CH XIII : Calcul matriciel

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1 CH XIII : Calcul matriciel I Généralités sur les matrices Soient n et p deux entiers naturels non nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à cœfficients dans R un tableau de nombres réels Si A est une matrice, on note a i,j le cœfficient de la i ème ligne et j ème colonne La matrice A s écrit sous la forme : a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p A = a n, a n,2 a n,p On notera aussi A = (a i,j i n j p On dira aussi que A est de taille (ou dimension n p L ensemble des matrices réelles de taille n p est noté M n,p (R Si n = p, on dira que la matrice A est une matrice carrée On notera M n (R l ensemble des matrices carrées de taille n n On parlera de matrice rectangle si n p Un élément de M,p (R est appelé matrice ligne ou vecteur ligne Par exemple, la i ème ligne de A est un vecteur ligne Il s écrit : ( ai, a i,2 a i,p Un élément de M n, (R est appelé matrice colonne ou vecteur colonne Par exemple, la j ème colonne de A est un vecteur colonne Il s écrit : a,j a 2,j a n,j La matrice (de taille n p dont tous les cœfficients sont nuls est appelée matrice nulle Elle est notée 0 Mn,p(R ou tout simplement 0 Même si la matrice nulle est notée 0, il ne faut pas la confondre avec le réel 0 Si n = p, on appelle matrice identité et on note I n la matrice carrée dont tous les cœfficients sont nuls à l exception des termes diagonaux qui sont égaux à Plus précisément : I n = Égalité de deux matrices Soient A = (a i,j i n M n,p (R et B = (b i,j i m j p j q A et B sont égales si : a elles ont le même nombre de lignes : n = m b elles ont le même nombre de colonnes : p = q M m,q (R c elles ont les mêmes cœfficients : i, n, j, p, a i,j = b i,j

2 II Opérations matricielles II Somme de matrices Soient A et B deux matrices de M n,p (R On appelle somme de A et B et on note A + B la matrice de M n,p (R : A + B = (a i,j + b i,j i n j p L opérateur de somme matricielle + est interne (dans M n,p (R : + : M n,p (R M n,p (R M n,p (R ( A, B A + B (partant de deux éléments de M n,p (R, la somme associe un élément qui est lui aussi dans M n,p (R Exemple ( e 2 3 ( ( = e La somme de deux matrices correspond à la somme terme à terme des cœfficients des deux matrices L opérateur matriciel «+» peut-être vu comme une extension de l opérateur arithmétique «+» Même si la notation est la même, attention à ne pas confondre ces deux opérateurs de somme On ne peut sommer deux matrices que si elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes ( e 2 3 ( ( e 2 3 Scilab est un logiciel de calcul numérique Il est notamment pensé pour pouvoir résoudre efficacement des problèmes d analyse numérique, qui exigent d effectuer un grand nombre de calculs de manière itérative Il est donc naturel que le type de base soit le type constant qui regroupe l ensemble des matrices de réels Scilab gère évidemment les opérations mathématiques de base sur les matrices mais propose aussi des opérations permettant de simplifier la manipulation de matrices Il faut donc faire attention : certaines opérations autorisées en Scilab sont formellement interdites dans le cours de mathématiques! Par exemple, Scilab permet de sommer un réel r et une matrice A Le résultat est la matrice obtenue en ajoutant r à tous les cœfficients de A > A = [,2,-2; 2,5,-3]; 5+A ans = Propriété Soient A, B, C des matrices de M n,p (R Alors : A + B = B + A (l opérateur + est commutatif A + (B + C = (A + B + C (l opérateur + est associatif A + 0 = 0 + A = A (0 est l élément neutre pour l opérateur + Notons A = ( a i,j i n j p Alors : A + ( A = ( A + A = 0 (la matrice A est l opposée de la matrice A pour l opérateur + 2

