Calcul matriciel. Chapitre Généralités Premières dénitions

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1 Table des matières 8 Calcul matriciel 2 81 Généralités Premières dénitions Matrices carrées particulières 4 82 Somme et produit par un réel 5 83 Produit 7 84 Transposée Puissance d'une matrice carrée Inverse d'une matrice carrée Dénition et premiers résultats Calcul eectif de l'inverse 14 1

2 Chapitre 8 Calcul matriciel Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, n et p désignent deux entiers strictement positifs 81 Généralités 811 Premières dénitions Dénition 811 On appelle matrice à coecients réels à n lignes et p colonnes, ou plus simplement matrice à n lignes et p colonnes, tout tableau délimité par deux parenthèses et composé de n lignes et p colonnes de réels L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (R (ou M n,p (R ou même parfois M n,p Exemple π , (, et sont des matrices Dénition 813 Soit A une matrice de M n,p (R Le couple (n, p (ie le couple constitué du nombre de lignes et du nombre de colonnes de la matrice A est appelé format de la matrice A Exemple 814 Les formats des matrices de l'exemple précédents sont (dans l'ordre : Notation 815 Comme pour tout objet mathématique, on peut utiliser une lettre pour noter une matrice (l'usage est une lettre majuscule pour les matrices On peut par exemple écrire : on pose A ( Lorsque l'on s'intéresse à une matrice non explicite, on peut de plus donner des noms aux éléments qu'elle contient ( a a b Exemples : soit A une matrice de M 2,2 (R,, soit A c c d e M 3,2 (R,, soit A (a i,j 1 i n,1 j p une matrice de M n,p (R, b d une matrice de f 2

3 Remarque 816 L'écriture explicite de la matrice A (a i,j 1 i n,1 j p est la suivante : Pour tout couple (i, j de [1, n] [1, p], a i,j est appelé terme (ou coecient ou encore élément de la i-ème ligne et de la j-ième colonne de la matrice A (ou d'indice (i, j de la matrice A Exemple 817 On considère la matrice A ( Le terme d'indice (1, 1 de A est, celui d'indice (1, 2 est et celui d'indice (2, 1 est Dénition 818 Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même format et les mêmes termes aux mêmes places Autrement dit, étant données deux matrices A (a i,j 1 i n,1 j p et B (b i,j 1 i m,1 j q, on a l'équivalence : A B Dénition 819 Une matrice est dite carrée si et seulement si elle a autant de lignes que de colonnes Le nombre de lignes (ou de colonnes est alors appelé ordre de la matrice On note M n (R (ou M n (R l'ensemble des matrices carrées d'ordre n (en particulier M n,n (R Une matrice est dite matrice ligne si et seulement si elle possède une seule ligne (l'ensemble des matrices lignes, à p colonnes, est l'ensemble Une matrice est dite matrice colonne si et seulement si elle possède une seule colonne (l'ensemble des matrices colonnes, à n lignes, est l'ensemble Exemple 8110 Remarque 8111 Les matrices carrées d'ordre 1 sont identiées aux réels 3

4 Dénition 8112 On appelle matrice nulle toute matrice constituée uniquement de 0 La matrice nulle de M n,p (R est notée 0 Mn,p(R (ou 0 n,p et la matrice nulle de M n (R est notée 0 n (R (ou 0 Mn(R La notation 0 est aussi utilisée lorsque cela n'entraine pas d'ambigüité 812 Matrices carrées particulières Dénition 8113 Soit A (a i,j 1 i n,1 j n une matrice de M n (R Les réels a 1,1, a 2,2,, a n,n sont appelés éléments diagonaux de A (ou coecients diagonaux ou encore termes diagonaux de A Exemple 8114 Les éléments diagonaux de la matrice sont Dénition 8115 (matrices triangulaires Soit A (a i,j 1 i n,1 j n une matrice de M n (R On dit que A est triangulaire supérieure si, et seulement si, pour tout couple (i, j de [1, n] 2 tel que i > j, a i,j 0 On dit que A est triangulaire inférieure si, et seulement si, pour tout couple (i, j de [1, n] 2 tel que i < j, a i,j 0 Exemple 8116 Dénition 8117 (matrices diagonales Soit A (a i,j 1 i n,1 j n une matrice de M n (R On dit que A est diagonale si, et seulement si, pour tout couple (i, j de [1, n] 2 tel que i j, a i,j 0 Exemple

