inégalité triangulaire

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1 Chaptre 5: Espaces Eucldes-résumé de cours. Produt scalare. Défto et exemples de référeces Def: Sot E u -ev. O appelle produt scalare sur E toute applcato ϕ de E² das vérfat: ϕ est bléare. ϕ est symétrque: x,y E, ϕ(x,y) = ϕ(y,x) ϕ est défe postve: x E, ϕ(x,x) 0 et ϕ(x,x) = 0 x=0 E Notato: Lorsque ϕ est u produt scalare sur E o peut oter ϕ(x,y) = < x y > = (x y) = < x,y >. Exemples de référece à coaître: Le produt scalare usuel sur est déf par x, y, avec x = (x,...x ) et y = (y,...y ), <x,y> = Le produt scalare usuel sur [X], est déf par x y P,Q [X] avec P = a X et Q = b X, <P,Q> = = 0 = 0 = 0 a b 3 Le produt scalare usuel C([a,b], ), est déf par: f,g C 0 ([a,b]), <f,g> = b f( t)g(t)dt a 4 E = M ( ), ϕ défe sur E² par: A,B E, ϕ(a,b) = Tr( t A.B ) est u produt scalare sur E Vocabulare: Das les cas, et 3, o dt que E est mu de sa structure eucldee caoque.. Proprétés Proposto 5.: Iégalté de Cauchy Schwarz: Sot E u -ev mu d'u produt scalare x,ye, < x,y >² < x,x >.< y,y > et l'égalté a leu ss x et y sot lés Das la pratque: O a la formulato équvalete: < x,y > < x,x >. < y,y > Applcato aux produts scalares usuels x,y, x y x y, f,g C0 ([a,b], ), b a b b fg f² g² a a.3 Norme et dstace Def: Sot E u -ev, o appelle orme sur E toute applcato N de E das + vérfat x E, N(x) = 0 x=0. x E, λ, N(λx) = λ N(x) x,y E, N(x+y) N(x) + N(y) égalté tragulare Vocabulare: u vecteur x de E est dt ormé ou utare ss N(x) = Proposto 5.: Sot E u -ev mu d'u produt scalare, l'applcato N: x < x,x > est ue orme sur E appelée orme eucldee assocée au produt scalare, otée N(x) = x N.Véro-ju 03

2 Exemples: O repred les produt scalare usuels Sur mu de sa structure eucldee caoque, x = Sur C 0 ([a,b]) mu de sa structure eucldee caoque., f = Remarque: O peut réécrre l'égalté de C.S. à l'ade de la orme assocée: < x,y > x. y x a b f² Corollare : Iégalté de Mows: Sot E u -ev mu d'u produt scalare et la orme assocée, o a x + y x + y, avec égalté ss λ +, y = λx Preuve: Il s'agt d'ue autre écrture de l'égalté tragulare Le cas d'égalté revet au cas d'égalté das Cauchy-Schwarz. Proposto 5.3 et défto: S E est mu d'ue orme N, l'applcato d:e² défe par (x,y) E², d(x,y) = N(x-y) = x y vérfe, x,y,z E, d(x,y) = 0 x=y d(x,y) = d(y,x) 3 d(x,z) d(x,y) + d(y,z) d est la dstace assocée à N sur E. S de plus N est ue orme eucldee alors d est ue dstace eucldee Applcato aux produts scalares usuels: x,y, d(x,y) = f,g C([a,b], ), d(f,g) = x y = (x y )² f g = ( f g)² b a Proposto 5.4: Sot E u -ev mu d'u produt scalare et. la orme assocée, o a les égaltés suvates, x,y E x + y ² = x ² + y ² + < x,y > x y ² = x ² + y ² < x, y > 3 x,y ( x y ² x ² y ² ) < >= + ère detté de polarsato 4 x,y ( x y ² x y ² ) < >= + ème detté de polarsato 4 5 x + y ² + x y ² = ( x ² + y ² ) Idetté du parallélogramme Preuve: déjà vue e début d'aée.. Orthogoalté Das ce qu sut, o ote <, > le produt scalare et sa orme assocée.. Vecteurs orthogoaux. Def: Sot E u -ev mu d'u produt scalare et x,y deux vecteurs de E. x et y sot orthogoaux ss <x,y> = 0. O ote x y Remarque: 0 E est orthogoal à tous les vecteurs de E Def: Sot E u -ev mu d'u produt scalare et F = (x,...x p ) ue famlle de vecteurs de E. F est orthogoale ss (,j),p ², j < x, x j > = 0 F est orthoormale ss F est orthogoale et,p, x est utare ss (,j),p ², < x, x j > = δ,j N.Véro-ju 03

