JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES

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1 JEUX NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES PIERRE PUISEUX LMA Université de Pau. MÉTHODE DE NEWTON (D) ET LA FONCTION sin.. description. la fonction sin admet comme zéros Z (sin) = {kπ, k Z}. La méthode de Newton pour calculer un de ses zéros s écrit x donné x n+ = x n tan x n On s intéresse au bassin d attraction de la solution kπ, c est à dire : quel est l ensemble des x tels que la suite de Newton converge vers kπ. En retournant le problème, on scrute l intervalle x [, π] et on étudie la fonction φ (x ) = lim n (x n) Z (sin) En écrivant F (x) = x tan x, on a (limite ponctuelle) φ = lim F n n On a envie de se ramener au cas où φ est à valeurs dans Z et pour cela on pose G (x) = x tan (πx). La suite de point fixe dans ce cas x n+ = G (x n ) semble ne pas converger, et même avoir un comportement chaotique (voir ()). C est normal, car ça n est pas la suite de Newton! Il faut prendre G (x) = x tan(πx) π on obtient alors les graphiques suivants : (2) et (3) (zooms successifs, d un facteur à 8 environ. On demande la convergence FIG.. x n+ = x n tan (πx)

2 2 frenchpierre PUISEUX phi sur l intervalle [.4,.45] phi sur l intervalle [.45,.499] phi sur [ ;.4999] phi sur [.35 ;.45] phi sur [.44 ;.45] FIG. 2. Zooms sur la fonction φ de la suite x n, à 2 près c est à dire x n G (x n ) 2, et on obtient cette convergence en moins de 2 itérations dans tous les cas.) Les valeurs obtenues pour φ (x) varient de -3 à 3, voir plus. On limite l affichage aux valeurs φ (x) On a quelques surprises en explorant cette courbe : pour un intervalle [.,.3] on obtient la figure suivante en se limitant aux valeurs φ (x) < intervalle [c e,c+e] avec c=.2, e=

3 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES 3 phi sur [.444 ;,.445] phi sur [.44475,.4448] e phi sur l intervalle [ , ] intervalle [c e,c+e] avec c= , e=e c e c c+e intervalle [c e,c+e] avec c= , e=e FIG. 3. Zooms sur la fonction φ mais si l on visualise toutes les valeurs de φ (x) : intervalle [c e,c+e] avec c=.2, e=..e 28 5.e 29.e+ 5.e 29.e Ce sont des valeurs résiduelles quasi nulles! Au voisinage x = 2 de l extrémité de l intervalle, on obtient (en bleu le nombre d itérations) :

4 4 frenchpierre PUISEUX intervalle [c e,c+e] avec c=.49, e= Si l on n a pas peur de l infini, on part à cheval sur x = 2 intervalle [c e,c+e] avec c=.5, e= et on retrouve bien sûr le même motif!.2. Et voici le code scilab : function y=f(x) y=x-tan(%pi*x)/%pi ; endfunction function [y,k]=phi(x) //calcule le point fixe limite de x(n+)=f(x(n)) global eps ; y=f(x) ; k= ; while abs(y-x)>eps & k< do x=y ; y=f(x) ; k=k+ ; end //return y ; endfunction ======================== getf( bassin.sci ) ; global eps ; eps=.e-2 ; n= ; c=. ;e=.e+2 ;a=c-e ;b=c+e ; c=.4 ;e=.e- ;a=c-e ;b=c+e ; c=.49 ;e=.e-2 ;a=c-e ;b=c+e ; //on brise la symétrie par rapport à /2 c=.5 ;e=.e- ;a=c-e ;b=c+e ; c=.45 ;e=.e-2 c=.452 ;e=.e-3 ; //c= ;e=.e-7 ;a=c-e ;b=c+e ; //c=c-e/6 ;e=e/ ;a=c-e ;b=c+e ; //c=.5 ;e=. ; a=c-e ;b=c+e ; h=(b-a)/n ;

