COURS CHAPITRE VII CALCUL MATRICIEL

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1 COURS CHAPITRE VII CALCUL MATRICIEL I) Définitions : ) Définitions Une matrice est un tableau à double entrées où chaque élément du tableau est repéré par son indice de ligne i et son indice de colonne j On indique toujours en premier l indice de ligne et en second l indice de colonne On note : A = (a i j ) M n,p (K) pour exprimer que le tableau A possède n lignes et p colonnes et que ses éléments a i j sont dans K (K = R ou C) Dessin : L ensemble des matrices carréesà n lignes et n colonnes et à coefficients dans K se note M n (K) Transposition : Si A M n,p (K), on appelle transposée de A et on note t A la matrice de M p,n (K) définie par : i {,, p}, j {,, n}, ( t A) i j = a ji Ainsi, la matrice t A est la matrice construite à partir de A en remplaçant les lignes par les colonnes Si A M n (K), alors t A est aussi dans M n (K) Rq: Si C = c c c n est une matrice uniligne M n, (K) est une matrice unicolonne, sa transposée t C = (c, c,, c n ) M,n (K) II) Opérations d espace vectoriel : somme matricielle et multiplication par un scalaire : ) Addition de matrices Définition : Soient A = (a i j ) M n,p (K) et B = (b i j ) M n, p (K) On appelle somme des matrices A et B la matrice A + B = (d i j ) définie par : i {,, n}, j {,, p}, d i j = a i j + b i j Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz

2 Propriétés : (M n,p (K), +) est un groupe commutatif, c est-à-dire que : - l addition des matrices est une opération interne dans M n,p (K), - elle est commutative et associative, - il existe un élément neutre, la matrice O n,p : matrice nulle, dans M n,p (K), - toute matrice possède un opposé dans M n,p (K) En particulier, (M n (K), +) est un groupe commutatif ) Multiplication par un scalaire Définition : Soient A = (a i j ) M n,p (K) et α K On définit la matrice αa = (b i j ) M n,p (K) par : i {,, n}, j {,, p}, b i j = α a i j Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chaque terme de la matrice par ce scalaire 3) Conséquence structurale des opérations d addition et de multiplication par un scalaire : l ev M n,p (K) : Thm : Muni des opérations précédemment définies, (M n,p (K), +, ) est un K-espace vectoriel Déf : La base canonique de M n,p (K) est la famille des matrices élémentaires E uv M n,p (K), u n et v p définies par : E uv = (e i j ) (i, j),n,p avec e uv = et e i j = 0 si (i, j) (u, v) Dessin : Toute matrice A de M n,p (K) est donc égale à une unique combinaison linéaire de matrices élémentaires, d où : Thm : M n,p (K) est un espace vectoriel de dimension n p Def : Pour A M n,p, on appelle rang de la matrice A, et on note rg(a) le rang de la famille des vecteurs colonnes de A dans l ev K n Rq: A, B M n,p (K), t (α A + B) = α t A+ t B, autrement dit la transposition est une opération linéaire III) Produit matriciel : LE PRODUIT DE DEUX MATRICES N EST PAS TOUJOURS POSSIBLE EN GÉNÉRAL A B B A EN GÉNÉRAL LA MULTIPLICATION DES MATRICES N EST PAS UNE OPÉRATION INTERNE Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz

3 ) Produit d une matrice ligne par une matrice colonne (produit scalaire) : Def : si A M,p (K) et B M p, (K), alors par définition c = A B K est le résultat du produit scalaire de A par B Ex : ) Cas général : Def : Soient A = (a i j ) M n,p (K) et B = (b i j ) M p,m (K), alors A B est la matrice C M n,m (K) définie par : i, n, j, m, c i j est le produit scalaire de la ligne i de A par la ligne j de B, ce p qui s écrit i, n, j, m, c i j = a ik b k j Ex : : k= Ex : Soit n N {} On considère alors une matrice C M n, (K) et une matrice L M,n (K) Préciser L C et C L On note A = C L Calculer les puissances successives de A Propriétés : Le produit des matrices est associatif A M n,p (K), B M p,m (K), t (A B) = t B t A Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz 3

4 IV) Cas des matrices carrées : ) L anneau M n (K)Dans le cas des matrices carrées, la multiplication des matrices est une opération interne Elle n est pas commutative (en général), mais est associative Notation : On note M n (K) = M n,n (K) ; thm : (M n (K), +, ) est un anneau non commutatif qui e ii = admet pour elément neutre (pour ) la matrice identité : I n = (e i j ) telle que : e i j = 0, sinon Thm HP : (M n (K), +,, ) est une algèbre non commutative Propriétés : aucune identité remarquable (y-compris le binôme de Newton) n est utilisable, sauf si toutes les matrices utilisées commutent entre elles : A B = B A Ex : (A + B) = Rq: Noter que toute matrice A commute avec I n et que l on peut donc développer (A + I n ) p pex ) Matrices particulières de M n (K) Déf : A = (a i j ) M n (K) est triangulaire supérieure ssi (i, j) {,, n}, a i j = 0 pour i > j A = (a i j ) M n (K) est triangulaire inférieure ssi (i, j) {,, n}, a i j = 0 pour i < j On note T + n (K) (resp T n sont deux sous-espaces vectoriels de M n (K) (K) ) l ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) Ce Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) Déf : Une matrice A = (a i j ) M n (K) est diagonale si : i j, a i j = 0 On note D n (K) l ensemble des matrices diagonales : D n (K) est stable pour + et, D n (K) est un sousespace vectoriel de M n (R) de dimension n Une matrice A = (a i j ) est symétrique si : t A = A On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques S n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (R) de dimension n(n + ) Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz 4

