Loi binomiale-cours. La loi binomiale

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1 1 La loi binomiale Les robabilités en général - et la loi binomiale en articulier - doivent beaucou à la famille Bernoulli. Cette dynastie de scientifiques comte, entre autres, dans ses rangs, Jacob ( ) dit Jacques I, Johann ( ) dit Jean I, tous deux fils de Nicolas ( ), ainsi que Daniel (17-178) et Nicolas II ( ), fils de Johann. Le grand ouvrage de Jacob : Ars conjectandi (l art de conjecturer), ublié ar son neveu Daniel en 1713, est une véritable révolution dans le monde des robabilités. Il y résente la loi des grands nombres (largement utilisée aujourd hui ar les exloitants de casinos ou les assureurs, ar exemle), la loi de Bernoulli, des roriétés des coefficients binomiaux on neveu Daniel oursuivra ses travaux en exlorant la notion de rise de risques dans son ouvrage : Théorie sur la mesure du risque. es recherches le conduiront à aliquer les robabilités à l astronomie ainsi qu à des décisions ubliques comme le choix d un état de considérer une stratégie d inoculation (ancêtre de la vaccination) en fonction du risque de mortalité. es discussions avec son frère Nicolas II le mèneront à résenter le Paradoxe de aint-pétersbourg, considéré aujourd hui ar certains économistes de la finance comme fondateur des bases de la théorie économique et financière de la rise de risques. Pour en savoir lus sur la famille Bernoulli, vous ouvez vous reorter, ar exemle, à la age de P. Radelte de Grave ( 1 La loi de Bernouilli et dénombrement Considérons une roue équilibrée divisée en quatre secteurs identiques. Chaque secteur est reéré ar une lettre : A, B, C ou D. On fait tourner la roue : si l on obtient la lettre A, c est un succès (); sinon, c est un échec (). On réète cette exérience n fois et on comte le nombre de succès. A D B C Une exérience aléatoire à deux issues ossibles : succès ou échec, est aelée une éreuve de Bernouilli. La loi de Bernouilli de aramètre est la loi de variable aléatoire X renant la valeur 1 en cas de succès et en cas d échec, où désigne la robabilité du succès. On a alors : si x = 1 P(X = x) = si x = sinon La loi de X est donc : 1 P(X = ) Nous ouvons alors calculer l esérance et la variance de X : 1 E(X) = P(X = ) = ()+1 = ; V(X) = [ 1 1 ] [ E(X)] P(X = ) = P(X = ) [E(X)]. = = = Donc V(x) = ()+1 = (). Une exérience aléatoire n ayant que deux issues ossibles (succès et échec) est une éreuve de Bernouilli. oit la robabilité du succès. La variable aléatoire X renant la valeur 1 en cas de succès et O en cas d échec suit une loi de Bernouilli de aramètre. on esérance est E(X) = et sa variance est V(X) = (). Revenons à notre situation. Faisons tourner la roue une fois. Nous obtenons donc une éreuve de Bernouilli : le succès est l obtention de la lettre A. La variable aléatoire X, renant la valeur 1 si l on obtient la lettre A et sinon, suit une loi de Bernouilli de aramètre = 1. on esérance est donc et sa variance V(X) = 1 E(X) = 1 ( 1 1 ) = 3 16 Losqu on réète une éreuve de Bernouilli n fois, de manière identique et indéendante (le résultat d une éreuve ne déend as du résultat des éreuves récédentes), on arle de schémas de Bernouilli de aramètres n et ( est toujours la robabilité du succès). 1

2 1 Lançons la roue deux fois de suite. Nous sommes donc en résence d un schémas de Bernouilli de aramètres n = et = 1. oit X la variable aléatoire comtant le nombre de succès. Afin de déterminer la loi de X, nous réalisons un arbre ondéré : : X = : X = 1 : X = 1 : X = Nous ouvons donc obtenir ; 1 ; ou succès. L univers de la variable aléatoire X est donc X(Ω) = { ; 1 ; ( }. ) Comtons à résent le nombre de chemins ermettant de n obtenir aucun succès. Nous noterons ce nombre (se lit ( ) armi ). Par lecture de l arbre, il n y a qu un seul chemin ossible. Donc = 1. Ce chemin corresond au coule ( ) dont la robabilité est (). Donc P(X = ) = (). ( ) De même, le nombre de chemins menant à un seul succès est = ( 1 armi est égal à ). 1 Les chemins menant à un succès sont () et (). Donc P(X = 1) = ()+() = (). ( ) Enfin, le nombre de chemins menant à deux succès est = 1 ( armi est égal à 1). Ce chemin est () et, ar conséquent, P(X = ) =. La loi de robabilité de X est donc : 1 P(X = ) () () On dira que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de aramètres n = et = 1. Remarque : Pour tous nombres réels a et b, (a+b) = a +ab+b. Les coefficients de chaque facteur corresondent aux ( ) ( ) ( ) nombres, et. 1 Lançons maintenant la roue trois fois et comtons le nombre de succès. L arbre rerésentant l exérience aléatoire est alors : : X = 3 : X = : X = : X = 1 : X = : X = 1 : X = 1 : X = Comme récédemment, comtons le nombre de ( chemins ) : 3 Nombre de chemins menant à aucun succès : = 1 ( armi 3 est égal à 1) et P(X = ) = () 3.