5 Dénition 8119 Soit A (a i,j 1 i n,1 j n une matrice de M n (R On dit que A est la matrice identité (ou matrice unité si, et seulement si, A est diagonale et tous ses coecients diagonaux sont égaux à 1 La matrice identité d'ordre n est noté I n Lorsque cela n'entraîne pas d'ambigüité, on peut aussi la noter I Exemple Somme et produit par un réel Dénition 821 (somme Soient A (a i,j 1 i n,1 j p et B (b i,j 1 i n,1 j p deux matrices de M n,p (R On appelle somme de A et B, la matrice de M n,p (R, notée A+B, dénie par A + B (c i,j 1 i n,1 j p où, pour tout couple (i, j de [1, n] [1, p], c i,j a i,j + b i,j Autrement écrit : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 b 1,2 b 1,p a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 1,p + b 1,p + b 2,1 b 2,2 b 2,p a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 a 2,p + b 2,p a n,1 a n,2 a n,p b n,1 b n,2 b n,p a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2 a n,p + b n,p Exemple 822 ( ( , , 3, 5 4, , 8 + 1, 9 3, 3 2, 4 2 2, , + ( Proposition 823 (propriétés de la somme Soient A, B et C trois matrices de M n,p (R On a les résultats suivants : A + 0 Mn,p(R 0 Mn,p(R + A A A + B B + A (on dit que la somme est commutative (A + B + C A + (B + C (on dit que la somme est associative Démonstration : Les deux premiers points sont laissés au lecteur Voici une démonstration du troisième Posons A (a i,j 1 i n,1 j p, B (b i,j 1 i n,1 j p et C (c i,j 1 i n,1 j p 5

6 On a : (A + B + C et : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 b 1,2 b 1,p c 1,1 c 1,2 c 1,p + b 2,1 b 2,2 b 2,p + c 2,1 c 2,2 c 2,p a n,1 a n,2 a n,p b n,1 b n,2 b n,p c n,1 c n,2 c n,p a 1,1 + b 1,1 a 1,2 + b 1,2 a 1,p + b 1,p c 1,1 c 1,2 c 1,p a 2,1 + b 2,1 a 2,2 + b 2,2 a 2,p + b 2,p + c 2,1 c 2,2 c 2,p a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2 a n,p + b n,p c n,1 c n,2 c n,p (a 1,1 + b 1,1 + c 1,1 (a 1,2 + b 1,2 + c 1,1 (a 1,p + b 1,p + c 1,p (a 2,1 + b 2,1 + c 2,1 (a 2,2 + b 2,2 + c 2,2 (a 2,p + b 2,p + c 2,p (a n,1 + b n,1 + c n,1 (a n,2 + b n,2 + c n,2 (a n,p + b n,p + c n,p a 1,1 + b 1,1 + c 1,1 a 1,2 + b 1,2 + c 1,1 a 1,p + b 1,p + c 1,p a 2,1 + b 2,1 + c 2,1 a 2,2 + b 2,2 + c 2,2 a 2,p + b 2,p + c 2,p a n,1 + b n,1 + c n,1 a n,2 + b n,2 + c n,2 a n,p + b n,p + c n,p a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 + c 1,1 b 1,2 + c 1,2 b 1,p + c 1,p A + (B + C + b 2,1 + c 2,1 b 2,2 + c 2,2 b 2,p + c 2,p a n,1 a n,2 a n,p b n,1 + c n,1 b n,2 + c n,2 b n,p + c n,p a 1,1 + (b 1,1 + c 1,1 a 1,2 + (b 1,2 + c 1,1 a 1,p + (b 1,p + c 1,p a 2,1 + (b 2,1 + c 2,1 a 2,2 + (b 2,2 + c 2,2 a 2,p + (b 2,p + c 2,p a n,1 + (b n,1 + c n,1 a n,2 + (b n,2 + c n,2 a n,p + (b n,p + c n,p a 1,1 + b 1,1 + c 1,1 a 1,2 + b 1,2 + c 1,1 a 1,p + b 1,p + c 1,p a 2,1 + b 2,1 + c 2,1 a 2,2 + b 2,2 + c 2,2 a 2,p + b 2,p + c 2,p a n,1 + b n,1 + c n,1 a n,2 + b n,2 + c n,2 a n,p + b n,p + c n,p d'où le résultat Remarque 824 En pratique, le troisième point de la proposition précédente permet de ne pas écrire de parenthèses lorsqu'on considère une somme d'un nombre quelconque de matrices Dénition 825 Soient A (a i,j 1 i n,1 j p et B (b i,j 1 i n,1 j p deux matrices de M n,p (R La matrice A B, est la matrice de M n,p (R dénie par A B (c i,j 1 i n,1 j p, où, pour tout couple (i, j de [1, n] [1, p], c i,j a i,j b i,j Autrement écrit : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 b 1,2 b 1,p a 1,1 b 1,1 a 1,2 b 1,2 a 1,p b 1,p b 2,1 b 2,2 b 2,p a 2,1 b 2,1 a 2,2 b 2,2 a 2,p b 2,p a n,1 a n,2 a n,p b n,1 b n,2 b n,p a n,1 b n,1 a n,2 b n,2 a n,p b n,p Exemple 826 ( (

