études de fonctions - fonctions référence - exercices
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- Arthur Paradis
- il y a 5 ans
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1 études de fonctions - fonctions référence - eercices Eercice Voici le tableau de variations d une fonction f Donner un encadrement par ordre croissant de f ( ) : a si b si < 4 c si < < 4 Comparer si possible : a f ( 5) et f ( ) b f ( 4) et f ( 0) c f ( ) et f ( 5) d f ( 7) et f ( ) Déterminer le nombres de solutions de : a f ( ) = b f ( ) = c f ( ) = 4 d f ( ) = 5 Eercice Voici le tableau de variations d une fonction f Déterminer l image par f des intervalles : a ] 7 ; ] b [ ; [ c [ ; ] d ] ; 9 ] e ] ; [ - -
2 Eercice 7; 4, donner l intervalle auquel appartient + 0 : a Si [ ] b Si [ ;8], donner l intervalle auquel appartient + : c Si [ ;], donner l intervalle auquel appartient d Si ] 4; [, donner l intervalle auquel appartient : e Si [ ;0], donner l intervalle auquel appartient : : f Si [ 4; + [, donner l intervalle auquel appartient : g Si ] 4;9], donner l intervalle auquel appartient : h Si [ 7; 4], donner l intervalle auquel appartient : i Si [ ;5[, donner l intervalle auquel appartient : Eercice 4 Sur le graphique ci-dessous, vous observez un ensemble de représentations graphiques de fonctions affines Affectez à chaque fonction affine proposée sa couleur Si aucune d entre elles ne vous semble correspondre, répondre par «non représentée» Par défaut, elles sont toutes «non représentées» À vous de cliquer! ( ) = + 4 b( ) = c( ) = d( ) = + 4 a 4 ( ) = + f ( ) = g( ) = + 4 h( ) = e ( ) = + j( ) = + k( ) = l( ) = i - -
3 Eercice 5 Quels sont les graphiques qui correspondent au propositions suivantes (cliquer dans le tableau pour valider votre choi - plusieurs réponses possibles pour certaines propositions)? a L équation f ( ) = possède eactement solutions b L équation f ( ) = 0 ne possède aucune solution c f est une fonction monotone d f ( ) [ ; ] e f est strictement croissante sur [ ; ] f f est strictement décroissante sur[ ; ] g ( ) f = ne possède aucune solution h f admet une valeur minimum i f admet une valeur maimum - -
4 Eercice 6 Voici les epressions de huit fonctions, ainsi que leurs huit graphes associés Déterminer à quelle fonction correspond chaque graphe a c e b ( 9) 0 d 4 + f cos( ) 6 + h g ( ) Eercice 7 Choisir la bonne représentation graphique : fonction f ( ) proposition A proposition B proposition C
5 + Eercice 8 On considère 4 nombres a, b, c et d tels que a< b< 0< c< d Comparer les nombres suivants, en tenant compte du sens de variation des fonctions de référence : a et b c et d a et b c et d a et b c et d a+ et b+ Eercice 9 a Comparer ( π+ ) et ( π ) b Comparer +7 et + 5 ( > 5) c Comparer + π et + π d Comparer et - 5 -
6 Eercice 0 Choisir la bonne réponse : proposition A proposition B proposition C L ensemble des réels tels que 0 est : L ensemble des réels tels que 4< < 6 est : L ensemble des réels tels que > 7 est : f est la fonction inverse Le maimum de f sur [ 5; ] est : f est la fonction inverse Le minimum de f sur [ 5; ] est : f est la fonction inverse Le maimum de f sur [ 0,;0, ] est : f est la fonction inverse Le minimum de f sur [ 0,;0, ] est : ; [ ;] 0; ] 4; [ ] ;4[ ] ;4 [ ] 4;4[ + 7; + ] ; 49[ ] 49; [ 5 ; 7 7; , 0, 0 5 Eercice a Si 4, alors : encadrer b Si 4, encadrer c Si < <, encadrer d Si < <, encadrer e Si <, encadrer f Si <, encadrer Eercice Soit un réel strictement positif, et M le point d abscisse situé sur la courbe d équation dans un repère orthonormé d origine O On appelle alors N le projeté orthogonal de M sur l ae des abscisses y=, Prouver que l aire du triangle OMN est constante Eercice On considère la parabole d équation y= dans un repère orthogonal On place quatre points distincts A, B, C et D d abscisses respectives a, b, c et d CD sont-elles parallèles? À quelle condition sur les réels a, b, c et d les droites ( AB ) et ( ) - 6 -
