (, C = 8 3, D = , E = 2i 0 i Définition 2 (matrices triangulaires et diagonales Soit A = (a i,j 1 i n 1 j n M n (K 1 A est dite triangulaire supérieure ssi (i, j [ 1, n ] 2, i > j = ai,j = 0 2 A est dite triangulaire inférieure ssi (i, j [ 1, n ] 2, i < j = ai,j = 0 3 A est dite diagonale ssi (i, j [ 1, n ] 2, i j = ai,j = 0 Dans ce cas, on note : A = diag(a 1,1,, a n,n Lycée Jean Perrin Page 1/8 Marseille

2 2 Opérations sur les matrices 21 Addition et multiplication par un scalaire Définition 3 Soient A, B M n,p (K deux matrices, et λ K un scalaire 1 La somme de A et B est la matrice de M n,p (K, notée A + B, et définie par : (i, j [ ] [ ] 1, n 1, p, [A + B]i,j = [A] i,j + [B] i,j 2 Le produit de A par λ est la matrice de M n,p (K, notée λa, et définie par : (i, j [ ] [ ] 1, n 1, p, [λa]i,j = λ[a] i,j Exemple 2 Soient A = ( i 5 et B = ( i Calculer 2A + 3B et 0A Définition 4 On appelle matrice nulle de M n,p (K la matrice à n lignes et p colonnes dont tous les coefficients sont nuls, notée 0 n,p ou simplement 0 Propriété 1 Soient A, B, C M n,p (K et λ, µ K Alors, on a : 1 A + (B + C = (A + B + C (associativité ; 2 A + 0 n,p = 0 n,p + A = A (élément neutre ; 3 A + ( 1A = ( 1A + A = 0 n,p (élément opposé, noté A ; 4 A + B = B + A (commutativité ; 5 λ(a + B = λa + λb et (λ + µa = λa + µa (distributivité Remarque : la soustraction est définie par A B = A + ( B 22 Multiplication matricielle Définition 5 Soient A M n,p (K et B M p,q (K deux matrices Le produit de A par B est la matrice de M n,q (K, notée AB, et définie par : (i, j [ ] [ ] p 1, n 1, q, [AB]i,j = [A] i,k [B] k,j Remarque : AB a un sens si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B k=1 Exemple 3 Calculer AB dans le cas où : a A = ( 4 7 ( 3 et B = ; b A = et B = ( Lycée Jean Perrin Page 2/8 Marseille

3 Propriété 2 Si les matrices A, B, C sont de tailles convenables pour que les opérations suivantes aient un sens, et λ est un scalaire, alors on a : 1 A(BC = (ABC (associativité ; 2 A(B + C = AB + AC (distributivité à gauche ; 3 (A + BC = AC + BC (distributivité à droite ; 4 λ(ab = (λab = A(λB 23 Cas des matrices carrées Définition 6 On appelle matrice unité (ou identité de M n (K la matrice à n lignes et n colonnes, notée I n, définie par : (i, j [ { ] 2, 1 si i = j 1, n [In ] i,j = δ i,j = (symbole de Kronecker 0 si i j ( a b Exemple 4 Soit A = c d M 2 (R Calculer AI 2 et I 2 A Propriété 3 Soient A M n (K et 0 n la matrice nulle de M n (K Alors, on a : 1 AI n = I n A = A (élément neutre ; 2 A0 n = 0 n A = 0 n (élément absorbant Remarque : Si A, B M n (K, il est possible de calculer AB et BA, mais cela ne donne pas le même résultat en général Pour n 2, le produit matriciel dans M n (K n est pas commutatif Exemple 5 Calculer AB et BA si A = ( et B = ( Remarque : Si A, B M n (K, on peut avoir AB nulle sans que A et B soient nulles Pour n 2, le produit matriciel dans M n (K n est pas intègre Exemple 6 Calculer AB si A = ( ( 1 1 et B = 1 1 Définition 7 Pour A M n (K, les puissances de A sont définies par récurrence : A 0 = I n et pour k N, A k+1 = AA k Lycée Jean Perrin Page 3/8 Marseille