5 Une matrice A = (a i j ) est antisymétrique si : t A = A On note A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques A n (K) est un sous-espace vectoriel de M n (R) Il est de dimension n(n ) Une matrice N M n (K) est dite nilpotente s il existe p > tel que N p = O n Complément sur les matrices élémentaires carrées : u, v, w {,, n}, E uv E vw = E uw en particulier u {,, n}, Euu = E uu u, v, w, t {,, n}, v t, E uv E tw = O n Rq: Une matrice qui apparaît fréquemment dans les exercices : la matrice U = (u i j ) M n (K) définie par : (i, j) {,, n}, u i j = vérifie : U = n U puis, par récurrence, p N, U p = n p U Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz 5

6 3) Polynôme d une matrice carrée A M n (K) m Déf :Soit p un polynôme p (X) = u k X k = u 0 + u X + u X + + u m X m k=0 On appelle p (A) la matrice : p (A) = u 0 I n + u A + u A + + u m A m Prop : Deux polynômes d une même matrice A commutent : P(A) Q(A)=Q(A) P(A)=(P Q)(A)=(Q P)(A) Déf : p est annulateur de la matrice A ssi p (A) = u 0 I n + u A + u A + + u m A m = O n (matrice nulle n n) Thm HP : toute matrice d ordre n admet des polynômes annulateurs de degré n (ou moins); tous les polynômes annulateurs d une matrice sont multiples d un même polynôme annulateur minimal (pour le degré) = Méthode: Pour calculer l image d une matrice carrée M par un polynôme P, on trouve un polynôme annulateur A(X) de M, et on effectue la division euclidienne de P par A : P=AQ+R, donc P(M)=A(M)Q(M)+R(M)=R(M) = Méthode: Idem pour le calcul d une puissance de M : X k =QA+R donc M k =Q(M)A(M)+R(M)=R(M) 0 0 Ex 3: A = 0 0, calculer A n pour n N 0 0 Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz

7 Ex 4: Soit A = 0 et B = A I 3 Calculer B m puis A m pour m N 0 0 Ex 5: Soit U = et M = Calculer U n puis M n pour tout n N 4)Cas des matrices carrées inversibles Def : On dira qu une matrice A M n (K) est inversible, s il existe une matrice B M n (K) telle que A B = B A = I n Si cette matrice existe, elle est unique : on la note A C est l inverse de A Thm : Une matrice carrée est inversible a droite ssi elle est inversible a gauche Déf : On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) Thm : (GL n (K), ) est un groupe (non commutatif), par suite (GL n (K), +, ) est un corps (non commutatif) Thm : pour toutes matrices A, B GL n (K), (AB) = B A Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz 7

8 Trois méthodes pour déterminer A : = Méthode: : Prendre une matrice B = (b i j ) à coefficients indéterminés et résoudre le système de n équations à n inconnues obtenu en écrivant que B A = A B = I n x y = Méthode: Résoudre le système : A X = Y où X = x x n et Y = système A X = Y équivaut à X = A Y ; pour tout Y il faut trouver un unique X y y n car si A est inversible, le = Méthode: 3 : On peut aussi utiliser un polynôme annulateur de la matrice A : Si A possède un polynôme annulateur tel que u 0 0, alors A est inversible et on peut facilement calculer son inverse : Si u o 0, alors : u A + u A + + u m A m = u 0 I n ( et donc, A u I n u A u ) ( n A n = u I n u A u ) n A n u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 u 0 ce qui prouve que : A = u u 0 I n u u 0 A u n u 0 A n On admettra que la condition u 0 0 est une condition suffisante mais non nécessaire 0 0 Ex : A = 0 0, calculer A 0 0 A = I n Rq: Une matrice nilpotente n est pas inversible Rq: la matrice U = (u i j ) M n (K) définie par : (i, j) {,, n}, u i j = n est pas inversible Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz 8

9 Cas des matrices d ordre : a Thm : une matrice M= c ce cas M d = ad bc c b est inversible ssi son déterminant Det(M)= a d c b a b =ad-bc est non nul ; dans d V) Une application : matrice de changement de base dans un espace vectoriel : Thm/Déf : Soit E un espace vectoriel de dimension n, B = {e,, e n } et B = {u,, u n } deux bases de E x x On a alors, en notant X = les composantes de x dans l ancienne base B et X = celles du même vecteur x dans la nouvelle base B : X = PX x n La matrice P s appelle la matrice de passage de la base B vers la base B Elle s obtient en écrivant en colonne les composantes des vecteurs u j de la base B dans la base B P GL n (K) et P est la matrice de passage de la base B vers la base B, c est-à-dire que les colonnes de P sont les composantes des vecteurs e j dans la base B x x x n Cours Chap VII Calcul Matriciel Prof: Y Vargoz 9

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