5 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES 5 //a=. ;b=.4999 ; //a=.35 ;b=.45 ; //a=.44 ;b=.45 ; //a=.444 ;b=.445 ; //a= ;b=.4448 ; //a= ;b= ; X=a :h :b ; n=length(x) ; Y=zeros(n,) ; K=zeros(n,) ; for i= :n do [Y(i),K(i)]=phi(X(i)) ; end //clf() ; titre=sprintf("intervalle [c-e,c+e] avec c=%.7f, e=%g ",c,e) ; xtitle(titre+"nombre d itérations") ; //plot(x,k) ; //xclick() clf() ; xtitle(titre) ; plot(x,y) ; a=gca() ;//axes p=a.children.children ;//polyline p.line_mode="off" ; p.mark_mode="on" ; p.mark_style= ;//marques= + p.mark_size=2 ; p.mark_foreground=5 ; a.tight_limits="on" ; a.data_bounds=[min(x),- ;max(x),] ; //a.data_bounds=[min(x),min(y) ;max(x),max(y)] ;.3. Questions en suspens. Dans ces graphiques, il semble que la fonction φ présente une certaine régularité, et on peut se demander s il n y a pas une longueur caractéristique ou un rapport plus ou moins constant entre deux régions chahutées. Je ne trouve pas de loi simple qui permette de calculer (par exemple) la distance entre deux points x pour lesquels φ (x) = + 2. APPLICATION LOGISTIQUE, LE FIGUIER 2.. Base. Application logistique f (x) = kx ( x), suite logistique : u donné, u n+ = f (u n ) Fonction de répartition : F (x) = card{un,<un x} et densité F (x) card{u n} 2.2. Le figuier, divers zooms. Pour diverses valeurs de k [, 4], on trace les valeurs d adhérences de la suite u n+ = f (u n ). On suppose que l ensemble de ces valeurs d adhérence est approchées par U = {u n, < n < 5} 2.3. Exposant de Lyapunov. f k (x) = kx ( x) Si j ai bien compris la définition de l exposant de Lyapunov : étant donné x [, ], x n+ = f k (x n ) et y [, ], y n+ = f k (y n ) deux suites de point fixe définies à partir de la même fonction f k, pour deux valeurs initiales distinctes, on note e n = x n y n, l exposant de lyapunov est λ tel que e n ae λn. Ce qui signifie que la différence entre x n et y n est multipliée par un facteur e λ à chaque itération. Si λ >, on a donc augmentation de e n, c est la sensibilité aux conditions initiales, si λ < alors e n diminue.

6 6 frenchpierre PUISEUX FIG. 4. Fonctions de répartition et densité des itérés, pour k = 3.6, k = FIG. 5. Le diagramme de bifurcation, différents facteurs de zoom et mise en évidence de l auto-similarité Autrement dit, en échelle logarithmique : log e n log a + λ log n, c est à dire que en échelle log-log la représentation de l erreur e n en fonction de n doit être une droite de pente λ. On lit aussi, ici ou là, que l exposant de Lyapunov est défini comme suit : si y n = x n + e n, on a e n e = k<n e k+ e k et ln e n e = k<n ln e k+ e k

7 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES FIG. 6. Exposant de Lyapunov en fonction de k, pour x =.6 et x =.8 Si e n = e e λn alors ln e k+ e k = λ. Il n est donc pas stupide de prendre comme définition de l exposant de Lyapunov la moyenne des ln en+ e n lorsque n. De plus e n+ = f (x n + e n ) f (x n ) = e n f (ξ n ) où ξ n est compris entre x n et y n. Donc on peut approcher en+ e n = f (ξ n ) par en+ e n f (x n ). Finalement l exposant de Lyapunov, s écrit λ = lim n n + k<n ln f (x k ) Sur la figure (6) on a tracé la courbe des exposants de Lyapunov λ (k) en fonction de k, pour deux valeurs distinctes de x, on obtient le meme résultat.

