PC*2. 13 janvier janvier janvier 2004
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- Clarisse Alain
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1 TD Séries etières PC*2. (CCP 2) Soit a >. Rayo de covergece de a z!? 2. (Esim 2) Trouver le rayo de covergece de : e x 2 3. (Mies 2) Soit (a ) ue suite réelle strictemet positive telle que : lim = l a a + a 2 Étudier le rayo de covergece de la série etière a z suivat l. 4. (996) Si a x est ue série etière de rayo de covergece R. Que dire du rayo de covergece de a α x? 5. (CCP 998) a pour tout etier aturel. Comparer les rayos de covergece de a z et de (/a ) z. 6. (X 998) Rayo de covergece de la série etière : ) 2 ( + ( ) 7. (CCP 2, Ce 22) Soit : z (+)π u = si ( t 2) dt π Rayo de covergece et domaie de covergece de u x. Étude du comportemet au bord du domaie de défiitio. 8. (996) Soit (a ) ue suite de réels >. R > le rayo de covergece de a z. Détermier le rayo de covergece de a α z pour α > puis pour α <. 9. (CCP 2) Existece et calcul de : ( + ) 2 =. (D après TPE 2) Soit u = π/2 cos t dt. Sas calculer l itégrale, détermier le rayo de covergece et la somme de la série etière u x. Détermier = ( ) u.. (X 997) Calculer = ( 2 4) 2. (X 2) Calculer 2+ 3 =. (+)! 3. (CCP 999) Rayo de covergece et somme de ch(a)x? 4. (Ce 999) Covergece et somme de 5. (Ce 22) Covergece et somme de : x! et x 3 3!. ( ) cos(2x) 6. (CCP 999) Soit α R. Rayo de covergece? Itervalle de cotiuité de la somme de arcta (α ) x? 7. (Mies 999) Calculer, pour tout réel α, le rayo de covergece de : [ ( ) ] k 2kπ cos 5 + α z k= 8. (Ce 2) Covergece et somme de ( ). 9. (Ce 22) Covergece et somme de ( ) (CCP 2) Rayo et somme de x (St Cyr 2) Rayo de covergece et somme de ( ) 2 ( ) x. Etude de la covergece et de la somme aux bords de l itervalle ouvert de covergece. 2 2 Page /7 Jea-Pierre Barai Page 2/7 Jea-Pierre Barai
2 22. (Ce 997 et CCP 999) O cosidère la série etière de terme gééral x ( ). (a) Rayo de covergece? (b) Etude aux bores. (c) Calcul de la somme. 23. (Mies 22 et 23) Rayo de covergece de a x avec : a = l ( + ( ) + ) 2 Étude du comportemet de la somme aux bords de l itervalle ouvert de covergece. 24. (Navale 2) Covergece et somme de 25. (Ce 2) Pour x R, o pose : F (x) = x arcta t dt t ( ) (+5) (+)(+2). (a) Motrer que F se prologe e ue foctio C sur R et calculer F (x). (b) Trouver ue relatio etre F (x) et F (/x). (c) O ote f la foctio x F (x), coveablemet prologée e x. Motrer qu elle est développable e série etière sur ], [, étudier la covergece et la somme de la série etière e ±. (d) Motrer que f C (R, R). Calculer f(x) et f(/x). 26. (Mies 997) Itégrer y = 2xy +. E déduire, pour p : p ( ) k( ) p k 2k + = 22p (p!) 2 (2p + )! k= 27. (Ce 997) Rayo de covergece et somme de : ( ) x = 28. (Ce 997) Domaie de covergece de x [ ]. 29. (Ce 22) Calculer : 3. (Mies 997) Calculer : = ( ) 2 (2 + ) (2 + 2) = ( ) 4 (4 + ) 3. (X 997) Somme de la série etière de terme gééral : si(α) x 32. (X 997) Esemble de défiitio de! cos z + cos = 33. (Ce 23) Soit (a ) ue suite réelle vérifiat, pour : a + 2a + a = ( ) Expliciter a e foctio de a, a et. 34. (X 97, Mies 98 et 23, Ce 22 et 23) Soit la suite (u ) défiie par : { u = u + = k= u ku k E cosidérat u x calculer u et e trouver u équivalet. 35. (X 23) Soit (u ) ue suite réelle telle que, pour tout etier aturel : u k = k! k= Détermier la limite de la suite (u ). Page 3/7 Jea-Pierre Barai Page 4/7 Jea-Pierre Barai