7 Eercice 4 La figure ci-dessous est composée de carrés de côté f l aire qui a été coloriée en rouge en fonction de est un réel compris entre 0 et 8 et on note ( ) Par eemple, f ( ) = 4 a Déterminer sans justifier f ( 4) et f ( 7) b Eprimer f ( ) en fonction de pour [ 0;] c Epliquer pourquoi f ( ) = + pour [ ;6 ] d Déterminer de même f ( ) pour [ 6;8 ] e Déterminer les variations de f et faire un tableau de variations f Représenter graphiquement f g Résoudre graphiquement, puis par le calcul : f ( ) = 7,5 Eercice 5 Répondre var VRAI ou FAUX : Soit f la fonction définie par f ( ) + = alors : 5 a f est une fonction décroissante sur R b f n est pas une fonction affine c Tout nombre réel admet un unique antécédent par f Soit f une fonction affine croissante sur R telle que f ( ) = 0, alors : a f ( 5) < 0 b f ( ) > 0 pour tout R Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = +, alors : a f est strictement décroissante sur ] ;0 ] b f est strictement décroissante sur [ 0;+ [ c Tout nombre réel admet un unique antécédent par f d Tout nombre réel admet au moins un antécédent par f e Il eiste des nombres réels qui n ont pas d antécédent par f f f ( ) < 0 g [ ;] alors f ( ) 4< < 9 4 Soit f la fonction définie sur R \{ 0} par f ( ) a f est strictement décroissante sur [ 5; ] b f est strictement décroissante sur R c f = 0 d f ( 5) < 0 =, alors : - 7 -
8 études de fonctions - fonctions référence - eercices corrigés Eercice - correction a 0 f ( ) 5 b < f ( ) 0 c f ( ) < 5 a Comme < f ( 5) < 5 et < f ( ) < 0 : f ( 5) f ( ) b Comme < f ( 4) < 5 et < f ( 0) < 0 : f ( 4) f ( 0) c Comme 0< f ( ) < 5 et 0 f ( 5) 4 d Comme 0< f ( 7) < 4 et f ( ) = 5, f ( 7) < f ( ) > > < <, il est impossible de conclure a f ( ) = admet deu solutions et tels que : b f ( ) = admet trois solutions, et tels que : c f ( ) = 4 n admet aucune solution d f ( ) = 5 n admet qu une solution : 0 = Eercice - correction a L image de ] 7; ] par f est ] ;0 ] b L image de [ ; [ par f est ] 0;5 ] c L image de [ ; ] par f est [ 0;5 ] d L image de ] ;9 ] par f est : [ ;0 ] e L image de ] ; [ par f est : [ ;5[ < < et < < 4 <, < < et > 4 Eercice - correction 7; 4 : a Si [ ] b Si [ ;8 ] : c Si [ ;] : d Si ] 4; [ : e Si [ ;0 ] 0 9 4< < 6 : 0 0 < 4 : < f Si [ 4; + [ : g Si ] 4;9 ] h Si [ 7; 4 ] i Si [ ;5[ : 4 7 : 0 < 5 Eercice 4 - correction a : bleu b : gris c : non représentée d : non représentée e : noir f : non représentée g : rouge h: violet i : vert j : orange k : non représentée l : marron - 8 -
9 Eercice 5 - correction a graphiques, et 6 b graphique 8 c graphiques et 8 d graphique e graphiques et 6 f graphiques, 5 et 8 g graphiques 5 et 8 h graphiques, 6 et 7 i graphiques 4, 5, 6 et 7 Eercice 6 - correction - e - d - b 4 - h 5 - g 6 - a 7 - f 8 - c Eercice 7 - correction + : proposition B : proposition A + : proposition A : proposition C Eercice 8 - correction a > b car > car c d a < b car est strictement décroissante sur ] ;0 ] f : f : est strictement décroissante sur ] [ f : est strictement croissante sur R 0;+ c< d car f : est strictement croissante sur [ 0;+ [ > car a b c < d car f : est strictement