Produit scalaire dans R n

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1 Table des matières 10 Produit scalaire dans R n Généralités Dénition du produit scalaire dans R n et propriétés de linéarité Norme euclidienne Orthogonalité Bases orthonormales et applications Existence et premières propriétés Diagonalisation des matrices symétriques réelles Projection orthogonale

2 Chapitre 10 Produit scalaire dans R n Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, n désigne un entier strictement positif Généralités Dénition du produit scalaire dans R n et propriétés de linéarité Dénition Soient u (x 1,..., x n et v (y 1,..., y n deux vecteurs de R n. Le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u v (ou ( u v ou < u, v >, ou encore < u v >, est le réel déni par : u v x i y i. Exemple Dans R 3, le produit scalaire des vecteurs u (1, 0, 1 et v ( 2, 3, 5 est donné par : u v 3 Dans R 5, le produit scalaire des vecteurs u (0, 0, 1, 2, 2 et v (3, 3, 3, 0, 2 est donné par : u v 7 On a ici (dans R 2 : u v 0 2

3 Proposition Soient u, v et w trois vecteurs de R n et un réel. On a les résultats suivants : u 0 0 u 0. u v v u. u ( v + w u v + u w. ( u + v w u w + v w. u u 0. u u 0 u 0. Posons u (x 1,..., x n, v (y 1,..., y n et w (z 1,..., z n. Par dénition, on a : et : D'où le résultat. Par dénition, on a : et : u 0 0 u n n u v v u D'où le résultat. On a v + w (y 1 + w 1,..., y n + w n. D'où : x i x i 0. n n x iy i y ix i. n u ( v + w x i(y i + w i x iy i + x iw i x iy i + x iw i u v + u w. Une méthode analogue à celle vue dans le point précédent permet de conclure. En voici une autre : On a : ( u + v w w ( u + v (d'après le deuxième point w u + w v (d'après le point précédent u w + v w (d'après le deuxième point. u u Donc u u est une somme de réels positifs, d'où le résultat. Découle des équivalences : n x 2 i. n u u 0 x 2 i 0 x 1... x n 0 u 0. 3

4 Remarque D'après les troisième et quatrième points de la proposition précédente, pour tout vecteur w, les applications R n R u u w et R n R u w u sont linéaires. On dit que l'application R n R n R ( u, v u v est bilinéaire. Proposition Soient p et q deux entiers strictement positifs. Soient ( 1,..., p un p-uplet de réels et (µ 1,..., µ q un q-uplet de réels. Soient ( u 1,..., u p un p-uplet de vecteurs de R n et ( v 1,..., v q un q-uplet de vecteurs de R n. On a l'égalité suivante : ( p q p q iui µ j vj i µ j ui v j. j1 j1 Pour tout vecteur w de R n, on dénit l'application ϕ w : R n R u u w. D'après ce que l'on vient de voir, pour tout vecteur w, l'application ϕ w est linéaire. En posant q w µ j vj, on en déduit : j1 ( p ( q iui µ j vj ( p iui w ϕ w ( p i ui j1 p iϕ w ( u i (par linéarité de ϕ w p iui w ( p q ( i ui µ j vj p j1 (( q i j1 p µ j vj µ j vj u i (cf proposition ( ( q iϕ ui j1 p q µ jϕ ui ( v j (par linéarité, pour tout i de [[1, p]], de ϕ ui i j1 4

5 p q iµ j vj u i j1 p j1 q iµ j ui v j (cf proposition ( Norme euclidienne Dénition Soit u un vecteur de R n. La norme (aussi appelée norme euclidienne du vecteur u, notée u, est le réel déni par : u u u. (d'après la proposition (10.1.3, u est bien déni. Exemple On a : On a ici : 0 0 u 3 Proposition Soient u un vecteur de R n et un réel. On a les résultats suivants : u u. u 0. u 0 u 0. On a : u ( u ( u (par dénition 2 u u (par bilinéarité, cf proposition ( u u u. 5

