2 h Devoir surveillé Mercredi 20 décembre 2006

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1 h Devoir surveillé Mercredi 0 décembre 006 Eercice 1 1 Résoudre dans l ensemble IC des nombres complees les deu équations suivantes : a) z z + 5 = 0 b) z (1 + 3) z = 0. On considère dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) les points A, B, C, D d affies respectives z A = 1 + i, z B = i, z C = i, z D = 1 i. a) Placer A, B, C, D et préciser la nature du quadrilatère ABCD. b) Vérifier que z D z B = i 3. Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD)? c) Prouver que les quatre points A, B, C, D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ. 3 On considère l équation (1) : z (1 + cos θ) z cos θ = 0 où θ désigne un réel quelconque. a) Résoudre (1) dans IR. b) Montrer que les images des solutions de (1) appartiennent au cercle Γ. Eercice Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra cm pour unité graphique. Pour tout point M du plan d affie z on considère les points MM et M" d affies respectives z ' = z et z '' = z 1 a) Déterminer les points M pour lesquels M '' = M. b) Déterminer les points M pour lesquels M ''= M '. Montrer qu il eiste eactement deu points M 1 et M dont les images M 1 ', M 1 '', M ' et M '' appartiennent à l ae des ordonnées. Montrer que leurs affies sont conjuguées. 3 On pose z = + i y où et y sont des nombres réels. a) Eprimer sous forme algébrique le nombre complee z '' z b) En déduire l ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M ' et M '' sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur. 4 On pose z = 3 e iθ où θ 0, π. a) Démontrer que l'ensemble Γ des points M d'affie z ainsi définis et chacun des ensembles Γ ' et Γ '' des points M ' et M '' associés à M. sont des cercles dont on déterminer le centre et le rayon. b) Représenter Γ, Γ ' et Γ '' sur la figure précédente. c) Dans cette question θ = π 6. Placer le point M 3 obtenu pour cette valeur de θ, et les points M 3 ' et M 3 '' qui lui sont associés. Montrer que le triangle M 3 M 3 ' M 3 '' est rectangle. Est-il isocèle? Eercice 3 On considère la fonction f définie sur ] 0 ; [ par : f () = 1 1 (ln ) 1 Déterminer les limites de f en 0 et en. Montrer que f est dérivable sur] 0 ; [ et calculer f ' (). 3 Soit u la fonction définie sur ] 0 ; [ par u() = ln + 3. a) Etudier les variations de u. b) Montrer que l équation u() = 0 possède une solution unique dans l intervalle [ ; 3]. Montrer que,0 < <,1 c) Etudier le signe de u() sur ] 0 ; [ 4 a) Etudier les variations de f. ( 1) b) Eprimer ln comme un polynôme en. Montrer que f() = En déduire un encadrement de f() d amplitude 10 5 a) Etudier le signe de f() sur ] 0 ; [ b) Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i, j ) d unité cm.

2 Eercice 1 1 Résoudre dans l ensemble IC des nombres complees les deu équations suivantes : a) z z + 5 = 0 = = 16 les solutions sont donc + 4 i = 1 + i et 1 i. b) z (1 + 3) z = 0. = 4 (1 + 3) 4 (5 + 3) = 4 ( ) = = 4 (1 + 3) + i les solutions sont donc = i et i On considère dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) les points A, B, C, D d affies respectives z A = 1 + i, z B = i z C = i z D = 1 i a) Placer A, B, C, D et préciser la nature du quadrilatère ABCD. ABCD est un trapèze isocèle. b) Vérifier que z D z B = i 3. Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD)? z D z B 1 i ( i) = 1 + i ( i) = 3 3 i ( 3 3 i) ( 3 i) = = 3 + i i 3 3 = i i z D z B i IR donc les droites (BD) et (AB) sont perpendiculaires. c) Prouver que les quatre points A, B, C, D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ. Le triangle ABD est rectangle en B donc B est sur le cercle de diamètre [AD]. z A et z D sont conjugués A et D sont symétrie par rapport à (O) z B et z C sont conjugués B et C sont symétrie par rapport à (O) Le triangle ADC est donc le symétrie de DAB par rapport à (O) il est donc aussi rectangle en C et le point C est aussi sur le cercle de diamètre [AD] Γ est donc le cercle de diamètre [AD]. z A + z D = 1 + i + 1 i = 1. le centre de Γ est donc le point d'affie 1. AD = z D z A 1 i 1 i =. le rayon du cercle Γ est donc 3 On considère l équation (1) : z (1 + cos θ) z cos θ = 0 où θ désigne un réel quelconque. a) Résoudre (1) dans IR. = ( (1 + cos θ)) 4 (5 + 4 cos θ) = 4 (1 + 4 cos θ + 4 cos θ) 0 16 cos θ = cos θ + 16 cos θ 0 16 cos θ = cos θ = 16 (1 cos θ) = 16 sin θ ( 1 + cos θ) + 4 i sin θ les solutions sont donc = 1 + cos θ + i sin θ et 1 + cos θ i sin θ b) Montrer que les images des solutions de (1) appartiennent au cercle Γ. z 1 1 = 1 + cos θ + i sin θ 1 = cos θ + i sin θ = 4 cos θ + 4 sin θ = 4 = z 1 = 1 + cos θ i sin θ 1 = cos θ i sin θ = 4 cos θ + 4 sin θ = les points d'affies z 1 et z sont bien sur Γ Eercice Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra cm pour unité graphique. Pour tout point M du plan d affie z on considère les points MM et M" d affies respectives z ' = z et z '' = z 1 a) Déterminer les points M pour lesquels M '' = M. M '' = M z = z z z = 0 z = 0 ou z = 1. Les points cherchés sont les points d'affie 1 et 0. b) Déterminer les points M pour lesquels M ''= M '. M '' = M ' z = z z z + = 0. = 1 4 = 7. Les solution de l'équation z z + = 0 sont donc 1 + i 7 Les points cherchés sont les points d'affie 1 + i 7 et 1 i 7 et 1 i 7