décroissante sur ] ;0[ f : est strictement croissante sur R a+ > b+ car f : + est strictement décroissante sur R Eercice 9 - correction a Comme 0< π < π+ et que la fonction [ 0;+ [, ( π ) ( π ) + > b Comme + 7> + 5> 0 avec > 5 et que la fonction décroissante sur ] 0;+ [, < f : est strictement croissante sur f : est strictement c π,77 donc + π< + π< 0 et que la fonction f : est strictement décroissante sur ] ;0 ], + π < + π d Comme < < 0 et que la fonction ] ;0[, < f : est strictement décroissante sur Eercice 0 - correction B - A - C - C - B - B - C - 9 -
10 Eercice - correction a Si 4 : 6 b Si 4 : c Si < < : < < 4 4 d Si < < : < < 7 e Si < : f Si < : Eercice - correction < 4 < 7 ON= et MN= donc l aire du triangle rectangle OMN vaut : Cette aire est constante, et correspond à 0,5 unité d aire ON MN = = Eercice - correction La point A a pour coordonnées ( a;a ), le point B ( b;b ), le point C ( c;c ) et le point D ( ) Le coefficient directeur de la droite ( AB ) est ( b+ a)( b a) yb ya b a α= = = = b+ a B A b a b a Remarque : A et B sont distincts donc b a b a 0 Le même raisonnement appliqué à la droite ( CD ) donne un coefficient directeur β= d+ c Pour obtenir ( AB ) et ( CD ) parallèles, elles doivent avoir le même coefficient directeur : Eercice 4 - correction 4 7 f 7 = α= β a+ b= c+ d a f ( ) = et ( ) b f ( ) correspond à l aire d un rectangle de côtés et : f ( ) = si [ 0;] c Si [ ;6 ], f ( ) correspond à la somme de l aire d un rectangle ( ) d;d 6unités et d un rectangle de côtés et (en effet, il faut ôter les trois premiers carreau) f 6 6 ;6 Donc ( ) = + ( ) = + = + si [ ] d Par un raisonnement analogue, f ( ) = 6+ + ( 6) = 9+ 8= 9 si [ 6;8 ] si 0 Finalement : f ( ) = + si 6 9 si 6 8 e Le tableau de variations de f est : - 0 -
11 f Graphique : g Graphiquement, f ( ) = 7,5 = 4,5 Par le calcul, on doit résoudre : 7,5 4,5 + = = (on utilise f ( ) que la valeur 7,5 est comprise entre 6 et 9 dans le tableau de variations) = + en observant Eercice 5 - correction Partie : a VRAI : le coefficient directeur de cette fonction affine est donc négatif 5 + b FAUX : = +, qui est l epression d une fonction affine c VRAI : représentation graphique de f est une droite qui n est pas parallèle à l ae des abscisses Partie : a VRAI : comme f est une fonction affine croissante et que 5 donc f ( 5) < 0 b FAUX : puisque f ( 5) < 0 par eemple < alors f ( 5) < f ( ) - -
12 Partie : a FAUX : la courbe représentative de f ( ) de unités à partir de la courbe représentative de g( ) croissante sur ] ;0 ] = + s obtient en augmentant les ordonnées =, qui est strictement b VRAI : pour les mêmes raisons, f est bien strictement décroissante sur [ 0;+ [ c FAUX : à deu titres, car 4 ne possède aucun antécédent et 0 en possède deu d FAUX : 4, comme tous les nombres strictement supérieurs à, ne possède aucun antécédent e VRAI : 4 ne possède aucun antécédent f FAUX : f ( ) = ( ) + = + = > 0 g FAUX : Sur [ ;], f atteint son maimum en 0 ( ( 0) ) ( f ( ) = + = 9 + = 6 ) Donc 6 f ( ) f = et son minimum en Partie 4 a VRAI : la courbe représentative de f ( ) unités à partir de la courbe représentative de ( ) ] ;0[ donc sur [ 5; ] = s obtient en diminuant les ordonnées de g =, qui est strictement décroissante sur - -
13 b FAUX : f n est pas définie en 0, donc pas sur R tout entier On ne peut donc affirmer qu elle est décroissante sur R Par contre, elle est décroissante sur ] ;0[ et sur ] 0;+ [ c FAUX : f = = = 4 d VRAI : f ( 5) = = < 0 car < 0 et <
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