Équations de l électromagnétisme

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1 Équations de l électromagnétisme PC Lycée Dupuy de Lôme E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 1 / 22

2 1 Conservation de la charge Équation locale Conséquence en régime stationnaire 2 Champ électromagnétique Force de Lorentz Équations de Maxwell Retour à la statique 3 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges Bilan énergétique à partir des équations locales Équation locale de Poynting 4 Symétries 5 L A.R.Q.S. Conditions de l A.R.Q.S. 6 Équations dans l ARQS Conservation de la charge ARQS magnétique Domaine d étude Équations de Maxwell E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 2 / 22

3 Conservation de la charge Équation locale En tout point de l espace, on considère : Une densité volumique de charges ρ(x, t) Une densité de courants j = j(x, t). e x On effectue un bilan de charge pendant une durée dt sur un volume délimité par un cylindre de section S situé entre les abscisses x et x+dx. ρ(x, t) + j(x, t) x = 0 Loi de conservation de la charge Admettant qu il n y a ni création ni disparition de charges, ρ(m, t) + div j(m, t)=0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 3 / 22

4 Conservation de la charge Conséquence en régime stationnaire Conservation du flux En régime stationnaire, le vecteur densité de courant est conservatif j ds= 0 Cette propriété permet de retrouver la loi de nœuds E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 4 / 22

5 Champ électromagnétique Force de Lorentz Force de Lorentz Dans un référentiel R : Une charge ponctuelle q en M, ayant une vitesse v(m, t) subit de la part du champ électromagnétique [ E(M, t), B(M, t)] une force f = q.[ E(M, t)+ v(m, t) B(M, t)] Force de Laplace Un élément dl d un circuit filiforme parcouru par un courant d intensité I, avec dl orienté dans le sens conventionnel pris pour I, et placé dans une zone de champ magnétique B subit une force élémentaire df= I dl B E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 5 / 22

6 Champ électromagnétique Équations de Maxwell Le milieu a des propriétés électromagnétiques (permittivité ǫ 0 et de perméabilité µ 0 ) assimilables à celles du vide. M est caractérisé par sa densité volumique de charges ρ et sa densité de courants j Équations de Maxwell M-Gauss div E(M, t)= M-Ampère M-Flux div B(M, t)=0 M-Faraday ρ(m, t) ǫ 0 rot E(M, t)= B (M, t) rot E B(M, t)=µ 0 j(m, t)+ǫ0 (M, t) E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 6 / 22

7 Champ électromagnétique Retour à la statique Cas statique Cas général Éq M-Gauss div E= ρ ǫ 0 div E= ρ ǫ 0 E ds= Q int E ds= Q int Éq M-Faraday ǫ 0 rot E= 0 E= gradv ǫ 0 rot E= B (M, t) E gradv Passage aux régimes variables Dans le cas des régimes variables, le champ électrique ne dérive pas d un potentiel scalaire. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 7 / 22

8 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de charge associée aux porteurs de charges de vitesse v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est La puissance de cette force est On en déduit : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 22

9 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de charge associée aux porteurs de charges de vitesse v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est d f = ρ.dτ.( E+ v B) La puissance de cette force est On en déduit : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 22

10 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de charge associée aux porteurs de charges de vitesse v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est d f = ρ.dτ.( E+ v B) La puissance de cette force est dp= ρ.dτ.( E+ v B). v = ρ.dτ. E. v+( v B). v On en déduit : 0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 22

11 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de charge associée aux porteurs de charges de vitesse v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est d f = ρ.dτ.( E+ v B) La puissance de cette force est dp= ρ.dτ.( E+ v B). v = ρ.dτ. E. v+( v B). v 0 On en déduit : dp= ρ. v. E.dτ= j. E.dτ E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 22

12 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges Puissance volumique cédée aux charges La puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux charges en un point M a pour expression - P v = j. E Pour un volume V quelconque : P ( E, B) charges = V j. E.dτ E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 9 / 22

13 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit D après M-Ampère : DoncP V = Comme rot a b = a rot b div( b a) D autre part, comme rot E= B, on en déduit E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 22

14 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit P V = j. E D après M-Ampère : DoncP V = Comme rot a b = a rot b div( b a) D autre part, comme rot E= B, on en déduit E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 22

15 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit P V = j. E D après M-Ampère : j = 1 µ 0. rot B ǫ 0. E DoncP V = Comme rot a b = a rot b div( b a) D autre part, comme rot E= B, on en déduit E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 22

16 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit P V = j. E D après M-Ampère : j = 1 µ 0. rot B ǫ 0. E DoncP V = 1.( rot B). E ǫ 0. E. E µ 0 Comme rot a b = a rot b div( b a) D autre part, comme rot E= B, on en déduit E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 22

17 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit P V = j. E D après M-Ampère : j = 1 µ 0. rot B ǫ 0. E DoncP V = 1.( rot B). E ǫ 0. E. E µ 0 Comme rot a b = a rot b div( b a) P V = 1.( B. rot E div( E B)) ǫ 0. 1 E 2 µ 0 2 D autre part, comme rot E= B, on en déduit E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 22

18 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s écrit P V = j. E D après M-Ampère : j = 1 µ 0. rot B ǫ 0. E DoncP V = 1.( rot B). E ǫ 0. E. E µ 0 Comme rot a b = a rot b div( b a) P V = 1.( B. rot E div( E B)) ǫ 0. 1 E 2 µ 0 2 D autre part, comme rot E= B, on en déduit P V = div E B µ 0 ( B2 + ǫ 0. E2 2.µ 0 2 ) E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 22