4 { Exemple 7 (u n et (v n sont définies par (u 0, v 0 R 2 un+1 = 2u et n N, n + 3v n v n+1 = 3u n + v n Montrer qu il existe une matrice A M 2 (R telle que n N, ( un v n = A n ( u0 v 0 Propriété 4 Soient A M n (K, (k, p N 2 et λ K Alors on a : (I n p = I n, (λa p = λ p A p et A k A p = A p A k = A k+p Exemple 8 Soient A, B M n (K Calculer (AB 2 et (A + B 2 Théorème 1 (cas des matrices qui commutent Si A, B M n (K sont deux matrices carrées qui commutent (telles que AB = BA alors p N, on a : p ( (AB p = A p B p et (A + B p p = A k B p k (formule du binôme k k=0 Exemple 9 Soient A = ( et B = ( Calculer les puissances de B En déduire celles de A Propriété 5 (cas des matrices triangulaires et diagonales Soient A, B M n (K 1 Si A et B sont triangulaires supérieures (resp inférieures alors AB est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure 2 Si A = diag(α 1,, α n et B = diag(β 1,, β n alors on a : AB = BA = diag(α 1 β 1,, α n β n et k N, A k = diag(α k 1,, αk n 3 Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel 31 Matrices élémentaires Définition 8 Soit λ un scalaire non nul On appelle : 1 matrice de permutation, toute matrice P i,j M n (K obtenue en effectuant l opération élémentaire L i L j sur I n ; 2 matrice de dilatation, toute matrice D i (λ M n (K obtenue en effectuant l opération élémentaire L i λl i sur I n ; 3 matrice de transvection, toute matrice T i,j (λ M n (K obtenue en effectuant l opération élémentaire L i L i + λl j sur I n Lycée Jean Perrin Page 4/8 Marseille

5 Exemple 10 Calculer EA et dire à quelle opération élémentaire sur A ce produit correspond : ( ( E = et A = ; E = 3 E = ( ( et A = et A = ( ( ; Remarque : Effectuer une opération élémentaire sur les lignes d une matrice revient à multiplier cette dernière à gauche par la matrice élémentaire correspondante Aussi, on a : P i,j P i,j = I n, D i (λd i (1/λ = I n et T i,j (λt i,j ( λ = I n (si i j Les matrices élémentaires P i,j, D i (λ et T i,j (λ sont dites inversibles et ont pour inverses les matrices élémentaires P i,j, D i (1/λ et T i,j ( λ respectivement Théorème 2 Soit A M n,p (K Il existe une matrice E M n (K produit de matrices élémentaires et une unique matrice R M n,p (K échelonnée réduite par lignes telles que A = ER Remarque : Effectuer une opération élémentaire sur les colonnes d une matrice revient à multiplier cette dernière à droite par une matrice élémentaire, obtenue en effectuant cette même opération élémentaire sur les colonnes de l identité On dit que deux matrices (de même taille A et A sont équivalentes par colonnes si on passe de l une à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les colonnes Dans ce cas, on note A C A Exemple 11 Calculer AE si A = et E = Quelle opération élémentaire a-t-on effectuée sur la matrice A? Écriture matricielle d un système linéaire Théorème 3 Soit le système de n équations linéaires à p inconnues x 1,, x p a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (S a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n Alors on a : (S AX = B, où A = (a i,j 1 i n M n,p (K est la matrice des coefficients de (S, X = (x j 1 j p M p,1 (K 1 j p est la colonne de ses inconnues, et B = (b j 1 j p M n,1 (K celle de ses seconds membres Lycée Jean Perrin Page 5/8 Marseille