7 Dénition 827 Soient A (a i,j 1 i n,1 j p une matrice de M n,p (R et λ un réel On appelle produit de A par le réel λ, la matrice de M n,p (R, notée λa, dénie par λa (c i,j 1 i n,1 j p, où, pour tout couple (i, j de [1, n] [1, p], c i,j λa i,j Autrement écrit : a 1,1 a 1,2 a 1,p λa 1,1 λa 1,2 λa 1,p λ λa 2,1 λa 2,2 λa 2,p a n,1 a n,2 a n,p λa n,1 λa n,2 λa n,p Exemple 828 ( Proposition 829 Soient A et B deux matrices de M n,p (R Soient λ et µ deux réels On a les résultats suivants : λ(a + B (λ + µa λ(µa Démonstration : laissée au lecteur qui pourra s'inspirer de la démonstration de l'associativié de la somme vue plus haut 83 Produit Dénition 831 (Produit d'une matrice par une matrice colonne Soient A (a i,j 1 i n,1 j p une matrice de M n,p (R et B (b i,1 1 i p une matrice de M p,1 (R On appelle produit de A par B, la matrice de M n,1 (R, notée AB, dénie par AB (c i,1 1 i n, où, p pour tout entier i de [1, n], c i,1 a i,k b k,1 ( a i,1 b 1,1 + a i,2 b 2,1 + + a i,p b p,1 k1 Autrement écrit : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 b 2,1 a n,1 a n,2 a n,p b p,1 a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1 + + a 1,p b p,1 a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1 + + a 2,p b p,1 a n,1 b 1,1 + a n,2 b 2,1 + + a n,p b p,1 Exemple ( , , , (

8 Dénition 833 (Produit de deux matrices, cas général Soit q un entier strictement positif Soient A (a i,j 1 i n,1 j p une matrice de M n,p (R et B (b i,j 1 i p,1 i q une matrice de M p,q (R On appelle produit de A par B, la matrice de M n,q (R, notée AB, dénie par AB (c i,j 1 i n,1 j q, p où, pour tout couple (i, j de [1, n] [1, q ], c i,j a i,k b k,j ( a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + + a i,p b p,j k1 Autrement écrit : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 b 1,2 b 1,q b 2,1 b 2,2 b 2,q a n,1 a n,2 a n,p b p,1 b p,2 b p,q a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1 + + a 1,p b p,1 a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2 + + a 1,p b p,2 a 1,1 b 1,q + a 1,2 b 2,q + + a 1,p b p,q a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1 + + a 2,p b p,1 a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2 + + a 2,p b p,2 a 2,1 b 1,q + a 2,2 b 2,q + + a 2,p b p,q a n,1 b 1,1 + a n,2 b 2,1 + + a n,pb p,1 a n,1 b 1,2 + a n,2 b 2,2 + + a n,pb p,2 a n,1 b 1,q + a n,2 b 2,q + + a n,pb p,q Remarque 834 La matrice AB est donc obtenue en juxtaposant les matrices colonnes obtenues en eectuant a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,1 a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,2 b 2,1 les produits matriciels, b 2,2, a n,1 a n,2 a n,p b p,1 a n,1 a n,2 a n,p b p,2 a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1,q b 2,q, a n,1 a n,2 a n,p b p,q Voici quelques cas particuliers (a, b, c, d, e, f, α, β, γ, δ, λ et µ sont des réels : ( ( a b α β c d γ δ ( ( a b α β γ c d δ λ µ a b ( c d α β γ δ e f a b ( c d α β γ δ λ µ e f Exercice 1 Exercice 2 de la feuille d'exercices distribuée 8

