EXERCICES : CALCUL MATRICIEL

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1 EXERCICES : CALCUL MATRICIEL Ensembles de matrices remarquables (ex 1 à 8 Exercice 1: ( ( Soit J = Déterminer le plus petit sous-espace vectoriel de M 3 (R contenant J ; en préciser une base Exercice 2: ( On considère dans M 4 (R les matrices : I =, A = ( ( , B = ( et C = ( a Comparer A 2, B 2, C 2 et I, puis AB, BA et C ; BC, CB et A ; CA, AC et B b Montrer que (I, A, B, C est un système libre de M 4 (R On note H le sous-espace vectoriel engendré par ces quatre matrices c Montrer que la multiplication est une loi interne non commutative dans H d Soit φ : H H, qui à M = xi + ya + zb + tc associe φ(m = xi ya zb tc Montrer que φ est un automorphisme involutif de l espace vectoriel H Est-ce un morphisme pour la loi? e Pour M H, calculer φ(mm et Mφ(M En déduire que toute matrice non nulle de H est inversible et préciser son inverse ( H s appelle le corps des quaternions Exercice 3: Matrices centrosymétriques ( On dit qu une matrice A = (a i,j M n (K est centro-symétrique si (i, j 1 ; n 2, a n+1 i,n+1 j = a i,j a Montrer que le sous-ensemble C de M n (K formé des matrices centro-symétriques est un sousespace vectoriel de M n (K Préciser sa dimension b Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de M n (K est aussi centro-symétrique c Soit A centro-symétrique et inversible En considérant l application X AX de C vers C, montrer que A 1 est centro-symétrique Exercice 4: Matrices stochastiques ( - ( { Notons ST n = A M n (R (i, j 1 ; n 2, a ij 0 et i 1 ; n, matrices dites stochastiques 1 ( Montrer que ST n est stable par multiplication } n a ij = 1 l ensemble des 2 ( Déterminer les matrices stochastiques dont l inverse est stochastique Calculer alors cet inverse j=1 Exercice 5: ( Montrer que, si une matrice diagonale D commute avec une matrice A dont l une des colonnes au moins ne contient aucun zéro, alors D est une matrice scalaire Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 1/8 29 août 2018

2 Exercice 6: ( Soit T M n (R une matrice triangulaire supérieure Montrer que T commute avec sa transposée si et seulement si la matrice T est diagonale Indication : procéder par récurrence sur n, et utiliser un produit par blocs Exercice 7: Centre de GL n (K ( On note (E ij 1 i,j n la base canonique de M n (K a Montrer que I n + E ij GL n (K pour tout i, j 1 ; n b En déduire que Vect(GL n (K = M n (K c Quel est le centre de GL n (K (c est-à-dire l ensemble des matrices de GL n (K qui commutent avec toutes les matrices de GL n (K? Exercice 8: ( Soit n 2 Déterminer les matrices de M n (K commutant avec toutes les matrices symétriques Puissances et inverse d une matrice (ex 9 à 19 Exercice 9: ( ( Soit A = Calculer (A + I 3 3 ; en déduire que A est inversible et préciser son inverse Exercice 10: ( Résoudre l équation X 2 = A où A = commutent ( (on remarquera que, si X est solution, alors A et X Exercice 11: ( Soit A GL n (R vérifiant : Pour k N, calculer A k + A k A + A 1 = I n Exercice 12: ( Soit A = 0 M n (R Donner une expression de A p pour tout p N Préciser A n Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 2/8 29 août 2018

3 Exercice 13: ( a b b b a b Soit A = M n (R b b a Calculer A p pour p N, et éventuellement A 1 et A p pour p Z Indication : on introduira la matrice J carrée d ordre n dont tous les éléments sont égaux à 1 Exercice 14: ( ( 0 ( 1 ( 0 0 n ( ( 1 n 1 Soit A = M n+1(r ( n n 0 0 Calculer A p pour p N, A 1 et A p pour p Z Indication : Considérer A comme la matrice d un endomorphisme de R n [X] que l on précisera Exercice 15: Trouver les suites (u n, (v n et (w n telles que ( un+1 v n+1 w n+1 = ( ( un v n w n Exercice 16: ( Justifier que la matrice A = 0 M n(r est inversible et déterminer A Exercice 17: ( Soient n N\ {0, 1} et ω = exp ( 2iπ n A = On pose ( ω (k 1(l 1 1 k,l n M n(c Calculer le produit AA En déduire que A est inversible et calculer A 1 Exercice 18: ( Soit A M n (K une matrice vérifiant A k = I n avec k N On pose B = I + A + A A k 1, et on note u, v les endomorphismes de K n canoniquement associés à A et B Montrer que Ker(u Id = Im v, Im(u Id = Ker v, K n = Ker v Im v et tr B = k rg B Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 3/8 29 août 2018

