5. Triangles. Pour commencer, B A = ( 2, 2, 2) C A = ( 5, 2, 3) B C = (3, 4, 1)

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1 Cours 3MADF0 Exercices de mathématiques - Corrigé de la série n. Géométrie.. Géométrie. () x y = ( ) + ( 3) ( 5) =, (.5 x) y = 5, x ( y) = 4, y x = et ( x +.5 z) y = x y +.5 z y = +.5 = () x = = ,.5 x =.5 x, x+ y = = et y = = Produit scalaire. () x y = 0, x = , ( 3) x = 3 x = et x+ y = (; 9; 7) = 3.4 () L équation x y = 0 donne 6 + 7k + k = 0 (k + 6)(k + ) = 0 [k = ou k = 6] 5. Triangles. Pour commencer, B A = (,, ) C A = ( 5,, 3) B C = (3, 4, ) et B A = C A = 38 B C = MaTheX - (page /6)

2 Exercices de mathématiques - Corrigé de la série n (page /6) () Notons α l angle au sommet A, β l angle au sommet B et γ l angle au sommet C. Alors, α = cos ( ) 55.8 β = cos ( ) = 90 γ = cos ( ) 34. Remarquons que α + β + γ = 80. () Le périmètre vaut Inégalité du triangle. De la définition de la norme, des propriétés du produit scalaire et de l inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve a + b = ( a + b) ( a + b) = a + ( a b) + b a + a b + b a + a b + b = ( a + b ) Par conséquent, en prenant la racine carrée, on trouve a + b a + b 7. Projection orthogonale. On trouve x a = b a a b a a a = b a a b a a = 0 8. Projection orthogonale - Solutions. ) P a ( b) = ( 56 9 ; 56 9 ; 8 9 ) 9. Un triangle. () Le triangle est rectangle en c, par conséquent, γ = 90. Notons α l angle au sommet 0. Alors ( α = cos a ) ( ) b 3 a = cos 9.8 b 6 9 Finalement, β = 80 α γ = 80.. () Comme le triangle est rectangle en c, son périmètre est donné par P = b + b sin(α) + b cos(α) = b ( + sin(α) + cos(α)).6

3 Exercices de mathématiques - Corrigé de la série n (page 3/6) (3) Comme le triangle est rectangle en c, son aire est donnée par A = b cos(α) b sin(α).4 0. Géométrie. () a b = ( ; 6; 4) () b a = (; 6; 4) (3) Aire= a b = ( ) + ( 6) + 4 = (4) ( ; 6; 4) (5) 0 (6) 0. Produit vectoriel. Les vecteurs a, b et c sont linéairement dépendants; de plus, a et b c sont colinéaires.. Produit vectoriel. On trouve Produit vectoriel. () Non, car a et b ne sont pas orthogonaux. () Pour b = 7, x = (k; k + 5; 3k 6) où k R. 4. Solutions. () () Démonstration. ( a b) a = a a b b a a = a b 3 a 3 b [a b 3 a 3 b ] a a a 3 b 3 a 3 a b a b a 3 = a (a b 3 a 3 b ) a (a b 3 a 3 b ) + a 3 (a b a b ) = a a b 3 a a 3 b a a b 3 + a a 3 b + a 3 a b a 3 a b = 0 (3) Démonstration. Nous trouvons d une part: a ( b c) = a a b b c c = a a b c 3 b 3 c (b c 3 b 3 c ) a 3 b 3 c 3 a 3 b c b c = a (b c b c ) a 3 ( (b c 3 b 3 c )) [a (b c b c ) a 3 (b c 3 b 3 c )] = a b c a b c + a 3 b c 3 a 3 b 3 c a b c + a b c + a 3 b c 3 a 3 b 3 c a ( (b c 3 b 3 c )) a (b c 3 b 3 c ) a b c 3 + a b 3 c a b c 3 + a b 3 c