6 Immédiat, puisque l'on a par dénition u u u. On a les équivalences : u 0 u u 0 u u 0 d'où le résultat avec le dernier point de la proposition ( Exercice 1 Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème (Inégalité de Cauchy-Schwarz Soient u et v deux vecteurs de R n. On a l'inégalité suivante : u. v u v. Introduisons la fonction P suivante : Il est clair que l'on a, pour tout x de R : P : R R x u + x v 2. P (x 0. De plus, pour tout réel x, on a, par bilinéarité et symétrie du produit scalaire (cf proposition ( : P (x ( u + x v ( u + x v u u + x v u + x u v + x 2 v v x 2 v v + 2x u v + u u. Donc P est un polynôme. Comme P est à valeurs strictement positives, son discriminant est négatif ou nul. D'où : 4( u v 2 4 v v u u 0 d'où 4( u v 2 4 u 2 v 2 d'où ( u v 2 u 2 v 2 d'où ( u v 2 u 2 v 2 d'où u. v u v (car u 0 et v 0 d'après la proposition précédente. Exemple Montrer que, pour tout triplet (x, y, z de R 3, on a : x + y + z 3 x 2 + y 2 + z 2. Théorème (Inégalité de Minkowski, inégalité triangulaire Soient u et v deux vecteurs de R n. On a l'inégalité suivante : u + v u + v. 6

7 D'après la proposition (10.1.8, les réels u + v et u + v sont positifs. Il sut donc de prouver : u + v 2 ( u + v 2. Or : ( u + v 2 u + v 2 u u v + v 2 ( u + v ( u + v u u + 2 u v + v v ( u u + 2 u v + v v (d'après la proposition ( ( u v u v. D'où le résultat d'après l'inégalité de Cauchy-Schawrz ( u v u v u v. Remarque Géométriquement, le résultat précédent s'interprète de la façon suivante : Dénition Soient u et v deux vecteurs de R n. On appelle distance entre u et v, notée d ( u, v, le réel déni par : d ( u, v u v. Exemple On considère les vecteurs u (5, 5 et v (5, 2 de R 2. La distance entre u et v est donnée par : d ( u, v 3 Pour tout vecteur u de R n, la distance entre le vecteur u et le vecteur nul est la norme de u. Pour tout vecteur u de R n, la distance entre le vecteur u et le vecteur u est égale à 0. 7

8 Dénition Soient u un vecteur de R n et A une partie (ie un sous-ensemble non vide de R n. On appelle distance du vecteur u à la partie A, que l'on note d ( u, A, le réel déni par : d ( u, A Inf w A u w ( Inf w A d( u, w. Exemple Soient u (3, 2 et A Vect ((1, 0. On a : d ( u, A 2 Soient u ( 3, 0 et A { (x, y R 2, } x 2 + y 2 < 2. On a : d ( u, A 1 Soient u ( 2, 3 et A { (x, y R 2, (x (y et x 2 }. On a : d ( u, A 2 8

9 Orthogonalité Dénition Soient u et v deux vecteurs de R n. On dit que u et v sont orthogonaux si et seulement si u v 0. Pour signier que u et v sont orthogonaux, on note u v. Exemple Les vecteurs u et v suivants sont-ils orthogonaux? Que peut-on dire ici de u v et u w? Remarque La bilinéraité du produit scalaire implique que si u et v deux vecteurs orthogonaux de R n alors, pour tous réels et µ, les vecteurs u et µ v sont orthogonaux. Exercice 2 Exercice 3 de la feuille d'exercices distribuée. Dénition Soient ( u i i I une famille de vecteurs de R n. On dit que la famille ( u i i I est orthogonale si, et seulement si, pour tout couple (i, j d'éléments distincts de I, on a u i u j 0. On dit que la famille ( u i i I est orthonormale si, et seulement si, elle est orthogonale et, pour tout i de I, u i 1. 9