4 Exercice 19: Théorème de Hadamard ( Soit A = (a ij M n (C, telle que : i 1 ; n, n j=1,j i a ij < a ii (une telle matrice est dite à diagonale strictement dominante Montrer que A est inversible (on pourra raisonner par l absurde, en supposant qu il existe X 0 tel que AX = 0 Matrice d une application linéaire (ex 20 à 24 Exercice 20: ( Soit f L (R 4, de matrice A = dans la base canonique a Calculer le rang de f Former un système d équations de Im f et en donner une base b Former un système d équations de Ker f et en donner une base c Déterminer l image et l image réciproque par f du sous-espace d équation x y + z 2t = 0 Exercice 21: ( On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R 3 suivants : P = { (x, y, z R 3 x + 2y z = 0 } et D = Vect(w où w = (1, 0, 1 On note B la base canonique de R 3 On note p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, et enfin, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D a Former la matrice de p dans B b En déduire les matrices dans B de q et de s Exercice 22: ( ( 1 2 Soit E = M 2 (R, et A = 2 4 On considère l application u: E E M MA Montrer que u L (E, trouver son image et son noyau, préciser sa matrice dans la base canonique de E Exercice 23: ( Soit f un endomorphisme non nul d un R-espace vectoriel E de dimension 3 vérifiant f 3 + f = 0 a Soit x E Démontrer que si x = y + z avec y Ker f et z Ker(f 2 + Id alors y = x + f 2 (x et z = f 2 (x b Montrer que : E = Ker f Ker(f 2 + Id c Prouver que : dim Ker(f 2 + Id 1 Montrer que, si x Ker(f 2 + Id \ {0} alors (x, f(x est une famille libre de Ker(f 2 + Id d Que vaut det( Id E? En déduire dim Ker(f 2 + Id = 2 e Montrer qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est : ( Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 4/8 29 août 2018

5 Exercice 24: ( Dans R n, soient u = (u 1, u 2,, u n tel que u 1 x 1 + u 2 x u n x n = 0 n u 2 k k=1 = 1, D = Ru et H l hyperplan d équation Déterminer les matrices de la projection sur H de direction D, puis de la symétrie par rapport à D de direction H Matrices semblables (ex 25 à 27 Exercice 25: ( Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 muni d une( base B = (e 1, e 2, e Soit f L (E dont la matrice dans la base B est A = On pose ε 1 = e 1 + e 3, ε 2 = e 1 + e 2 et ε 3 = e 1 + e 2 + e 3 a Montrer que B = (ε 1, ε 2, ε 3 forme une base de E et déterminer la matrice de f dans B b Calculer A n pour tout n N Exercice 26: ( Les matrices A = ( et B = ( Si oui, déterminer P GL 3 (R telle que B = P 1 AP sont-elles semblables? Exercice 27: ( Soit A M 3 (R telle que A 2 0 et A 3 = 0 a Montrer que A est semblable à la matrice : B = ( b Montrer que E = {X M 3 (R AX = XA} est le sous-espace vectoriel de M 3 (R engendré par (I, A, A 2 Matrices par blocs (ex 28 à 31 Exercice 28: ( [ ] Soit n N, (A, B, C, D M n (K 4 A B et M = M C D 2n (K On suppose M, A, D inversibles Exprimer M 1 sous forme de blocs Exercice 29: ( Soit E un espace vectoriel de dimension n (n 1 Soit u un endomorphisme non nul de E tel que Ker u = Im u a Montrer que dim E = 2p avec p N b Montrer qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est de la forme [ ] 0p I p 0 p 0 p Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 5/8 29 août 2018