3 36. (CCP 2) Soit (a ) ue suite récurrete défiie par a = et a + = +b +2 a. Doer le rayo de covergece de a x et ue équatio différetielle, que l o résoudra, satisfaite par sa somme. 37. (CCP 2) Existece et calcul de : a t a t dt N, a > 38. (Mies 999) Soit f défiie sur ] π/2, π/2[ par : cos x (a) Trouver u développemet limité d ordre 2 de f au voisiage de. (b) O suppose que f admet u développemet e série etière sur ] R, R[ (R > ). Justifier qu o peut écrire, sur cet itervalle, = a x 2. (c) Trouver alors ue relatio de récurrece etre les a. (d) Motrer qu existe ρ > tel que, pour tout N, a ρ. (e) Motrer que f admet u développemet e série etière au voisiage de, dot o majorera le rayo de covergece. 39. (Mies 999) O cosidère la suite (a ) défiie par : a =! (a) Limite et équivalet de a? k.k! k= (b) O pose = a x. Quel est le domaie de défiitio de f? (c) Limites de f aux bores de l itervalle ouvert de covergece? 4. (Ce 999) Pour, o pose : v = ( + 2)! Rayo de covergece de v x 3 et calcul de la somme. 4. (Ce 2) Pour 2, o pose : v = ( )! Rayo de covergece de 2 v x 2 et étude de la covergece aux bores de l itervalle ouvert de covergece. Calcul de la somme. 42. (Ce 999) Soit f C (R, R) telle que, pour tout et pour tout x ] 2, 2[ o ait : f () (x)! 2 Motrer que f est développable e série etière sur cet itervalle. 43. (Mies 22) E cherchat d abord ue solutios développables e série etière au voisiage de, itégrer sur R : 4x y + y + 2y = 44. (Ce 22) E cherchat d abord ue solutios développables e série etière, itégrer : x y y + x 3 y = 45. (CCP 999) E cherchat d abord des solutios développables e série etière, itégrer : x(x 2 + )y + 2(x 2 + )y 2xy = 46. (CCP 98) Trouver les solutios développable e série etière de 47. (996) Calculer 3 =!. 48. (996) a = a + a 2 a 3. ( + x 2 )y 2y = (a) Motrer, sas calculer les a que : (A, k) ], + [ 2, a Ak (b) Motrer que le rayo de covergece de a z est >. (c) Calculer la somme de la série etière, e déduire les a. Page 5/7 Jea-Pierre Barai Page 6/7 Jea-Pierre Barai
4 49. (996) Calculer, pour p, N 2π e i(p )t dt. E déduire : 2π e cos t cos(si t t) dt 5. (CCP 98) Doer par plusieurs méthode le développemet e série etière de x sh x ch x 5. (Ce 998) Développemet e série etière de x si(α arcsi x) au voisiage de. ( ) x si α 52. (Ccp 23) Développemet e série etière de x arcta x cos α au voisiage de 53. (X 97 et CCP 98) Motrer que la foctio x arcta 2 x est développable e série etière au voisiage de et doer le rayo de covergece de la série etière. détermier ce développemet e série etière. 54. (Mies 998) Développemet e série etière, au voisiage de de x + x2 + x. 55. (Ce 22) Rayo de covergece et somme de a x où la suite (a ) est défiie par : { a = a = a + = a a pour 56. (X 997) a R, o cosidère la suite (a ) défiie par : { a = a = a a + = a + a + pour (a) Motrer que la suite de terme gééral b = a coverge. (b) Etudier la limite de (b ) e foctio de a. (c) Utiliser la série etière a x afi de coaître l applicatio : a lim b 57. (996) Soit (u ) la suite défiie par : u =, u =, u = u k u k k= Que dire du rayo de covergece de u x? 58. (996) Résoudre l équatio différetielle : 3x (x + ) y + (8x + 3) y + 2 y = 59. (996) Soit u = a + [ ] 3. et a >. Rayo de covergece et 3 somme de u z. 6. (996) O cosidère les deux séries etières de termes gééraux : u = a z v = (a + a ) z (a) Comparer leurs rayos de covergece. (b) O suppose que a + a λ R. Les rayos sot ils égaux? (c) Doer u exemple simple où les rayos diffèret. 6. (Ce 2) Soit (a ) ue suite de réels. O pose S p = p k= a k. O ote R resp R le rayo de covergece de la série etière a x resp S x. O suppose R > et o ote f(x) et g(x) les sommes respectives de ces séries das leurs itervalles ouverts respectifs de covergece. (a) Comparer R et R puis f(x) à g(x). (b) Doer u exemple où R >, R = R puis u autre avec R >, R =. 62. (Ce 97 et Ce 22) Soit (b ) ue suite de réels strictemet positifs et (a ) ue suite réelle telle que a b. (a) O suppose que la série etière de terme gééral b x a u rayo ifii. Quel est le rayo de a x? (b) Soiet f et g les sommes de ces deux séries. Prouver que f(x) g(x) au voisiage de +. Page 7/7 Jea-Pierre Barai Page 8/7 Jea-Pierre Barai