3 Montrer qu il eiste eactement deu points M 1 et M dont les images M 1 ', M 1 '', M ' et M '' appartiennent à l ae des ordonnées. Montrer que leurs affies sont conjuguées. M ' et M '' sont sur l'ae des abscisses z IR et z IR On pose z = + i y z i IR z i IR + i y i IR + i y y i IR = 0 y = 0 = y = 4 = y = ou = y = Les deu points cherchés sont donc : + i et i. Ils sont bien conjugués. 3 On pose z = + i y où et y sont des nombres réels. a) Eprimer sous forme algébrique le nombre complee z '' z z '' z = z z z z = z z = z z b) En déduire l ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M ' et M '' sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur. M, M ' et M' '' sont alignée si et seulement si z '' z z z c'est à dire IR c'est à dire z z IR z z = + i y ( + i y y ) = + i y + y i y On a donc z z IR y y = 0 = 1 ou y = 0. E est constitué de deu droites. L'ae des abscisses et la droite d'équation = 1 4 On pose z = 3 e iθ où θ 0, π. a) Démontrer que l'ensemble Γ des points M d'affie z ainsi définis et chacun des ensembles Γ ' et Γ '' des points M ' et M '' associés à M. sont des cercles dont on déterminer le centre et le rayon.. z = 3 e iθ z ' = 3 e iθ et z '' = ( 3 e iθ ) = 3 e iθ OM = 3 e iθ = 3 donc M est sur le cercle de centre O de rayon 3 Soit A le point d'affie. AM ' = 3 e iθ + = 3 e iθ = 3 donc M' est sur le cercle de centre A de rayon 3 OM '' = 3 e iθ = 3 donc M '' est sur le cercle de centre O de rayon 3. b) Représenter Γ, Γ ' et Γ '' sur la figure précédente. c) Dans cette question θ = π 6. Placer le point M 3 obtenu pour cette valeur de θ, et les points M 3 ' et M 3 '' qui lui sont associés. Montrer que le triangle M 3 M 3 ' M 3 '' est rectangle. Est-il isocèle? z 3 = 3 e iπ/6 = i = 3 + i 3 z 3 ' = 3 + i 3 = 1 + i 3 z 3 '' = 3 + i 3 9 = i = i 3 = i 3 Re(z 3 ) = Re(z 3 '') donc (M 3 M 3 '') // (Oy) Im(z 3 ) = Im(z 3 ') donc (M 3 M 3 ') //(O) donc le triangle M 3 M 3 'M 3 '' est rectangle en M 3. M 3 M 3 ' = 3 + i i 3 = et M 3 M 3 '' = 3 + i i 3 = i 3 = 3. O o A Le triangle n'est donc pas rectangle isocèle en M 3

4 Eercice 3 On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + [ par : f () = 1 1 (ln ) 1 Déterminer les limites de f en 0 et en. lim 1 1 = 1 0 = 1 et lim (ln ) = donc lim f() =. lim = et lim (ln ) = donc lim f() = Montrer que f est dérivable sur] 0 ; [ et calculer f ' (). La fonction 1 1 est une fonction rationnelle, définie sur ] 0, [, elle est donc dérivable sur ] 0, [ la fonction ln est dérivable sur ] 0, [ donc la fonction ln est aussi dérivable sur ] 0, [. f est donc le produit de deu fonctions dérivables sur ] 0, [ elle est donc dérivable sur ] 0, [ u() = 1 1 et u '() = 1 v() = ln et v '() = 1 donc f '() = 1 (ln ) (ln ) = + 1 = ln Soit u la fonction définie sur ]0;+ [ par u()=ln + 3. a) Etudier les variations de u. 0 u est dérivable sur ] 0, [ et u '() = = 1 + > 0. u() 0 u est donc croissante sur ] 0, [ b) Montrer que l équation u() = 0 possède une solution unique dans l intervalle [ ; 3]. Montrer que,0 < <,1 La fonction u est strictement croissante et continue sur [,0,,1 ]. u(,0) < 0 < u(,1) donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire on peut dire que l'équation u() = 0 admet une solution unique dans l'intervalle [, 0 ;,1 ]. D'après les variations de u il ne peut y avoir des solution dans ] 0 ;,0[ et ],1 ; [ c) Etudier le signe de u() sur ] 0 ; [ D'après les variations de u on a : u() 0 f '() a) Etudier les variations de f. Pour tout réel de ] 0, [, > 0 donc f '() est du f() signe de u() f() ( 1) b) Eprimer ln comme un polynôme en. Montrer que f() = En déduire un encadrement de f() d amplitude 10 u() = 0 donc ln + 3 = 0 donc ln = 3 f() = 1 1 (ln ) = 1 1 ( 1) (1 ) ( 1) (3 ) = = 1,,1 donc, , donc,1 1 1, donc 1,44 ( 1) 1,4641 donc 1, 1 1,1 1, ( 1) 1,1,1, 0,67 < 1,4641 ( 1) 1,44,,1 < 0,65 1 e f() 0,66 5 a) Etudier le signe de f() sur ] 0 ; [ ] 0, [ : car < 0 ln ln 0 e b) Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i, j ) d unité cm.

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