10 Exemple La base canonique B ((1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1 de R 3 est-elle une famille orthonormale? Exercice 3 Exercice 4 de la feuille d'exercices distribuée. Proposition Soient m un entier strictement positif et ( u 1,..., u m une famille de vecteurs de R n. On suppose que, pour tout i de [1, m], on a u i 0 et que la famille ( u 1,..., u m est orthogonale. Alors la famille ( u 1,..., u m est libre. Soit ( 1,..., m un m-uplet de R m tels que d'où d'où Détail de ( : la famille F est orthogonale. m iui 0. Pour tout k de [[1, m]], on a : ( m iui u k 0 u k m iui u k 0 m i ui u }{{ k + } kuk u k 0 ( 0 i k d'où k u k 2 0 }{{} ( 0 d'où k 0. Détail de ( : car u k 0, cf proposition ( Donc, pour tout k de [[1, m]], k 0, d'où le résultat. Proposition (Théorème de Pythagore Soient u et v deux vecteurs de R n. On a l'équivalence : u + v 2 u 2 + v 2 u v. On a les équivalences suivantes : u + v 2 u 2 + v 2 ( u + v ( u + v u u + v v u u + 2 u v + v v u u + v v 2 u v 0 u v d'où le résultat. 10

11 Remarque Géométriquement, le résultat précédent s'interprète de la façon suivante : Proposition Soient m un entier strictement positif et ( u 1,..., u m une famille de vecteurs de R n. On suppose que la famille ( u 1,..., u m est orthogonale. On a le résultat suivant : m 2 m ui u i 2. On a les égalités : m 2 ( m ( m ui ui uj m j1 j1 m ui u j (d'après la proposition ( m u i m u i + ui u j }{{} 0 m ui u i m u i 2. j1 j i ( Détail de ( : la famille ( u 1,..., u m est orthogonale. D'où le résultat. 11

12 10.2 Bases orthonormales et applications Existence et premières propriétés Théorème Soit F un sous-espace vectoriel de R n de dimension strictement positive. On a les résultats d'existence suivants : L'espace vectoriel F admet au moins une base orthonormale. Toute base orthonormale de F peut être complétée en une base orthonormale de R n. ce théorème est admis. Exemple La base orthonormale ( u, v de F suivante peut être complétée en la base orthonormale ( u, v, w de R 3. Proposition Soit B ( e 1,..., e n une base orthonormale de R n. Soient u et v deux vecteurs de R n. On note ( 1,..., n le n-uplet de coordonnées de u dans la base B, (µ 1,..., µ n le n-uplet de coordonnées de v dans la base B, U la matrice-colonne de M n,1 (R dénie par U et V la matrice-colonne de M n,1 (R dénie par V On a les résultats suivants : u v i µ i t UV. u 2 2 i t UU. µ 1. µ n. 1. n 12

13 On a : ( n ( n u v i ei µ j ej j1 j1 iµ j ei e j (d'après la proposition ( iµi iµ i ( t UV. ei e i }{{} e i iµ j ei e j }{{} 0 j1 j i 1 2 n µ 1 µ 2. µ n (car la famille B est orthonormale Comme u 2 u u, il s'agit d'un cas particulier du premier point. Proposition Soit B ( e 1,..., e n une base orthonormale de R n. Pour tout vecteur u de R n, on a : u ( u e i e i. Soit u un vecteur de R n. Puisque la famille B est une base de R n, il existe un n-uplet ( 1,... n de réels tels que u i ei. Pour tout j de [[1, n]], on a donc : ( n u ej i ei e j D'où le résultat. i ei e j (d'après la proposition ( j ej e j }{{} e j 2 1 j. + i j i ei e j }{{} 0 (car la famille B est orthonormale Remarque Le même raisonnement permet d'établir que si F est un sous-espace vectoriel de dimension strictement positive p et que la famille F ( e 1,..., e p est une base orthonormale de F, alors, pour tout vecteur u de F, on a : u p ( u e i e i. 13