4 Exercices de mathématiques - Corrigé de la série n (page 4/6) et d autre part: ( a c) b ( a b) c = (a c + a c + a 3 c 3 ) b (a b + a b + a 3 b 3 ) c 5. Aires. Le rapport est. b b 3 = (a c + a c + a 3 c 3 )b (a b + a b + a 3 b 3 )c (a c + a c + a 3 c 3 )b (a b + a b + a 3 b 3 )c (a c + a c + a 3 c 3 )b 3 (a b + a b + a 3 b 3 )c 3 = a c b + a c b + a 3 c 3 b a b c a b c a 3 b 3 c a c b + a c b + a 3 c 3 b a b c a b c a 3 b 3 c a c b 3 + a c b 3 + a 3 c 3 b 3 a b c 3 a b c 3 a 3 b 3 c 3 = a c b + a 3 c 3 b a b c a 3 b 3 c a c b + a 3 c 3 b a b c a 3 b 3 c = a b c + a 3 b c 3 a b c a 3 b 3 c a b c + a 3 b c 3 a b c a 3 b 3 c a c b 3 + a c b 3 a b c 3 a b c 3 a b 3 c + a b 3 c a b c 3 a b c 3 ce qui achève la démonstration de l égalité: 6. Triangles. ) 7 7. Projection. a ( b c) = ( a c) b ( a b) c () Comme le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal aux vecteurs, il suit que P a ( b) est orthogonal à a. () On trouve P a ( b) + P a ( b) = a b a a + a ( b a) a = a b a a + ( a a) b ( a b) a a = a b a a + ( a a) b ( a b) a a a 8. Continuité. La fonction est continue sur les intervalles ]0, 4[, ]4, 8[ et ]8, 0[. Elle est discontinue en x 0 = 4 et x 0 = 8. De plus, elle est continue à droite en x 0 = 0 et x 0 = 8, et elle est continue à gauche en x 0 = 4. = b c c 3

5 Exercices de mathématiques - Corrigé de la série n (page 5/6) 9. Fonctions continues. Cette fonction n est pas continue en x 0 = car si ε =, alors pour tout δ > 0, il existe x ]x 0 δ, x 0 + δ[ tel que f(x) f(x 0 ) > > ε. En effet, si x > x 0 =, alors f(x) f(x 0 ) = x x 0 = x > =. 0. Continuité. La fonction f n est pas continue en x 0 = 0. En effet, remarquons que pour x n = où n N, f(x n ) = sin (4n+)π (4n+)π = sin( Ainsi, pour tout δ > 0, il existe x n ]x 0 δ, x 0 + δ[ tel que f(x n ) f(x 0 ) = 0 = (4n + )π ) = Par conséquent, il existe ε > 0 (par exemple ε = ), tel que pour tout δ > 0, il existe x n ]x 0 δ, x 0 + δ[ pour lequel f(x n ) f(x 0 ) ε.. Continuité. La fonction f n est pas continue en x 0 = 0. En effet, remarquons que pour x n = où n N, f(x n ) = sin (4n+)π (4n+)π = sin( Ainsi, pour tout δ > 0, il existe x n ]x 0 δ, x 0 + δ[ tel que En effet, pour n suffisamment grand, x n < δ: x n < δ δ f(x n ) f(x 0 ) = = < (4n + )π (4n + )π ) = n > δπ 4 Par conséquent, il existe ε > 0 (par exemple ε = ), tel que pour tout δ > 0, il existe 4 x n ]x 0 δ, x 0 + δ[ pour lequel f(x n ) f(x 0 ) ε. 3. Continuité. La fonction f n est pas continue en x 0 = 0 car, il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0, il existe x ]x 0 δ, x 0 + δ[ avec f(x) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[. En effet, prenons, par exemple, ε =. Alors, ]f(x 4 0) ε, f(x 0 ) + ε[=], 3 [ car, par définition, 4 4 f(x 0 ) =. De plus, comme x 0 = 0, ]x 0 δ, x 0 + δ[=] δ, δ[. Si x = min(, δ ), alors x ] δ, δ[ et 4 f(x) x ], 3[

6 4. Continuité - Solutions. Exercices de mathématiques - Corrigé de la série n (page 6/6) ) f est continue en x 0 = car ε > 0, f(x) f(x 0 ) = x + 3 ( + 3) 5. Continuité - Solutions. = x = x < ε x ] δ, + δ[ où δ = ε ) g(x) = x ) g(x) = x x x+ 3) g(x) = x+3 4) g(x) = x + 5) g(x) = x + 6) g(x) = x 3 x+3 7) g(x) = x+5 x 5 8) g(x) = x 9) g(x) = x 0) non carf(x) = x (x+) ) g(x) = x++ ) g(x) = x+ x +x+ = (x+)(x ) (x+) = x x+ qui admet une asymptote verticale en x =