5 (c) Equivalet de : quad x +. = x! + 2! + +! 63. (Ce 2) Soit (b ) ue suite de réels strictemet positifs et (a ) ue suite réelle telle que a = o (b ). (a) O suppose que la série etière de terme gééral b x a u rayo ifii. Quel est le rayo de a x? (b) Soiet f et g les sommes de ces deux séries. Prouver que o (g(x)) quad x +. (c) Motrer que, si y est ue solutio de : y (x) 2 x y (x) + a y(x) = a R alors, pour tout réel α >, y(x) e α x2 quad x (Ce 2) Soit (u ) défiie par u = et, pour : u = k= (a + k) où a > (a) Détermier l itervalle ouvert de covergece de u x et motrer que sa somme f vérifie l équatio différetielle : x y (x) + (a x) y(x) = a (b) O pose Γ(a) = + e t t a dt. Motrer que f(x) Γ(a + ) e x x a quad x (Ce 2) Pour x ], [, o pose : ( + x) t dt (a) f est-elle développable e série etière? Que dire du rayo de covergece. (b) E déduire le développemet e série etière de φ : x l( x) l(+x). 66. (996) Soit l équatio différetielle : (E) ( + x 2 ) y + x y k 2 y = (a) Doer ue solutio de (E) sur u voisiage de l origie sous forme d ue série etière. (b) Doer le rayo de covergece de la série. (c) Posat ψ(t) = y(sh t) avec y solutio de (E), trouver ue équatio satisfaite par ψ. (d) Expliciter la solutio trouvée. 67. (Cetrale 23)- (a) Pour quels x la série coverge-t-elle? O ote F (x) sa x2 somme. (b) O ote (a p ) la suite défiie par : { s il existe u aturel tel que p = 2 a p = sio exprimer p= a p e foctio de l. (c) Dévelopemets e série etière au voisiage de des foctios : x l( x) x x F (x) x et x F (x) x x (d) Expliciter ue costate K telle que, pour x [, [ : F (x) x ( x)k l() x x (996) Soit l équatio différetielle : =2 x y + (x 2 )y + x = Existe-t-il ue solutio sur R? Existe-t-il ue solutio développable e série etière sur R? Page 9/7 Jea-Pierre Barai Page /7 Jea-Pierre Barai
6 69. (996) Calculer I = π 2 si2+ t dt. E déduire : = (2 + ) 2 C 2 de la maière la plus simple possible. 7. (X 996 et 999) Défiitio, covergece, cotiuité de : Motrer que : Oû Qu e déduire? k= f(t) = t k k= N t = + N p k t + = =N+ a (N)t p = card{(y k ) N N, k ky k = } 7. (CCP 997) Résoudre 4 x y + 2 y y = 72. (X 998) (a) Soit (a ) N ue suite de complexes telle que la série a coverge. Prouver que le série etière a x est uiformémet covergete sur [, ]. Pour cela o démotrera que, pour x : a x = R N x N + R (x x ) avec R N = =N (b) Pour o pose : Nature de u? =N u = ( ) (2k + )( k) k= =N a (c) Calculer = u. 73. (996) Trouver F C(X) telle que F (X 2 ) F (X) = X X 2. Covergece et somme de : 74. (995) Soit = z 2 z 2+ (x + x ) = Domaie de défiitio? Limites aux bores du domaie? Motrer que f admet u développemet limité à tout ordre e. Motrer que f est développable e série etière sur so domaie d existece. 75. (995) Expliciter 76. (Ce 23) Pour p N, o pose : H p (x) = k k 4 + k 2 + p x Calculer H et H, trouver ue relatio etre H p et H p+ et u équivalet de H p (x) e. = 77. Trouver u équivalet au voisiage de de : l()x = 78. Trouver u équivalet au voisiage de de : x l 79. (X 22) Pour (t, x) R 2, o pose : = x2 tx f(t, x) = e 2 Page /7 Jea-Pierre Barai Page 2/7 Jea-Pierre Barai