8 8 frenchpierre PUISEUX Exposant Lyapunov FIG. 7. Applicaction logistique, k = 3.999, courbes log e n en fonction de n FIG. 8. k = 3.575, exposant de Lyapunov log e n en fonction de log n Pour k = 3.999, (figure(7)) du chaos développé, pour x x = 2, on obtient une courbe ln e n en fonction de n (on n a gardé que les premiers termes) qui ressemble à une droite, au moins dans ses premiers termes. Après un certain nombre d itérations, l erreur restant dans [, ] est un bruit blanc. Pour k = je trouve également une droite (figure(8)) On m annonce que l erreur devient absolument chaotique lorsque l on augmente les itérations. On devrait donc avoir une erreur uniformément distribuée dans l intervalle [, ]. Ca n est pas du tout ce que je constate : pour k = 3.999, ɛ = 2, x =.6, x = x + ɛ, lorsque le nombre d itérés est de 5, on obtient le graphique (9) (l erreur e n en fonction de n) qui montre une concentration plus importante de l erreur autour de. Pour affiner cette impression, on trace la fonction de répartition définie par F (x) = card {n, e n < min e + x (max e min e)} et la densité correspondante F (x). Si la répartition de l erreur était uniforme dans [, ], le graphe de F serait une droite et celui de F une droite horizontale. (voir les figures () et ()) 2.4. premier retour, dans R MÉTHODE DE NEWTON Je cherche une méthode de Newton d ordre très élévé pour calculer ˆx = r α, r > et α entier positif. Quelle fonction u utiliser?

9 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES 9 FIG. 9. Application logistique, k = 4, concentration de l erreur autour de FIG.. Etude, k = 3.6, x =.6, y = x + 2. L erreur est e n = x n y n. On met la méthode de Newton sous forme de point fixe : x n+ = x n u (x n) u (x n ) = F u (x n ) et on cherche u de sorte que F u (k) (ˆx) =, k < q pour q le plus grand possible. ( ) β d Je note i u dx = u β (n) i i et je remarque que la dérivée F u s écrit F u (n) = u n+ λ α u α...uαn+ α A n Avec deux particularités sur cette somme : le degré total du monôme α = α + α + + α n est α = n + et en plus pour chaque α, on a i iα i = 2n

10 frenchpierre PUISEUX FIG.. Etude, k = 4, u =.6, u = Z Y X FIG. 2. Application logistique, k = 3.999, tracé de la suite de points (u n, u n, u n 2 ). c est à dire A n = α = (α,..., α n+ ) N n+2, α = n +, et i n+ iα i = 2n et α {, } Pour n =, F u = x u u et A = {()} Pour n =, F u = uu2 et A u 2 = {(,, )} ( ) Pour n = 2, F u = u 3 u u u 3 2u u u 2 u 2 et A2 = {(,,, ), (,, 2, ), (, 2,, )}

11 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES ( ) Pour n = 3 : F (3) = u 4 u u 2 u 4 6u u u 2 u 3 + 2u 3 u 3 + 6u u 3 2 3u 2 u 2 2 et A 3 = {(, 2,,, ), (,,,, ), (, 3,,, ), (,, 3,, ), (, 2, 2,, )} Pour n = 4 : F u (4) ( = u 5 u u 3 u 5 8u u 2 u 2 u 4 + 3u 4 u 4 6u u 2 u u u u 2 2u 3 4u 3 u 2 u 3 24u u pour n = 5 : en notant de manière plus compacte u [abcdefg] = u a u b u c 2u d 3u e 4u f 5 ug 6 F u (5) = ( ) u 5 u [4] u [3] + 4u [5] 2u [3] + 6u [22] 25u [4] + + (9u [22] u 5 2u [42] 24u [3] + u [32] + 2u [5] 6u [24]) L inconnue du problème posé est la fonction u : comment la choisir, de sorte que la méthode de Newton soit d ordre le plus élevé possible? On impose à u de vérifier F u (ˆx) = ˆx et F u (k) (ˆx) =, k, < k q, pour q le plus grand possible. Ces conditions se traduisent sur u par : û = û et û k =, k, < k < q où û k désigne u k (ˆx) = dk u (ˆx). On dx k le vérifie sur les valeurs de F (k) fournies ici, et on doit pouvoir le vérifier par récurrence sur k. On est donc à la recherche d une fonction u telle que u (ˆx) et u k (ˆx) = pour k. Si on pose alors u (x) = αx α v (x) + (x α r) v (x) u (x) = (x α r) v (x) u 2 (x) = α (α ) x α 2 v (x) + 2αx α v (x) + (x α r) v 2 (x) u 3 (x) = α (α ) (α 2) x α 3 v (x) + 3α (α ) x α 2 v (x) + 3αx α v 2 (x) + (x α r) v 3 (x) on doit donc imposer u (ˆx) = αr α v (ˆx), soit par exemple v (ˆx) = C puis u 2 (ˆx) = impose la valeur de v (ˆx) et enfin u 3 (ˆx) = impose la valeur de v 2 (ˆx) : Plus généralement v (ˆx) = C α 2ˆx (α + ) (α ) v 2 (ˆx) = C 6ˆx 2 u n+ (x) = (x α r) v n+ (x)+α (n + ) x α v n (x)+ k n C k+ n+ α (α )... (α k + ) xα k v n k (x) fournit les équations que doivent satisfaire les v k (ˆx) par la condition u n+ (ˆx) = et par récurrence : v n (ˆx) = ˆx α α (n + ) k n C k+ n+ α (α )... (α k + ) ˆxα k v n k (ˆx) Pour calculer ˆx = r α, il faut bien sûr faire appel à des calculs simples, ce qui complique singilièrement le problème... Je crois que dans le cas on prend pour v une fraction rationnelle en x α : v (x) = p(x α ) q(x α ), les coefficients de p et q sont rationnels...