3 II2 Produit d une matrice par un nombre réel Soit A M n,p (R et λ R On appelle produit de A par le réel λ la matrice λ A de M n,p (R : λ A = (λ a i,j i n j p L opérateur de produit d une matrice par un nombre réel est externe : : R M n,p (R M n,p (R ( λ, A λ A (les deux opérandes de l opérateur n appartiennent pas au même ensemble Exemple ( e 2 3 = ( e Effectuer le produit d une matrice par un réel correspond à effectuer, pour chaque cœfficient, le produit (classique par λ Propriété Soit A et B des matrices de M n,p (R et λ, µ R Alors : λ (µ A = (λµ A (pseudo associativité : quels sont les opérateurs en jeu? A = A (pseudo élément neutre λ (A + B = λ A + λ B (λ + µ A = λ A + µ B (pseudo distributivité : quels sont les opérateurs en jeu? A = A Par la suite, on omettra souvent l opérateur On notera alors λa au lieu de λ A En Scilab, cet opérateur se note > B = [-,0,,4; 2,0,0,5; 8,-4,3,7]; 5 B ans = II3 Produit de matrices II3a Soient A M n,p (R et B M p,q (R On appelle produit de A et B et on note A B la matrice C ayant les propriétés suivantes : C = A B M n,q (R 2 i, n, j, q, c i,j = p k= a i,k b k,j Représentation graphique du produit matriciel Le cœfficient c i,j de la matrice produit est obtenu en effectuant le produit matriciel de la i ème ligne de A et la j ème colonne de B A = ( ( = B = C 3

4 Il faut faire particulièrement attention aux tailles des matrices que l on souhaite multiplier Plus précisément, on peut résumer cette situation dans un tableau Taille de A Taille de B Taille de A B n p p q n q NON! On peut remarquer (on reviendra dessus plus tard qu il est toujours possible de multiplier des matrices carrées de même taille : A et B dans M n (R A B M n (R et B A M n (R Le produit de matrices est noté en Scilab Si les tailles des matrices ne permettent pas leur multiplication, une erreur est levée > A B ans = > B A!--error 0 Multiplication incohérente En Scilab, si l on dispose de deux matrices de même taille, on peut aussi effectuer le produit cœfficient par cœfficient > A A ans = Attention, cette opération est interdite dans le cours de mathématiques! II3b Propriétés Propriété Soient A M n,p (R, B M p,q (R et C M q,r (R Soient D M n,p (R, E M p,q (R Soit λ R Alors : A (B C = (A B C (pseudo associativité : combien d opérateurs en jeu? 2 (A + D B = A B + D B (pseudo distributivité à droite : combien d opérateurs en jeu? 3 A (B + E = A B + A E (pseudo distributivité à gauche : combien d opérateurs en jeu? 4 A I p = I n A = A (pseudo élément neutre 5 A (λ B = (λ A B = λ (A B 4

5 Propriété non vérifiées par En général, A B = B A ( ( 0 Prendre A = et B = ( En effet, on a : A B = et B A = 0 0 ( 2 2 En général, (A + B 2 = (A + B (A + B =A A B + B 2 On peut prendre les deux matrices précédentes ( 6 2 En effet, on a : (A + B 2 = et A A B + B 2 = En général, A B = 0 A = 0 ou B = 0 ( Prendre A = et B = En général, A B = A C B = C ( Prendre A = et B = et C = 2 ( II3c Le cas particulier des matrices carrées (i L opérateur est interne (dans M n (R Lorsque l on considère des matrices carrées (n = p, l ensemble des propriétés énoncées précédemment reste évidemment valable On peut de plus citer une particularité liée à ce cas En effet, l opérateur est alors interne (dans M n (R : A, B M n (R, A B M n (R (partant de deux éléments dans A, B dans M n (R, A B reste dans M n (R Grâce à cette particularité, les pseudo-caractéristiques énoncées dans les propriétés précédentes deviennent des caractéristiques Propriété Soient A, B, C, D, E des matrices de M n (R Soit λ R Alors : A (B C = (A B C (l opérateur est associatif 2 (A + D B = A B + D B (l opérateur est distributif à droite par rapport à l opérateur + 3 A (B + E = A B + A E (l opérateur est distributif à gauche par rapport à l opérateur + 4 A I n = I n A = A (I n est l élément neutre pour l opérateur 5 A (λ B = (λ A B = λ (A B 5

