Géométrie 2 ELEMENTAIRE DE L ESPACE. dans le plan ainsi que les opérations interne et externe se généralisent dans l espace. On

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1 Géométrie chap 1/6 GEOMETRIE Géométrie ELEMENTAIRE DE L ESPACE On note l espace 1 REPERES La définition de vecteur vue dans le plan ainsi que les opérations interne et externe se généralisent dans l espace On notera encore V l ensemble des vecteurs de l espace Définition 1 : Dans l espace, trois vecteurs u = OA, v = OB et w = OC so ont dits coplanaires si les points O, A, B et C sont dans un même plan Proposition 1 : Soient u et v que u, v et w des vecteurs non colinéaires L ensemble des vecteurs w tels soient coplanai v ires est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs u et, ie les vecteurs qui s écrivent au + bv, où a et b sont des réels On le n u, v note Vect ( ) Définition : On appelle repère cartésien de tout quadruplet R = (O ; i ; j ; k ) où O et i, j et k sont des vecteurs non coplanaires O est l origine du repère, ( i ; j;k) est une base de V Le repère (ou la base) est dit(e) orthogonal(e) si i, j et k sont deux à deux orthogonaux Le repère (ou la base) est dit( (e) orthonormé(e) si i, j et k sont deux à de eux orthogonaux et unitaires Le repère est orienté dans le sens direct suivant la règle suivante : Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I tel que OI = i Le repère es st dit "direct" si l'observateur a à sa gauche le point J tel que OJ = j Il est dit "indirect" da ans le cas contraire Théorème 1 / Définition 3 : Etant donné un repère R = (O ; i ; j ; k ), po our tout point M de il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z) tel que : OM = x i + y j + z k Le triplet (x ; y ; z) s appelle triplet de coordonnées de M dans le repère R x s appelle l abscisse de M dans R, y s appelle l ordonnée de M dans R,, z s appelle la cote de M dans R Pour tout vecteur u = OM on appelle coordonnées de u dans la base (x ; y ; z) de coordonnées de M dans R ( i ; j ; k ) le triplet

2 Géométrie chap /6 Définition 4 : Soit (O ; i; j;k ) un repère orthonormé direct de l espace On appelle repère cylindrique de l espace tout repère u( θ ) = cos θ i + sin θj {O ; u( θ); v( θ);k } où θ est un nombre réel et v( θ ) = sin θ i + cos θ j Le triplet (ρ ; θ ; z) tel que OM = ρu( θ ) + zk est appelé triplet de coordonnées cylindriques du point M On appelle coordonnées sphériques d un point M(x ; y ; z) de x = r cos θsin ϕ le triplet (r ; θ ; φ) tel que : y = r sin θ sin ϕ z = r cos ϕ PRODUIT SCALAIRE Définition 5 : Soient u et v deux vecteurs de l espace On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u v défini par : u v cos ( u, v ) si u et v sont non nuls uv = 0 sinon Proposition : Soient u et v deux vecteurs de l espace u et v sont orthogonaux si, et seulement si u v = 0 Proposition 3 : Pour tous les vecteurs u et v on a : u v 1 = ( u + v u v ) Proposition 4 : Soient u et v des vecteurs de coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x ; y ; z ) dans un rond, alors : u v = xx + yy + zz Remarque : Dans un repère orthonormé, soient A et B des points de coordonnées (x A ; y A ; z A ) et (x B ; y B ; z B ) respectivement Alors : AB = AB = ABAB x x + y y + z z = ( ) ( ) ( ) A B A B A B Propriétés : Soient u et v deux vecteurs de l espace, a et b des réels u v = v u (symétrie) au + bv w = a uw + b vw (bilinéarité) ( ) ( ) ( )

3 Géométrie chap 3/6 3 PRODUIT VECTORIEL Définition 6 : Soient u et v deux vecteurs de l espace orienté On appelle produit vectoriel de u et v le vecteur n noté u v tel que : Si l un des vecteurs est nul : n = 0 Sinon : n est orthogonal à u et v, de norme n = u v sin ( u, v) est une base directe Proposition 5 : u et v colinéaires u v = 0 et tel que { u, v,n} Proposition 6 : Soient u et v des vecteurs de coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x ; y ; z ) dans un rond, alors : u v = y y ' x x ' i j x x ' + k z z ' z z ' y y ' Propriétés : u v = ( v u ) (antisymétrie) au + bv w = a u w + b v w ( ) ( ) ( ) (bilinéarité) Remarque : u v = Aire(parallélogramme construit sur u et v ) 4 PRODUIT MIXTE (ou DETERMINANT) Définition 7 : Soient u, v et w trois vecteurs de l espace orienté On appelle produit mixte (ou déterminant) de u, v et w le réel noté u, v, w égal à ( u v ) w Propriétés : Soient u, v et w trois vecteurs de l espace orienté, a et b des réels u, v, w = v,u, w = w, v,u = v, w,u ( au + bv ), w, t = a u, w, t + b v, w, t Proposition 7 : u, v, w coplanaires u, v, w =0 Remarque : u, v, w = Volume (parallélépipède construit sur u, v et w )