9 Remarque 835 (relation de Chasles On peut retenir ce qui suit concernant le format d'un produit de matrices : A }{{} format (n, p B }{{} format (p, q C }{{} format (n, q On se souviendra aussi que lorsque le nombre de colonnes de A est distinct du nombre de lignes de B, le produit AB n'est pas déni Autrement écrit, si A est une matrice de format (s, t et B est une matrice de format (l, m et que l'on a t l, alors le produit AB n'est pas déni On trouve parfois la notations A B à la place de AB Remarque 836 ATTENTION, étant données deux matrices, on peut avoir AB BA Exemple : On dit que le produit matriciel n'est pas commutatif Exercice 2 Exercice 3 de la feuille d'exercices distribuée Proposition 837 Soient q et r deux entiers strictement positifs Soient λ et µ deux réels Soient A et B deux matrices de M n,p (R, C et D deux matrices de M p,q (R et E une matrice de M q,r (R On a les égalités suivantes : I n A AI p A(λC A(CE A(C + D (A + BC Démonstration : laissée au lecteur qui pourra s'inspirer de la démonstration de l'associativié de la somme vue plus haut Remarque 838 On pourra retenir que les propriétés des opérations sur les matrices sont les mêmes que celles sur les réels à la diérence capitale près que l'ordre dans lequel le produit de deux matrices est eectué importe Exercice 3 On garde les mêmes notations que dans la proposition précédente Développer les égalités suivantes : (3A 4B(2C 5D (A + B(A + B (A B(A + B 9

10 84 Transposée Dénition 841 (Transposée Soit A (a i,j 1 i n,1 j p une matrice de M n,p (R On appelle transposée de A, la matrice de M p,n (R, notée t A, dénie par t A (c i,j 1 i p,1 j n où, pour tout couple (i, j de [1, p] [1, n], c i,j a j,i Autrement écrit : t a 1,1 a 1,2 a 1,p a 1,1 a 2,1 a n,1 a 1,2 a 2,2 a n,2 a n,1 a n,2 a n,p a 1,p a 2,p a n,p Remarque 842 La transposée d'une matrice A est donc obtenue en Exemple 843 t t , t ( , Exercice 4 Soit A une matrice de M n,p (R Que peut-on dire de t ( t A? Exercice 5 Exercice 4 de la feuille d'exercices distribuée Dénition 844 Soit A une matrice de M n,p (R On dit que A est symétrique si et seulement si t A A Exemple 845 Remarque 846 Une matrice symétrique est nécessairement 10

11 85 Puissance d'une matrice carrée Jusqu'à la n du chapitre, on ne considère plus que des matrices carrées Notation 851 Soient A une matrice de M n (R et m un entier positif On dénit la matrice A m par : A m A A A }{{} m fois I n si m 0 si m > 0 Exercice 6 Les égalités suivantes sont-elles correctes? ( ( , ( ( Exercice 7 Exercices 6 et 7 de la feuille d'exercices distribuée Proposition 852 a 1,1 0 0 Soit D 0 a 2,2 0 une matrice diagonale de M n(r 0 0 a n,n Pour tout entier m de N, on a : (a 1,1 m 0 0 D m 0 (a 2,2 m (a n,n m Démonstration : une récurrence, laissée au lecteur, permet de conclure Proposition 853 Soit A une matrice de M n (R On suppose qu'il existe une matrice P de M n (R, une matrice Q de M n (R et une matrice diagonale a 1,1 0 0 D 0 a 2,2 0 de M n(r telles que A P DQ et QP I n 0 0 a n,n Pour tout entier m de N, on a : (a 1,1 m 0 0 A m P 0 (a 2,2 m 0 Q 0 0 (a n,n m 11

