BAC BLANC Terminale S Mai 2018 Epreuve de Mathématiques Obligatoire Coefficient 7 Durée 4 Heures
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1 BAC BLANC Terminale S Mai 2018 Epreuve de Mathématiques Obligatoire Coefficient 7 Durée 4 Heures Ce sujet comporte 6 pages La calculatrice est autorisée Aucun document n est autorisé Le candidat est invité à faire figurer sur sa copie toute trace de recherche même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies
2 EXERCICE 1 6 points Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D expérience, le concepteur sait que 9 % des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes. À l issue des tests, il est noté que 96 % des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; 97 % des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l issue des tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l entreprise. On note N l évènement : «la peluche répond aux normes en vigueur» ; A l évènement : «la peluche est acceptée à l issue des tests». Partie A 1. Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment. 2. Démontrer que la probabilité qu une peluche soit acceptée à l issue des tests est 0, Calculer la probabilité qu une peluche qui a été acceptée à l issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième. Partie B On considère que la vie d une peluche se termine lorsqu elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage... ). On admet que la durée de vie en années d une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que P(D 4)=0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice. Calculer la valeur exacte de λ. 2. On prendra ici λ = 0, Partie C Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième. Un cabinet de sondages et d expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté J, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres µ et σ. Il apparaît que µ=358 jours. J Soit X =. Quelle est la loi suivie par X? σ 2. On sait que P(J 385)=0,975. Déterminer la valeur de σ arrondie à l entier le plus proche. 2
3 EXERCICE 2 5 points 1. Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équation (E) d inconnue z : z 2 8z+ 64=0. ( Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct O, u, ) v. 2. On considère les points A, B et C d affixes respectives a= 4+4i 3, b= 4 4i 3 et c = 8i. a. Calculer le module et un argument du nombre a. b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b. c. Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on déterminera le rayon. ( d. Placer les points A, B et C dans le repère O, u, ) v. Pour la suite de l exercice, on pourra s aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l avancement des questions. 3. On considère les points A, B et C d affixes respectives a = ae i π 3, b = be i π 3 et c = ce i π 3. a. Montrer que b = 8. b. Calculer le module et un argument du nombre a. Pour la suite on admet que a = 4+4i 3 et c = 4 3+4i. 4. On admet que si M et N sont deux points du plan d affixes respectives m et n alors le milieu I du segment [M N] a pour affixe m+ n et la longueur M N est 2 égale à n m. a. On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A B], [B C] et [C A]. Calculer r et s. On admet que t = i ( ). b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST? Justifier ce résultat. 3
4 EXERCICE 3 6 POINTS Partie A On considère la fonction g définie sur [0 ; + [ par g (x)=e x x Étudier les variations de la fonction g. 2. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x. 3. En déduire que pour tout x de [0 ; + [, e x x > 0. Partie B On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x)= ex 1 e x x. La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1]. 1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) [0 ; 1]. 2. Soit (D) la droite d équation y = x. (1 x)g (x) a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) x = e x. x b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur [0 ; 1]. 3. a. Déterminer une primitive de f sur [0 ; 1]. b. Calculer l aire, en unités d aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d équations x = 0 et x= 1. Partie C On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 1 2 u n+1 = f (u n ), pour tout entier natureln. 1. Construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, 1 2 u n u n En déduire que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite. 4
5 EXERCICE 4 3 POINTS Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point. 1. Pour tout réel x, on pose F (x)= x 1 (2 t)e t dt. Affirmation 1 : F (x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel x supérieur à Soit (u n ) la suite définie pour n entier naturel non nul par u n = ln(n+ 1) ln(n) Affirmation 2 : La suite (u n ) est convergente. 3. On considère l algorithme suivant : Variables : Traitement : Fin tant que Sortie : Afficher I. N, P, S et I sont des entiers naturels. Saisir N Saisir P S prend la valeur 1 I prend la valeur N Tant que S < P et I > 0 faire S prend la valeurs I I prend la valeur I 1 Affirmation 3 : Si l utilisateur saisit N = 10 et P = alors l algorithme retourne 6. 5
6 ANNEXE Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve EXERCICE 3 1 y 0 O 0 1 x 6
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