Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences

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1 Uiversié de Picardie Jles Vere UFR des Scieces Licece meio Mahémaiqes - Semesre 3 Saisiqe Exame de ldi 7 javier 14 Drée h To docme ierdi - Calclarices aorisées Exercice 1 1) Das e poplaio doée, o cosidère caracère qaiaif, représeé par e variable aléaoire X d espérace mahémaiqe e d écar-ype. O cosidère échaillo X 1,...,X de aille de X, e les esimaers X e S c (de e ) do la défiiio es rappelée das le formlaire joi. Soi réel ; 1. a) O sppose qe X si la loi ormale N;. Déermier, e déailla les calcls, iervalle de cofiace de a ivea 1. Expliqer ce qe sigifie le résla obe. b) O sppose qe 3. Qelle hypohèse sr X pe-o spprimer? Doer alors (sas calcl) iervalle de cofiace de a ivea 1. U chercher édie le comporeme des édias de l Uiversié de Geève e ermes de dépese hebdomadaire. Il se demade si la dépese hebdomadaire moyee d édia es spériere à 15 Fracs Sisses (FS). Por cela, il sélecioe échaillo aléaoire de édias e obie les réposes sivaes (exprimées e FS) : 1, 15, 18,, 13, 15, 17, 16, 19, 1, 15, 145, 175,, 1, 13, 135, 165, 15, 18. ) a) Préciser la poplaio e le caracère édiés. Préciser la aille d échaillo, le(s) esimaer(s) mis e je e ler loi. Préciser l hypohèse éveelle à faire sr la variable édiée por coaîre la loi des esimaers. b) Esimer pocelleme la moyee e de l écar-ype de la dépese hebdomadaire d édia. c) Doer iervalle de cofiace a ivea 95% de la dépese hebdomadaire moyee d édia. Le chercher pe-il répodre à la qesio q il se pose? Expliqer. d) Effecer es saisiqe a risqe 5% por aider le chercher à répodre. Qe pe-o e coclre? 3) E ilisa le logiciel R, o a obe les réslas sivas : a) Expliqer ce qe réalise les rois premières isrcios saisies e idiqer ce qe représee les valers calclées. b) Doer, e jsifia, le résla a risqe 5% d premier es réalisé. Cela es-il cohére avec l hypohèse éveelleme faie das le )a)? c) Doer, e jsifia, le résla a risqe 5% d dexième es réalisé. Comparer avec le résla d )d). 1

2 Exercice Por comparer l effe de la viamie C d js d orage e de l acide ascorbiqe de syhèse, o a doé, peda 6 semaies, d js d orage à grope de 1 cobayes e de l acide ascorbiqe à grope de 1 ares cobayes. O a esie mesré la loger des odooblases des icisives e obe les réslas sivas : Js d orage 8, 9,4 9,6 9,7 1, 14,5 15, 16,1 17,6 1,5 Acide ascorbiqe 4, 5, 5,8 6,4 7, 7,3 1,1 11, 11,3 11,5 O se demade si le js d orage accélère pls la croissace qe l acide ascorbiqe ; areme di si le js d orage codi à e loger moyee des odooblases des icisives spériere à celle avec l acide ascorbiqe. 1) Por répodre à cee qesio, qel(s) es(s) saisiqe(s) pe-o mere e oevre? Qelles so les hypohèses à formler? O décide d iliser le logiciel R por répodre à cee qesio. O obie les réslas sivas : ) Voici e première copie d écra : Expliqer la démarche sivie e doer, e jsifa, le résla a risqe 5 % de chac des ess effecés. 3) Voici e dexième copie d écra :

3 a) Préciser les hypohèses H e H 1 d es saisiqe mis e oevre. b) Doer, e jsifia, le résla d es e coclre a risqe 5%. 4) O décide d effecer es de Ma e Whiey (appelé assi Ma e Whiey - Wilcoxo). Voici e roisième copie d écra : a) Doer, e jsifia, le résla d es e coclre a risqe 5%. Comparer avec le résla d 3)b). b) Das qelle siaio arai-il fall iliser ce es à la place de celi ilisé a 3)? Exercice 3 Ue ereprise s ierroge sr la qalié des pièces q elle reçoi de 3 forissers A, B e C. L observaio d échaillos exrais des derières livraisos a doé les réslas sivas : forisser \ qalié bo éa défa mier défa majer A B C ) O s iéresse d abord à la proporio de pièces e bo éa. a) Por chac des rois forissers, déermier iervalle de cofiace a ivea 95% de la proporio de pièces e bo éa. Vérifier les codiios d applicaio de la formle ilisée. b) Pe-o e dédire, a risqe 5%, q il y a e différece ere les rois forissers? c) Effecer es a risqe 5% por savoir si l o pe cosidérerqe la proporio de pièces e bo éa d forisser A es spériere à celle d forisser B? ) O se demade maiea si le choix d forisser a e iflece sr la qalié des pièces reçes. E ilisa le logiciel R, o a obe les réslas sivas : Expliqer ce qe réalise les isrcios saisies, pis doer, e jsifia, le résla d es effecé a risqe 5%. Coclre. 3