6 (ii Matrices triangulaires et produit Soit A M n (R une matrice carrée On dit que la matrice A est : triangulaire supérieure si i, j, n 2, (i > j a i,j = 0 triangulaire inférieure si i, j, n 2, (i < j a i,j = 0 diagonale si i, j, n 2, (i j a i,j = 0 Ainsi, ces matrices pourront se présenter de la manière suivante : λ λ 0 0 λ λ 2 λ 2 0 λ λ n λ n 0 0 λ n Triangulaires Triangulaires Diagonales supérieures inférieures où est utilisé pour représenter des cœfficients quelconques - pas forcément le même! - (éventuellement nul et λ i R est utilisé pour représenter un cœfficient diagonal (éventuellement nul Les matrices diagonales sont à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure (inversement, si une matrice est triangulaire supérieure et inférieure alors elle est diagonale La matrice nulle 0 est diagonale Les matrices I n et λi n sont diagonales Exemple ( ( Les matrices et sont triangulaires supérieures 0 0 ( ( Les matrices et sont triangulaires inférieures ( ( Les matrices et sont diagonales / triangulaires supérieures / triangulaires inférieures ( ( Les matrices et ne sont ni diagonale, ni triangulaire supérieure, ni triangulaire inférieure Théorème Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures est une matrice triangulaires supérieures (resp inférieures Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale λ β λ β 0 λ 2 0 β 2 = 0 λ 2 β λ n 0 0 β n 0 0 λ n β n λ 0 0 β 0 0 λ β 0 0 λ 2 0 β 2 0 = λ 2 β 2 0 λ n β n λ n β n λ 0 0 β 0 0 λ β λ β 2 0 = 0 λ 2 β λ n 0 0 β n 0 0 λ n β n 6

7 (iii Puissance m ème d une matrice carrée Soit A M n (R une matrice carrée et soit m N La puissance m ème de A, est la matrice : A m = A } {{ A } m fois De manière rigoureuse, les puissances de A sont définies par la relation de récurrence : { A 0 = I n m N, A m+ = A A m Par convention : (0 Mn(R 0 = I n Si m 0, 0 m = 0 et (I n m = I n et (λi n m = λ m I n De par les propriétés précédentes sur les matrices triangulaires, on a : λ 0 λ λ n λ 0 0 λ 2 0 λ n λ λ λ n m m m λ m = 0 λ m λ m n λ m 0 0 = λ m 2 0 λ m n λ m 0 0 = 0 λ m λ m n Si A et B sont deux matrices de M n (R, le produit n étant pas commutatif, il faut faire attention à l élévation à la puissance m : (A B m = (A B (A B = A m B m Théorème 2 Soient A et B deux matrices de M n (R et soit m N Supposons de plus que A et B commutent : AB = BA Alors : (A + B m = m k=0 ( m A k B m k k La démonstration est la même que pour la formule du binôme de Newton arithmétique Il suffit de procéder par récurrence Par la suite, on omettra souvent l opérateur On notera alors AB au lieu de A B II4 Transposée d une matrice Soit A M n,p (R On appelle transposée de A, et on note t A, la matrice de M p,n (R définie par : t A = (a j,i i n j p L opération de transposition consiste à échanger les lignes et les colonnes d une matrice Exemple t ( = t ( = 3 et t 0 0 = t 0 = (