19 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales Les équations locales permettent d arriver à la relation suivante ( B2 + ǫ 0. E2 2.µ 0 2 ) u em = P V div E B µ 0 Π Cette relation s interprète mieux sous sa forme intégrale u em.dτ= P V.dτ div E B P V P V P V µ 0.dτ u em E B P V.dτ= P V P V.dτ.d S M S µ 0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 22

20 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales Vecteur de Poynting La densité surfacique de flux d énergie électromagnétique est caractérisée par le vecteur de Poynting Π= E B µ 0 Énergie électromagnétique volumique On associe au champ électromagnétique une énergie volumique u em = ǫ 0 2.E µ 0.B 2 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 12 / 22

21 Aspects énergétiques Équation locale de Poynting On peut rappeler l expression d un bilan énergétique en conduction thermique u + div j =P cree Équation locale de Poynting Le bilan énergétique est traduit au niveau local par la relation : u em + div Π= P v E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 13 / 22

22 Symétries Symétrie pour la distribution de charge et courants Les plans de symétrie ou d anti-symétrie doivent l être à la fois pour les distributions de charges et de courants Les propriétés de symétrie sont alors identiques à celles énoncées dans le cas statique E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 14 / 22

23 L A.R.Q.S. Conditions de l A.R.Q.S. Phénomènes de retard Le champ électrique est régit par une équation de propagation à une vitesse proche de c. Les interactions ne seront donc pas des phénomènes instantanés, les variations des caractéristiques des sources se ressentant avec un certain retard en un point M de l espace. ARQS Pour des régimes lentement variables, on pourra négliger les temps propagation devant les temps caractéristiques des évolutions imposées par les sources. Condition de l ARQS On pourra considérer l ARQS si - L<< c.t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 15 / 22

24 L A.R.Q.S. Conditions de l A.R.Q.S. Ordres de grandeur de l ARQS Fréquence Longueur d onde Dimensions max. EDF : N= 50 Hz Ordinateur : N= 1 GHz λ=6000 km λ=30 cm E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 22

25 L A.R.Q.S. Conditions de l A.R.Q.S. Ordres de grandeur de l ARQS Fréquence Longueur d onde Dimensions max. EDF : N= 50 Hz λ=6000 km r max = 100 km Ordinateur : N= 1 GHz λ=30 cm r max = 1 cm E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 22

26 Équations dans l ARQS Conservation de la charge j(x, t) Propagation j(x+dx, t) Densité de courant à flux conservatif On néglige les retards dus à la propagation dans l A.R.Q.S., ce qui a pour conséquence div j = 0 Cons. de la charge ρ = 0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 17 / 22

27 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Domaine d étude ARQS magnétique Dans le cadre de l ARQS magnétique, les effets des distributions de courant sont très supérieures aux effets des distributions de charge. Effet rot B= µ 0. j + µ 0.ǫ 0. E Effet E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 18 / 22

28 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Domaine d étude ARQS magnétique Dans le cadre de l ARQS magnétique, les effets des distributions de courant sont très supérieures aux effets des distributions de charge. rot B= µ 0. j + µ 0.ǫ 0. E Effet des courants Effet des charges E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 18 / 22

29 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Domaine d étude ARQS magnétique Dans le cadre de l ARQS magnétique, les effets des distributions de courant sont très supérieures aux effets des distributions de charge. rot B= µ 0. j + µ 0.ǫ 0. E Effet des courants Courants de conduction et de déplacement Effet des charges Dans le cadre de l ARQS magnétique, les courants de déplacement sont négligeables devant les courants de conduction. ǫ 0. E j E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 18 / 22

30 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Équations de Maxwell Toutes les grandeurs dépendent des coordonnées du point M ainsi que du temps. Équations de Maxwell dans l ARQS magnétique M-Gauss div E= ρ ǫ 0 M-Flux div B= 0 M-Faraday M-Ampère rot E= B rot B= µ 0. j E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 19 / 22

31 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Expressions de B M-Ampère rot B= µ 0. j On retrouve une équation locale identique au cas statique. Théorème d Ampère dans l ARQS magnétique Le calcul des champs magnétique sera analogue au cas particulier de la magnétostatique, en remplaçant I par i(t) - B dl= µ 0.i entr. (t) E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 20 / 22

32 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Aspect énergétique Énergie magnétique Dans le cadre de l ARQS magnétique, la forme d énergie magnétique sera prédominante devant la forme d énergie électrique u em 1 2.µ 0.B 2 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 21 / 22

33 Équations dans l ARQS ARQS magnétique Conducteurs dans l ARQS magnétique L équation de Maxwell-Gauss : div E= ρ On part de ǫ 0 La loi d Ohm locale : j = γ. E d écrire div j = γρ ǫ 0, ce qui permet Or l équation locale de conservation de la charge est div j+ ρ = 0 ce qui donne γ ρ+ ρ ǫ 0 = 0 En posant τ= ǫ 0 on en déduit la loi d évolution de la charge dans le γ conducteur t 0 t ρ(t)=ρ 0.e τ Or pour les conducteurs, γ> 10 4 ce qui donne τ< s. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 22 / 22