3 Proposto 5.5: Théorème de Pythagore: Sot E u -ev mu d'u produt scalare. Sot x,y E, (x y) x + y ² = x ² + y ² Sot ue famlle F=(x,...x p ) de E, F est orthogoale p p x = x ² Atteto: Das le cas d'ue famlle de vecteurs, la récproque est fausse.. Sous-espaces vectorels orthogoaux Def: Sot E u -ev mu d'u produt scalare, F et G deux sev de E. F et G sot orthogoaux ss x F, y G, <x,y> = 0 Sot A ue parte de E, o appelle orthogoal de A et o ote A la parte de E défe par A = { x E, y A, < x,y > = 0 } Cas partculers S A = {0 E } alors A = E S A = E alors A = {0 E }. Proposto 5.6: Sot A et B deux partes de E A est u sev de E 3 A (A ) S A B alors B A 4 A = (Vect(A)) 3. Espaces eucldes 3. Défto et exemples Def: O appelle espace euclde u -ev de dmeso fe mu d'u produt scalare. Exemples:, [X], M ( ) Atteto, das ce qu sut les résultats e sot vras que pour les espaces eucldes c'est à dre uquemet e dmeso fe. 3. Bases orthogoales et bases orthoormales Proposto 5.7 et défto: Sot E u espace euclde de dmeso. Toute famlle orthogoale coteat vecteurs o uls est ue base de E appelée base orthogoale de E (BOG). Toute famlle orthoormale de E coteat vecteurs est ue base de E appelée base orthoormale de E (BON). Exemples: Les bases caoques de et [X] sot orthoormales pour les structures eucldees caoques. Proposto 5.8: Sot B = (e,...e ) ue BON de E. x E, s x = x,y E avec x = x e, alors,, x = <x,e > x e et y = y e, <x,y> = x y N.Véro-ju 03

4 Das la pratque: S o pose X = BON, o a la formule matrcelle: x et Y = x y les matrces coloes de x et de y das ue y <x,y> = t XY 3.3 Procédé d'orthoormalsato de Gram-Schmdt But de l'algorthme: A partr d'ue base B = (u,...u ) de E, costrure ue base orthogoale (f,...f ) pus la ormer pour obter B' = (e,...e ) ue BON de E Prcpe de l'algorthme O pose f = u Tat que <, o suppose costrut (f,...f ),o cherche (α,... α ) tel que f + = u + - α f orthogoal à f j pour tout j, j, o obtet α j = < u,f > + f j j 3 O pose,, e = f f Remarque: O peut rajouter ue étape bs, facultatve das la pratque, s <f +,u + > < 0, remplacer f + par f +. O obtet alors le résultat suvat: Proposto 5.9: Sot E u espace euclde de dmeso et B = (u,...u ) ue base de E Il exste ue BON B' = (e,...e ) de E telle que,, Vect(e,...e ) = Vect(u,...u ) et <e,u > > 0 Coséqueces: Das u espace euclde, l exste au mos ue BON Il exste au mos ue base que l'o peut orthoormalser. Das u espace euclde, toute famlle orthoormale peut être complétée e ue base orthoormale. Cette famlle est lbre, d'après le théorème de la base complète, elle peut être complétée e ue base de E que l'o peut orthoormalser. 3.4 Supplémetare orthogoal: Proposto 5.0:Sot E u espace euclde de dmeso et F u sev de E, o a F F = et F est appelé le supplémetare orthogoal de F Coséqueces: dmf = dme dmf Remarque: A pror F possède ue fté de supplémetares das E mas l 'admet qu'u seul supplémetare qu lu sot orthogoal. Corollare: Sot E u espace euclde de dmeso et F u sev de E, (F ) = F 3.5 Projecteurs orthogoaux et symétres orthogoales Def: E désge u espace euclde et F et G deux sous-espaces supplémetares de E La projecto sur F parallèlemet à G est ue projecto orthogoale lorsque G = F. La symétre par rapport à F parallèlemet à G est ue symétre orthogoale lorsque G = F U projecteur p de E est orthogoal lorsque Imp = Kerp Ue voluto s de E est orthogoale lorsque Ker(s-Id) = (Ker(s+Id)) N.Véro-ju 03