6 Exercice 30: ( Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n 1, et u L (E tel que u 2 = Id E a Montrer que, pour tout x E {0 E }, la famille {x, u(x} est libre b Montrer que, pour tout entier p tel que 2 2p n, il existe un p-uplet de vecteurs (a 1, a 2,, a p tel que le système (a 1,, a p, u(a 1,, u(a p soit libre c Montrer que n est pair, et que, si [ l on pose ] n = 2m, il existe une base B de E dans laquelle la 0m I matrice de u s écrit (par blocs : m I m 0 m Exercice 31: ( Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et u L (E a Montrer que Ker u = Im u { u 2 = 0 et n = 2 rg u } b Montrer que [ Ker u ] = Im u si et seulement si il existe une base de E dans laquelle u a une matrice 0 A de la forme où A est une matrice inversible d ordre n Rang d une matrice (ex 32 à 38 Exercice 32: ( a Soit A M p,q (K et B M q,r (K Comparer rg(ab, rg(a et rg(b Préciser dans le cas A ou B inversible b Existe-il A M 3,2 (R et B M 2,3 (R telles que AB = ? Exercice 33: ( Quel est le rang de la matrice A = ( sin(i + j i,j M n(r (n 2? Exercice 34: ( a Soit M M p+q (K une matrice écrite par blocs : M = B M q (K [ ] A 0 0 B avec A M p (K, Montrer que rg(m = rg(a + rg(b A A 0 b Soit A M n (K et B =, décomposée en p blocs, élément de M pn (K 0 A Comparer rg(a et rg(b Exercice 35: Soit n N, (A, B M n (K 2 et M = a Montrer que : rg M = rg A + rg(b A b Calculer M 1 lorsqu elle existe [ ] A A M A B 2n (K Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 6/8 29 août 2018

7 Exercice 36: ( [ ] A 0 Soit M M p+q (K une matrice partitionnée par blocs : M =, avec A M B C p (K, B M q,p (K et C M q (K a Montrer que : rg(m rg(a + rg(c b Montrer que, si A est inversible, il y a égalité c Soient A M p (K, C M q (K telles que, pour toute B M q,p (K, on ait : Montrer que A ou C est inversible rg ([ ] A 0 = rg(a + rg(c B C Exercice 37: ( Soit M une matrice partitionnée par blocs : M = [ ] A 2A, où A M 3A 4A n (K Déterminer le rang de M en fonction de celui de A Exercice 38: ( Soit A M n (K une matrice carrée de rang 1 a Établir l existence de colonnes X, Y M n,1 (K vérifiant A = X t Y b En déduire l existence de λ K tel que A 2 = λa Trace d une matrice, d un endomorphisme (ex 39 à 45 Exercice 39:( Soient A, B M n (K, données avec tr A 0 Résoudre l équation d inconnue M M n (K : tr(am tr(ma = B Exercice 40: ( Soient A, B M n (C, A 0 Résoudre l équation : X + tr(xa = B, d inconnue X M n (C Exercice 41: ( Résoudre dans M 2 (R le système d inconnues X et Y suivant : ( 4 8 (tr XY + (tr Y X = et XY = 4 4 ( Exercice 42: ( Soit ϕ une forme linéaire sur M n (K telle que : (A, B M n (K 2, ϕ(ab = ϕ(ba Montrer qu il existe λ K tel que : A M n (K, ϕ(a = λ tr(a Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 7/8 29 août 2018

8 Exercice 43: ( Soit U M n (K telle que, pour tout V, W M n (K, on ait tr(uv W = tr(v UW Montrer que U est une matrice scalaire Exercice 44: ( Soit A M n (K et φ : { M n (K M n (K X AX + XA Montrer que φ est un endomorphisme de M n (K, et calculer sa trace en fonction de celle de A Exercice 45: Projecteurs ( Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie 1 Soit (p i 1 i k une famille de projecteurs de E Démontrer l équivalence des propriétés suivantes : a i j p i p j = 0 b p = k p i est un projecteur i=1 2 Soit (p i 1 i k une famille d endomorphismes de E, tels que k p i = Id E Démontrer l équivalence des propriétés suivantes : a i j p i p j = 0 b pour tout i 1 ; k, p i est un projecteur i=1 Exercices TLEGAY Lycée d Arsonval 8/8 29 août 2018

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