3 1 ( ) 3 Nombre de chemins menant à un succès : = 3 et ( 1 armi 3 est égal à 3) P(X = 1) = 3(). 1( ) 3 Nombre de chemins menant à deux succès : = 3 ( armi 3 est égal à 3) et P(X = ) = 3 (). ( ) 3 Nombre de chemins menant à trois succès : = 1 ( 3 armi 3 est égal à 1) et P(X = 3) = 3. 3 La loi de robabilités de X est donc : 1 3 P(X = ) () 3 3() 3 () 3 On dira que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de aramètres n = 3 et = 1. Remarque : Pour tous nombres réels a et b, (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3. Les coefficients de chaque facteur ( ) ( ) ( ) ( ) corresondent aux nombres,, et. 1 3 Juste our le laisir, lançons maintenant la roue quatre fois et comtons le nombre de succès. L arbre rerésentant l exérience aléatoire est alors : : X = Comtons le nombre de chemins : Nombre de chemins menant à aucun succès : : X = 3 : X = 3 : X = : X = 3 : X = : X = : X = 1 : X = 3 : X = : X = : X = 1 : X = : X = 1 : X = 1 ( ) = 1 et P(X = ) = (). : X = 3

4 1 ( ) Nombre de chemins menant à un succès : = et P(X = 1) = () 3. 1( ) Nombre de chemins menant à deux succès : = 6 et P(X = ) = 6 (). ( ) Nombre de chemins menant à trois succès : = et P(X = 3) = 3 (). 3( ) Nombre de chemins menant à quatres succès : = 1 et P(X = ) =. La loi de robabilités de X est donc : 1 3 P(X = ) () () 3 6 () 3 () On dira que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de aramètres n = et = 1. La loi binomiale Considérons un shéma de Bernouilli de aramètres n (nombre de réétitions de l exérience, de manière identique et indéendante) et (robabilité du succès). Nous avons constaté, sur les exemles récédents, qu un tel shéma eut se rerésenter ar un arbre ondéré à n niveaux. oit X la variable aléatoire comtant le nombre de succès. On dit alors que X suit une loi binomiale de aramètres n et. Le nombre de chemins conduisant à succès (où est un entier de l intervalle [ ; n]) est noté armi n. Remarque : les nombres our déterminer ( ) 1, saisir : ( n ). Il se lit : (on arle de coefficients binomiaux) sont rogrammés dans la calculatrice. Par exemle, 1 MATH PRB ncr (ou, selon les modèles : Combinaison). On obtient : 1. Essayons de déterminer la robabilité P(X = ). Nous cherchons donc à déterminer la robabilité d obtenir succès en effectuant n éreuves identiques ( ) et indéendantes ( est toujours un entier de [ ; n]) : n Nous savons qu il existe chemins ermettant d obtenir succès; Pour obtenir succès (exactement), il doit y avoir fois et (n ) fois. La robabilité d un chemin menant à un tel événement est () n. Par conséquent, les différents événements comortant succès et n échecs étant incomatibles : P(X = ) = () n Petit bilan : On réète, de manière identique et indéendante, n fois une éreuve de Bernouilli de aramètre. oit X la variable aléatoire comtant le nombre de succès. X suit une loi binomiale de aramètres n et : X B(n ;( ); ) n Pour tout entier naturel tel que n, P(X = ) = () n ; L esérance de X est E(X) = n (c est n fois l esérance de la loi de Bernouilli de aramètre ); La variance de X est V(X) = n(). Exemle : Rerenons l exemle de la roue. Faisons-la tourner 15 fois. 1. Quelle est la robabilité d obtenir 8 succès?. Quelle est le nombre moyen de succès? olution : 1. oit X la variable aléatoire comtant le nombre de succès. On lance 15 fois de suite la roue. Ces 15 lancers sont identiques et indéendants.on réètedonc 15 fois une éreuve de Bernouilli de aramètre = 1. La variable aléatoire