5 Vocabulare: S F est u hyperpla alors la symétre orthogoale par rapport à F est ue réflexo. Proposto 5.: Expresso de la projecto orthogoale sur F das ue BON de F. Sot F u sev de E et (e,...e p ) ue BON de F et p la projecto orthogoale sur F. x E, p(x) = p < x,e > e Proposto 5. et défto: Sot F u sev de E, x E et p le projecteur orthogoal sur F, o a: x p( x) f x y =. Ce réel postf est la dstace de x à F. y F 3.6 Théorème de représetato des formes léares sur E. Théorème 5.: Sot E u espace euclde, o ote E * (espace dual de E) l'esemble des formes léare sur E. Pour toute forme léare de E *, l exste u uque vecteur a de E tel que: Preuve: x E, f(x) = <a,x> E R Sot y E, o pose ϕ y :. x < y,x > O motre faclemet que ϕ y est ue forme léare sur E c'est à dre y E, ϕ y E *. O cosdère à préset φ: * E E. O va motrer que φ est u somorphsme d'ev. y ϕ y O motre que φ est léare e utlsat la bléarté du produt scalare Sot y Kerφ, ϕ y est la forme léare ulle c'est à dre x E, ϕ y (x) = 0. O a doc x E, <y,x> = 0 doc y = 0 E. O ed dédut que Kerφ = {0 E } et doc que φ est jectve. O a vu que dme * = dme alors par applcato du théorème du rag: rg(φ) = dme = dme * et φ est u somorphsme Sot f ue forme léare sur E, f possède u uque atécédet a par φ et doc f= ϕ a. Ccl: f E *,!a E, x E, f(x) = <a,x> Coséqueces: Toute forme léare s'exprme à l'ade d'u produt scalare N.Véro-ju 03

6 4. Automorphsmes orthogoaux Das ce paragraphe E est u espace euclde 4. Défto et caractérsatos: Def: U automorphsme de E est orthogoal lorsqu'l coserve le produt scalare. les automorphsmes orthogoaux de E formet u sous-groupe de (GL(E),ο) oté O(E) et appelé groupe orthogoal de E. Remarque: U automorphsme orthogoal coserve l'orthogoalté. Caractérsatos des edomorphsmes orthogoaux et : Sot f L(E). f O(E) s et seulemet s f coserve la orme. f O(E) s et seulemet s f trasforme ue BON e ue BON. Vocabulare: U automorphsme orthogoal est auss appelé sométre vectorelle. Exemple: Ue symétre orthogoale est u automorphsme orthogoal. Cotre-exemple: Ue projecto orthogoale 'est pas u automorphsme orthogoal. 4. Matrces orthogoales Def: Sot M M ( ). M est orthogoale ss l'edomorphsme de caoquemet assocé à M est u automorphsme orthogoal pour le produt scalare usuel. Notato : O ote O ( ) l'esemble des matrces orthogoales. C'est u sous-groupe de GL ( ). Caractérsatos des matrces orthogoales: Sot M M ( ). M O ( ) les vecteurs coloes de M formet ue BON de pour le produt scalare usuel. M O ( ) t M. I Coséqueces: Ue matrce orthogoale est versble et M - = t M aucu calcul pour obter l'verse d'ue matrce orthogoale. M O ( ) M. t I t M - doc M. t t M.M Les vecteurs lges de M formet ue BON de. Caractérsato des edomorphsmes orthogoaux 3: Sot f L(E). f O(E) La matrce de f das ue BON est orthogoale. Cas partculer: f est ue symétre orthogoale de E ss sa matrce das ue BON de E est orthogoale et symétrque. Proposto 5.3: Sot B ue BON de E et B' ue base de E. O ote P la matrce de passage de B à B'. B' est ue BON P est orthogoale Coséquece: S o effectue u chagemet de BON, les calculs se trouve smplfés car P -- = t P. S M est la matrce d'u edomorphsme u de E das la base B et N celle de u das la base B' alors N = t PMP 4.3 Etude des edomorphsmes orthogoaux du pla et de l'espace Das cette parte E désge les vecteurs du pla ou de l'espace mu du produt scalare usuel. O rappelle que le détermat permet de doer ue oretato e chosssat ue base B de E: La base B' a même oretato que B ss det B (B') > 0. O dt alors que B' est drecte. Ue base orthoormale drecte est codée BOND. O rappelle qu'u automorphsme u coserve l'oretato ss det(u) > 0. N.Véro-ju 03