8 Propriété 3 4 Soient A et B deux matrices de M n,p (R et soit λ R Soient C M n,p (R et D M p,q (R t (A + B = t A + t B 2 (linéarité de l application de transposition t ( t A = A (idempotence de l application de transposition t (C D = t D t C t (λ A = λ ta 4 Notons a i,j (resp b i,j le cœfficient à la ième ligne et j ème colonne de t A (resp t B Autrement dit : a i,j = a j,i et b i,j = b j,i Notons maintenant C = A B et C = t B t A On a alors : p c i,j = p b i,k a k,j = p b k,i a j,k = a j,k b k,i = c j,i et donc C = t C k= k= k= Proposition L application t : M n,p (R M p,n (R A t A est bijective Caractère surjectif : toute matrice M M p,n (R apparaît comme l image par la fonction transposée d une matrice de M n,p (R En effet, M = t ( t M et t M M n,p (R Caractère injectif : soient M et P dans M n,p (R telles que t M = t P Si on note m i,j les cœfficients de t M (et p i,j ceux de t P alors on a : ce qui revient à dire que M = P i, p, j, n, m i,j = p i,j m j,i p j,i Soit A M n (R On dira que la matrice A est symétrique si elle coïncide avec sa transposée, ie si t A = A Autrement dit : A est symétrique i, n, j, n, a i,j = a j,i Les seules matrices à la fois triangulaires supérieures (resp inférieures et symétriques sont les matrices diagonales Seules les matrices carrées peuvent être symétriques Exemple Si A M n,p (R, sa transposée t A est dans M p,n (R Ainsi, l égalité A = t A n est possible que si n = p Autrement dit, les seules matrices pouvant être symétriques sont les matrices carrées Les matrices suivantes sont symétriques La matrice n est pas symétrique

9 III Les matrices inversibles Soit A M n (R A est dite inversible si elle admet un inverse ie s il existe B M n (R telle que : A B = B A = I n Si elle existe, la matrice B ainsi définie est unique Elle est appelée inverse de A et est notée A On notera GL n (R l ensemble des matrices inversibles de M n (R Seules les matrices carrées peuvent être inversibles Même si le lien entre applications et matrices n est pas l objet de ce cours, il y a tout lieu de remarquer l analogie entre la définition de l inverse d une matrice et celle de réciproque d une application Exemple A B = I n f g = id F et B A = I n g f = id E La matrice identité est inversible d inverse elle-même : I n I n = I n Les matrices diagonales dont les cœfficients diagonaux sont tous non nuls sont inversibles En effet : λ λ λ n λ λ 2 0 = λ n 0 0 et le produit commuté est aussi égal à la matrice identité Les matrices triangulaires (supérieures et inférieures à cœfficients diagonaux tous non nuls sont inversibles (voir plus loin Théorème 3 Soient A, B et P des matrices inversibles de M n (R A est inversible De plus : (A = A 2 t A est inversible De plus : ( t A = t (A 3 A B est inversible De plus : (A B = B A 4 Soit m N A m est inversible De plus : (A m = (A m 5 P AP est inversible De plus : (P AP = P A P Par définition, A A = A A = I n 2 t (A A = t (A t A = t I n = I n et t (A A = t A t (A = t I n = I n 3 (A B (B A = (B A (A B = I n 4 A A A A = A A A A = I n Propriété de simplification Soient A, B, C dans M n (R Si A C = B C et C inversible, alors A = B 2 Si C A = C B et C inversible, alors A = B 3 Si A 0, B 0 et A B = 0 alors A et B ne sont pas inversibles 4 Soient A M n (R, X M n, (R, B M n, (R avec A inversible L équation AX = B admet alors une unique solution X = A B Il suffit de multiplier de part et d autres de l égalité par la matrice inverse 9

10 Théorème 4 Soient A, B M n (R Supposons que : A B = I n Alors A et B sont inversibles et inverses l une de l autre Admis en première année Soit A M n (R On utilise parfois le vocabulaire suivant A admet une inverse à gauche si : B M n (R, B A = I n A admet une inverse à droite si : B 2 M n (R, A B 2 = I n Par définition, une matrice A M n (R est inversible s il existe B M n (R qui est à la fois inverse à gauche de A et inverse à droite de A Le Théorème 4 signifie que si B est l inverse à gauche de A, alors B est l inverse de A Théorème 5 Soit A M n (R et soit m N Soit P M n (R une matrice inversible (P A P m = P A m P 2 (P A P m = P A m P On démontre par récurrence que les propriétés et 2 sont vérifiées pour tout m N L idée derrière l étape d hérédité est que : (P A P m+ = (P A P (P A P m = (P A P (P A m P = P A (P P A m P = P A A m P = P A m+ P IV Lien entre système linéaire et matrices IV Écriture matricielle d un système linéaire Soit (S un système linéaire de n équations à p inconnues x,, x p : a, x + a,2 x a,p x p = b L a 2, x + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 L 2 (S a n, x + a n,2 x a n,p x p = b n L n On appelle matrice associée au système linéaire (S, la matrice : A S = (a i,j i n j p Le système linéaire (S peut alors s écrire sous la forme : X = B = x x p b b n est l inconnue A S X = B est le second membre Résoudre (S c est résoudre cette équation d inconnue X Si n = p, la matrice A S associée au système (S est une matrice carrée Les opérations élémentaires sur les lignes d un système se traduisent sur la matrice associée au système 0