12 Démonstration : une récurrence, laissée au lecteur, permet de conclure Dénition 854 Soient A et B deux matrices de M n (R On dit que A et B commutent si et seulement si AB BA Exercice 8 Soient A et B deux matrices de M n (R qui commutent Développer les expressions suivantes : (A + B 2 (A + B 3 (A + B 4 Plus généralement, on a le résultat suivant : Proposition 855 (Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent Soient A et B deux matrices de M n (R telles que AB BA Pour tout m de N, on a : (A + B m m k0 ( m A k B m k k Démonstration : on admet ce résultat Exercice 9 Exercices 8 et 9 de la feuille d'exercice distribuée Remarque 856 Avec les mêmes hypothèses, on a aussi (A + B m k0 La formule du binôme de Newton n'est ecace pour calculer les puissances d'une matrice que m ( m B k A m k k lorsque l'on peut écrire celle-ci comme la somme de deux matrices qui commutent et dont on sait expliciter les puissances Le cas le plus fréquent en pratique est celui pour lequel on peut écrire la matrice considérée comme la somme de deux matrices qui commutent : une diagonale et une dont les puissances sont nulles à partir d'un certain rang En posant, pour tout élément λ de R, λ 0 1 (c'est la convention usuelle, les résultats des propositions (852 et (853 sont encore valables dans le cas m 0 12

13 86 Inverse d'une matrice carrée 861 Dénition et premiers résultats Dénition 861 Soit A une matrice de M n (R On dit que A est inversible si, et seulement si, il existe une matrice B de M n (R telle que AB BA I n Lorsque c'est le cas, la matrice B est appelée inverse de A et est notée A 1 Remarque 862 Une matrice inversible admet une unique matrice inverse (le lecteur voulant établir ce résultat pourra supposer l'existence de deux matrices inverse et vérier que celles-ci sont nécessairement égales Exemple 863 L'inverse de la matrice A est la matrice B En eet : Remarque La matrice est inversible et son inverse est la matrice Théorème 865 Soit A une matrice de M n (R S'il existe une matrice B tel que AB I n alors BA I n Démonstration : ce résultat est admis (on ne dispose pas encore des outils pour le démontrer Remarque 866 Le résultat précédent n'est pas anecdotique car Il permet, lorsque l'on veut vérier qu'une matrice B est l'inverse d'une matrice A de Exercice 10 Exercice 10 de la feuille d'exercices distribuées Proposition 867 Soient A et C deux matrices inversibles de M n (R On a les résultats suivants : La matrice A 1 est inversible, d'inverse A (ie ( A 1 1 A Pour tout entier strictement positif p, la matrice A p est inversible, d'inverse ( A 1 p (ie (A p 1 ( A 1 p La matrice AC est inversible, d'inverse C 1 A 1 (ie (AC 1 C 1 A 1 13

14 Remarque 868 La matrice ( A 1 p est souvent notée A p Théorème 869 ( a b Soit A une matrice de M 2 (R c d La matrice A est inversible si, et seulement si, ad bc 0 et, dans ce cas, on a : A 1 1 ad bc ( d b c a Démonstration : cf exercice 11 de la feuille d'exercices distribuée Dénition-Notation 1 On garde les notations du théorème précédent Le réel ad bc est appelé déterminant de la matrice A et est noté det(a (une matrice carrée d'ordre 2 est donc inversible si et seulement si son déterminant est non nul Exemple 8610 Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, préciser leur inverse ( A 3 4 ( B 2 4 ( C 0 0 ( D 0 1 Exercice 11 Exercice 11 de la feuille d'exercices distribuées 862 Calcul eectif de l'inverse Exercice 12 Exercice 12 de la feuille d'exercices distribuées Proposition 8611 Soient (a i,j 1 i n,1 j p et (b i 1 i n deux familles de réels On considère le système (S suivant : (S : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p b 2 a n1 x 1 + a n2 x a np x p b n a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p et l'équation matricielle AX B où A et B a n1 a n2 a np b 1 b 2 b n 14