7 (a) Prouver l existece d ue suite (H ) de polyômes telle que pour tout t et tout x la série H (t) x soit covergete de somme f(t, x). (b) Prouver la formule : (c) Calculer, si k : H (t) = ( )! R e t2 2 H (t) H k (t) e t2 2 d t 2 dt e 2 Peut-o calculer la valeur de cette itégrale si k =? 8. (995) Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Soit φ u polyôme de degré p >. Trouver le rayo et doer ue expressio de la somme de a φ()z (a) Domaie de covergece de : = dt ( + x ) x Motrer que f est développable e série etière sur ], [. (b) Equivalet de f(x) quad x. (c) Si = a x, trouver u équivalet de a. 82. (CCP 2) Soit a ], [. (a) Détermier le domaie de défiitio I de : si (a x) O ote f(x) sa somme sur I. (b) Motrer que f est de classe C sur I et qu il existe M > tel que pour k et x I o ait f (k) (x) M. (c) Motrer que f est développable e série etière sur u itervalle à détermier. 83. (995) Soit F = ax + ax 2 X 3 Prouver que F est développable e série etière au voisiage de et doer des coditios sur a pour que tous les coefficiets du développemet soiet positifs. 84. (X 997) Calculer : e posat : O pose : dx ( 2ux + u2 )( 2vx + v 2 ) t = 2ux + u 2 2vx + v 2 2ux + u = P 2 (x)u = Calculer P (x)p m (x) dx pour tout couple (, m) d etiers aturels. (Le cadidat ote que l examiateur (Letac) a pas été regardat sur les iterversios de symboles.) 85. (995) Soit (a ) ue suite d élémets de {, } telle que a =, et qu e posat : a! x o ait : Motrer que e x 86. (995) Calculer = p N, x, f (p) (x) = ( )!( + ) Page 3/7 Jea-Pierre Barai Page 4/7 Jea-Pierre Barai
8 87. (995) Développer e série etière : dt + 2xt xt 2 Préciser le rayo de covergece, appliquer au calcul de : = 2 (!) 2 (2 + )! 88. (TPE 999) Rayo de covergece de : + ( + ) 2 x!? O ote f(x) la somme. Equivalet de f(x) quad? 89. (X 2) O défiit, pour z C : cos z = = ( ) (2)! z2 si z = Démotrer que cos 2 z + si 2 z = = ( ) (2 + )! z2+ 9. (Ce 2) Soiet f et g les foctios réelles défiies par : = x 2 et g(x) = e f(x) Domaie de défiitio de g? Cotiuité et dérivabilité de g? Motrer que g est développable e série etière au voisiage de. 9. Soit x 2 sx+p u triôme à coefficiets réels sas racie réelle, x2 sx + p. (a) Motrer que f est développable e série etière das u voisiage de. O ote (a ) la suite des coefficiets de la série. (b) Motrer que le rayo de covergece R de la série est p. (c) O pose f(z) = = a z pour z < R. Prouver que f(z) 2 = z 2 sz + p pour z < R. E déduire R. 92. (Mies 997) Soit a z ue série etière de rayo de covergece ifii dot la somme est otée f(z). Calculer : 2π 2π f(r e iθ ) e iθ dθ E déduire que, si f est borée sur C, elle est costate. 93. (996 et Ce 999) (a) Calculer I p,q = tp ( t) q. (b) Calculer (!) 2 = [(2 + )!] (X 996) Soit (a ) C N défiie par : a = a 2 ( ( ) 2 + λ ) + i a ( 4( ) 2 + 2λ 4 2 où < λ < 4 Motrer que le rayo de covergece de a z est 2( 2 ). 95. (X997) Pour quels couples (a, b), la série : a + b = coverge-t elle? O ote S(a, b) sa somme. Calculer sur les bos domaies : ( ) x S x, S(x, x) x 96. (ENSP 997) Trouver la limite quad t de : 2 t 97. (a) Soit q ], [ u réel. Motrer, pour z C, la covergece de : f(z) = = t 2 ( + q z) = ) Page 5/7 Jea-Pierre Barai Page 6/7 Jea-Pierre Barai
9 (b) Trouver les zéros de f. (c) Motrer que f est développable e série etière sur R. et détermier so développemet. (d) Trouver u équivalet de f au voisiage de (X 998) O cosidère ue suite complexe (a ) telle qu existet des complexes (α k ) k p tels qu à partir d u certai rag q : a +p = p α k a +p k k= (a) Motrer que la série etière a z a u rayo de covergece >. (b) Motrer que sa somme est ue fractio ratioelle. (c) (Subsidiaire o posée) Démotrer ue réciproque de la questio précédete. 99. (Ce 2, 23) Pour p N, p 2 o pose : p S p (X) = (X + 2k), S =, S = X k= et, pour P R[X] et x R : φ(p )(x) = e x = P ( 2) x! (a) Motrer que la famille (S p ) p est ue base de R [X]. (b) Motrer que φ est bie défiie. Calculer, avec Maple, φ(s p ) pour p. (c) Motrer que φ est u automorphisme de R[X] et calculer ses valeurs propres. Page 7/7 Jea-Pierre Barai
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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