PRODUIT SCALAIRE DANS V 2

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1 I) RAPPELLE 1) Définition du produit scalaire. 1.1 Mesure algébrique : PRODUIT SCALAIRE DANS V Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs x M et x N le réel x N x M s appelle la mesure algébrique entre les points M et N et se note : MN Propriétés : Sur une droite graduée on a: NM = MN MM = 0 MN + NM = MM (Relation de Shales ) MN = MN 1. Définition du produit scalaire dans V Soient u et v deux vecteurs On suppose que u 0 et v 0 Posons u = OA et v = OB et soit α la mesure en radian de l angle [AOB ] ; on a deux cas de figure qui se représentent : 0 α π ou π α π ; Soient H la projection orthogonale de B sur (OA) et K la projection orthogonale de A sur (OB) on a : 0 α π π α π On a OH et OA ont même signe donc OA OH 0 D où : OA OH = OA OH D autre part : cosα = OH on conclut que OB OH = OB cos α Et par suite : OA OH = OA OH = OA OB cos α De même : OK et OB ont même signe donc OB OK 0 D où : OB OK = OB OK D autre part : cosα = OK on conclut que OA OK = OA cos α Et par suite : OB OK = OB OK = OA OB cos α Finalement : OB OK = OA OH = OA OB cos α 0 On a OH et OA ont des signes opposés donc OA OH 0 D où : OA OH = OA OH D autre part : cos (π α) = OH on conclut que OH = OB cos(π α) Et par suite et comme cos(π α) = cosα on a : OA OH = OA OH = OA OB cos α De même : OK et OB ont des signes opposés ; donc OB OK 0 D où : OB OK = OB OK D autre part : cos (π α) = OK on conclut que : OK = OA cos(π α) Et par suite : OB OK = OB OK = OA OB cos α Finalement : OB OK = OA OH = OA OB cos α 0 OB OA Le réel OB OK = OA OH = OA OB cos α s appelle le produit scalaire des deux vecteurs u et v et se note u v Si u = 0 ou v = 0 on pose u v = 0 1

2 Exercice 1 : 1- Calculer OA OB pour chaque figure - Calculer cosα dans la figure 3- Calculer OK dans la figure Exercice : Soit ABC un triangle équilatérale tel que : AB = 6 ; calculer AB AC. Cas particuliers : Soient O, A et B trois ponts du plan et α la mesure de l angle géométrique [AOB ] Si α = 0 on aura : OA OB = OA OB cos (0) = OA OB car cos (0) = 1 Si α = π on aura : OA OB = OA OB cos(π) = OA OB car cos(π) = 1 Si α = π on aura : OA OB = OA OB cos ( π ) = 0 car cos (π) = Propriétés du produit scalaire Propriété : Le produit scalaire est : Symétrique : Pour tous vecteurs u et v on a : u v = v u Bilinéaire : Pour tous vecteurs u, v et w et pour tout réel k on a : u (v + w ) = u v + u w et (u + v) w = u w + v w u (kv) = k (u v) = (ku ) v Le carrée scalaire est positif : Pour tout vecteurs u on a : u u 0 et ( u u = 0 u = 0 ) 1. Norme d un vecteur D parés la propriété précédente on a : Pour tout vecteurs u on a : u u 0 u u se note u ² et s appelle le carré scalaire Le réel positif u. u s appelle la norme du vecteur u on la note : u 1.5 Une autre définition du produit scalaire Soient u et v deux vecteurs tels que u = OA et v = OB on a OA = u et OB = v et on sait que u v = OA OB = OA OB cos (α) = u v cos (α)

3 Soient u et v deux vecteurs non nuls tels que : (u ), v α[π] ; on a u v = u v cos (α) Si u = 0 ou v = 0 on pose u v = Identités remarquables Propriétés : Soient u et v deux vecteurs on a : ( u + v) = u + (u v) + v = u + (u v) + v ( u v) = u (u v) + v = u (u v) + v ( u + v) ( u v) = u v 1.7 Orthogonalité de deux vecteurs Remarques. On dit que deux vecteurs u et v sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul et on écrit u v Le vecteur nul est orthogonal avec tous les vecteurs de V. Si AB 0 et CD 0 on a : AB CD si et seulement si (AB) (CD). 1.8 Les applications : Théorème : d Al-Kashi ( ) Dans un triangle ABC on a : BC = AC + AB AB AC cos (BAC ) Ce théorème est connu sous le nom d Al-Khasi ; c est une généralisation du théorème de Pythagore. Il nous permet de déterminer la longueur du troisième côté si on connait la longueur de deux côté et l angle qu ils définissent. Théorème : de la médiane Soit ABC un triangle et I milieu de [BC] ; on a : AB + AC = AI + BC² Le théorème de la médiane nous permet de calculer la longueur du médiane dans un triangle si on connait les longueurs des trois côtés. II) INEGALITE DE CAUCHY-SCHWARZ Activité 1: Considérons deux vecteurs u et v non nuls et le trinôme f(x) = (x u + v)² 1- Développer f(x). - Déterminer le signe de f(x). 3- Déterminer le discriminant de f(x). - En déduire que : ( (u, v) V )(u. v u. v u v ) 5- Quand est ce qu on a l égalité? 3