5 1 X suit donc une loi binomiale de aramètre n = 15 et = 1 : X B(15 ; 1 ). Par conséquent, la robabilité d obtenir 8 succès est : ) 15 8 = P(X = 8) = ( 15 8 )( 1 ) 8 ( 1 1, L esérance de X est E(X) = n = Le nombre moyen de succès est donc. Remarques : La loi binomiale est rogrammée dans la calculatrice. En rerenant l exemle ci-dessus (X B(15 ; Pour TI Casio 1 ) : Calculer P(X = ) nd vars (Distrib) MENU (TAT) F5 (otion DIT) électionner A :bionmdf ou ( :binom) Renseigner n, et dans cet ordre : F5 F1 (otion BINM) (otion Bd) Renseigner l écran x = ; Numtrial=n; 15,.5, 8 x = 8 Numtrial=15 =.5 Calculer P(X ) Procéder de même en choisissant Procéder de même en choisissant la fonction B :Binom FRe l otion Bcd ( F ) Obtenir la loi TAT 1 (Edit) MENU (TAT) de robabilité de X aisir dans List 1 les entiers de à n aisir dans List 1 les entiers de à n :,1,,,15. :,1,,,15. Positionner le curseur sur L. F5 (DIT) F5 (BINM) F1 (BPD) nd VAR choisir binomdf (ou binom) Renseigner l écran : List : List1, Numtrial : n, Renseigner n et ENTER 15,.5 ) ENTER F1 (CACL) EXIT EXIT On obtient les P(X = ) dans List Exercice : Dans une ville comtant habitants, on a recensé cas de gries. On choisit au hasard 3 ersonnes dans la ville. On aelle X le nombre de ersonnes malades choisies atteintes ar le virus grial. 1. Quelle est la loi de robabilités de X?. Calculer la robabilité des événements suivants (on donnera les résultats arrondis au millième) : olution : (a) Deux ersonnes exactement sont atteintes ar le virus (b) Il y a au-moins une ersonne atteint ar le virus 1. La roortion de ersonnes atteintes de la grie dans la ville est = =,. La oulation de la ville est suffisamment grande our considérer que le choix des 3 ersonnes se fait de manière indéendante et identique. On réète donc 3 fois la même éreuve de Bernouilli de aramètre =, : choisir une ersonne. Le succès est : la ersonne choisie est malade. Donc P() =,. L échec est : la ersonne choisie n est as malade. Donc P5) = 1, =,98. Les éreuves étant identiques et indéendants, X suit une loi binomiale de aramàtres n = 3 et =, : X B(3 ;,). 5

6 1. (a) L évènement ( Deux ) ersonnes exactement sont atteintes ar le virus corresond à X =. 3 P(X = ) = () 8 = 35,,98 8,99. La robabilité que armi les 3 ersonnes choisie, deux exactement soient malades est P(X = ),99. (b) L évènement Il y a au-moins une ersonne atteint ar le virus corresond P(X 1). L évènement contraire de P(X 1) ( est) P(X < 1) c est-à-dire P(X = ). Donc : 3 P(X 1) = 1 P(X = ) = 1 () 3 = 1,98 3,55. La robabilité que armi les 3 ersonnes choisie, au-moins une soit malade est P(X 1),55. Alication algébrique : La robabilité de l univers est égale à 1. Elle est aussi égale à la somme des robabilités des =n =n événements élémentaires le formant. Nous avons donc : P(X = ) = 1 = () n ( ). = = Posons, dans cette égalité : = a a. Alors = 1 a+b a+b = a+b a = b. L égalité s écrit alors : a+b a+b =n ( )( ) n a b ( ) = 1 a+b a+b = =n a b n ( ) (a+b) (a+b) n = 1 = =n ab n ( ) (a+b) n = 1 = Par conséquent, en multiliant as (a+b) n les deux membres de l égalité : = =n a b n = (a+b) n Exemles : =3 ( ) 3 1. Pour tout réel x, (1+x) 3 = 1 x 3 = 1+3x+3x +x 3. =n. () n = (1+1) n = 1 1 n = = =n = =. 3 Proriétés des coefficients binomiaux (ROC) Comme récédemment, n et sont des entiers naturels tels que n. Considérons un shéma de Bernouilli, réétition de n éreuves de Bernouilli identiques et indéendantes. ur l arbre rerésentant ce shéma, un seul chemin mène à aucun succès et un seul chemin mène à n succès. Donc : ( ) n = = 1 n Toujours sur l arbre, il y a autant de chemins menant à succès que de chemins menant à échecs. Or, dire qu un chemin indique échecs revient à dire que ce chemin indique n succès. Par conséquent : Pour tous entiers naturels n et tels que n, ( ) n =. n Considérons à résent que nous réétons n+1 fois l éreuve de Bernouilli et cherchons le nombre de chemins nous menant à +1 succès (avec n 1). Pour obtenir ces +1 succès, deux ossibilités s offrent à nous : lors des n remiers tirages, nous avons obtenu +1 succès, ce qui corresond à chemins. Il faut alors obtenir un échec lors de la dernière éreuve (un seul chemin ossible). Cette ossibilité corresond donc à chemins; +1 6

7 1. lors des n remiers tirages, nous avons obtenu succès, ce qui corresond à chemins. Il faut alors obtenir un succès lors de la dernière éreuve (un seul chemin ossible). Cette ossibilité corresond donc à chemins. Ces différents chemins étant icomatibles, nous obtenons donc réétition de n+1 éreuves de Bernouilli : Formule de Pascal Pour tous entiers n et tels que n 1, + +1 ( ) +1 n = chemins menant à +1 succès lors de la Conséquence : Le triangle de Pascal. Le triangle ( de ) Pascal ermet de calculer, de roche en roche, les coefficients binomiaux en utilisant la formule de Pascal. n L entier est à l intersection de la ligne n et de la colonne. ( ) n On commence ar lacer les valeurs évidentes : = = 1, uis on comlète le tableau de roche en roche. n n