4 Exercice 4 Das e agece de locaio de voires, le direcer ve savoir qelles so les voires qi o rolé q e ville por les revedre immédiaeme. Por cela, il y a das chaqe voire e boîe oire qi eregisre le ombre d heres peda lesqelles la voire es resée a poi mor, a premier rappor, a dexième rappor,..., a ciqième rappor. O sai q e voire qi e role q e ville passe e moyee 1% de so emps a poi mor, 5% e première, 3% e secode, 3% e roisième, % e qarième e 5% e ciqième. 1) a) Sr e première voire, o a observé sr heres de codie la répariio des rappors sivae : Rappor PM Nombre d heres b) Effecer es saisiqe a risqe 5% por répodre à la qesio sivae : la voire a--elle rolé q e ville? Préseer le déail des calcls permea d effecer ce es. c) E ilisa le logiciel R, o a obe les réslas sivas : Expliqer ce qe réalise les dex isrcios saisies, idiqer ce qe représee les rois valers calclées e ierpréer les réslas obes. Comparer avec les réslas d 1)b). ) Sr e dexième voire, o a obe les réslas sivas : Rappor PM Nombre d heres E ilisa le logiciel R, o a obe les réslas sivas : Pe-o cosidérer, a risqe 5%, qe cee voire a rolé q e ville? Jsifier la répose. 4

5 1) Esimaers Formlaire de Saisiqe Iféreielle Paramère Esimaer Saisiqe e sa loi X 1 X i T X S c : Sde à 1d.d.l. si échaillo gassie p S c 1 S, avec S 1 X i X Y 1 S c : F X i U F p p1p : Khi dex à 1d.d.l. si échaillo gassie Normale N; 1 (approx.) si p 1 e 1p 1 ) Iervalles de cofiace a ivea 1 Paramère Iervalle de cofiace Valers ablées i x s c, x s c el qe P T 1 i 1 b s c, 1 a s c a e b els qe PY a 1 PY b p i p f f1f 1, f f1f 1 el qe P U 1 3) Tess de coformié a risqe H H 1 Saisiqe de es Valer(s) es(s) T X S c el qe P T 1 el qe PT 1, i.e. el qe PT 1, i.e. Y 1 S c a e b els qe Pa Y b 1 b el qe PY b, i.e. b b a el qe PY a 1, i.e. a a p p p p p p p p U F p p 1p el qe P U 1 el qe PU 1, i.e. el qe PU 1, i.e. Por iervalle de cofiace de e/o es de coformié sr avec grad échaillo (qelcoqe), o pe approcher la loi de Sde par la loi NormaleN; 1, e remplacer, e par, e. 5

6 4) Tess d homogééié a risqe H H 1 Saisiqe de es e sa loi sos l hypohèse H Valer(s) es(s) F S c,1 : S c, Sédécor à 1 1, 1 d.d.l. si échaillos idépedas gassies f el qepf f e ravailla avec f 1 U X 1 X 1 S : c, S c,1 Normale N; 1 (approx.) si grads échaillos idépedas T X 1 X s c,1, : Sde à 1 d.d.l. (approx.) si peis échaillos idép. gassies e si avec s c,1, 11s c,1 1s c, 1 U D Sc,d, où D X 1 X : Normale N; 1 (approx.) si grads échaillos appariés T D Sc,d, où D X 1 X : Sde à 1d.d.l. si peis échaillos appariés gassies p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p U F 1 F f 1, 1f 1, : Normale N; 1 (approx.) si 1 f 1 5, 1 1f 1 5, f 5, 1f 5, avec f 1, 1f 1 f 1 5) Tes d ajseme à e loi héoriqe à r modaliés a risqe Hypohèse H : le caracère si la loi héoriqe défiie par les probabiliés p i. Hypohèse H 1 : H. r N i p i p i. Saisiqe de es : D Loi de D sos l hypohèse H : khi dex à r1kd.d.l. Valer es : b el qe PD b. 6) Tes d idépedace ere dex caracères à r e s modaliés a risqe Hypohèse H : les dex caracères so idépedas. Hypohèse H 1 : H. Saisiqe de es : D r s j1 N i,j p i,j p i,j, avec p i,j i,,j Loi de D sos l hypohèse H : khi dex à r1s1 d.d.l. Valer es : b el qe PD b. 6 s, i, j1 r i,j e,j i,j.

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