TS DS3 Vendredi 22 novembre Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

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1 TS DS Vendredi novembre 0 Exercice : ( points) On considère un cube ABCDEFGH d arête de longueur. voir annexe On se place dans le repère orthonormal (A ; AB ; AD ; AE ). On considère les points I ; ; 0, J 0; ;, K ; 0; et L a ; ;0 avec a [0 ; ]. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).,5. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique x= k a y=k k R,5. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a= Partie B Dans la suite de l exercice, on pose a=. Le point L a donc pour coordonnées L ;;0. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. 0,5. On désigne par M le point d intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). Construire sur l'annexe les points K M, N et la section du cube par le plan (IJK).. Déterminer une représentation paramétrique de (IJK).,5. Déterminer les coordonnées de M.

2 Exercice : ( points) SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD ; O est le centre de ABCD. (SO) est donc la hauteur de la pyramide. I est le milieu de l arête [BC].. Démontrer que (SO) est orthogonale à la droite (CB).. En déduire que (CB) est orthogonale au plan (SOI).. Tracer en justifiant l'intersection de (SAD) et (SBC) A D S O B I C Exercice : ( points) Soit (O ; i ; j ; k ) un repère orthonormé, A( ; ; ), B(- ; 0 ; 5), C( ; ;) et D( ; ; 5). Démontrer que A, B et C forment un plan.. Le point D appartient-il au plan (ABC)? Exercice : ( points) L espace est muni d un repère (O ; i ; j ; k ) On considère les points non alignés A( ; - ; ), B(0 ; - ;-) et C(5 ; ; -) et la droite Δ de représentation paramétrique x=t y= t z= t t R Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.. Le point C appartient à la droite Δ.. Le vecteur v est un vecteur directeur de la droite Δ.. Les droites (AB) et Δ ne sont pas coplanaires. La droite Δ et le plan (ABC) sont sécants en un point.

3 TS Correction DS Exercice :. On a IJ vecteur directeur de (IJ) donc M(x ; y ; z ) (IJ) il existe t R x= t y= t z=0t. (KL) passe par K et à comme vecteur directeur LK donc M(x ; y ; z ) (KL) il existe k R. M(x ; y ; z ) (IJ) (KL) x= t y= t x= k a y =k x= t y = t t = k a t =k t = L L 5 6 a x= k a y=k k R x= t y= t t =k t= k x= y= z= k= t= t = k a = a a= Partie B. IK et LJ donc IK = LJ donc IKJL est un parallélogramme..

4 . IJ et IK ne sont pas colinéaires donc ils sont deux vecteurs directeurs de (IJK). x= t s M(x ; y ; z ) (IJK) il existe s R et t R y= t s z=0t s. Une représentation paramétrique de (BF) est : x= M(x ; y ; z ) (BF) (IJK) = t s 0= t s k =ts x= y =0 k R x= t s y= t s. s x= t = s t s= k=t s x= y =0 s= 5 t= 5 k= 5 x= donc M ;0 ; 5 z= 5 Exercice : La Réunion 005 ( points). (SO) est orthogonale au plan (ABCD) donc orthogonale à toute droite de ce plan,en particulier la droite (CD) :. SBC est isocèle en S donc (SI) est la hauteur de SBC issue de S donc (SI) est orthogonale à (CD). (CD) est orthogonale à droites sécantes de (SOI) donc la droite (CD) est orthogonale à (SOI) ;. (SAD) et (SBC) sont deux plans sécants passant par droites parallèles (AD) et (BC) donc d'après le théorème du toit, ils secoupent suivant la parallèle à (BC) passant par S Exercice : ( points). AB et AC 0 0 donc (ABC) est un plan.. D (ABC) AD est coplanaire avec AB et AC il existe (x ; y) R, AD = x AB + yac il existe (x ; y) donc les vecteurs ne sont pas colinéaires A, B et C ne sont pas alignés R, = x y = x =xy

5 Exercice : il existe (x ; y) R, y= 8 x= y= impossible donc D (ABC) 5=t. C il existe t R = t il existe t R =t t = t= 5 t = 5 impossible donc C. le vecteur u est un vecteur directeur de, u et v en sont pas colinéaires donc v n'est pas un vecteur directeur de.. AB 0 et u en sont pas colinéaires donc (AB) et ne sont pas parallèles. M(x;y;z) (AB) il existe (k;t) R tel que x= k=t y= = t z= k=t k= il existe (k;t) R tel que t = impossible k=0 Donc (AB) et en sont pas sécantes ( et non parallèles) donc non coplanaires : vrai x= kk' =t. M(x;y;z) (ABC) il existe (k;k';t) R tel que y = k ' = t z= k k ' = t k k ' =t il existe (k;k';t) R tel que k8k ' = L L k k ' = L L kk ' =t il existe (k;k';t) R tel que k8k ' = L L 9k '= L L 7 t = 9 il existe (k;k';t) R tel que k = 5 donc ( ABC) et sont sécants 9 k ' = 9