4 Géométrie chap 4/6 5 PLANS DE L ESPACE 51 Caractérisation d un plan Un plan P est entièrement déterminé par la donnée : de trois points non alignés : P = (ABC) = {M / AM,AB,AC = 0} d un point A et de deux vecteurs non colinéaires u et v, appelés vecteurs directeurs: P = A + Vect ( u, v) = {M / AM,u, v = 0} d un point A et d un vecteur n orthogonal à tous les vecteurs directeurs de P, appelé vecteur normal à P : P = A + Vect ( n ) = { M / AM n= 0 } désigne l ensemble des vecteurs orthogonaux à n Vect ( n) 5 Equation cartésienne Proposition 8 : Dans le plan muni d un rond, soit P un plan Alors : ( a; b; c; d) 4 /( M(x;y;z) P) ( ax + by + cz + d = 0) R Définition 8 : L équation ax + by + cz + d = 0 est appelée équation cartésienne de P Techniques pour déterminer une équation cartésienne d un plan : Dans l espace muni d un rond, soient P un plan, et M(x ; y ; z) un point de P Si P = (ABC) : Une équation cartésienne de (ABC) est donnée par : AB,AC,AM = 0 Si P = P = A + Vect ( u, v) : Une équation cartésienne de P est donnée par : u, v,am = 0 Si P = A + Vect ( n ) : Une équation cartésienne de P est donnée par : nam = 0 Remarque : Si n a pour coordonnées (a ; b ; c), et A a pour coordonnées (x A ; y A ; z A ), P a pour équation : ax + by + cz (ax A + by A + cz A ) = 0

5 Géométrie chap 5/6 53 Représentation paramétrique Définition 9 : Dans l espace muni d un rond, soit P le plan passant par A(a ; b ; c) de u α; β; γ et v α '; β'; γ ' non colinéaires vecteurs directeurs ( ) ( ) x = a + λα + µα ' z = c + λγ + µγ ' x = a + λα + µα ' y = b + λβ + µβ ' λ ; µ R est appelé représentation paramétrique de P z = c + λγ + µγ ' ( ) ( ) ( ) M x; y;z P λ ; µ R / AM = λ u + µ v λ ; µ R / y = b + λβ + µβ ' Le système ( ) 6 DROITES DE L ESPACE 61 Caractérisation d une droite de l espace Une droite D de l espace est entièrement déterminée par la donnée : de deux points distincts : D = (AB) d un point A et un vecteur directeur u : D = A + Vect ( u ) (comme dans le plan, Vect( u ) désigne l ensemble des vecteurs colinéaires à u ) de deux plans qui s interceptent suivant elle : D = P Q 6 Equations cartésiennes Une droite de l espace pouvant être définie comme l intersection de deux plans, le système composé des équations cartésiennes de deux plans constitue un système d équations cartésiennes de leur droite d intersection Remarque : il existe une infinité de plans distincts contenant la même droite Un système d équations cartésiennes de droite n est donc pas très «lisible» 63 Représentation paramétrique Définition 10 : Dans l espace muni d un rond, soit D la droite passant par A(a ; b ; c) et x = a + λα dirigée par u ( α; β; γ) Alors : M( x; y;z) D λ R / AM = λu λ R / y = b + λβ z = c + λγ x = a + λα Le système y = b + λβ, λ R est appelé représentation paramétrique de D z = c + λγ

6 Géométrie chap 6/6 7 PROJETES ORTHOGONAUX D UN POINT DISTANCES Définition 11 : Soit M un point de l espace, D une droite dirigée par u, et P un plan de vecteur normal n On appelle projeté orthogonal de M sur D, le point H de D tel que MHu = 0 On appelle distance de M à D le réel d(m ; D) = Inf { MA / A D} On appelle projeté orthogonal de M sur P, le point H de P tel que MH Vect(n) On appelle distance de M à P le réel d(m ; P) = Inf { MA / A P} Proposition 9 : Soient M un point de l espace, D une droite, et P un plan Alors d(m ; D) = MH D où H D est le projeté orthogonal de M sur D, et d(m ; P) = MH P où H P est le projeté orthogonal de M sur P Proposition 10 : Dans l espace muni d un repère orthonormé direct (O ; i ; j ; k ) : Si P est le plan d équation : ax + by + cz + d = 0 et M le point de coordonnées ax0 + by0 + cz0 + d (x 0 ; y 0 ; z 0 ), alors : d(m ; P) = a + b + c u, v, AM Si P = A + Vect ( u, v), alors d(m ; P) = u v Si D = A + Vect( u ), alors d(m ; D) = AM u u 8 SPHERES Définition 1 : On appelle sphère de centre A et de rayon r (où A et r ) l ensemble S(A ; r) = {M / AM = r} Proposition 11 : Dans un rond, la sphère de centre A(a ; b ; c) et de rayon r a pour équation cartésienne : (x a) + (y b) + (z c) = r Proposition 1 : Soient S une sphère de centre A et de rayon r, P un plan, et H la projection orthogonale de A sur P Si d(a ; P) > r, alors P S = Si d(a ; P) = r, alors P S = {H} On dit alors que le plan est tangent à la sphère Si d(a ; P) < r, alors P S est le cercle de centre H et de rayon r d (A,P)