7 a) Groupe spécal orthogoal e dmeso et 3 Proposto 5.4: Sot {,3} S A O ( ) alors det(a) = ± S u O(E), alors det(u) = ± Atteto: det(a) = ± 'est pas ue codto suffsate pour avor A orthogoale. Def: Sot u O(E), o dt que u est ue rotato ou ue sométre drecte ss det(u) =. L'esemble des rotato de E est u groupe abéle appelé groupe spécal orthogoal et est oté SO(E). Notato: O ote SO ( ) l'esemble des matrces de O ( ) de détermat. O a de maère évdete: SO ( ) est u sous-groupe de abéle de O ( ) appelé groupe spécal orthogoal d'ordre. u SO(E) ss la matrce de u das ue BON de E appartet à SO ( ). u SO(E) ss u trasforme ue BOND e ue BOND. S P est la matrce de passage de B ue BOND à ue autre base B' alors B' est ue BOND ss P SO ( ). b) Descrpto des sométres du pla Proposto 5.5 : Sot M O ( ). cos θ s θ S det(m) = alors θ, s θ cos θ. cos θ s θ S det(m) = - alors θ, s θ cos θ. Coséquece: Classfcato des sométres du pla: Sot u O(E) où E est le pla euclde oreté, et. Sot u u automorphsme orthogoal du pla euclde oreté par B ue BOND de E. det(u) =. u SO(E), u est ue rotato. Il exste u uque réel θ (à π près) tel que la matrce de u das toute BOND de E est cos θ s θ s θ cos θ. θ est l'agle de u. S x est u vecteur utare de E, cos θ = <x,u(x)> et s θ = det B (x, u(x)) u est ue réflexo. det(u)=- Das ue BOND, la matrce du u est cos θ s θ s θ cos θ, θ réel dépedat de B. et alors u est la réflexo par rapport à θ θ D = Vect ((cos,s ) ) A savor: Id E est la rotato d'agle 0. La composée de deux rotatos d'agle θ et θ' est la rotato d'agle (θ+θ'). La récproque de la rotato d'agle θ est la rotato d'agle -θ. La composée de deux réflexos du pla vectorel est ue rotato Toute rotato se décompose e produt de deux réflexos c) Exteso aux sométres de l'espace O se place l'espace euclde oreté parle chox d'ue BON (,j,). O rappelle que s u et v sot deux vecteurs orthogoaux et utares alors B' = (u,v, u v) est ue BOND. N.Véro-ju 03

8 Proposto 5.6: Sot u O(E), l exste ue BOND das laquelle la matrce de u est ± a b 0 c d avec a c b d O ( ) Preuve: O pose t, P(t) = det(u-td E ). P est u polyôme de degré 3 doc l admet au mos ue race t 0. f = u-t 0 Id E 'est pas jectve doc l exste a E, a 0 E, u(a) = t 0 a Or u coserve la orme doc u( a) = t0 a = a t0 = O a P(0) = det(u) = ± et P a u coeffcet domat égatf. er cas: det(u) = cad u SO(E). O a alors, par applcato du théorème des valeurs termédares, t 0 >0 et doc t 0 = Par sute l exste a 0 E, u(a) = a a est varat par f ème cas: det(u) = - cad u O(E)\SO(E) O a alors, par applcato du théorème des valeurs termédares, t 0 <0 et doc t 0 = - Par sute l exste a 0 E, u(a) = -a. Das les deux cas, O pose D = Vect(a) et P = D. Sot b u vecteur o ul de P, la famlle B' = (e,e, e e ) où a b e = et e =, est ue BOND a b de E. Comme u coserve l'orthogoalté alors u(e ) u(e ) et u(e 3 ) u(e ) u(e ) P et u(e 3 ) P Par sute, la matrce de u das la base B' est ± a b. Comme M O 3 ( ), ses coloes forme ue BON de 3 et doc 0 c d a c b d O ( ) Cas d'ue rotato: D'après ce qu précède, l exste ue BOND où la matrce de u SO(E) est a b 0 c d or det(m) = det a c b d = doc a c b d SO ( ). Reteos: Il exste ue BOND de E et u réel θ das laquelle la matrce d'ue rotato est cos θ s θ 0 s θ cos θ Sot a le premer vecteur de la base, et D=Vect(a), u dut sur P = D la rotato d'agle θ das P oreté par e. u est la rotato d'axe D, oreté par e et d'agle θ. Vocabulare: S θ = π u est u retouremet d'axe D. N.Véro-ju 03

9 Proposto 5.7: Sot u ue rotato d'axe D drgé par a utare et d'agle θ, Das la pratque: x P = D, u(x) = (cosθ).x + (sθ).a x Pour écrre la matrce de la rotato d'axe D drgé par a utare et d'agle θ, o peut utlser la formule précédete e remarquat que <x,a>.a est la projecto orthogoale de x sur D et par coséquet t = x - <x,a>.a est orthogoal à x, d'où u(x) = u(<x,a>.a + t) = a + u(t) = <x,a>.a + (cosθ).t + (sθ).a t S o vous doe à detfer u automorphsme orthogoal à partr de sa matrce M: Vérfer que la matrce est orthogoale. Calculer so détermat S det(m) = alors u est ue rotato: O déterme so axe D e cherchat les vecteurs varats: u(x) = x AX=X Pour détermer so agle o utlse les relatos suvates valables pour a utare et x orthogoal à a et utare: cosθ = (x,u(x) et sθ = det(a,x,u(x)) S det(m) = - et s M est symétrque alors u est ue réflexo, o déterme le pla des veceturs varats: u(x) = x AX=X les autres cas sot hors programme et seraet accompagés d'dcatos. N.Véro-ju 03