14 Corollaire Soit B ( e 1,..., e n une base orthonormale de R n. Pour tout vecteur u de R n, on a : u 2 ( u e i 2. Notons ( 1,..., n le n-uplet de coordonnées de u dans la base B. D'après la proposition (10.2.3, on a : u 2 2 i. Or, d'après la proposition précédente, le n-uplet de coordonnées de u dans la base B est ( u e 1,..., u e n d'où le résultat. Remarque On peut aussi obtenir ce résultat avec la proposition ( : u 2 p 2 ( u e i e i (d'après la proposition ( p ( u e i e i 2 (car la famille B est orthogonale p u e i 2 e i 2 }{{} 1 p ( u e i 2. Exercice 4 Exercice 5 de la feuille d'exercices distribuée. Proposition Soit B ( e 1,..., ( e n une base de orthonormale de R n f1. Soit C,..., f n une famille de vecteur R n. On note P la matrice de la famille C relativement à la base B (P est la matrice de passage de la base B à la base C. On a l'équivalence suivante : la famille C est une base orthonormale de R n t P P I n. Remarque La famille B usuellement utilisée lorsqu'on applique ce théorème est la base canonique de R n (qui est bien évidemment une base ortonormale de R n. 14

15 p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n Posons P... et t P P Q. p n1 p n2 p nn Remarquons que, pour tout couple (i, j d'éléments de [[1, n]], le terme de la i-ème ligne et de la j-ième colonne de la matrice Q est donné par : q ij p ki p kj. Or, pour tout couple (i, j d'éléments de [[1, n]], on a d'après la proposition ( : ( fi n ( n f j p kiek p lj el p ki p kj. k1 k1 Ainsi, pour tout couple (i, j d'éléments de [[1, n]], le terme de la i-ème ligne et de la j-ième colonne de la matrice Q est égal au produit scalaire des vecteurs f i et f j. On en déduit les équivalences : l1 k1 la famille C est une base orthonormale de { R n (i, j [[1, n]] 2 ; i j, f i f j 0 { { i [[1, n]], f i 1 (i, j [[1, n]] 2 ; i j, f i f j 0 i [[1, n]], f i f i 1 (i, j [[1, n]] 2 ; i j, q ij 0 i [[1, n]], q ii 1 Q I n t P P I n. Exemple On considère les vecteurs e 1 (1, 0, e 2 (0, 1, f 1 et f 2 suivants : ( f1 Déterminer la matrice P de la famille, f 2 relativement à la famille ( e 1, e 2 et vérier l'égalité t P P I n. Déterminer P 1. 15

16 Corollaire Soient B ( e 1,..., ( f1 e n et C,..., f n deux bases orthonormales de R n. On note P la matrice de la famille C relativement à la base B. On a les résultats suivants : La matrice P est inversible. P 1 t P. La matrice P est la matrice de passage de la base B à la base C donc est inversible (son inverse est la matrice de passage de la base C à la base B, cf chapitre diagonalisation. (On peut aussi conclure à partir de l'égalité t P P I n qui découle de la proposition précédente D'après la proposition précédente, on a t P P I n. En multipliant membre à membre cette égalité par P 1 (qui est bien dénie d'après le point précédent, on obtient le résultat Diagonalisation des matrices symétriques réelles Théorème Soit A une matrice de M n (R. On suppose que A est symétrique. Il existe une matrice inversible P de M n (R et une matrice diagonale D de M n (R telles que A P DP 1 et P 1 t P. ce théorème est admis. Théorème Soit f un endomorphisme de R n. On suppose que la matrice A de f dans la base canonique de R n est symétrique. Il existe une base orthonormale de R n dans laquelle la matrice de f est diagonale. D'après le théorème précédent, il existe une matrice inversible P de M n(r et une matrice diagonale D de M n(r telles que A P DP 1 et P 1 t P. Notons C la base de R n telle que P soit la matrice de passage de la base canonique de R n à la base C (cf chapitre diagonalisation. Comme P 1 t P, on a t P P I n donc la famille C est une base orthonormale de R n d'après la proposition ( De plus, d'après la formule de changement de base, la matrice D est la matrice de f dans la base C. D'où le résultat. Remarque On garde les notations de la proposition précédente et de sa démonstration. On peut montrer que toute famille obtenue en juxtaposant des bases orthonormales de sous-espaces propres de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est une famille orthonormale. On retiendra donc qu'étant donnée une matrice symétrique réelle A de M n (R, pour obtenir une matrice inversible P de M n (R telle que P 1 t P et P 1 AP soit une matrice diagonale, il sut de déterminer des bases orthonormales des sous-espaces propres de A puis de juxtaposer ces bases (on identie ici matrice-colonne de M n,1 (R et vecteurs de R n. Exercice 5 Exercice 6 de la feuille d'exercices distribuée. 16