11 IV2 Inverse d une matrice par résolution de système IV2a Caractérisation des systèmes de Cramer Théorème 6 Soit (S un système linéaire à n équations et n inconnues Notons B le second membre de (S ( Évident (S est un système de Cramer (S admet une unique solution quelque soit son second membre ( Supposons que (S est un système de Cramer D après la caractérisation des systèmes de Cramer, l algorithme du pivot de Gauss appliqué à (S fait apparaître n pivots successifs non nuls Cette procédure étant indépendante du second membre B, on en déduit qu elle ferait apparaître aussi n pivots non nuls si on l appliquait à (S muni d un autre second membre Théorème 7 Soit (S un système linéaire à n équations et n inconnues Soit (S H le système homogène associé à (S (S est un système de Cramer (S H est un système de Cramer On a la chaîne d équivalences suivante : (S H est un système de Cramer (S H admet une unique solution quelque soit son second membre (S admet une unique solution quelque soit son second membre (S est un système de Cramer Ces théorèmes signifient que le caractère unique de la solution d un système carré (S est indépendant de son second membre Autrement dit, c est une caractéristique intrinsèque à son premier membre : la matrice A S Théorème 8 Soit (S un système linéaire à n équations et n inconnues Soit A S la matrice associée à (S (A S M n (R (S est un système de Cramer A S est une matrice inversible ( Supposons A S inversible Résoudre le système (S c est trouver les solutions de l équation A S X = B où B est le second membre de (S Comme A S est inversible, cette équation admet une unique solution X = (A S B ( Supposons maintenant que (S est de Cramer Pour tout i, n notons B i M n (R le vecteur colonne dont tous les cœfficients sont nuls excepté le i ème, égal à Comme (S est de Cramer, le système A S X = B i admet une unique solution notée U i On obtient ainsi n égalités matricielles différentes que l on peut résumer comme suit A S (U U 2 U n = (B B 2 B n Autrement dit, on a exhibé une matrice U M n (R telle que A S U = I n Ceci permet de conclure que A S est inversible, d inverse U Dans le cas où (S est de Cramer, l unique solution de ce système est l unique solution de l équation : A S X = Y Cette solution est donc X = (A S Y

12 Théorème 9 2 Soit T M n (R une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure Soit D M n (R une matrice diagonale Une matrice triangulaire T est inversible Une matrice diagonale D est inversible Les cœfficients diagonaux de T sont tous non nuls Les cœfficients diagonaux de D sont tous non nuls La matrice T est inversible si et seulement si le système T X = Y est de Cramer Or le système est de Cramer si et seulement si l algorithme du pivot de Gauss fait apparaître successivement n pivots non nuls Dans le cas d un système déjà sous forme triangulaire, les pivots sont les cœfficients diagonaux 2 Même démonstration que ci-dessus Exemple La matrice La matrice La matrice Il faut bien lire le Théorème 9 : on parle de l inversibilité d une matrice triangulaire Une matrice M quelconque dont tous les cœfficients diagonaux sont non nuls n est pas forcément inversible 2 est inversible est inversible 0 n est pas inversible IV2b Application au calcul de l inverse d une matrice Inverse d une matrice par inversion d un système Considérons la matrice A = et montrons qu elle est inversible D après le Théorème 8, la matrice A est inversible ssi le système linéaire (S : A X = Y est de Cramer Inverser A consiste à inverser le système : x + 4 x x 3 = y (S x + 3 x 2 + x 3 = y 2 4 x + 9 x x 3 = y 3 Pour inverser (S (ie exprimer chaque x i en fonction des y i, on applique l algorithme du pivot de Gauss (S x + 4 x x 3 = y x 2 x 3 = y + y 2 7 x 2 6 x 3 = 4 y y 3 x + 4 x x 3 = y x 2 + x 3 = y y 2 x 3 = 3 y 7 y 2 + y 3 x + 4 x 2 = 5 y + 4 y 2 2 y 3 x 2 = 2 y + 6 y 2 y 3 x 3 = 3 y 7 y 2 + y 3 x = 3 y 0 y y 3 x 2 = 2 y + 6 y 2 y 3 x 3 = 3 y 7 y 2 + y 3 x x 2 x 3 = X = U Y Comme (S est de Cramer, la matrice A est inversible Ainsi, la solution de (S s écrit A Y Or la solution de (S est UY D où : A Y = UY et comme ceci est vrai pour tout Y, on a : y y 2 y 3 A = U 2