15 On a l'équivalence : (S AX B (où X Autrement écrit : la famille de réels (x 1, x 2,, x n est une solution de (S si et seulement si est solution de l'équation matricielle AX B La matrice A est appelée matrice associée au système (S et (S est appelée système associé à l'équation matricielle AX B x 1 x 2 x p x 1 x p Démonstration : découle du fait que deux matrices sont égales si et seulement si elles ont le même format et les mêmes coecients aux mêmes places Exercice 13 Exercice 13 de la feuille d'exercices distribuées Théorème 8612 (calcul de l'inverse par la résolution d'un système y 1 y 2 Soit A une matrice de M n (R, connue explicitement Soit B une matrice de M n(r quelconque (ie y 1, y 2,, y n non connus explicitement On a les résultats suivants : y n La matrice A est inversible si, et seulement si, le système (S associé à l'équation matricielle AX B est de Cramer, c'est-à-dire si, et seulement si, après opérations élémentaires sur les lignes du système (S on obtient un système de la forme α 1 x 1 + α 2 x 2 + avec α 1, α 2,, α n x n α n des réels tous non nuls De plus, lorsque A est inversible, la résolution du système (S permet d'obtenir une matrice C de M n (R telle que l'on ait l'équivalence : et on a C A 1 AX B X CB Démonstration : ce théorème est admis (ATTENTION, la démarche évoquée dans l'exercice précédent permet seulement de deviner le résultat de ce théorème pas de le démontrer -il reste pour cela un peu de travail- Exemple : Montrons que la matrice A est inversible et déterminons son inverse 15

16 Soit B a b c une matrice de M 3,1 (R Pour tout X AX B x 7y + 11z x + 12y 19z 3y + 5z x y z de M 3,1 (R, on a les équivalences : x y z a b c x 7y +11z a x +12y 19z b 3y +5z c x 7y +11z a 5y 8z b + a 3y +5z c x 7y +11z a 15y 24z 3b + 3a 15y +25z 5c a b c L 2 L 2 + L 1 L 2 3L 2 L 3 5L 3 x 7y +11z a 15y 24z 3b + 3a 5z 25c + 15b + 15a L 3 L 3 + L 2 (le système est de Cramer, la matrice A est donc inversible x 7y + 11z a 15y 3b + 3a + 24(5c + 3b + 3a z 5c + 3b + 3a x 7y + 11z a 5y b + a + 8(5c + 3b + 3a z 5c + 3b + 3a x a + 7y + 11(5c + 3b + 3a 5y 40c + 25b + 25a z 5c + 3b + 3a x a + 56c + 35b + 35a 55c 33b 33a y 8c + 5b + 5a z 5c + 3b + 3a x 3a + 2b + c y 8c + 5b + 5a z 5c + 3b + 3a x 3a + 2b + c y 5a + 5b + 8c z 3a + 3b + 5c x y z Finalement, la matrice A est inversible et son inverse est donné par A 1 a b c Théorème 8613 (calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss Soit A une matrice inversible de M n (R En transformant la matrice A en la matrice identité à l'aide d'opérations sur les lignes et en eectuant simultanément les mêmes opérations sur la matrice identité on obtient l'inverse de la matrice A Démonstration : ce théorème est admis (cf correct exercice 14 de la feuille d'exercices distribuée pour comprendre pourquoi il est Exercice 14 Exercice 14 de la feuille d'exercices distribuées 16

17 Exemple : Montrons que la matrice A pivot de Gauss : est inversible et déterminons son inverse à l'aide de la méthode du L 2 L 2 + L La matrice A est donc inversible et son inverse est donné par A 1 Remarque 8614 L 3 5L 3 + 3L 2 L 2 L 2 + 8L 3 L 1 L 1 11L 3 L 1 5L 1 + 7L 2 L 1 L 1 5 L 2 L La méthode du pivot de Gauss permet aussi de conclure quant à l'inversibilité de la matrice considérée : α 1 Après opérations sur les lignes de la matrice on obtient une matrice de la forme 0 α α n et deux possibilités se présentent : les réels de la famille (α 1, α 2,, α n sont tous non nuls, auquel cas la matrice considérée est inversible l'un des réels de la famille (α 1, α 2,, α n est nul auquel cas la matrice considérée n'est pas inversible Exercice 15 Exercice 15 de la feuille d'exercices distribuées Exercice 16 Exercice 16 de la feuille d'exercices distribuées ( 17

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