12 2 frenchpierre PUISEUX F IG. 3. Etude de la fonction de Hénon : l attracteur, la fonction C (r) pour le calcul de la dimension fractale de l attracteur, la répartition des valeurs prises par la première coordonnée de la suite (xn+, yn+ ) = h (xn, yn ) α Example 3.. Je cherche v (x) = xαa+b, c est à dire u (x) = a xxα r +b. Les conditions sur r α α v r et v r imposent : (a, b) = α (2α, α + ) et la méthode de Newton s écrit : (xα r) (xα + b) xn+ = xn α (b + r) xα 4. L E JEU DE LA VIE Un maillage régulier (damier) est donné dans R2, chaque maille est vide ou bien contient une cellule (ou individu). Les cellules naissent et meurent suivant la règle : () Si la maille contient une cellule vivante, et si elle a n voisins, avec n < 2 ou n > 3, alors elle meure. (2) Si la maille est vide, et si elle a 3 voisins au moins, alors une cellule y nait. Je prend un maillage 2 2, avec une densité initiale d =.8, et je calcule la population et la densité di pendant itérations (une itération=un passage en revue et mise à jour de tout le damier, le modèle a tourné une nuit complète sur mon pc). Je trace ensuite la densité en fonction du temps. Elle se stabilise autour de.6 5. F ONCTION DE H ÉNON h (x, y) = ( y + ax2 bx avec a =.4, et b = Etude. Zooms sur l attracteur 5.2. Transformée d un cercle. Mise en évidence de l étirement-repliement occasionné par la fonction de Hénon, sur la figure (5)

13 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES 3 FIG. 4. Zooms successifs sur l attracteur de Hénon FIG. 5. Image succesives des cercles C (, ) et C (,.3) FIG. 6. diagramme de bifurcation pour la première coordonnée de la fonction de Hénon 5.3. Diagramme de bifurcation. Dans la figure (6), on s interesse au diagramme de bifurcations pour a [,.5], et concernant la première coordonnée x seulement, et pour les itérations U = [, ], U n+ = h (U n )