13 Inverse d une matrice par opérations sur les lignes de I n Cette technique consiste à se détacher de l écriture des x i et y i et d opérer sur les matrices plutôt que sur les systèmes Considérons de nouveau l exemple précédent 4 2 x 0 0 (S : 3 x 2 = x Pour inverser (S (ie exprimer chaque x i en fonction des y i, on applique l algorithme du pivot de Gauss 4 2 x 0 0 y (S 0 x 2 = 0 y x y x x 2 x 3 x x 2 x 3 x x 2 x 3 = = = y y 2 y y y 2 y 3 y y 2 y 3 y y 2 y 3 Théorème 0 Soit A M n (R une matrice inversible Par une suite d opérations élémentaires, on peut transformer A en la matrice I n 2 En effectuant ces opérations élémentaires (dans le même ordre! sur I n, on obtient la matrice A Initialement, on considère le système (S donné par l équation A X = Y On peut l écrire : A X = I n Y Par une suite d opérations élémentaires, on a montré qu on modifiait ce système en : I n X = U Y En fait, en opérant par opérations élémentaires, on a transformé la matrice A en la matrice I n En opérant ces mêmes opérations sur la matrice I n, on la transforme en la matrice U, qui n est autre que l inverse de A I 3 X = U Y x 3 y 3 Lorsque l on souhaite utiliser cette écriture matricielle, on se débarrasse de x y l écriture des vecteurs x 2 et y 2 On effectue les opérations élémentaires sur les lignes des deux matrices (séparées par une barre verticale :

14 IV2c Inverse d une matrice carrée de taille 2 2 ( a b On considère la matrice A = Calculons son inverse via la méthode c d précédente Notons D = ad bc et supposons : D = ad bc 0 a 0 (dans un premier temps Résolvons le système (S : A X = Y { a x + b x (S 2 = y c x + d x 2 = y 2 On applique alors l algorithme du pivot de Gauss a x + ( b x 2 = y (S d bc x 2 = c a a y + y 2 ( ab ad bc c a a x = ( d bc x 2 = a a x = ad D y ab D y 2 D a x 2 = c a y + y 2 x = d D y b D y 2 x 2 = c D y + a D y 2 ( x x 2 = ( d b D c a ( y y 2 y + ab ad bc y 2 c a y + y 2 Théorème ( a b Soit A = c d Si ad bc = 0, la matrice A n est pas inversible 2 Si ad bc 0, la matrice A inversible, d inverse : A = Comment retenir cette formule : on échange les éléments diagonaux, on multiplie les autres par, ( d b ad bc c a et on n oublie pas de diviser par ad bc (obtenu par «produit en croix» La quantité D = ad bc est appelé déterminant de A On la note habituellement det(a ou A Cette notion de déterminant est aussi définie pour des matrices n n (mais nous ne le ferons pas cette année De manière générale : A est inversible det(a 0 X = U Y Ainsi, la matrice A est inversible d inverse A = U Dans le cas où a = 0, on opère de même et on trouve A = D ( d b c 0 4

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