17 Projection orthogonale Exercice 6 Exercice 9 de la feuille d'exercices distribuée. Théorème Soit F un sous-espace vectoriel de R n de dimension strictement positive. On a les résultats suivants : Pour tout vecteur u de R n, il existe un unique vecteur de F, noté p ( u et appelé projection orthogonale de u sur F, tel que le vecteur u p ( u est orthogonal à tout vecteur de F. L'application p qui à tout vecteur u de R n associe le vecteur p ( u est un endomorphisme de R n appelé projection orthogonale sur F. Cette application vérie les égalités p p p et Im(p F. Unicité. Supposons que w 1 et w 2 sont deux vecteurs de F tels que les vecteurs u w 1 et u w 2 sont orthogonaux à tout vecteur de F. Comme les vecteurs w 1 et w 2 appartiennent à F, le vecteur w 2 w 1 appartient à F. Le vecteur u w 2 est donc orthogonal au vecteur w 2 w 1. Le théorème de Pythagore (cf proposition ( , permet donc d'armer que l'on a : De même : u w 1 2 u w 2 + w 2 w 1 2 u w w 2 w 1 2. u w 2 2 u w 1 + w 1 w 2 2 En sommant les deux égalités précédentes, on obtient : u w w 1 w 2 2 u w w 2 w 1 2. u w u w 2 2 u w u w w 2 w 1 2 d'où 0 2 w 2 w 1 2 d'où w 2 w 1 0 d'où w 2 w 1 0 (d'après la proposition ( d'où w 2 w 1. Ainsi, sous réserve d'existence, on a unicité de la projection orthogonale du vecteur u sur F. Existence. Notons q la dimension de F. D'après le théorème (10.2.1, F admet une base orthonormale F ( e 1,..., e q. D'après ce même théorème, on peut compléter F en une base orthonormale B ( e 1,..., e q, e q+1,..., e n de R n. Notons ( 1,..., n le n-uplet de coordonnées de u dans la base B. Posons q w i ei et montrons que le vecteur u w est orthogonal à tout vecteur v de F. Dans le cas q n, le résultat est clair car u w est le vecteur nul qui est orthogonal à tout vecteur. Traitons maintenant le cas q < n. Soit v un vecteur de F. Comme la famille F est une base de F, il existe un q-uplet de réels (µ 1,..., µ q tel que q v µ j ej. j1 17