6 Exemple 12 Résoudre l équation matricielle AX = B dans le cas où : ( x ( A =, X = y 3 et B = z p Remarque : AX = x j C j est une combinaison linéaire des colonnes C j de A j=1 Aussi, l écriture matricielle du système homogène (S H associé à (S est AX = 0 n,1 Ainsi, si X p est une solution particuilère de (S, alors on a : AX = B X = X p + X H, X H solution de (S H 4 Matrices carrées inversibles 41 Définition et produit de matrices inversibles Définition 9 Soit A M n (K On dit que A est inversible ssi il existe une matrice B M n (K telle que AB = BA = I n Dans ce cas, la matrice B est appelée matrice inverse de A L ensemble des matrices inversibles de M n (K est appelé groupe linéaire, et noté GL n (K Propriété 6 Si A M n (K admet une matrice inverse alors elle est unique, et notée A 1 Exemple 13 Soit A M n (K vérifiant (A 2I n 2 = 0 n Montrer que A est inversible, puis calculer A 1 Théorème 4 (admis Soit A M n (K 1 A est inversible ssi il existe B M n (K telle que AB = I n Dans ce cas, B = A 1 2 A est inversible ssi il existe B M n (K telle que BA = I n Dans ce cas, B = A 1 Propriété 7 Soient A, B GL n (K et λ K Alors on a : 1 λa est inversible, d inverse (λa 1 = 1 λ A 1 ; 2 AB est inversible, d inverse (AB 1 = B 1 A 1 ; 3 A 1 est inversible, d inverse (A 1 1 = A ; 4 k N, A k est inversible, d inverse (A k 1 = (A 1 k, notée aussi A k Lycée Jean Perrin Page 6/8 Marseille

7 42 Méthodes de calcul de l inverse d une matrice inversible Théorème 5 Soit A M n (K, et X M n,1 (K Les assertions suivantes sont équivalentes : (i A est inversible ; (ii A L I n ; (iii le système AX = 0 n,1 admet pour unique solution 0 n,1 ; (iv pour tout B M n,1 (K, le système AX = B admet une unique solution ; (v pour tout B M n,1 (K, le système AX = B admet au moins une solution Remarque : Le rang du système AX = 0 n,1 est aussi appelé rang de A, et noté rang(a Ainsi, A GL n (K rang(a = n Application 1 : Pour inverser une matrice, on peut résoudre un système Si le système AX = B n est pas de rang n, alors A n est pas inversible, sinon on a : AX = B X = A 1 B Exemple 14 Inverser, si cela est possible, la matrice A : a A = ; b A = Application 2 : Pour inverser une matrice, on peut appliquer l algorithme de Gauss-Jordan à la matrice augmentée (A I n Si on obtient une matrice augmentée de la forme (I n E, alors A est inversible et A 1 = E, sinon A n est pas inversible Exemple 15 Inverser, si cela est possible, la matrice A : a A = ; b A = Propriété 8 Soit A = diag(α 1,, α n une matrice diagonale A est inversible ssi i [ 1, n ], αi 0 Dans ce cas, A 1 = diag ( 1 α 1,, ( a b Théorème 6 (et définition-cas des matrices carrées d ordre 2 Soit A = M c d 2 (K ( La matrice A est inversible ssi ad bc 0 Dans ce cas, A 1 1 d b = ad bc c a Le scalaire ad bc est appelé déterminant de A et noté det(a ou a b c d 1 α n ( m 2 5 Exemple 16 Étudier l inversibilité de A = 4 m + 2, où m C Lycée Jean Perrin Page 7/8 Marseille

8 5 Opération de transposition d une matrice Définition 10 Soit A M n,p (K On appelle transposée de A la matrice, notée A T (ou t A, définie par : A T M p,n (K et (i, j [ 1, p ] [ 1, n ], [A T ] i,j = [A] j,i Exemple 17 Déterminer la transposée de A : a A = ( ; b A = diag(1, 2, 3 ; c A = Remarque : Les lignes de A T sont les colonnes de A, et inversement Si A est une matrice diagonale alors A T = A (la réciproque est fausse Définition 11 Soit A M n (K 1 A est dite symétrique ssi A T = A 2 A est dite antisymétrique ssi A T = A Exemple 18 Déterminer les matrices symétriques et antisymétriques de M 2 (R Propriété 9 Si les matrices A et B sont de tailles convenables pour que les opérations suivantes aient un sens, et λ est un scalaire, alors on a : 1 (A T T = A ; 2 (A + B T = A T + B T ; 3 (λa T = λa T ; 4 (AB T = B T A T ; 5 k N, (A k T = (A T k ; 6 A est inversible ssi A T est inversible ; dans ce cas, (A T 1 = (A 1 T Lycée Jean Perrin Page 8/8 Marseille

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