Coordonnées : exercices maison. Exercice 1 Placer dans un repère les points suivants : A(2;5), B(-3;1), C(0;5) et D(-4;0).

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1 1 oordonnées Exercice 1 Placer dans un repère les points suivants : (;5), (-3;1), (0;5) et (-4;0) Exercice Voici un graphique 0 Lire les coordonnées des points du graphique (3;3), (-1;), (1,1) et (0;-) 1

2 Quelle est la caractéristique commune des points situés sur la droite rouge? Tous les points ont la même ordonnée égale à 4 Quelle est la caractéristique commune des points situés sur la droite verte? Tous les points ont la même abscisse égale à - Milieu, distance retenir Soient (x ;y ) et (x ;y ) alors le milieu de [] a pour coordonnées ( x +x ; y +y ) et la distance est égale à (x x ) +(y y ) Exercice 3 Soient les points (1;5), (3;7), (-4;5) et (;8) alculer = (3 1) +(7 5) = 4+4 = 8 = alculer = ( 4 1) +(5 5) = 5 = 5 alculer = (+4) +(8 5) = 36+9 = 45 = 3 5 alculer = ( 3) +(8 7) = 1+1 = = alculer les coordonnées du milieu de [] ( 1+3 ; 5+7 ) donc (;6) alculer les coordonnées du milieu de [] ( 3 4 ; 7+5 ) donc ( 1 ;6) alculer les coordonnées du milieu de [] ( 3+ ; 7+8 ) donc (5 ; 15 ) Exercice 4 On donne dans un repère orthonormé (O, I, J) les points (5;7), (1;9) et (9;5). alculer les coordonnées de I milieu de [] I( 5+1 ; 7+9 ) donc I(3;8) alculer les coordonnées de J milieu de [] J( 1+9 ; 9+5 ) donc J(5;7) alculer, et = (1 5) +(9 7) = 16+4 = 0 = 5 ; = (9 5) +(5 7) = 16+4 = 5 ; = (9 1) +(5 9) = = 80 = 4 5 Que peut-on conclure pour le triangle? est isocèle en car =

3 Exercice 5 ans un repère orthonormé (O, I, J), on donne (-4;0), (0,4) et (4;0). 0 Placer les points dans le repère Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du triangle? Le triangle semble isocèle rectangle en émontrer la conjecture ( on pourra calculer, et ). = (0+4) +(4 0) = = 3 = 4 ; = (4+4) +(0 0) = 64 = 8 ; = (4 0) +(0 4) = = 3 = 4 On a donc = et de plus + = donc par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en. Exercice 6 ans un repère orthonormé (O,I, J) on donne les points (1;0) et ( 1 3 ; ) Montrer que le triangle O est équilatéral. On va calculer O, O et : O = (1 0) +(0 0) = 1 = 1 O = ( ) +( 0) = = 1 = 1 = ( ) + 0) = = 1 = 1 O = O = donc O est bien équilatéral. 3 Parallélogrammes retenir Quand on cherche les coordonnées du quatrième sommet d un parallélogramme, on utilise le milieu commun des deux diagonales. 3

4 Exercice 7 On donne les points (5;7), (3;8) et (7;-3). Le but de l exercice est de trouver les coordonnées de tel que soit un parallélogramme Placer les points, et et tracer le parallélogramme. iter les diagonales. Les diagonales sont [] et [] alculer les coordonnées du milieu I de la diagonale connue. La diagonale connue est [] donc I( 5+7 ; 7 3 ) donc I(6;) Ecrire la formule donnant les coordonnées du milieu de l autre diagonale L autre diagonale est [] donc les coordonnées de son milieu sont ( 3+x ; 8+y I est donc le milieu de [] et []. éterminer les coordonnées de. En utilisant les coordonnées de I et la formule du milieu de [], on a : 6 = 3+x et = 8+y. e qui donne 1 = 3+x d où x = 1 3 = 9 et 4 = 8+y d où y = 4 8 = 4 On a donc (9;-4) 4

5 stuce Faire le schéma même à main levée au brouillon pour voir l ordre des lettres du parallélogramme et savoir qui sont les diagonales. Exercice 8 éterminer les coordonnées de G tel que EFGH soit un parallélogramme sachant que E(-3;4), F(5;3) et H(-1;1). Les diagonales de EFGH sont [EG] et [FH]. alculons les coordonnées de I milieu de [FH] : I( 5 1 ; 3+1 donc I(;) I est aussi milieu de [EG] donc = 3+x G et = 4+y G. On a : x G = 7 et y G = 0 donc G(7; 0) Exercice 9 On donne les points E(5;9), F(-4;3), G( -9;4) et H(0;10). Montrer que EFGH est un parallélogramme. alculons les coordonnées du milieu de [EG] : ( 5 9 ; 9+4 alculons maintenant les coordonnées du milieu de [FH] : ( 4+0. onc ( ; 13 ). ; 3+10 ). onc ( ; 13 ). Les diagonales de EFGH ont le même milieu donc EFGH est un parallélogramme. Exercice 10 On donne les points R(1;5), S(-1;7), T(1;9). éterminer les coordonnées de U tel que RSTU soit un parallélogramme. Les diagonales de RSTU sont [RT] et [SU]. Le milieu de [RT] a pour coordonnées : ( 1+1 ; 5+9 ) donc (1;7). Le milieu de [SU] a pour coordonnées ( 1+x U ; 7+y U ) donc on doit résoudre : 1 = 1+x U = 1+x U x U = 3 et 7 = 7+y U 14 = 7+y U y U = 7. onc U(3;7) Montrer que RSTU est un losange. On sait que RSTU est un parallélogramme donc il suffit de montrer que deux côtés consécutifs ont la même longueur. alculons donc RS et ST : RS = ( 1 1) +(7 5) = 4+4 = 8 = ST = (1+1) +(9 7) = 4+4 = 8 = onc RS = ST et RSTU est bien un losange. Montrer que RSTU est un carré. On vient de montrer que RSTU est un losange donc il suffit de montrer que RSTU est aussi rectangle, c est à dire qu il possède un angle droit. Puisqu on a déjà calculer RS et ST, on va calculer RT et utiliser la réciproque de Pythagore : RT = (1 1) +(9 5) = 0+16 = 4 5

6 On remarque que RS +ST = RT donc par la réciproque de Pythagore, on peut dire que le triangle RST est rectangle en S. onc RSTU possède bien un angle droit. onclusion, RSTU est un carré. Exercice 11 On donne les points (-;3), (1;-) et (6;1). 6. poly Placer les points dans le repère Tracer le parallélogramme alculer les coordonnées de pour que soit un parallélogramme. Les diagonales de sont [] et [] et doivent avoir le même milieu. herchons les coordonnées du milieu de [] : ( +6 ; 3+1 ) donc (;) On doit donc avoir : = 1+x 4 = 1+x x = 3 et = +y 4 = +y y = 6 onc (3;6) onjecturer la nature de. Il semble que soit un carré émontrer rigoureusement la conjecture. On sait déjà que est un parallélogramme. Montrons maintenant que c est un losange et un rectangle, autrement dit qu il a deux côtés consécutifs égaux et un angle droit. Pour cela, calculons, et. = (1+) +( 3) = 9+5 = 34 = (6 1) +(1+) = 5+9 = 34 = (6+) +(1 3) = 64+4 = 68 6

7 On a donc = et + = et par la réciproque de Pythagore, on peut affirmer que est rectangle en. onclusion, est un losange et un rectangle donc c est un carré 7