4 Activité : On sait que pour trois points donnés dans le plan on a : MA + MB AB le but de cette activité c est de démontrer ce résultat. Considérons deux vecteurs u et v non nuls. 1- Développer (u + v)² - En utilisant l inégalité précédente montrer que u + v u + v 3- Quand est ce qu on a l égalité? Propriété : L inégalité de Cauchy Schwarz Pour tout vecteurs u et v on a : u. v u. v u v. l égalité est vérifiée ssi u et v sont colinéaires. Propriété : L inégalité triangulaire. Pour tout vecteurs u et v on a : u + v u + v. l égalité est vérifiée ssi u et v sont colinéaires et de même sens. III) ENSEMBLE DES POINTS. 1) u. AM = k Soient u un vecteur non nul et A un point fixe dans le plan (P) et (Δ k ) = {M (P)/u. AM = k} où k un nombre réel. Posons : u = AB M (Δ k ) AB. AM = k AB AH = k où H est la projection orthogonale de M sur la droite (AB) AH = k AB qui est constant Donc (Δ k ) est la droite qui passe par H définie par AH = k et qui est perpendiculaire à (AB) AB Application : Soit ABC un triangle équilatérale tel que AB = Déterminer est construire l ensemble des points M tels que : AM. BC =. ) MA. MB = k Soient A et B deux points distincts et k un réel (Γ k ) = {M (P)/MA. MB = k} M (Γ k ) AM. BM = k (AI + IM ). (BI + IM ) = k où I milieu de [AB] AI. BI + IM. (AI + BI ) IM = k + AB² Si k + AB² < 0 alors : (Γ k) = Si k + AB² = 0 alors : (Γ k) = {I} 0 + IM ² = k AI = 1 AB et BI = 1 Si k + AB² > 0 alors : (Γ k) est le cercle de centre I et de rayon R = k + AB Cas particulier : Si k = 0 (Γ 0 ) est le cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon R = AB = AB donc (Γ 0) est le cercle de diamètre [AB] AB

5 Propriété : Soient A et B deux points distincts dans le plan l ensemble des points M qui vérifient MA. MB = 0 est le cercle de diamètre [AB]. 3) MA + MB = k Exercice : Soient A et B deux points distincts et k un réel positif (Σ k ) = {M (P)/MA² + MB² = k} 1- Montrer que M (Σ k ) MI = k AB² où I est le milieu de [AB] Application : - Discuter suivant les valeurs de k la nature de l ensemble (Σ k ). Soit ABC un triangle rectangle en A et (C) = {M (P)/MB² + MC² = BC²}. 1- Vérifier que A (C) - Déterminer et construire l ensemble (C). ) MA MB = k Exercice : Soient A et B deux points distincts et k un réel (Δ k ) = {M (P)/MA² MB² = k} Application. 1- Montrer que M (Δ k ) MI. BA = k - Déterminer la nature de l ensemble (Δ k ). où I est le milieu de [AB] Soit ABCD un carrée, déterminer et construire l ensemble des points M qui vérifient : MA MB = BD 5) MA MB = k Soient A et B deux point distincts et k un réel strictement positive (Γ k ) = {M (P)/ MA MB Si k = 1 alors : M (Γ k ) MA = MB (Γ k ) est la médiatrice du segment [AB] Si k 1 Montrer que Application. M (Γ k ) MI. MJ = 0 où I = bar{(a, 1), (B, k)} et J = bar{(a, 1), (B, k)} Déterminer l ensemble (Γ k ). Soit ABCD un carrée, déterminer et construire l ensemble des points M qui vérifient : MA MB = 6) αma + βmb + γmc = k α + β + γ 0 Exercice Soient ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que AB = 1 et D le point symétrique de A par rapport à B Soit (C) = {M (P)/MA² + MB² + MC² = 15} 1- Montrer que D (C) 5 = k}

6 - Déterminer et construire l ensemble (C) 7) αma + βmb + γmc = k α + β + γ = 0 Exercice Soient ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que AB = 1 et I le milieu de [BC] Soit (Δ) = {M (P)/MA² + MB² MC² = 0} 1- Montrer que I (Δ) - Déterminer et construire l ensemble (Δ) 6

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