18 On en déduit : ( u w v ( n ( q q i ei i ei µ j ej ( n iq+1 iq+1 j1 0 (. j1 ( q i ei µ j ej j1 q iµ j ei e j (d'après la proposition ( Détail de ( : pour tout i de [[q + 1, n]] et tout j de [[1, q]] on a i j donc e i e j 0 par orthogonalité de la famille B. Ceci conclut l'existence (le vecteur q w i ei convient. Notons q la dimension de F. Soit B ( e 1,..., e q, e q+1,..., e n une base orthonormale de R n telle que la famille F ( e 1,..., e q soit une base de F (cf théorème ( D'après le point précédent, p est l'application : p : R n R n n q u i ei. i ei Montrons que p est un endomorphisme. Il est clair que p est à valeurs dans R n. Comme pour tout i de [[1, q]], e i appartient à F, p est même à valeurs dans F. Soient un réel et u et v deux vecteurs de R n. Notons (α 1,..., α n le n-uplet de coordonnées de u dans la base B et (β 1,..., β n celui de v. On a donc : u + v n α i ei + β i ei (α i + β i e i. On en déduit : p ( u + v q (α i + β i e i q q α i ei + β i ei p ( u + p ( v. D'où le résultat. Montrons p p p. Soit u un vecteur de R n. Notons ( 1,..., n le n-uplet de coordonnées de u dans la base B. On a donc : p ( q u i ei. Pour tout i de [[1, n]], posons µ i On en déduit : { i si i q 0 sinon (p p ( u p (p ( u ( n p µ i ei. Par construction, on a p ( u q µ i ei q i ei p ( u. µ i ei. 18

19 D'où le résultat. Montrons Im(p F. On a déjà vu que p est à valeurs dans F, d'où l'inclusion Im(p F. Montrons l'inclusion Im(p F. Soit u un élément de F. Comme la famille F est une base de F, il existe un q-uplet de réels ( 1,..., q tel que q u i ei. Le même raisonnement que celui eectué dans le point précédent, permet d'obtenir : p ( u q i ei. Donc p ( u u et donc u est l'image d'un vecteur de R n par p, d'où le résultat. Remarque Comme on l'a vu dans la démonstration précédente, pour tout vecteur u de F, on a p ( u u. On montre facilement que l'on a Ker(p Vect (e q+1,..., e n. Proposition Soit F un sous-espace vectoriel de R n de dimension strictement positive q et p la projection orthogonale sur F. Pour toute base ( e 1,..., e q orthonormale de F et tout vecteur u de R n, on a : p ( u q ( u e i e i. D'après le théorème (10.2.1, on peut compléter la famille ( e 1,..., e q en une base orthonormale B ( e 1,..., e q, e q+1,..., e n de R n. Notons ( 1,..., q, q+1,..., n le n-uplet de coordonnées de u dans la base B. Comme on l'a vu dans la démonstration précédente, on a : D'où le résultat d'après la proposition ( p ( u q i ei. Exemple On pose F { (x, y, x, (x, y R 2} et on note p la projection orthogonale sur F. (( 2 (( 6 Vérier que F 2, 0, 2 2, (0, 1, 0 et G 4, 1 ( 2, 6 4, 2 4, 3 2, 2 4 deux bases orthonormales de F. sont Vérier l'égalité : ( 2 ( 3, 1, 4 2, 0, Interpréter. ( ( 3, 1, 4 (0, 1, 0 ( 3, 1, 4 2 4, 1 2, ( ( 3, 1, 4 4 4, 2,

20 Proposition Soit F un sous-espace vectoriel de R n de dimension strictement positive q et u un vecteur de R n. On a : d( u, F u p ( u où p est la projection orthogonale sur F. Rappelons d'abord que, par dénition, on a : d( u, F Inf v F u v. Soit v un vecteur de F. Comme le vecteur u p ( u est orthogonal à tout vecteur de F et que le vecteur p ( u v appartient à F, le théorème de Pythagore (cf proposition ( permet d'armer que l'on a : u v 2 u p ( u + p ( u v 2 u p ( u 2 + p ( u v 2. }{{} 0 Donc u v 2 u p ( u 2. Ainsi, pour tout vecteur v de F, on a u v u p ( u, donc : d( u, F u p ( u. Or, p ( u est un vecteur de F donc : d( u, F u p ( u. D'où le résultat. Remarque Comme p ( u v est égal à 0 si et seulement si v p ( u, pour tout vecteur v distinct de p ( u, on a, d'après ce que l'on vient de voir, d( u, F u p ( u < u v. 20