14 4 frenchpierre PUISEUX 5.4. Dimension fractale. 6. PLUS GRAND EXPOSANT DE LYAPUNOV 6.. Définition. je reprend mot pour mot les termes de Dauce Emmanuel dans sa thèse http ://emmanuel.dauce.free.fr/these/(node22.html) La SCI peut être mesurée par les exposants dits de Lyapunov. Le principe de cette méthode est de mesurer à quelle vitesse deux trajectoires appartenant à l attracteur vont diverger selon plusieurs directions de l espace d état. En suppposant que l on connaisse ces directions, il est possible d associer pour chacune d elles un exposant λ i tel que dans la direction considérée, la distance entre les deux trajectoires évolue proportionnellement à e λit. Si l exposant est négatif, les deux trajectoires tendent à se rapprocher à vitesse exponentielle dans cette direction. Si l exposant est nul, l évolution de la distance est gouvernée par des termes plus lents, de type polynomial. Si l exposant est positif, les deux trajectoires tendent à s éloigner à vitesse exponentielle dans cette direction. Les points fixes stables ont uniquement des exposants strictement négatifs. Les cycles limites ont un exposant nul, et les autres sont négatifs. Les tores T 2 ont deux exposants nuls, et les autres sont négatifs. Si la dynamique possède au moins un exposant positif, alors il existe une direction pour laquelle deux conditions initiales produiront des trajectoires qui tendent à s éloigner à une vitesse exponentielle. Un exposant positif marque ainsi la sensibilité aux conditions initiales, donc le caractère chaotique de la dynamique. On peut noter qu une dynamique possédant plusieurs exposants de Lyapunov positifs est qualifiée d hyperchaotique (ou de chaos profond). Pour la mise en \oeuvre numérique, il est bon de noter que lorsque t augmente, l exponentielle qui correspond à l exposant le plus grand finit toujours par l emporter sur tous les autres. Grâce à ce fait, on peut, sur un système chaotique, déterminer le plus grand exposant de Lyapunov sans forcément connaître tous les autres, en mesurant le taux de croissance de la distance entre deux trajectoires initialement proches sur un intervalle de temps suffisamment long. Ainsi, si on a deux trajectoires s et s 2 appartenant au voisinage de l attracteur telles que la distance d(s (t ), s 2 (t )) = ε, et que l on itère la dynamique sur T pas de temps, le plus grand exposant de Lyapunov est estimé localement comme : λ max ( ) d T ln (s (t + T ), s 2 (t + T )) ε Pour T, ε finis, on a donc une limitation sur les valeurs de λ max que l on peut calculer. On trouve aussi pour les fonctions d une seule variable, la définition λ = lim ln f (x k ) n n + k<n Pour l application logistique, un calcul analytique donne : f (x + δx ) = f (x )+ kδx ( 2x ) kδx 2 d où δx = kδx ( 2x δx ) 6.2. Calcul pratique. Je propose alors l algorithme suivant, lorsque l on dispose d une série chronologique (x k ) k N : soit ε > Pour i N, déterminer V i = {j > i, d (x i, x j ) < ε} qui sera souvent vide, si ε est petit ou si N est petit. pour j V i, On pose δx = x j x i, ε = ln δx, et p () =

15 frenchjeux NUMÉRIQUES AVEC LE CHAOS ET LES FRACTALES ET AUTRES exposant de Lyapunov FIG. 7. Exposant de Lyapunov local, sur la série logistique k = 4 Lyapunov,exposant local densite FIG. 8. Exposant de Lyapunov local, sur la série logistique k = 4 pour m =, 2,..., déterminer δx m = x j+m x i+m et poser p (m) = δxm m ln δx, qui est la pente de la droite qui va du point (, ) au point (m, p (m)). Continuer tant que p n est pas devenu franchement décroissant c est à dire p (m) < p (m ) < p (m 2) < Poser λ (i, j) = max p faire la moyenne des λ (i, j) : λ i = cardv i j V i λ (i, j) Faire la moyenne des λ i : λ max = N+ i N λ i. La formule (quasi-)analytique λ = lim n n + k<n ln f (x k ) donne, pour l application logistique, k = 4., λ 4. =.693 Cette pente est une approximation de λ. De plus elle est approximativenment constante (égale à l exposant cherché), puis décroit franchement. Le maximum de p correspond à l exposant de Lyapunov cherché.voir la figure 8 2 Pour bien faire, il faut compter le nombre de fois n où p décroit, le nombre de fois ou il croît n + et...?

16 6 frenchpierre PUISEUX 7. VOYONS? x n+ = ax n + by n y n+ = cy n + dx n y n est de la forme X n+ = F (X n ) ( ) a b Le jacobien de la transformation est F (X) = a pour valeurs dy c + dx ( d2 ) ( d2 propres 2 x (a c) dx + 4bd + c 2 2ac + a 2 dx + c + a, 2 x (a c) dx + 4bd + c 2 address: pierre.puiseux@univ-pau.fr